Didattica speciale: codici del linguaggio logico e matematico Giampaolo Chiappini Consiglio Nazionale delle Ricerche Istituto per le Tecnologie Didattiche - Genova Italy chiappini @itd.cnr.it
Le pra'che sociali rela've al numero e al calcolo hanno radici biologiche e culturali
Sviluppo del numero e calcolo come pratiche sociali condivise Si fonda sulla capacità innata di percepire e riconoscere la numerosità I neonati possiedono questa capacità Anche gli animali possiedono questa capacità La percezione della numerosità non è una preroga'va solamente umana
Capacità di riconoscere la numerosità Bambini di poche ore o pochi mesi di vita percepiscono la numerosità e sono in grado di rappresentarla internamente È stato anche dimostrato che, oltre alla capacità di riconoscere in modo immediato piccole quantità, bambini di 5-6 mesi di vita sono in grado di crearsi aspettative aritmetiche basate sul concetto di numerosità e sulla possibilità di modificare tale numerosità con operazioni di tipo additivo o sottrattivo.
Le capacità di calcolo nei neonati Esperimento di Wynn (1992)
Animali sono capaci di confrontare numerosità diverse Alcuni animali sono in grado di contare, ma per loro 5+5 non fa 10 ma approssimativamente 10 Gli scimpanzé sono capaci di varie competenze numeriche compresa la costruzione di corrispondenze per piccole quantità
Le radici biologiche dell intelligenza numerica [...] non possiamo evitare di vedere che le mucche su un campo sono bianche e marroni, né possiamo evitare di vedere che ce ne sono tre; [...] come ci sono persone che nascono cieche ai colori, così ci sono anche individui che nascono con una sorta di cecità alla quantità Butterworth (1999).
Le radici biologiche dell intelligenza Il Subitizing numerica La stima
Subitizing
Subitizing vs Stima
Quale insieme è più numeroso?
Quale insieme è più numeroso?
Quale insieme è più numeroso?
Quale numero è più grande? 61 860
Quale numero è più grande? 437 445
Da cosa dipende la capacità di stimare la numerosità Maggiore è la differenza tra i due insiemi, più facile è discriminare qual è il più numeroso (la prestazione dipende dalla distanza tra i numeri - distance effect ) Minore è la grandezza assoluta dei due insiemi, più facile è discriminare qual è il più numeroso (la prestazione dipende dalla grandezza dei numeri - size effect) Moyer e Landaeuer (1967) I due effetti sono indipendenti dal fatto che gli stimoli siano numeri arabi o configurazione random di puntini: in entrambi i casi il numero è rappresentato come grandezza mentale (Brannon, 2003)
Dalla stima della numerosità alla determinazione esatta della numerosità ovvero Dalle radici biologiche della stima della numerosità a quelle culturali del numero e del calcolo
Le basi culturali della quantificazione della realtà L uso di strumenti per quantificare la realtà è relativamente antico Placca di osso trovata nelle Gro;e du Taï nel sud della Francia Tavole;a sumerica con incisioni numeriche
Sviluppo dei sistemi numerici Le abilità aritmetiche e le rappresentazioni numeriche hanno circa 5000-6000 anni di storia. Nell età della pietra l uomo sapeva contare verosimilmente sino a tre oggetti, e chiaramente padroneggiava i concetti di più grande e di più piccolo
Sviluppo dei sistemi numerici Mediante costruzioni di corrispondenze l uomo ha gradualmente imparato a gestire quantità numeriche maggiori La più naturale forma di corrispondenza è data dalle dita della mano. Alla conoscenza delle dita e alla conta è soggiacente una comune abilità cognitiva (ancora oggi questo legame è evidente in alcune popolazioni)
Sviluppo dei sistemi numerici Lo sviluppo di una serie di numerali per contare una collezione di oggetti è relativamente recente nella storia umana. L abilità di contare inizia relativamente tardi anche nel bambino, attraverso l uso delle dita.
