Dinamica dei Sistemi Meccanici Esercizi. Marco Belloli Roberto Corradi Daniele Rocchi

Dinamica dei Sistemi Meccanici Esercizi Marco Belloli Roberto Corradi Daniele Rocchi 29 maggio 2007

Indice 1 Sistemi meccanici non lineari ad un g.d.l. 3 1.1 Scrittura delle equazioni di moto non lineari............ 3 1.1.1 Un esempio di scrittura delle equazioni non lineari.... 6 1.2 Calcolo della posizione di equilibrio statico............. 9 1.2.1 Esempio............................ 9 1.3 Linearizzazione............................ 13 1.3.1 Equazioni di moto lineari nell intorno della posizione di equilibrio........................... 15 1.4 Richiamo gravitazionale....................... 16 1.5 Effetti del precarico......................... 21 1.6 Operativamente............................ 22 1.7 Esercizio 1............................... 24 1.7.1 Scrittura dell equazione di moto non lineare........ 24 1.7.2 Calcolo del precarico statico................. 27 1.7.3 Linearizzazione........................ 28 1.8 Esercizio 2............................... 29 1.8.1 Scrittura dell equazione di moto non lineare........ 29 1.8.2 Precarico statico della molla................. 32 1.8.3 Linearizzazione........................ 32 1.9 Esercizio 3............................... 34 1.9.1 Analisi cinematica del sistema................ 34 1.9.2 Scrittura dell equazione di moto non lineare........ 35 1.9.3 Calcolo della posizione di equilibrio............. 37 1.9.4 Linearizzazione nella dizione 2 (R = 2r)........ 38 1.10 Esercizio 4............................... 39 1.10.1 Analisi cinematica del sistema................ 39 1.10.2 Scrittura delle equazioni di moto.............. 40 1.10.3 Equazione di moto non lineare............... 41 1.10.4 Linearizzazione nell intorno di α = 0............ 41 1.11 Esercizio 5............................... 43 1.11.1 Scrittura delle equazioni di moto.............. 44 1.11.2 Precarico statico della molla................. 45 1.11.3 Linearizzazione nell intorno di θ 0.............. 46 1

2 INDICE 1.11.4 Linearizzazione del forzamento e del tributo dello smorzatore.............................. 46 1.12 Esercizio 6............................... 48 1.12.1 Equazione di moto non lineare............... 48 1.12.2 Linearizzazione........................ 50 1.13 Esercizio 7............................... 51 1.13.1 Equazione di moto non lineare............... 51 1.13.2 Calcolo del valore della costante elastica delle molle... 53 1.13.3 Linearizzazione........................ 53 1.14 Esercizio 8............................... 54 1.14.1 Equazione del moto non lineare............... 54 1.14.2 Calcolo del precarico..................... 55 1.14.3 Linearizzazione........................ 56 1.15 Esercizio proposto 1: un glifo.................... 57 1.16 Esercizio proposto 2: un quadrilatero articolato.......... 58 1.17 Esercizio proposto 3......................... 59 1.18 Esercizio proposto 4......................... 60 2 Sistemi meccanici a N gradi di libertà 61 2.1 Scrittura delle equazioni di moto.................. 61 2.2 Calcolo delle frequenze proprie................... 67 2.3 Risposta al forzamento........................ 68 2.4 Esercizio 1............................... 70 2.5 Esercizio 2............................... 75 2.6 Esercizio 3............................... 78 2.7 Esercizio 4............................... 81 2.8 Esercizio 5............................... 84 2.9 Esercizio 6............................... 88 2.10 Esercizio 7............................... 92 2.11 Esercizio 8............................... 96 2.12 Esercizio 9............................... 99 2.13 Esercizi proposti........................... 103

Capitolo 1 Sistemi meccanici non lineari ad un g.d.l. 1.1 Scrittura delle equazioni di moto non lineari La scrittura delle equazioni di moto di un generico sistema non lineare ad un grado di libertà può essere affrontata tramite l equazione di Lagrange: ( ) d EC E C dt q q + D q + V q = Q (1.1.1) dove E C è l energia cinetica del sistema, D è la funzione dissipativa dovuta alla eventuale presenza di smorzamento, V è l energia potenziale del sistema mentre Q si indica la componente lagrangiana della sollecitazione attiva, ossia di tutte le forze che sono applicate al sistema ed i cui effetti non sono tenuti nelle precedenti forme di energia. La coordinata libera q è la variabile indipendente scelta per definire il moto del sistema, è allora necessario definire le forme di energia E C, V, D e il lavoro virtuale delle forze attive in funzione di tale coordinata. In generale l energia cinetica del sistema può essere espressa nel generico istante siderato come: 1 2 m (q) q 2 dove m (q) è la massa generalizzata del sistema sedo il grado di libertà q. Applicando Lagrange, i termini relativi all energia cinetica che saranno presenti nell equazione di moto, possono essere espressi come: d dt ( EC q ) E C q = m (q) q + 1 m (q) q 2 2 q L energia potenziale dovuta alle molle ed al campo di forze gravitazionale può essere scritta, come: V = V k + V g 3

4 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. Ponendo attenzione all energia potenziale dovuta alle molle si ha, in generale, che nel generico istante di tempo: V k = 1 2 k l2 = 1 2 k ( l d(q) + l 0 ) 2 dove l d (q) e l 0 sono rispettivamente l allungamento dinamico, espresso dalla variazione di lunghezza dell elemento elastico rispetto alla dimensione assunta nella posizione iniziale, funzione della coordinata libera q, ed il precarico statico della molla, ossia la variazione di lunghezza subita dall elemento passando dalla dizione di molla scarica alla posizione iniziale. La figura 1.1 mostra è definito l allungamento statico e dinamico della generica molla. l s l i l d l 0 l d l Fig. 1.1 Definizione dell allungamento statico e dinamico della generica molla In particolare si ha che l s è la lunghezza della molla indeformata, l i è la lunghezza assunta dalla molla nella posizione di equilibrio statico mentre l d è la lunghezza che la molla ha durante il moto del sistema ad un generico istante di tempo. Applicando Lagrange si ottiene: V k q = k ( l d(q) + l 0 ) l d(q) q = k l d (q) l d(q) q } {{ } uno + k l 0 l d (q) q }{{} due dove il termine due esiste solo se le molle sono precaricate nella posizione di equilibrio, ovvero se l 0 è diverso da 0. L energia potenziale dovuta al campo di forze gravitazionale è invece: V g = mgh(q) dove h(q) rappresenta l altezza del baricecntro in funzione della coordinata libera q. Derivando l energia potenziale sedo Lagrange, diventa: V g q = mg h(q) q

