78 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE. COSA SI INTENDE PER TRASFORMAZIONE PIANA Si dice rasformazione geomerica piana, o brevemene rasformazione piana, una corrispondenza biunivoca del piano con sé sesso, ossia una corrispondenza nella quale ad ogni puno del piano corrisponde uno e un solo alro puno del piano e, viceversa, ogni puno è il corrispondene di uno e un solo alro puno. Esempio Definiremo ora una corrispondenza fra puni del piano, che verrà chiamaa omoeìa (nel seguio omeeremo l acceno). Un omoeia è caraerizzaa da un cenro di omoeia e da un rapporo di omoeia. Vediamo di cosa si raa, considerando, per meglio fissare le idee, un caso paricolare: supporremo che il rapporo di omoeia, che indicheremo con k, sia uguale a 3. Sia O un puno fissao del piano. L omoeia di cenro O e rapporo k=3 fa corrispondere (vedi figura) ad ogni puno P del piano quel puno P' del piano, ale che: I. P ' sa sulla semirea OP; II. OP' = 3OP E evidene che in queso modo risula definia una corrispondenza biunivoca del piano con sé sesso : infai ad ogni puno del piano resa associao uno ed un solo alro puno; e viceversa, ogni puno del piano porà essere viso come il corrispondene di uno ed un sol puno. Quindi siamo in presenza di una rasformazione geomerica piana. Diremo che P ' è il corrispondene di P, o anche l immagine di P, araverso la rasformazione consideraa e, se indichiamo ale rasformazione con, poremo scrivere P' = (P) (leggi: P' è uguale a di P ) oppure P P' (leggi: fa passare da P a P', oppure: P' è l immagine di P araverso la ) Il puno P, a sua vola, verrà deo la conroimmagine di P'. Quando si vuole affermare che fa corrispondere al puno P, il puno P', si adopera spesso una locuzione suggesiva: si dice che mua P in P ', oppure rasforma P in P'. Dal puno di visa psicologico, ciò equivale a: a) parire dal puno P b) applicare la funzione c) e poi andare a considerare l immagine P' dimenicandosi del puno P iniziale. Nella nosra mene, ora, non c è più P, c è invece P' : P è divenao P', si è rasformao in P' La quesione, però, è solano psicologica. In realà, il puno P è rimaso al suo poso, e abbiamo semplicemene sabilio di fargli corrispondere P', come se una freccia parisse da P e avesse la sua puna in P'.
79 Prendiamo ora un riangolo ABC, disegniamo innanziuo le immagini A', B', C' dei suoi re verici araverso la solia omoeia di cenro O e rapporo 3, e cosruiamo la figura cosiuia da ui i puni che corrispondono ai puni del lao BC (brevemene: la figura cosiuia da ue le immagini dei puni di BC). Si consaa, e si porebbe dimosrare in modo rigoroso, che le immagini dei puni del segmeno BC cosiuiscono, nel loro insieme, ancora un segmeno, e precisamene il segmeno BC ' ', ossia quello avene per esremi il puno B' (che è l immagine di B) e il puno C' (che è l immagine di C). Si dice, brevemene, che l immagine del segmeno BC è il segmeno BC ' ', e si può scrivere ( BC) = B' C'. Analogamene, l immagine del segmeno AB non è alro che il segmeno A'B', e l immagine del segmeno AC coincide col segmeno A'C'. Insomma, la nosra omoeia rasforma segmeni in segmeni! Prendendo poi un puno P che sia inerno al riangolo ABC, la sua immagine P' sarà inernamene al riangolo A'B'C', e complessivamene l insieme dei puni inerni ad ABC risula avere come immagine l insieme dei puni inerni ad A' B'C'. In definiiva, si vede che quesa corrispondenza rasforma il riangolo ABC nel riangolo ABC ' ' '. Si porebbe provare che il nuovo riangolo è simile al vecchio, con perimero riplo e area che è 9 vole l area del riangolo iniziale. Per significare che l insieme delle immagini dei puni del riangolo ABC, cosiuisce il riangolo ABC ' ' ' si può scrivere ( ABC) = A' B' C' e dire, appuno, che la «rasforma il riangolo ABC nel riangolo A'B'C'». Cliccando su quesa freccia, porai vedere una bella figura dinamica GEOGEBRA (grazie al creaore di queso fanasico freeware, l ausriaco Marcus Hohenwarer!) che mosra all opera un omoeia il cui cenro e il cui rapporo possono essere fissai dall uene. E possibile pure scegliere di far sì che il rapporo di omoeia k sia <0. Delle omoeie con rapporo negaivo, comunque, ci occuperemo più avani. Esempio Un alro bell esempio di rasformazione piana è la simmeria assiale. Sia a una rea fissaa su di un piano. Si dice simmeria assiale di asse a quella corrispondenza (vedi figura) che ad ogni puno P del piano fa corrispondere quell alro puno P' oenuo racciando da P la perpendicolare PH alla rea a, e prolungando il segmeno PH di un segmeno HP ' = PH. Cliccando su quesa freccia, ecco una figura GEOGEBRA per vedere all opera una simmeria assiale. In paricolare, rascinando col mouse il puno Q della figura, che è vincolao a resare sul conorno di ABC, consaerai come anche in queso caso la rasformazione mui segmeni in segmeni.