Sviluppo dei sistemi numerici A cominciare da circa 5000-6000 anni fa si cominciano a sviluppare i primi sistemi di numerazione I primi sistemi di numerazione sono additivi, a base 10 o 20 o 5, con alcune eccezioni I sumeri e i babilonesi svilupparono un sistema non solo decimale ma anche sessagesimale
Sviluppo dei sistemi numerici I sistemi numerici influenzarono anche i numerali usati dai vari popoli per contare. Per esempio, nella conta in francese emerge un residuo di un sistema a base 20. In alcune lingue è ancora usata la base 5 per contare (cinque uno, cinque due )
Sviluppo dei sistemi numerici In molte lingue, tra 10 e 20 i numerali diventano irregolari, in altre come il cinese sono invece regolari. Queste caratteristiche possono avere grosse implicazioni sul piano cognitivo
Scrittura dei numeri Sul piano storico la scrittura dei numeri non solo ha preceduto la scrittura delle parole ma ha gettato le basi per lo sviluppo di quest ultima. Il primo sistema di scrittura dei numeri è di circa 3000 AC: invece di usare pietre, dita, parti del corpo per contare e fare calcoli si è cominciato ad usare dei segni
Sviluppo del calcolo Addizionare, sottrare, moltiplicare e dividere venivano compiuti anticamente con procedure diverse da quelle attuali. Consideriamo per esempio la moltiplicazione eseguita secondo le procedure del sistema numerico egiziano
Moltiplicazione egiziana esempio: 13x17
Divisione egiziana Esempio 700:29 700:29=24 con il resto di 4
Divisione egizia Esempio 35:8
Sistema numerico dei Romani E un sistema numerico additivo MMCCCXXXII 2*1000+3*100+3*10+2*1 Due mila tre cento trenta due E cristallizzato nel linguaggio verbale e questo può creare ostacoli nell apprendimento del sistema di scrittura posizionale Difficoltà: MX mille dieci 1010. Molti alunni 100010
Sviluppo dei sistemi numerici
Il calcolo: dagli abaci agli algoritmi di calcolo Dal 1200 al 1500 diffusione dei libri d abaco La parola abaco non indica più il vecchio strumento di calcolo ma la nuova disciplina che faceva uso della numerazione posizionale e degli algoritmi di calcolo scri;o.
Processi coinvolti nel trattamento numerico Subitizing Stima Conteggio Calcolo (strategie di calcolo mentale, procedure di calcolo scritto) Memorizzazione e recupero di fatti aritmetici
Subitizing e Stima L automatismo del subitizing consiste in una funzione visiva che consente un rapido e preciso giudizio numerico eseguito su insiemi di piccole numerosità di elementi. La stima è un processo numerico a base semantica che consiste nel valutare in modo approssimativo e senza contare grandi numerosità.
Contare Contare costituisce il primo collegamento tra la capacità innata del bambino di percepire le numerosità e le acquisizioni matematiche più avanzate della cultura nella quale è nato. Imparare la sequenza delle parole usate per contare è il primo modo con il quale i bambini connettono il loro concetto innato di numerosità con le prassi culturali della società in cui sono nati (Butterworth, 1999).
Contare La capacità analogica di stimare la numerosità si è evoluta sul piano culturale e si è connessa a quella del contare. Quest ultima richiede molto di più che un controllo di tipo percettivo, richiede lo sviluppo di funzioni simboliche e linguistiche, funzioni che appartengono agli esseri umani dagli albori della civiltà.
Sviluppo della capacità di contare Gelman e Gallistel hanno individuato cinque principi che essi ritengono soggiacen' al processo di contare. il principio della corrispondenza biunivoca: secondo il quale per ogni ogge;o deve essere u'lizzata una sola e'che;a numerica, e viceversa. il principio dell ordine stabile : per contare occorre rispe;are un determinato ordine di enunciazione. Nel conteggio, oltre ad assegnare e'che;e arbitrarie agli item, è necessario che tali e'che;e siano organizzate in un ordine stabile e ripe'bile;
La capacità di contare il principio della cardinalità: l ul'mo numero u'lizzato rappresenta e con'ene tun gli oggen conta'. L applicazione del principio della cardinalità richiede un adeguata applicazione dei principi della corrispondenza biunivoca e dell ordine stabile. il principio dell irrilevanza dell ordine, secondo il quale una determinata e'che;a numerica può essere assegnata a qualunque ogge;o. I bambini iniziano a contare senza considerare rilevante l ogge;o da cui par're; il principio di astrazione, secondo il quale la procedura di conteggio può essere applicata a qualsiasi 'po di item (concre' o costruzioni mentali).