1.1. SCRITTURA DELLE EQUAZIONI DI MOTO NON LINEARI 5 La forma generale della funzione dissipativa risulta essere: D = 1 2 r l r (q) 2 r caratteristica viscosa del generico smorzatore e l r la derivata rispetto al tempo dell allungamento del medesimo smorzatore. Tale termine, essendo funzione della coordinata libera, può essere riscritto come: l r (q) = d dt l r (q) = l r q q t = l r q q dove è stata omessa la dipendenza dalla coordinata libera per alleggerire la scrittura. La funzione dissipativa può allora essere riscritta come: D = 1 ( ) 2 2 r lr q 2 q Applicando Lagrange si ottiene il generico termine dell equazione di moto dovuto alle forza generata dallo smorzatore in analisi: ( ) 2 D q = r lr q q La componente lagrangiana della sollecitazione attiva dovuta ad una generica forza F applicata in un punto del sistema si ottiene dalla scrittura del lavoro virtuale: δ L = Fδ x F = F x F q δ q dove F si è indicata la forzante mentre δ x F (q) ci si riferisce allo spostamento virtuale del punto di applicazione della forzante, funzione della coordinata libera. Applicando Lagrange si calcola la componente lagrangiana come: Q = δ L δ q = F x F q L equazione di moto non lineare di un generico sistema forzato da una forza F può dunque essere scritta in forma simbolica come: m (q) q + 1 m (q) q 2 + r 2 q ( lr (q) q +k l 0 l d (q) q ) 2 q + k l d (q) l d(q) q + mg h(q) q + = F x F(q) q Per la scrittura dell equazione di moto non lineare vanno dunque calcolate le seguenti derivate: m (q) q h(q) q l d (q) q l r (q) q x F (q) q

6 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1.1.1 Un esempio di scrittura delle equazioni non lineari Il sistema meccanico di figura 1.2 è composto dall asta omogenea lunga L di massa m A e momento d inerzia baricentrico J A e dal disco di raggio R, massa m D e momento d inerzia baricentrico J D. I due corpi rigidi sono incernierati tra di loro e l altro estremo dell asta è vincolato a muoversi su di una guida verticale tramite un carrello. La molla di rigidezza k garantisce il richiamo elastico del sistema risultando scarica quando l asta è in posizione verticale. Si vogliono scrivere le equazioni di moto non lineari e calcolare la posizione di equilibrio del sistema. m A, J A, L G m D, J D, R k C Fig. 1.2 Esempio di sistema meccanico non lineare ad un grado di libertà L espressione dell energia cinetica può essere inizialmente scritta mediante coordinate fisiche di comodo come: E C = 1 2 J Dω 2 D + 1 2 m Dv 2 C + 1 2 J Aω 2 A + 1 2 m Av 2 G dove ω D e ω A si indicano rispettivamente le velocità angolari assolute del disco e dell asta, mentre v C e v G rappresentano le velocità lineari assolute del centro ruota C e del baricentro dell asta G. Allo stesso modo si definisce l energia potenziale del sistema nelle coordinate fisiche, l: allungamento complessivo della molla e h G posizione verticale del baricentro dell asta nel sistema di riferimento scelto. V = 1 2 k l2 + m A gh G Risultano essere nulle la funzione dissipativa, non essendoci smorzatori, e la componente lagrangiana della sollecitazione attiva, non essendoci forze esterne

1.1. SCRITTURA DELLE EQUAZIONI DI MOTO NON LINEARI 7 applicate al sistema. La figura 1.3 mostra la scelta della coordinata libera ϕ, che definisce la posizione angolare dell asta rispetto ad un riferimento verticale, e l origine del sistema di riferimento assoluto. Le quantità energetiche vanno adesso riscritte in funzione della coordinata libera attraverso le opportune relazioni cinematiche, in particolare vanno definite la posizione e la velocità dei punti C, centro ruota, e G, baricentro dell asta. + + G ϕ y x C Fig. 1.3 Coordinata libera, sistema di riferimento e venzioni Considerando dapprima il punto G, le coordinate nel sistema di riferimento assoluto espresse in funzione della coordinata libera ϕ risultano essere: { xg = L 2 sinϕ y G = L 2 cosϕ derivando rispetto al tempo si ottengono le componenti orizzontale e verticale della velocità del punto in analisi. { ẋg = ϕ L 2 cosϕ ẏ G = ϕ L 2 sin ϕ Allo stesso modo si tratta il centro ruota, la cui traiettoria è fissata dal vincolo di rotolamento senza strisciamento ed è quindi orizzontale: x C = L sinϕ ẋ C = ϕl cosϕ

8 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. la velocità del centro ruota permette di calcolare anche la velocità angolare del disco: ϕl cosϕ v C = ω D R i ω D = R Tramite le relazioni cinematiche così espresse si possono esplicitare le forme di energia in funzione della coordinata libera. L energia cinetica risulta essere: E C = 1 ( L 2 2 J cos 2 ) ϕ D R 2 ϕ 2 + 1 2 m DL 2 cos 2 ϕ ϕ 2 + 1 2 m L 2 A 4 ϕ2 + 1 2 J A ϕ 2 e può essere riscritta come: E C = 1 L [(m 2 ) A 2 4 + J A ovvero: ( JD + ) ] L 2 cos 2 ϕ R 2 + m D }{{} J (ϕ) E C = 1 2 J (ϕ) ϕ 2 dove J (ϕ) rappresenta il momento d inerzia generalizzato alla coordinata libera ϕ funzione della coordinata libera stessa. La dipendenza dell energia potenziale dalla coordinata libera viene esplicitata tramite l introduzione dei legami cinematici: l = x C = L sinϕ h G = y G = L 2 cosϕ ϕ 2 quindi: V = 1 2 k ( L 2 sin 2 ϕ ) + mg L 2 cosϕ una volta definite le quantità energetiche in funzione di ϕ, si deriva sedo Lagrange come indicato nel paragrafo 1.1, ovvero: J (ϕ) ϕ l(ϕ) ϕ = 2 ( J D R 2 + m D ) L 2 cosϕsin ϕ = L cosϕ h G ϕ = L 2 sin ϕ L equazione che descrive il moto in grande del sistema è quindi: L [(m 2 ) ( ) ] A 4 + J JD A + R 2 + m D L 2 cos 2 ϕ ϕ + ( ) JD R 2 + m D L 2 cosϕsin ϕ ϕ 2 + kl 2 sin ϕcosϕ m A g L 2 sin ϕ = 0

1.2. CALCOLO DELLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO STATICO 9 1.2 Calcolo della posizione di equilibrio statico Il calcolo della posizione di equilibrio può essere affrontato tramite la ricerca di un punto di stazionarietà dell energia potenziale, ovvero deve essere nulla la derivata di tale quantità rispetto alla coordinata libera: V q = 0 oppure tramite la scrittura di opportune equazioni di equilibrio statico, che permettono anche il calcolo delle reazioni vincolari. 1.2.1 Esempio Facendo riferimento al problema proposto nella figura 1.2 nell ipotesi che l 0 = 0 per ϕ = 0 si ha che l equilibrio statico è retto dalla seguente equazione: kl 2 sin ϕcosϕ m A g L 2 sinϕ = 0 le cui soluzioni sono { sin ϕ = 0 ϕ = 0 + kπ (1.2.1) cosϕ = mag 2kL Osservazione L equazione che descrive l equilibrio statico del sistema si ricava direttamente dall equazione di moto, che descrive invece la dizione di equilibrio dinamico del sistema stesso, imponendo che siano nulli i termini che dipendono dalla velocità, dall accelerazione e da eventuali forze funzione del tempo. Ovviamente è possibile calcolare direttamente la posizione di equilibrio statico del sistema tramite la scrittura dell equazione di equilibrio alla rotazione attorno al punto K, come mostrato in figura 1.4, dove sono state poste in evidenza le forze statiche agenti sul sistema: { ma g L 2 sin ϕ kl2 sin ϕcosϕ + H 1 cosϕ = 0 H 1 = 0 da cui si ottiene il sistema che definisce la posizione di equilibrio statico 1.2.1. Con i seguenti dati numerici, k = 9810/ 3N/m, L = 1 m, m a = 1000 Kg, m D = 100 Kg, J A = J D = 10 Kgm 2 si ottiene che la posizione di equilibrio statico è data da: 3 cosϕ = 2 ϕ = 30 oltre alle posizioni di equilibrio asta disposta in verticale ϕ = 0 + kπ.