ESERCIZI ) Considera l omoeia avene per cenro il puno O della figura soosane, e rapporo k = /. 80 a) Deermina le immagini A', B', C', D' dei verici del reangolo ABCD. b) Qual è l immagine di O nella rasformazione? c) Deermina le conroimmagini A*, B*, C*, D* dei verici di ABCD. Vai a vedere la soluzione ) Nella figura soo riporaa rovi un reangolo ABCD e una rea a. a) Disegna le immagini A', B', C', D', e le conroimmagini A*, B*, C*, D*, dei verici di ABCD, nella simmeria assiale di asse a. b) Quali sono, qui, i puni del piano che coincidono con la propria immagine (puni unii )? Vai a vedere la soluzione Semplici rasformazioni geomeriche con GEOGEBRA Fermo resando che innanziuo devi saper svolgere gli esercizi su cara, con maia, righello e squadra, il freeware GeoGebra permee, fra le anissime cose, anche di sooporre una figura a qualche rasformazione geomerica fondamenale. L icona che serve a queso scopo è facilmene riconoscibile, e il messaggio di HELP che si può far comparire con la pressione di F sulla asiera i spiega come fare.
8. UN CONTROESEMPIO Conroesempio: una corrispondenza fra puni del piano, che non sia una rasformazione. Se consideriamo su di un piano una rea r fissaa e facciamo corrispondere ad ogni puno P del piano la sua proiezione P' su r, quesa corrispondenza NON avrà il dirio di essere chiamaa rasformazione piana, per il fao che NON E BIUNIVOCA! Se è infai vero che ad ogni puno del piano corrisponde uno ed un solo alro puno, non vale invece il viceversa: infai, preso un puno del piano, esso avrà: infinie conroimmagini, qualora apparenga alla rea r; nessuna conroimmagine, se non appariene ad r. 3. L IMMAGINE DI UN SEGMENTO ATTRAVERSO UNA TRASFORMAZIONE PIANA Un dubbio. Ma in una rasformazione piana, l immagine di un segmeno è sempre ancora un segmeno? Negli esempi precedeni (una omoeia di rapporo 3; una simmeria assiale) abbiamo viso (empiricamene, senza ancora una dimosrazione rigorosa) che l immagine di un segmeno risulava essere ancora un segmeno. In effei, le rasformazioni più comuni sono quelle che muano segmeni in segmeni. Esisono però anche delle rasformazioni che NON si comporano in queso modo. Per fare un esempio, consideriamo un piano nel quale sia sao fissao un riferimeno caresiano. Possiamo pensare alla corrispondenza P P' definia (uilizzando le coordinae) nel modo seguene: = x P( x, ) P'( x', '), con 3 ' = 0 La corrispondenza è biunivoca, in quano: non solo ad ogni puno ( x, ) corrisponde uno ed un solo alro puno ( x', ') ma è anche vero che ogni puno del piano risula essere il corrispondene di uno ed un solo alro puno, come si può verificare inverendo le equazioni della rasformazione: x= x' 3 = 0 ' Di qui si vede che per ogni puno del piano, esise ed è unica la rispeiva conroimmagine. Se ora consideriamo ad esempio il segmeno di esremi A(0,) e B(4,5) e andiamo a disegnare le immagini dei suoi puni, ci rendiamo cono che ali immagini non cosiuiscono un segmeno, bensì un arco di curva! N O T A Osserviamo, per inciso, che se avessimo preso invece la corrispondenza definia dalle equazioni { x ' = x ' = quesa NON avrebbe individuao una rasformazione geomerica, perché non sarebbe saa biunivoca. Infai, provando ad inverire, si sarebbe oenuo x = x' Ora, la radice quadraa precedua dal doppio segno ci dice che: =± i puni con ordinaa negaiva non hanno conroimmagine; ' quelli con ordinaa posiiva ce l hanno ma non è unica.