Calcolare Contare fa da ponte tra numeri e calcolo e segna l avvio della prima strategia per calcolare e risolvere problemi aritmetici. Le prime semplici addizioni e sottrazioni, infatti, sono eseguite dal bambino di 5-6 anni attraverso un conteggio esplicito mentale o a voce alta, spesso supportato dall uso delle dita.
Sviluppo delle capacità di calcolo nei bambini Differenti strategie basate sulla conta nella soluzione di problemi di struttura additiva (Carpenter & Moser): 1. Count-all : i bambini contano separatamente i due insiemi da addizionare, uniscono gli insiemi e contano tutti gli elementi dell insieme somma 2. Count-on: i bambini concettualizzano il valore cardinale e contano in avanti a partire dal primo insieme o dall insieme maggiore 3. Know fact: i bambini danno una risposta direttamente, senza contare, recuperando conoscenze fattuali dalla memoria
Sviluppo delle capacità di calcolo nei bambini 4. Derived fact: i bambini utilizzano fatti numerici conosciuti per ricavare ulteriori conoscenze (16+3=19 perché 6+3=9 e 10+9=19) Nei compiti di sottrazione: 1. Take away: i bambini contano gli elementi dell insieme più grande, contano il sottoinsieme da sottrarre ed infine contano il sottoinsieme che rimane. 2. I bambini concettualizzano il valore cardinale e contano all indietro partendo dal primo termine sino al secondo termine, tenendo traccia dei passi, o contano in avanti dal secondo termine sino al primo, tenendo traccia dei passi.
Calcolare L evoluzione del conteggio transita dal counting all (contare tutto) al counting on (contare da ) e segnala l avvio del calcolo a mente, che si costituisce come struttura portante delle abilità di calcolo, espressione dell intelligenza numerica che necessita però di un sistematico lavoro di potenziamento.
Calcolo scritto e calcolo mentale Nel calcolo scritto le procedure devono essere applicate in modo rigido Nel calcolo mentale ognuno elabora una strategia sfruttando specifiche proprietà delle operazioni (commutativa, associativa, distributiva). Le strategie di tipo derived fact dipendono dallo specifico contesto di calcolo numerico che viene affrontato Es 13+27 10+20=30; 3+7=10; 30+10=40
L uso di strategie costruttive del calcolo a mente consente di operare scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici. Queste strategie devono essere insegnate Calcolo mentale è molto importante.
L intelligenza numerica evolve nel calcolo a mente non nel calcolo scritto. Nel calcolo scritto emergono errori tipici, dovuti all interferenza di strategie non appropriate sulle quali spesso è difficile esercitare un controllo cognitivo.
La costruzione del concetto di numero e dei suoi sensi Nella nostra società i numeri assumono molte funzioni, alle quali corrispondono cinque diversi sensi, identificabili con le cinque facce di un concetto complesso, tutte indispensabili alla sua comprensione. È fondamentale favorire una costruzione equilibrata dei diversi significati del numero, proponendo esercizi e attività che li mettano in luce, senza prediligerne nessuno.
Cardinalità Il numero serve a contare gli elementi che fanno parte di un insieme, attraverso una conta transitiva. Esempi: il numero di pennarelli nell astuccio, il numero degli alunni presenti in classe. Questo significato propone il numero come quantità e presuppone la consapevolezza che il totale degli oggetti/entità non dipenda dalla loro disposizione spaziale, dall ordine i cui vengono contati, né dalle loro caratteristiche percettive.