10 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. R 2 K m A g G R 1 H 1 m D g kl sinϕ C R 1 H 1 T N Fig. 1.4 Forze statiche agenti sul sistema, si nota la presenza delle reazioni vincolari agenti sull asta e sul disco 1.2 1 0.8 0.6 m Ag 2k L cos ϕ 0.4 0.2 0 100 50 0 50 100 ϕ[deg] Fig. 1.5 Soluzione grafica per la ricerca della posizione di equilibrio statico Le soluzioni dell equazione 1.2.1 possono essere ricavate per via grafica trovando le intersezioni delle curve: y = m Ag 2k e y = L cosϕ In figura 1.5 sono riportate le due curve e le relative intersezioni.

1.2. CALCOLO DELLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO STATICO 11 È intuibile che l esistenza di intersezioni tra le due curve dipenda dalla seguente disuguaglianza: m A g 2k < L cosϕ Il primo membro della disuguaglianza risulta essere sempre positivo e pertanto non esistono posizioni di equilibrio per valori di ϕ tenuti nel sedo e terzo quadrante, in tali figurazioni il tributo gravitazionale e quello elastico non hanno segno opposto e corrono a far ruotare l asta nella stessa direzione. Ipotizzando di mantenere costante la lunghezza dell asta, si possono raggiungere dizioni per cui le due curve non si intersecano facendo crescere la massa o diminuendo il valore della rigidezza della molla. L equilibrio tra i tributi gravitazionali e quelli elastici dipende anche dalla lunghezza dell asta in quanto la forza antiribaltante esercitata dalla molla cresce al crescere della rotazione dell asta stessa, dal momento che aumenta l allungamento della molla che si trova, però, ad agire un braccio che diminuisce all aumentare di ϕ essendo legato alla coordinata libera dalla funzione coseno. D altra parte la forza peso è costante e origina un momento destabilizzante di entità crescente l angolo di rotazione, il suo braccio è legato alla coordinata libera da un funzione seno. L equilibrio tra questi due tributi, mantenendo costanti la massa dell asta e la rigidezza della molla, favorisce la possibile intersezione delle due curve una lunghezza dell asta L maggiore. 350 300 250 ϕ [deg] 200 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t [s] Fig. 1.6 Andamento nel tempo della coordinata libera ϕ per effetto di una perturbazione della posizione di equilibrio Considerando la posizione di equilibrio in ϕ = 30 è possibile valutarne la stabilità in piccolo analizzando il segno della derivata seda dell energia poten-

12 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. ziale valutata nella posizione di equilibrio analizzata: 2 V ϕ 2 = kl 2 ( cos 2 ϕ 0 sin 2 ) ϕ 0 ma g L ϕ=30 2 cosϕ 0 < 0 Il sistema è instabile nella posizione di equilibrio esaminata e pertanto a fronte di una piccola perturbazione se ne allontanerà indefinitamente. Nella figura 1.6 è riportato l andamento nel tempo dell angolo ϕ a seguito di una perturbazione del sistema pari a 1 grado rispetto alla posizione di equilibrio siderata; tale storia temporale è stata ottenuta integrando numericamente l equazione non lineare che descrive il moto in grande del sistema siderato. La soluzione numerica permette di calcolare dalla coordinata libera gli spostamenti di punti di interesse del sistema, quali la posizione orizzontale del centro del disco,x C, o la posizione verticale del carrello y P, riportate nella figura 1.7. 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x C 0 y P 0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t [s] (a) Spostamento orizzontale del centro del disco x C 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t [s] (b) Spostamento verticale del carrello y P Fig. 1.7 Storie temporali degli spostamenti di punti notevoli del sistema Come si può notare il sistema non essendo smorzato tinua ad effettuare un moto in grande limitato tra le due posizioni di equilibrio. Il moto oscillatorio non è sinusoidale ma se si effettua un analisi in frequenza, i cui risultati relativi al grado di libertà ϕ sono riportati in figura 1.8, si può osservare che esso è caratterizzato da numerose componenti armoniche.

1.3. LINEARIZZAZIONE 13 180 160 140 120 ϕ [deg] 100 80 60 40 20 0 0 0.5 1 1.5 2 f [Hz] Fig. 1.8 Spettro della coordinata libera ϕ dove sono ben visibili le armoniche di ordine superiore 1.3 Linearizzazione L equazione di moto che descrive il moto in grande del sistema meccanico in analisi può essere linearizzata se l interesse è volto alla determinazione delle piccole oscillazioni nell intorno della posizione di equilibrio. A tale fine, oltre alla linearizzazione diretta dell equazione del moto in grande, si possono rendere quadratiche le forme di energia in modo che la successiva applicazione di Lagrange dia luogo ad un equazione differenziale di sedo ordine a coefficienti costanti. Per quanto riguarda l energia cinetica, lo sviluppo al sedo ordine nell intorno della posizione di equilibrio, indicata q 0, è pari a: 1 2 2 E C q 2 q0, q=0 E C E C q0, q=0 + E C q (q q 0 ) 2 + 1 2 E C 2 q 2 q0, q=0 q0, q=0 (q q 0 ) + E C q q + q0, q=0 (q q 0 ) q +... q 2 + 2 E C q q q0, q=0 dove l unico termine non nullo è 1 2 E C q0, 2 q q 2 ossia la forma quadratica 2 q=0 dell energia cinetica si ottiene valutando il momento d inerzia generalizzato in corrispondenza della posizione di equilibrio: E C 1 2 m (ϕ 0 ) q 2