8 4. TRASFORMAZIONI PIANE MOLTO SPECIALI: LE AFFINITA E, IN PARTICOLARE, LE ISOMETRIE Si dicono AFFINITA quelle rasformazioni che MUTANO RETTE IN RETTE, CONSERVANDO L ORDINE DEI PUNTI ALLINEATI ( = se A, B, C sono allineai, con B compreso fra A e C, dee A', B', C' le rispeive immagini, anche A', B', C' sono ceramene allineai, con B' compreso fra A' e C' ). Dalla definizione si rae immediaamene che un affinià mua sempre una semirea in un alra semirea, e un segmeno in un alro segmeno. Alra conseguenza della definizione è che l immagine, araverso un affinià, di un riangolo (compresi i puni inerni di queso) è sempre ancora un riangolo; queso enunciao, vero per ue le affinià, è un po noioso da provare e noi ne preseneremo la dimosrazione nel successivo paragrafo 5, riferendoci al caso paricolare delle isomerie (uavia, si può verificare che gli sessi ragionameni lì uilizzai funzionerebbero perfeamene anche se esesi ad una affinià qualsiasi). L omoeia e la simmeria assiale sono due esempi di affinià (noi per ora l abbiamo consaao empiricamene; il Teorema fondamenale sulle isomerie qui soo riporao, insieme con lo specchieo del successivo paragrafo 6, consene di dimosrarlo per la simmeria assiale, menre per l omoeia la dimosrazione è una conseguenza del conenuo dei successivi paragrafi 5 e 6). Si dicono ISOMETRIE quelle rasformazioni che CONSERVANO LE DISTANZE : cioè, una rasformazione è un isomeria se e solo se, per ogni coppia di puni A, B, indicae con A', B' le rispeive immagini, si ha sempre A'B' = AB. La simmeria assiale è un isomeria (immediao da consaare, dimosrazione nel successivo par. 6), l omoeia non lo è. TEOREMA FONDAMENTALE SULLE ISOMETRIE OGNI ISOMETRIA E ANCHE UN AFFINITA, ossia: se una rasformazione piana è un isomeria ( = conserva le disanze ), allora ceramene quella rasformazione piana mua ree in ree, conservando l ordine dei puni allineai (e, di conseguenza, mua semiree in semiree e segmeni in segmeni). Dimosrazione Prendiamo re puni A, B, C ALLINEATI ( = giaceni su di una sessa rea), con B compreso fra A e C. Se è un isomeria, poso A' = (A), B' = (B), C' =(C), risulerà A'B' = AB, A'C' = AC, B'C' = BC. Essendo allora AB + BC = AC, sarà anche A'B' + B'C' = A'C'. Ma ques ulima relazione può sussisere solano se i re puni A', B', C' sono a loro vola fra loro allineai, con B' compreso fra A' e C'. Infai se i re puni non fossero allineai varrebbe invece la disuguaglianza riangolare A' B' + B'C' > A'C' menre se A', B' e C' fossero allineai, ma con B' non compreso fra A' e C', varrebbe un alra uguaglianza, ma non quella in quesione. Così la esi è sosanzialmene dimosraa. Infai abbiamo fao vedere che un isomeria mua sempre una erna di puni allineai in un alra erna di puni allineai, conservando l ordine dei puni in gioco; ma ora, daa una rea r, qualche considerazione supplemenare (che esporremo qui di seguio, nel riquadro) consenirà di provare che la sua immagine è ancora una rea.