Ordinalità Il numero serve a ordinare, cioè a indicare il posto occupato in un certo ordinamento, attraverso una conta intransitiva, una sequenza predefinita di numeri. Esempi: i numeri nella conta nel gioco del nascondino, i numeri dell ordine di arrivo in una gara. Questo senso propone i numeri come una sequenza ordinata ed è legato alla relazione d ordine che ci consente di stabilire, tra due valori, il maggiore e il minore.
Etichetta Il numero serve a identificare, distinguere, etichettare un oggetto, una persona, un entità. Esempi: il numero dell autobus, il numero civico, il numero di matricola. Questo significato prevede la costruzione di una corrispondenza tra un elemento e un codice numerico; tale associazione può essere arbitraria/ casuale, sequenziale (segue un ordine preciso, come per i numeri civici) o classificatoria (ad esempio nel CAP, dove le prime due cifre determinano la provincia).
Misura Il numero serve a misurare, ovvero a esprimere quante volte un unità di misura è contenuta in una grandezza. Esempi: numero sul termometro che indica la temperatura ambientale, numero sulla bilancia che indica il peso degli ingredienti per fare una torta. Quando viene utilizzato per misurare, il numero deve essere accompagnato dall unità di misura.
Valore Il numero serve ad attribuire un valore convenzionale a un entità che vale tot volte un altra entità. Esempi: il numero che indica il prezzo di un quaderno, il numero di figurine comuni necessarie per fare uno scambio con una figurina rara. L elemento centrale di questo senso è la convenzionalità: il valore viene attribuito in base a un accordo tra gli esseri umani, senza un contenuto fisico.
Modelli cogni0vi dello sviluppo del numero e del calcolo
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Il modello del triplice codice di Dehaene Secondo questo modello i numeri vengono manipolati nel cervello umano attraverso tre tipi di rappresentazioni, le rappresentazioni visivo-arabe, le rappresentazioni linguistiche verbali, la rappresentazione analogica di grandezza.
Il meccanismo cognitivo che permette di afferrare il senso di un numero non è verbale ma è analogico, funziona per analogia, è un meccanismo innato. Risiede nel cervello antico, quello che l uomo possedeva agli albori della sua evoluzione, prima ancora dello sviluppo del linguaggio.
Localizzazione cerebrale del modello E stato mappato in entrambi gli emisferi, identificando substrati neuronali per i tre codici di rappresentazione dei numeri (Dehaene, & Cohen, 1995)
L abilità di calcolo coinvolge varie abilità cognitive: verbali, percettive, spaziali, di memoria, esecutive La capacità di calcolo risulta alterata in casi di specifiche patologie cerebrali o di demenza La perdita della capacità di eseguire compiti di calcolo, derivante da una patologia cerebrale è nota come acalculia
Tipi di acalculia Anaritmetia (acalculia primaria) Dislessia e disgrafia per i numeri Acalculia spaziale
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Modello modulare di McCloskey
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Modello modulare di McCloskey Sistema di elaborazione del numero Esempio Supponiamo di voler scrivere in cifre il numero centottantacinque Meccanismo sintattico: sovraintende l elaborazione di una struttura a tre cifre. Meccanismo lessicale: inserzione delle cifre che compongono il numero «1», «8», «5».
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Modello modulare di McCloskey Esempio Supponiamo di voler realizzare la somma 185 + 17 La comprensione del simbolo + orienta verso la mobilitazione di procedure di calcolo ad esso coerenti. La comprensione dei simboli 185 e 17 viene realizzata attraverso il processo lessicale e il processo sintattico. Le procedure di calcolo possono essere sia di calcolo scritto che di calcolo mentale.
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Modello modulare di McCloskey Procedure di calcolo scritto Corretto incolonnamento dei numeri Realizzazione di somme parziali Gestione del riporto 1 1 1 8 5 + 1 7 = 2 0 2 Le somme parziali avvengono mobilitando strategie quali counting on oppure mobilitando fatti aritmetici : o Fatti aritmetici memorizzati dal soggetto: 5+7=12 o Fatti aritmetici (5+5=10 ; 10+2=12) utilizzati con strategie del tipo derived fact
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo Modello modulare di McCloskey Procedure di calcolo mentale Possono essere mobilitate strategie del tipo di quelle evidenziate da Carpenter e Moser o Counting on 185, 186, 187,... 202 o Fatti numerici del tipo derived fact o del tipo known fact 17=15+2 185+15=200 200+2=202...