14 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. Quindi facendo riferimento all esempio in analisi si ha che: J L (ϕ 0 ) = (m 2 ( ) A 4 + J JD A + R 2 + m D L 2 3 ) 4 Lo sviluppo dell energia potenziale nell intorno della posizione di equilibrio è: V V q=q0 + V q (q q 0 ) + 1 2 V q=q0 2 q 2 (q q 0 ) 2 q=q0 in cui il primo termine è costante, il sedo è nullo poichè si valuta nella posizione di equilibrio, ovverosia in un punto di stazionarietà del potenziale mentre il terzo termine fornisce la forma quadratica dell energia potenziale. Riferendosi al caso in esame si ottiene: 2 V ϕ 2 = kl2 cos 2 ϕ kl 2 sin 2 ϕ m A g L 2 cosϕ che valutato in ϕ 0 diventa 2 V ϕ 2 = 1 ϕ=ϕ0 2 kl2 m A g L 3 2 2 Mentre riferendosi alla forma simbolica generale dell energia potenziale la forma quadratica risulta essere: V V q=q0 + 1 ( ) 2 l 2 k q + k l 2 l 0 q0 q 2 + mg 2 h q q0 q 2 q0 (q q 0) 2 0 dove si rioso rispettivamente i termini di rigidezza generalizzata, souplesse e richiamo gravitazionale. Applicando Lagrange alle forme quadratiche di energia così ottenute i termini che compariranno nell equazione di moto saranno: { V q = k ( ) 2 l q d dt + k l 2 l 0 q 0 q 2 ( ) EC E C q q + mg 2 h q0 q 2 q0 = m (q 0 ) q } (q q 0 ) Ritornando all esempio si ha l equazione lineare che descrive il moto in piccolo del sistema nell intorno della posizione di equilibrio statico ϕ 0 = 30 : L (m 2 ( ) A 4 + J JD A + R 2 + m D L 2 3 ) ( 1 ϕ + 4 2 kl2 m A g L ) 3 ϕ = 0 (1.3.1) 2 2 ϕ = ϕ ϕ 0 Osservazione La posizione di equilibrio calcolata, ϕ 0 = 30 risulta essere instabile se si siderano i dati numerici proposti, poichè la derivata seda dell energia potenziale, corrispondente al termine di rigidezza generalizzata, valutata in corrispondenza della posizione di equilibrio risulta essere minore di zero.

1.3. LINEARIZZAZIONE 15 1.3.1 Equazioni di moto lineari nell intorno della posizione di equilibrio Se la posizione di equilibrio è nota e l interesse è volto allo studio della dinamica nell intorno di tale posizione, si possono scrivere direttamente le equazioni di moto lineari tramite la linearizzazione dei legami cinematici, facendo riferimento al sistema meccanico fino a qui trattato, si ha che: v C = L cosϕ 0 ϕ = L 3 2 ϕ v G = L2 4 ϕ ω A = ϕ ω D = L R 3 2 ϕ In generale la forma quadratica dell energia potenziale risulta essere: { V V q=q0 + 1 ( ) 2 } l k + k l 2 l 0 2 q q 0 q 2 + mg 2 h q0 q 2 (q q 0 ) 2 q0 : l = l(q) e h = h(q) mentre l 0 rappresenta il precarico statico della molla necessario a definire la posizione di equilibrio. I tre termini che compaiono nello sviluppo sono rispettivamente: la rigidezza generalizzata del sistema al grado di libertà q, il sedo termine è detto souplesse ed esiste solo se le molle del sistema sono precaricate e se la derivata seda dell allungamento dinamico rispetto alla coordinata libera, valutata nella posizione di equilibrio, è non nulla. Il terzo termine è detto richiamo gravitazionale e compare nella equazione di moto linearizzata solo se la derivata seda, rispetto alla coordinata libera, delle quote verticali dei baricentri dei corpi che compongono il sistema è diversa da zero nella posizione di equilibrio. Facendo riferimento all esempio, i termini di interesse sono quindi: l 0 = L sinϕ 0 = L 2 l ϕ = l 3 ϕ0 2 2 l ϕ 2 = L ϕ0 2 2 h ϕ 2 = L 3 ϕ0 4

16 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. che permettono di calcolare la forma quadratica di energia potenziale: V V ϕ=ϕ0 + 1 ( ) ( ) 3L 2 2 k 4 L2 ϕ 2 + 1 4 2 m Ag L 3 ϕ 2 4 definite così le forme quadratiche di energia si applica Lagrange e si ottiene l equazione di moto linearizzata 1.3.1. 1.4 Richiamo gravitazionale E interessante verificare quando il termine di richiamo gravitazionale compare nelle equazioni di moto linearizzate nell intorno della posizione di equilibrio. Come detto tale tributo alla definizione della rigidezza complessiva del sistema è presente quando la derivata seda delle quote verticali dei baricentri, fatta rispetto alla coordinata libera, risulta essere nulla se valutata nella posizione di equilibrio. Nella figura 1.9 è mostrato un sistema meccanico formato da un pendolo omogeneo, lungo L massa m e momento d inerzia baricentrico J, incernierato in un estremo e sostenuto in posizione di equilibrio orizzontale da una molla precaricata di rigidezza k posta nell altra estremità. θ G Fig. 1.9 Pendolo posizione di equilibrio orizzontale Come detto, la figurazione rappresentata in figura 1.9 è la posizione di equilibrio statico del sistema, ovvero per θ = 0, dove θ è la coordinata libera del sistema che definisce la posizione angolare dell asta stessa partendo dalla posizione orizzontale. Si scrive l equazione di moto non lineare utilizzando l approccio presentato nel paragrafo 1.1. L energia cinetica del sistema, espressa in coordinate fisiche, risulta essere: E C = 1 2 mv2 G + 1 2 Jω2 dove v G è la velocità assoluta del baricentro G dell asta e ω è la sua velocità angolare assoluta.

1.4. RICHIAMO GRAVITAZIONALE 17 L energia potenziale è data dalla somma del tributo gravitazionale e del tributo elastico: V = 1 2 k ( l 0 + l d ) 2 + mgh G Esplicitando le coordinate fisiche in funzione della coordinata libera si ha: { xg = L 2 cosθ ẋ G = L θ 2 sin θ y G = L 2 sin θ ẏ G = L θ 2 cosθ che portano a: v 2 G = L2 4 θ 2 ω = θ h G = y G L allungamento dinamico della molla risulta essere: l d = L sinθ mentre è incognito il valore di precarico, quindi di allungamento statico, della molla affinchè θ = 0 sia posizione di equilibrio. L energia cinetica del sistema scritta in funzione della coordinata libera θ, risulta essere: E C = 1 ) (m L2 2 4 + J θ 2 = 1 2 J θ2 il momento d inerzia generalizzato J indipendente dalla coordinata libera, ovverosia le caratteristiche inerziali del sistema non variano la posizione. L energia cinetica risulta essere, in questo caso, direttamente una forma quadratica. Questo darà luogo ai seguenti termini lineari nell equazione di moto del sistema: ( ) d EC dt θ E C θ = J θ La derivata dell energia potenziale rispetto alla coordinata libera è: V θ = mgl 2 cosθ + k l l d d θ + +k l l d 0 θ che, sostituendo i legami cinematici, diventa: V θ = mgl 2 cosθ + kl2 sin θ cosθ + k l 0 L cosθ da cui segue che l equazione di moto non lineare del sistema risulta essere: J θ + mg L 2 cosθ + kl2 sin θ cosθ + k l 0 L cosθ = 0 Nell equazione di moto rimane incognito il termine di precarico della molla che garantisce che θ = 0 sia la posizione di equilibrio statico del sistema. Tale