Infai, fissai a piacere su r due puni H e K, consideriamo le rispeive immagini H', K' : un qualsivoglia puno P della rea r verrà ceramene rasformao, in virù di quano già dimosrao, in un puno allineao con H' e K', quindi in un puno facene pare della rea H'K'. Con ciò abbiamo provao che le immagini dei puni di r =HK, sanno ue sulla rea H' K'. 83 Si porebbe a queso puno rienere la dimosrazione conclusa invece, se ci pensi bene, non è così! In effei, resa ancora da dimosrare che la rea H'K' è compleamene riempia dalle immagini dei puni di r, ossia che OGNI puno di ale rea è l immagine di un puno di r. Coraggio dunque! Al nosro scopo, formuliamo innanziuo un ovvia osservazione preliminare: la corrispondenza inversa di un isomeria è ancora un isomeria (NOTA). Ma allora, riorniamo alla nosra coppia di ree r = HK, H' K'. Fin qui, abbiamo dimosrao che l immagine di ciascun puno della rea HK, sa sulla H'K' : e ciò prova che l insieme delle immagini dei puni di HK è un SOTTOINSIEME della H'K'. Se adesso pensiamo all isomeria inversa della, allo sesso modo l insieme delle immagini dei puni della rea H'K' araverso ale rasformazione inversa andrà a cosiuire un sooinsieme della rea HK. Dunque, preso un qualsivoglia puno della H'K', la sua immagine araverso l isomeria inversa della sarà un cero puno, apparenene alla HK; ciò significa che la conroimmagine, rispeo alla, di quel puno arbirario di H'K', sa su HK: ma allora OGNI puno della H'K' è immagine, araverso la, di un puno della HK. E con ciò, la dimosrazione del Teorema Fondamenale è finalmene compleaa. NOTA Dea i una qualsivoglia isomeria, consideriamo la corrispondenza inversa, che indicheremo con i. La i, ossia la corrispondenza che, rispeo alla i, fa ornare indiero ( = fa corrispondere ad un puno del piano, quello che ne era la CONTROimmagine araverso la i ) è anch essa, come la i, una corrispondenza biunivoca (anziché dalle asole ai booni, fa passare dai booni alle asole!) e conserva le disanze: infai, dei A', B' due generici puni del piano, e dee A, B le loro immagini araverso la i (ossia, le loro conroimmagini araverso la i ) avremo AB = A'B', per il fao che A' e B' sono le immagini di A e B araverso la i, che è un isomeria. UNA PUNTUALIZZAZIONE IMPORTANTE Quando abbiamo dao la definizione di isomeria, che i invio a rileggere, abbiamo scrio che in un isomeria, per qualsiasi coppia di puni A, B, si ha sempre A 'B' = AB. Vorrei ora soolineare un fao: con ciò, NON savamo affao dando per sconao che il segmeno A'B' fosse l immagine del segmeno AB. Voglio dire: A ' era l immagine di A, e B' era l immagine di B, ma non era assoluamene soineso che i puni inerni al segmeno AB avessero come immagini i puni inerni del segmeno A'B'. Ma ora, dopo aver dimosrao il Teorema Fondamenale, resa definiivamene sabilio che in una isomeria un segmeno viene sempre rasformao in un segmeno. Precisamene, in un segmeno uguale ( = congruene, cioè sovrapponibile ramie un movimeno rigido) a quello di parenza; e avene per esremi gli esremi del segmeno di parenza.