Calcolo scritto e calcolo mentale Nel calcolo scritto le procedure devono essere applicate in modo rigido Nel calcolo mentale ognuno elabora una strategia sfruttando specifiche proprietà delle operazioni (commutativa, associativa, distributiva). Le strategie di tipo derived fact dipendono dallo specifico contesto di calcolo numerico che viene affrontato Es 13+27 10+20=30; 3+7=10; 30+10=40
Esempi di errori tipici 24 x 26 x 25x 322-3 = 18 = 4= 36 = 27 68 620 314 I meccanismi coinvolti nel calcolo scritto sono molto diversi da quelli del calcolo a mente.
Il calcolo mentale nella soluzione dei problemi aritmetici Cos è stato storicamente la soluzione di problemi aritmetici? Storicamente la soluzione di un problema aritmetico è un discorso basato sull uso del linguaggio verbale e sullo sfruttamento dei i mezzi offerti da un sistema di numerazione (Chevallard. 1989). L uso di algoritmi di calcolo scritto e dei segni aritmetici (+,*,-,:) è piuttosto recente e risponde ad esigenze di economia di pensiero
Si vogliono distribuire 100 libri tra tre persone in modo che la seconda persona riceva 4 volte i libri della prima e la terza 10 più che la seconda. Quan' libri riceve la prima persona Soluzione aritme'ca : un discorso Se si so;raggono 10 libri dal totale (cioè quelli che vengono assegna' in più alla terza persona ), quello che rimane può essere suddiviso in par', di cui 1 parte viene assegnata alla prima persona, 4 par' vengono assegnate alla seconda persona e 4 par' alla terza. In tu;o fanno 9 par'. Dividendo 90 per 9 si onene quanto riceve la prima persona Il discorso sfru;a i mezzi offer' da un sistema di numerazione per ar'colare un ragionamento che, partendo dai da' conosciu', perme;e di rispondere alla domanda del problema. Soluzione aritme'ca con i segni delle operazioni: (100-10):9= 10 Soluzione algebrica: x + (4*x)+ (4*x+10)=100
Lo sviluppo dell algebra Con il passaggio dall aritmetica all algebra: Il significato delle operazioni e il loro campo di applicazione si estende e i simboli algebrici rappresentano non solo i numeri usati in aritmetica ma anche altri numeri, per esempio i numeri negativi. Vengono introdotte le lettere per indicare in modo indeterminato gli elementi di un insieme numerico. Le espressioni letterali permettono di esprimere in modo generale l andamento di un fenomeno o la soluzione di un problema L uguaglianza tra due espressioni letterali porta alla costruzione di equazioni la cui soluzione consente di automatizzare il processo risolutivo di un problema
Le difficoltà di apprendimento dell algebra La ricerca didattica ha evidenziato gravi difficoltà che hanno radici: nelle caratteristiche del linguaggio simbolico usato per l attività algebrica in ostacoli di natura epistemologica che hanno caratterizzato lo sviluppo concettuale dell algebra sul piano storico Gli oggetti algebrici hanno una natura astratta. Non è facile costruirsi un idea di essi attraverso l uso dei segni che li rappresentano.