18 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. valore di precarico risulta essere tale da annullare la derivata prima dell energia potenziale rispetto alla coordinata libera valutata in θ = 0. mg L 2 + k l 0L = 0 l 0 = mg 2k (1.4.1) L equazione 1.4.1 rappresenta l equilibrio statico alla rotazione attorno alla cerniera che vincola a terra l asta. Il precarico l 0 risulta essere negativo indicando che, sedo le venzioni adottate, la molla deve essere compressa per θ = 0. Sostituendo il valore calcolato di precarico nell equazione di moto si elimina completamente il tributo del richiamo gravitazionale, ovvero il moto in grande del sistema non dipende dalla forza peso, ossia: J θ + kl 2 sinθ cosθ = 0 Linearizzando l equazione di moto nell intorno della posizione di equilibrio si ottiene: J θ + kl 2 θ = 0 a tale risultato era possibile arrivare direttamente siderando che l energia cinetica è una forma quadratica mentre solo il tributo dovuto alla molla deve essere siderato nell energia potenziale essendo verificato che: 2 h g θ 2 = L θ=0 2 θ=0 sin θ = 0 e 2 l d θ 2 = 0 θ=0 G θ Fig. 1.10 Pendolo posizione di equilibrio verticale

1.4. RICHIAMO GRAVITAZIONALE 19 Considerando ora un sistema analogo al precedente, in cui l asta si trova in posizione di equilibrio quando è disposta sedo la direzione verticale ed è vincolata a terra tramite una cerniera nella sua estremità inferiore mentre la molla è posta nell estremo superiore. Affinchè la posizione indicata in figura 1.10 sia di equilibrio, la molla posta nell estremo libero deve essere scarica per θ = 0, θ coordinata libera che definisce la posizione angolare dell asta partendo dal riferimento verticale, ovvero: l 0 = 0 l energia potenziale elastica del sistema è: mentre il tributo gravitazionale è: V K = 1 2 k l2 = 1 2 kl2 sin 2 θ V G = mgy G = mg L 2 cosθ I termini legati all energia cinetica non cambiano rispetto al caso precedente e portano all equazione di moto non lineare: J θ + kl 2 sin θ cosθ mg L 2 sin θ = 0 dove si nota la mancanza del precarico statico e che il termine di richiamo gravitazionale è negativo influenzando la stabilità della posizione di equilibrio, che è verificata se: 2 V θ 2 > 0 kl mg θ=0 2 > 0 L equazione di moto lineare nell intorno della posizione di equilibrio è: J θ + kl 2 θ mg L 2 θ = 0 dove compare il tributo della forza peso perchè si ha che: 2 h g θ 2 = L θ=0 2 cosθ = L 2 Si vuole ora analizzare il caso generale in cui la posizione di equilibrio è definita da θ 0 0 e θ 0 π 2. A titolo di esempio la figura 1.11 mostra alcuni sistemi meccanici posizione di equilibrio generica. Scegliendo, per tutti i sistemi in analisi, θ come grado di libertà che definisce la rotazione del corpo a partire dalla posizione di equilibrio rappresentata in figura si scrive l energia potenziale dovuta al campo di forze gravitazionale: V g = mgh (θ)

20 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. O O θ 0 G θ θ 0 G θ G G O θ 0 θ θ 0 θ Fig. 1.11 Esempio di sistemi meccanici posizione di equilibrio generica dove h (θ) è la posizione verticale del baricentro G a seguito di una rotazione θ. Esplicitando i legami cinematici, tenendo to della sostituzione b = OG, si ottiene: h = b sinθ 0 b sin(θ θ 0 ) h = b sinθ 0 b (b sinθ 0 cosθ cosθ 0 sin θ) come descritto nel paragrafo 1.3, per avere l equazione di moto lineare occorre che l energia potenziale sia una forma quadratica della coordinata libera, si sviluppa quindi la posizione verticale del baricentro in serie di Taylor nell intorno di θ = 0 arrestandosi ai termini di ordine 2: ( ) h = b sinθ 0 b sinθ 0 1 θ2 + b cosθ 0 θ 2 La forma quadratica dell energia potenziale diventa, trascurando i termini costanti e lineari: V g = mgh (θ) = 1 2 (mgb sinθ 0)θ 2 dove mgb sinθ 0 è il termine di rigidezza dovuto al richiamo gravitazionale.

1.5. EFFETTI DEL PRECARICO 21 Osservazione In geneale il tributo dovuto alla forza peso al termine di rigidezza del sistema linearizzato è funzione della distanza verticale tra il baricentro G e l asse di rotazione nella posizione di equilibrio, ossia è funzione di b sinθ 0. Analogamente a quanto visto per i pendoli in posizione di equilibrio orizzontale e verticale, nullo per il primo e pari a mg L 2 per il sedo. 1.5 Effetti del precarico x M k, l 0 h L esempio riportato in figura è utile alla comprensione degli effetti del precarico nell equazione di moto, in particolare nell equazione di moto in piccolo. Siano M, l 0 e k rispettivamente la massa del carrello, la lunghezza della molla a riposo e la rigidezza della molla, mentre x è indicata la coordinata libera e h la distanza tra le cerniere. L equazione di moto non lineare si scrive, al solito, partendo dalle forme di energia, in particolare si ha che l energia cinetica è forma quadratica della coordinata libera: E C = 1 2 Mẋ2 mentre l energia potenziale è dovuta al solo tributo dato dalla molla, ossia: V = 1 2 k l2 l = l l 0 dove l è la lunghezza assunta dalla molla durante il moto del sistema. Tramite Pitagora è immediato esprimere la lunghezza l in funzione della coordinata libera x: l = h 2 + x 2 l = ( h 2 + x 2) 1/2 l0

22 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. L unica derivata da calcolare per la scrittura dell equazione di moto in grande è: l x = ( h 2 + x 2) 1/2 x che permette di scrivere: Mẍ + k [ (h 2 + x 2) 1/2 l0 ] (h 2 + x 2) 1/2 x = 0 che rappresenta l equazione di moto non lineare del sistema in analisi. Linearizzando nell intorno di x = 0, posizione di equilibrio si ha che la forma quadratica dell energia potenziale è: { ( l V 1 ) 2 k 2 } 2 l x + l 0 x=0 x 2 x 2 : e l x 2 l x 2 = 0 x=0 = 1 x=0 h x=0 da cui si ottiene l equazione che descrive il moto in piccolo nell intorno di x = 0: Mẍ + k (h l 0 ) x h = 0 Mẍ + k l 0 h x = 0 sono quindi distinguibili tre casi differenti: 1. h < l 0 l 0 < 0 la molla è compressa nella posizione di equilibrio che risulta quindi essere instabile; 2. h > l 0 l 0 > 0 la molla è tesa nella posizione di equilibrio che risulta essere stabile; 3. h = l 0 l 0 = 0 la molla non è caricata nella posizione di equilibrio, il moto in piccolo risulta quindi labile. 1.6 Operativamente Dal punto di vista operativo, siderando le piccole oscillazioni nell intorno della posizione di equilibrio statico, q 0, la linearizzazione si effettua sedo i seguenti criteri: Energia cinetica Si valuta la massa generalizzata in corrispondenza della posizione di equilibrio statico, ossia si approssima: m (q) m (q 0 ) tale operazione equivale a linearizzare in partenza i legami cinematici