5. TEOREMI SULLE ISOMETRIE 84. In un isomeria a ree incideni corrispondono ree incideni, e a ree parallele corrispondono ree parallele.. In ogni isomeria l immagine di un riangolo è sempre ancora un riangolo, uguale ( = congruene) a quello di parenza. 3. In ogni isomeria ad un angolo corrisponde sempre un angolo, uguale a quello di parenza. 4. In ogni isomeria ad un poligono corrisponde sempre un poligono, uguale a quello di parenza. Dimosrazione del eorema Siano a, b due ree incideni, e a', b' le rispeive ree immagini araverso un isomeria i (sappiamo che un isomeria è anche un affinià, quindi l immagine di una rea araverso un isomeria è sempre ancora una rea). Deo W il puno di inersezione fra a e b, l immagine W' di W dovrà apparenere ano alla rea a' quano alla rea b', le quali perano saranno anch esse incideni. Se invece a, b sono due ree parallele, le loro immagini a', b' dovranno pure essere parallele, perché se, per assurdo, avessero un puno in comune, la conroimmagine di queso puno dovrebbe apparenere sia alla rea a che alla rea b, che quindi non sarebbero parallele, conro quano supposo. Dimosrazione del eorema Sia i un isomeria, e sia ABC un riangolo. Vogliamo innanziuo dimosrare che l insieme delle immagini dei puni di ABC cosiuisce ancora un riangolo; successivamene, faremo vedere che ale riangolo è uguale ad ABC. Sia dunque: A ' = i(a), B' = i(b), C' = i(c). Poiché un isomeria mua segmeni in segmeni, l insieme delle immagini dei puni del segmeno AB andrà a cosiuire il segmeno A'B' (brevemene: l immagine del segmeno AB sarà il segmeno A'B' ), e analogamene per gli alri due lai. Insomma, i(ab) = A'B', i(ac) = A'C', i (BC) = B'C' : il conorno di ABC si mua nel conorno di A' B'C'. Occorre ora provare che ogni puno P inerno ad ABC ha come immagine un puno P', che è inerno ad A'B'C'. Sia dunque P un puno inerno ad ABC. Sia N l inersezione della semirea AP col lao BC. Il puno P appariene al segmeno AN. Sia N' = i(n). Il puno N' apparerrà a B'C', perché queso segmeno è cosiuio dalle immagini dei puni del segmeno BC; ed N sa, appuno, su BC. Ora il puno P' = i(p) dovrà apparenere al segmeno A'N', ma ques ulimo segmeno è inerno al riangolo A'B'C' ; e ciò prova che P' è inerno ad A'B'C'. Per compleare la dimosrazione, manca ancora un passaggio: bisogna far vedere che la conroimmagine di ogni puno inerno ad A'B'C' è inerna ad ABC. Sia dunque Q* un puno inerno ad A'B'C' ; indichiamo con Q la sua conroimmagine. Vogliamo far vedere che Q è inerno ad ABC. Chiamiamo S* l inersezione della semirea A'Q* col lao B'C' ; sia S la conroimmagine di S*. Teniamo presene che il puno Q* appariene al segmeno A'S*. Il puno S dovrà apparenere a BC, perché ques ulimo segmeno è cosiuio dalle conroimmagini dei puni del segmeno B'C', ed S* sa appuno su B'C'. Consideriamo ora il segmeno AS, che è inerno al riangolo ABC: l insieme delle immagini dei suoi puni va a cosiuire il segmeno A'S* ; ma ra i puni di A'S* c è anche Q*; quindi la conroimmagine Q del puno Q* sa su AS, che è inerno ad ABC (NOTA) Tuo ciò prova che l insieme delle immagini dei puni del riangolo ABC, va a cosiuire ancora un riangolo ( ABC ' ' '). Riguardo infine al fao che ABC ' ' ' sia uguale ad ABC, ciò è conseguenza immediaa del 3 Crierio di uguaglianza dei riangoli ( AB ' ' = AB, AC ' ' = AC, BC ' ' = BCper def. di isomeria). E con ciò la dimosrazione del eorema è compleaa. NOTA - Più brevemene, per far vedere che la conroimmagine di ogni puno inerno ad A'B'C' è inerna ad ABC, si sarebbe poua chiamare in causa la corrispondenza inversa della i. Come sappiamo, l inversa di un isomeria è ancora una isomeria; e per quano già dimosrao sopra, siamo ceri che le immagini, araverso la i, dei puni inerni ad A'B'C', sono inerne ad ABC. Quindi le conroimmagini, araverso la i, dei puni inerni ad A'B'C', sono inerne ad ABC.