When we come to algebra, and have to operate with x and y, there is a natural desire to know what x and y really are. That, at least, was my feeling: I always thought the teacher knew what they really were, but would not tell me. Bertrand Russell, An Outline of Philosophy, 1927
Con il passaggio all algebra nasce la necessità di: costruire un senso per i simboli algebrici costruire un significato per nuove nozioni coinvolte nell attività mediata dai simboli algebrici (variabile, incognita, parametro, espressione algebrica, equazione, identità.) supportare lo studente nello sviluppo dell attività algebrica
Per progettare l intervento didattico con uno studente con bisogni speciali occorre: conoscere le caratteristiche di funzionamento cognitivo e metacognitivo dello studente nell uso dei numeri, del calcolo e dei simboli matematici avere una buona padronanza degli ostacoli che possono emergere in relazione agli obiettivi di apprendimento che si vogliono perseguire saper valutare le potenzialità che la tecnologia digitale offre sul piano riabilitativo, compensativo, concettuale e comunicativo e servirsene nella progettazione dell intervento educativo
Saper sfruttare le forme di assistenza più appropriate per supportare la prestazione dello studente e per mediare il suo processo di apprendimento
Conoscere lo studente Cosa sa fare in ambito aritmetico Quali difficoltà incontra Come si è adattato alle attività di matematica in classe Quali sono le sue caratteristiche di funzionamento cognitivo e metacognitivo Quali sono i suoi bisogni e suoi punti di forza
Conoscere gli ostacoli in relazione agli obiettivi dell apprendimento: es. Algebra Che relazione sussiste tra discalculia e algebra? Gli studenti non discalculici hanno difficoltà in algebra? Quali? Come viene insegnata l algebra? Che misure vengono prese per favorire l apprendimento di studenti con DSA? Qual è la natura delle difficoltà in algebra di uno studente con DSA? Quali sono gli obiettivi dell insegnamento dell algebra?
Valutare le potenzialità della tecnologia digitale Sul piano concettuale Sul piano comunicativo Sul piano riabilitativo Sul piano compensativo
Supportare lo studente con forme di assistenza appropriate Modellizzare la prestazione Fornire retro-azioni Mettere in discussione Gestire la contingenza Istruire Strutturare cognitivamente il compito
Forme di assistenza alla prestazione dello studente modello di Tharp e Gallimor (1) modellizzare (modelling) la prestazione relativa al compito offrendo comportamenti da imitare. Quando l insegnante fornisce allo studente un comportamento da imitare per la soluzione di un compito, offre una forma di assistenza per affrontare la situazione in esame che, una volta interiorizzata, potrà essere usata dallo studente in situazioni simili. E una forma di assistenza molto importante per gli studenti che presentano gravi difficoltà nello sviluppo di una determinata competenza
(2) gestire la contingenza (contingency management) focalizzando l attenzione sugli aspetti positivi della prestazione dello studente. E una forma di assistenza volta a valorizzare gli sforzi dello studente e il positivo della sua prestazione, o a sanzionare, nei modi ritenuti più appropriati per il soggetto coinvolto, eventuali comportamenti negativi che possono ostacolare la crescita e lo sviluppo. Questa forma di assistenza non è in grado di produrre di per se uno sviluppo nel comportamento dello studente ma è cruciale per favorire lo sviluppo di un atteggiamento positivo da parte del soggetto nell affrontare il compito.
(3) fornire retro-azioni (feeding-back) che consentano allo studente di confrontare la propria prestazione con una standard. E una forma di assistenza che favorisce lo sviluppo di forme di autoregolazione dell apprendimento. La possibilità di confrontare la propria prestazione con una standard di riferimento può consentire lo sviluppo dei processi meta-cognitivi necessari per controllare la propria prestazione.
Istruire (instructing), è una forma di assistenza che prende vita nel momento in cui l insegnante si assume la responsabilità per l azione che lo studente dovrà compiere, invece di aspettare che lo studente la apprenda da solo. Se l istruzione diventa troppo direttiva, può provocare rifiuto.
5) mettere in discussione (questioning) è una forma di assistenza che si realizza attraverso domande da parte dell insegnate che possono provocare una attiva e creativa risposta cognitiva da parte dello studente. E una forma di assistenza essenziale per consentire lo sviluppo del pensiero. L'insegnante abile, attraverso domande appropriate, può effettuare richieste allo studente ogni volta che è necessario compiere un progresso per dirigere il corso del suo apprendimento.
(6) strutturare cognitivamente (cognitive structuring) è la forma di assistenza con la quale si fornisce una struttura per organizzare gli elementi del compito in relazione gli uni agli altri. E la forma di assistenza più difficile da mettere in pratica. Fornisce una struttura di riferimento che aiuta il soggetto a pensare e ad agire.