1.6. OPERATIVAMENTE 23 Energia potenziale La forma quadratica dell energia potenziale, trascurando i termini costanti e lineari, è: { V 1 ( ) 2 } l k + k l 2 l 0 2 q q 0 q 2 + mg 2 h q0 q 2 (q q 0 ) 2 q0 quindi se i legami cinematici h (q) e l d (q) sono tali percui 2 h q 2 q0 = 0 e 2 l q 2 q0 = 0 il termine di richiamo gravitazionale e il precarico statico delle molle non compaiono nelle equazioni di moto ossia i legami cinematici l d (q) possono essere linearizzati in partenza. Se si ha invece che 2 h q 2 q0 0 nelle equazioni di moto compare il termine di rigidezza equivalente dovuto al richiamo gravitazionale. Il termine 2 l q 2 q0 è invece quasi sermpre nullo in tutti i casi pratici altrimenti valgono le siderazioni viste nel paragrafo 1.5 Funzione dissipativa Come per l energia cinetica si valuta lo smorzamento generalizzato nell intorno della posizione di equilibrio statico, ossia: r (q) r (q 0 ) è quindi possibile il calcolo della funzione dissipativa linearizzando in partenza i legami cinematici Lavoro virtuale Si possono linearizzare in partenza i legami cinematici

24 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1.7 Esercizio 1 + m 1, J 1, R θ 0 m 2, J 2, L k Il sistema meccanico ad un grado di libertà rappresentato in figura è composto da un disco omogeneo - massa m 1, momento d inerzia baricentrico J 1 e raggio R - che rotola senza strisciare su un piano orizzontale. A tale disco è solidale un asta omogenea di massa m 2, lunghezza L e momento d inerzia baricentrico J 2 collegata a terra tramite la molla di rigidezza k. La posizione di equilibrio rappresentata in figura è definita da θ 0 = 30. Si chiede di scrivere l equazione di moto non lineare e di calcolare la lunghezza della molla scarica affinchè θ 0 sia posizione di equilibrio statico. Nell intorno di tale posizione si linearizzi l equazione di moto. 1.7.1 Scrittura dell equazione di moto non lineare Scelta come coordinata libera θ, rotazione assoluta del disco, positiva in senso antiorario tata a partire dalla posizione di equilibrio statico, si procede sedo lo schema proposto nel paragrafo 1.1, si scrivono cioè le quantità energetiche utilizzando delle coordinate fisiche di comodo. Energia cinetica: E C = 1 2 m 1v 2 G D + 1 2 J 1ω 2 1 + 1 2 m 2v 2 G A + 1 2 J 2ω 2 2 dove G D e G A sono stati indicati i baricentri di disco e asta. Energia potenziale: V = V g + V k = m 2 gh GA + 1 2 k l2 Fissato un sistema di riferimento assoluto xy l origine posta nel centro ruota, quando questa si trova nella posizione di equilibrio, si definiso i legami

1.7. ESERCIZIO 1 25 cinematici. Essendo l asta incastrata al disco non è permessa la rotazione relativa, si ha quindi che le velocità angolari dei due corpi sono tra loro uguali e pari alla derivata rispetto al tempo della coordinata libera: ω 2 = ω 1 = θ Tramite il vincolo di rotolamento senza strisciamento è immediato il calcolo della velocità del centro ruota: La velocità del baricentro dell asta è: v GD = R θ v GA = v GD + ω 1 (G A G D ) ma il metodo più semplice per calcolare tale velocità è definire la posizione del punto G A nel sistema di riferimento assoluto fissato e derivare rispetto al tempo le espressioni delle coordinate cartesiane così ottenute: { xga = Rθ + L 2 sin (θ + θ 0) y GA = L 2 cos(θ + θ 0) La figura 1.12 mostra il sistema meccanico in analisi in una generica posizione deviata rispetto alla posizione di equilibrio statico. y x θ + θ 0 Fig. 1.12 Sistema meccanico in analisi in una generica posizione deviata ẋ GA = R θ + L 2 θ cos(θ + θ 0 ) ẏ GA = L θ 2 sin (θ + θ 0 )

26 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. da cui: v 2 G A = ẋ 2 G A + ẏ 2 G A = ) (R 2 + L2 4 RL cos(θ + θ 0) θ 2 I legami cinematici di interesse per la scrittura dell energia potenziale in funzione della coordinata libera sono: h GA = y GA = L 2 cos(θ + θ 0) l = l d + l 0 l d = l d L sinθ 0 = l d l i dove l d è indicata la lunghezza assunta dalla molla nella generica posizione del sistema durante il suo moto, ovvero: l d = Rθ + L sin(θ + θ 0 ) mentre l i si è indicata la lunghezza della molla quando il sistema si trova nella posizione di equilibrio statico, ossia per θ = 0. Tali relazioni permettono di esplicitare l allungamento della molla rispetto alla coordinata libera: l = Rθ + L sin(θ + θ 0 ) L sinθ 0 + l 0 Sostituendo alle coordinate fisiche la loro definizione in funzione della coordinata libera tramite i legami cinematici si ottengono l energia cinetica e l energia potenziale in funzione di θ e di θ. Energia cinetica: E C = 1 ( m1 R 2 ) + J 1 + J θ2 2 + 1 ) 2 2 m 2 (R 2 + L2 4 RL cos(θ + θ 0) θ 2 = 1 2 J (θ) θ 2 J (θ) = m 1 R 2 + J 1 + J 2 + m 2 R 2 + m 2 L 2 Energia potenziale gravitazionale: Energia potenziale elastica: V G = m 2 g L 2 cos(θ + θ 0) 4 RL cos(θ + θ 0) V K = 1 2 k ( Rθ + L sin(θ + θ 0) L sinθ 0 + l 0 ) 2 In questo modo sono state definite tutte le quantità necessarie alla scrittura delle equazioni di moto tramite l espressione di Lagrange, in particolare è necessario calcolare: J (θ) = m 2 RL sin(θ + θ 0 ) θ h G2 (θ) = L θ 2 sin(θ + θ 0)

1.7. ESERCIZIO 1 27 l(θ) θ = R + L cos(θ + θ 0 ) L equazione di moto non lineare risulta essere: J (θ) θ + 1 2 m 2RL sin(θ + θ 0 ) θ 2 + +k ( Rθ + L sin(θ + θ 0 ) L sinθ 0 + l 0 )( R + L cos(θ + θ 0 )) + +m 2 g L 2 sin (θ + θ 0) = 0 dove rimane incognita la lunghezza della molla indeformata. 1.7.2 Calcolo del precarico statico Il precarico statico della molla si calcola sapendo che θ 0 è una dizione di equilibrio cioè un punto di stazionarietà del potenziale: da cui si ha: V θ = 0 θ=0 k l 0 (L cosθ 0 R) = m 2 g L 2 sin θ 0 l 0 = m 2gL 2k sin θ 0 L cosθ 0 R L equilibrio statico alla rotazione rispetto al punto di tatto tra la ruota m 1 g T N m 2 g k l 0 Fig. 1.13 Schema delle forze statiche agenti sul sistema e la guida orizzontale permette di verificare l allungamento statico calcolato, siderando le forze statiche mostrate in figura 1.13 m 2 g L 2 sin θ 0 + k l 0 (L cosθ 0 R) = 0

28 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1.7.3 Linearizzazione La forma quadratica dell energia cinetica, come spiegato nel paragrafo 1.3, si ottiene valutando il momento d inerzia generalizzato alla coordinata libera nella posizione di equilbrio, ossia: ( ) J (θ 0 ) = m 1 R 2 + J 1 + J 2 + m 2 R 2 + L2 3 4 RL 2 Mentre si calcola la forma quadratica dell energia potenziale, 1.3, valutando le seguenti quantità nell intorno della posizione di equilibrio: 2 h G2 (θ) θ 2 = L 2 cos(θ + θ 0) = L 3 θ=0 4 2 l θ 2 = L sin(θ + θ 0) θ=0 = L 2 l θ = R + L cos(θ + θ 0) θ=0 = R + L 3 2 la forma quadratica dell energia potenziale è allora: V V θ=0 + 1 { kl 2 2 + m 2g L ( ) } 3 1 θ 2 4 Applicando Lagrange si ricava l equazione di moto in piccolo nell intorno di θ = 0: ( J (θ 0 ) θ + kl 2 + m 2g L ( ) ) 3 1 θ = 0 4

1.8. ESERCIZIO 2 29 1.8 Esercizio 2 A L O 1 + m, J, L G k + O 2 B L Il quadrilatero articolato in figura è composto da due aste prive di massa, lunghe L, O 1 A e O 2 B, e da una terza asta omogenea, AB, di massa m e momento d inerzia J, lunga L. Una molla di rigidezza k è disposta sedo una diagonale del quadrato ed è precaricata in modo che la posizione rappresentata in figura sia di equilibrio statico. Si chiede di scrivere l equazione di moto non lineare e di calcolare il precarico statico affinchè la posizione indicata in figura sia di equilibrio statico e si determini se tale posizione è stabile. Si scriva inoltre l equazione che descrive il moto in piccolo nell intorno della posizione di equilibrio assegnata. 1.8.1 Scrittura dell equazione di moto non lineare Scelta come coordinata libera θ, la rotazione assoluta della biella superiore, positiva in senso antiorario tata dalla posizione di equilibrio statico, si procede sedo lo schema proposto nel paragrafo 1.1, scrivendo dapprima le quantità energetiche in coordinate fisiche di comodo. Energia cinetica: E C = 1 2 mv2 G avendo indicato v G la velocità del baricentro G dell asta AB, dotata di massa, posto al centro dell asta stessa poichè essa è omogenea. Compare solo un termine perchè l asta di massa m si muove di moto puramente traslatorio, in quanto il sistema analizzato è un parallelogramma articolato. Energia potenziale: V = V g + V k = mgh G + 1 2 k l2

30 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. La figura 1.14 mostra il sistema articolato nella generica posizione deviata, ed il sistema di riferimento assoluto xy origine posta nella cerniera a terra O 1. Passiamo ora a definire i legami cinematici tra le variabili fisiche di comodo adottate per la scrittura delle forme energetiche e la variabile indipendente θ scelta per descrivere il moto del sistema. y θ A O 1 x G O 2 B Fig. 1.14 Il quadrilatero articolato in una posizione generica assunta durante il moto del sistema E immediato calcolare la relazione cinematica che definisce la velocità del baricentro G; poichè l asta si muove di moto traslatorio tutti i suoi punti hanno la stessa velocità, ossia: v A = v G = L θ da cui si ha che l energia cinetica in funzione della coordinata libera è: E C = 1 2 ml2 θ2 Il momento d inerzia generalizzato è quindi costante al variare della posizione del sistema, si ha cioè che l energia cinetica è direttamente una forma quadratica. J (θ) = ml 2 = cost. Per definire l energia potenziale in funzione della coordinata libera devono essere esplicitate le relazioni cinematiche che permettono di esprimere la posizione verticale del baricentro G: V g = mgh G = mgy G

1.8. ESERCIZIO 2 31 y G = L 2 L sinθ e l allungamento della molla: l = l d + l 0 l d = l L 2 dove l è stata indicata la lunghezza assunta dalla molla durante il moto del sistema, mentre L 2 è la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio statico. A questo punto deve essere definita la lunghezza assunta dalla molla durante il moto del sistema: l = x 2 P + y2 P : { xp = L cosθ y P = L L sinθ da cui si ha: l = L 2 + L 2 sin 2 θ + L 2 cos 2 θ + 2L 2 sin θ = L 2 1 + sin θ l allungamento della molla risulta essere allora: l d = L ( 1 ) 2 + sinθ 1 l = L ( 1 ) 2 + sinθ 1 + l 0 a questo punto sono definite in funzione della coordinata libera tutte le quantità necessarie alla scrittura dell equazione di moto, applicando quanto mostrato nel paragrafo 1.1, si ottiene: J (θ) = 0 θ da cui: h G (θ) θ l(θ) θ = L cos(θ) = L cosθ 2 2 1 + sin θ ml 2 θ mgl cosθ + k [L ( 1 ) ] 2 + sin θ 1 + l 0 L cosθ 2 2 1 + sin θ = 0 che è l equazione di moto in grande del sistema analizzato.

32 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1.8.2 Precarico statico della molla Per calcolare il precarico statico della molla si impone che la posizione di equilibrio del sistema θ = 0 sia un punto di stazionarietà dell energia potenziale: V L 2 θ = 0 mgl + k l 0 = 0 θ=0 2 da cui si ha che l allungamento statico risulta essere: l 0 = mg 2 k H 1 mg k l 0 H 2 Fig. 1.15 Schema delle forze statiche agenti sul sistema Facendo riferimento alla figura 1.15 si scrive l equilibrio statico alla traslazione in direzione verticale, si ottiene il medesimo risultato ottenuto tramite l approccio energetico, ossia: mg = k l 0 2 2 l 0 = mg 2 k Si osserva che sedo le venzioni adottate l 0 > 0 corrisponde ad una dizione di molla allungata, ossia in trazione. 1.8.3 Linearizzazione Essendo, come detto, il momento d inerzia ridotto costante l energia cinetica è una forma quadratica e quindi da luogo a soli termini lineari nell equazione di moto, la forma quadratica dell energia potenziale si ottiene tramite lo sviluppo in serie di Mac Laurin al sedo ordine, come mostrato nel paragrafo 1.3: V k V k0 + 1 2 { k ( l θ ) 2 2 l + k l 0 θ=0 θ 2 θ=0 } θ 2

1.8. ESERCIZIO 2 33 V g V g0 + 1 2 mg 2 h θ 2 θ 2 θ=0 { ( )} V k + V g V k0 + V g0 + 1 k L2 2 2 + mg 2 L 2 4 quindi l equazione di moto lineare, che descrive il moto in piccolo nell intorno di θ = 0, è: ml 2 θ ( + k L2 2 mgl ) θ = 0 2 I termini di rigidezza che compaiono nell equazione di moto sono dovuti rispettivamente alla rigidezza generalizzata della molla e al termine di souplesse, è invece nullo il tributo del richiamo gravitazionale essendo nulla la derivata seda della posizione verticale del baricentro G valutata nella posizione di equilibrio. θ 2

34 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1.9 Esercizio 3 O + G G m, J, r C Il disco riportato in figura, di massa m, momento d inerzia baricentrico J e raggio r, ha il baricentro G eccentrico rispetto al centro ruota C di una quantità GC, pari ad r/2 e rotola senza strisciare su una guida circolare di raggio R. Per tale sistema meccanico si scriva l equazione di moto non lineare, si calcolino le posizioni di equilibrio statico nelle ipotesi R = 4r e R = 2r. Nel caso in cui R = 2r si verifichi che la posizione indicata in figura sia di equilibrio e si scriva l equazione di moto linearizzata nell intorno di tale posizione. 1.9.1 Analisi cinematica del sistema Fissata l origine del sistema di riferimento nella posizione del centro ruota, C, nella figurazione indicata in figura è scelta come coordinata libera la rotazione assoluta del disco, θ, tata positiva antioraria a partire dalla direzione verticale. E immediato indicare le relazioni cinematiche in termini di velocità: indicando α l angolo spazzato dal raggio R r che unisce il centro della guida O alla traiettoria del centro ruota C si ha che: v C = α (R r) = r θ ossia devono essere uguali la velocità del centro ruota espressa tramite la velocità angolare attorno al centro dell guida O e sfruttando il centro di istantanea

1.9. ESERCIZIO 3 35 rotazione. In termini di rotazione si ha che le relazioni cinematiche, facendo riferimento alla figura 1.16 dove è riportato il sistema al tempo t 0 e in un istante successivo t, sono: PP = Rα Ovvero l arco compreso tra il punto P e il punto P, ossia i centri di istantanea rotazione nei due istanti di tempo siderati, è pari all arco descritto dal raggio R per l angolo alpha definito come da figura 1.16. Il punto P è il punto della cirferenza del disco che andrà a tatto la via di corsa nell istante di tempo bart, da cui si ha che: PP = PP = rθ rel dove θ rel si è indicata la rotazione relativa del disco rappresentata dall angolo PCP. L angolo α rappresenta la rotazione di trascinamento che subirebbe il disco se fosse rigidamente collegato al raggio (R r), mentre l angolo θ rel sarebbe la rotazione che il disco effettuerebbe su una guida piana per percorrere la distanza PP, ossia quella vista da un sistema di riferimento rotante cui assi si mantengono sempre disposti direzione tangente e norma alla guida circolare. Con le venzioni adottate si ha allora: θ = θ rel α θ rel = θ + α Rα = r (θ + α) Rα rα = rθ α = r R r θ come già ottenuto in precedenza. Ossia la rotazione assoluta del disco può essere ricavata sommando alla rotazione relativa θ rel quella di trascinamento α effettuata dalla terna mobile centrata in O. 1.9.2 Scrittura dell equazione di moto non lineare L energia cinetica del sistema, espressa in coordinate fisiche, è dovuta al moto rototraslatorio del disco che si muove sulla guida circolare ed è pari: E C = 1 2 mv2 G + 1 2 Jω2 D Preso un sistema di riferimento assoluto centrato in O, le relazioni cinematiche calcolate permettono di esprimere la posizione del baricentro in funzione della coordinata libera: { xg = (R r)sin α + r 2 sin θ y G = (R r) cosα + r 2 cosθ

36 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. R α R r θ G P G C C P P Fig. 1.16 Coordinata libera, θ, e angolo α spazzato dal raggio R r da cui segue sostituendo α la sua definizione in funzione di θ: ( ) r x G = (R r)sin R r θ + r 2 sinθ ( ) r y G = (R r) cos R r θ + r 2 cosθ per il calcolo delle due componenti di velocità si derivano le espressioni della posizione rispetto al tempo: ẋ G = r θ ( ( ) ) r cos R r θ + 1 2 cosθ ẏ G = r θ ( ( sin ) r R r θ 1 2 sin θ ) La velocità angolare del disco è pari alla derivata rispetto al tempo della coordinata libera, che esprime la rotazione assoluta del disco. L energia cinetica è quindi pari a: ω D = θ E C = 1 2 mẋ2 G + 1 2 mẏ2 G + 1 2 J θ 2 da cui si ha: E C = 1 { [ ( )] 5 r mr 2 2 4 + cos R r θ + θ } + J θ 2

1.9. ESERCIZIO 3 37 L energia potenziale ha solo il tributo dovuto al campo di forze gravitazionale ed avendo già calcolato la posizione verticale del baricentro è immediato passare dalla coordinata fisica alla coordinata libera: V g = mgh G = mgy G = mg { (R r) cos ( ) r R r θ + r2 } cosθ I termini necessari alla scrittura dell equazione di moto non lineare sono: [ ( J (θ) = mr 2 sin θ 1 + r )] ( 1 + r ) θ R r R r ( ) h G r θ = r sin R r θ r 2 sin θ da tali termini si ha che l equazione non lineare del moto risulta essere: [ ( ) ] 5 r mr 2 4 + cos R r θ + θ + J θ 1 [ ( 2 mr2 sin θ 1 + r )] ( 1 + r ) θ 2 + R r R r [ ( ) r +mg r sin R r θ r2 ] sin θ = 0 1.9.3 Calcolo della posizione di equilibrio Al solito si impone che la derivata dell energia potenziale rispetto alla coordinata libera sia nulla nella posizione di equilibrio, R = 4r [ ( ) V θ θ = 0 mg sin 12 ] θ=0 3 sin θ = 0 le cui soluzioni sono: sin θ 3 = 1 2 sin θ che si ottengono graficamente come riportato nella figura 1.17 Con R = 2r si ha che la posizione di equilibrio è data dalle soluzioni di: sin θ 1 = sinθ θ = 0 + kπ 2

38 CAPITOLO 1. SISTEMI MECCANICI NON LINEARI AD UN G.D.L. 1 0.8 0.6 0.4 sin(θ/3); sin(θ)/2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 θ Fig. 1.17 Soluzione grafica per il calcolo della posizione di equilibrio statico 1.9.4 Linearizzazione nella dizione 2 (R = 2r) Affinchè l energia cinetica sia una forma quadratica, il momento d inerzia ridotto deve essere valutato nella posizione di equilibrio, ossia: ( ) 5 J (θ 0 ) = 4 mr2 + mr 2 + J La forma quadratica dell energia potenziale risulta essere: 2 ( ) h G r r θ 2 = r cos θ=0 R r θ R r r 2 cosθ V 1 θ=0 2 L equazione del moto linearizzata nell intorno di θ = 0 è allora: ( ) 5 4 mr2 + mr 2 + J θ + mg r 2 θ = 0 ( mg r ) θ 2 2

1.10. ESERCIZIO 4 39 1.10 Esercizio 4 L L k C m d, J d, R Il disco riportato in figura, di massa m d, momento d inerzia J d e raggio R, rotola senza strisciare su una guida circolare di raggio L + R. Nel centro ruota C è vincolato tramite una cerniera un corsoio di massa m c, momento d ineriza J c, una molla di rigidezza k è inserita nella guida prismatica nella quale scorre il corsoio stesso. Considerando che la posizione rappresentata nella figura è di equilibrio la molla è scarica, si scriva l equazione di moto non lineare e l equazione di moto linearizzata nell intorno di tale posizione. 1.10.1 Analisi cinematica del sistema Facendo riferimento alla figura 1.18 si nota che il triangolo COA è isoscele, ossia: 2β = π 2 + α = π Si sceglie α come coordinata libera. { α = π 2 2β β = π 4 α 2