85 6. ISOMETRIE NOTEVOLI: SIMMETRIE, TRASLAZIONI, ROTAZIONI Imporani rasformazioni piane sono le segueni: la simmeria rispeo ad un puno ( = simmeria cenrale) la simmeria rispeo a una rea ( = simmeria assiale) la raslazione di veore v la roazione di cenro O e angolo (orienao) α. Lo specchieo successivo dimosra che quese rasformazioni sono ue isomeriche. s O SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO O: :P P' ale che O sia il puno medio del segmeno PP' E' UN'ISOMETRIA PERCHE' OA'B'=OAB ( Crierio) A'B'= AB s τ SIMMETRIA ASSIALE DI ASSE a: a :P P' ale che la rea a sia l'asse del segmeno PP' TRASLAZIONE DI VETTORE v : v :P P' ale che PP' orienao = v ρ ROTAZIONE DI CENTRO O E ANGOLO ORIENTATO α : O, α : P P' ale che: ) POP' = α ) OP' = OP E' UN'ISOMETRIA PERCHE' A'HK = AHK ( Crierio) A'K = AK ea'kh = AKH da cui A' KB' = AKB (complemenari di angoli uguali) A'B'K=ABK ( Crierio) A'B' = AB E' UN'ISOMETRIA PERCHE' ABB'A' è un parallelogrammo (ha infai i due lai opposi AA', BB' paralleli e uguali) A'B' = AB E' UN'ISOMETRIA PERCHE' AOB=A'OB' in quano AOA'=BOB'= α e i due angoli AOB, A'OB' sono la differenza (o, evenualmene, se la figura fosse diversa, la somma) fra quesi due angoli uguali e uno sesso angolo ( BOA' ) AOB=A'OB' ( Crierio) A'B' = AB NOTA L angolo α si considera convenzionalmene posiivo per roazioni in senso ANTIORARIO, negaivo per roazioni in senso ORARIO
86 7. ALTRE ISOMETRIE. RELAZIONE FRA ISOMETRIE E MOVIMENTI RIGIDI a) Prima di uo, si oiene sempre un isomeria quando si compongono ( = si applicano successivamene) due qualsivoglia isomerie. Infai è immediao dimosrare che la composizione di due isomerie è ancora un isomeria. Dimosrazione Presi due puni A, B, e indicae: con A', B' le loro immagini araverso la prima delle due isomerie da applicare successivamene con A'', B'' le immagini di A', B' araverso la seconda isomeria avremo A'B' = AB e poi A''B'' = A'B', da cui A' 'B'' = AB. Ad esempio, consideriamo due puni fissi O e O, e applichiamo al generico puno P del piano innanziuo la simmeria di cenro O, oenendo un cero puno P '; poi, a queso P ', applichiamo la simmeria di cenro O, pervenendo ad un nuovo puno P ''. Possiamo ora pensare alla rasformazione che mua direamene P in P '' : bene, quesa, essendo la composizione di due isomerie, sarà ancora un isomeria. In figura è anche rappresenao un riangolo con la sua immagine araverso la prima simmeria, poi l immagine di quesa immagine araverso la seconda simmeria b) Se si pensa di far scivolare il piano su sé sesso, o di ribalare il piano inorno ad una sua rea, che rimanga ferma nel ribalameno, o di effeuare varie composizioni, ossia applicazioni successive, di ali movimeni rigidi, si individua in al modo un isomeria. Possiamo visualizzare bene queso fao uilizzando la lavagna come piano fisso, e un foglio di plasica rasparene come piano mobile sovrapposo al precedene. Facciamo un disegno sulla lavagna, appoggiamoci sopra il foglio rasparene e su queso ricalchiamo il disegno. Poi, sempre enendo il foglio rasparene a ridosso della lavagna, lo sposiamo laeralmene o vericalmene, magari anche ruoandolo. Ora sul piano della lavagna si vedono due figure, quella originaria sull ardesia e quella ricalcaa a penna sul foglio; ai vecchi puni della figura originaria corrispondono i nuovi puni della figura sul foglio. Viceversa, il eorema che cieremo fra poco ( una qualsiasi isomeria si può scomporre nell applicazione successiva di al più 3 simmerie assiali ), insieme con l ovvia osservazione che una simmeria assiale può essere evidenemene associaa ad un movimeno rigido di ribalameno del piano aorno a una sua rea, mosra che ogni isomeria, comunque sia saa definia, è SEMPRE inerpreabile come generaa da un movimeno rigido che sposi il piano per poi risovrapporlo a sé sesso. Quindi LE ISOMETRIE SONO INTIMAMENTE CORRELATE o correlabili CON I MOVIMENTI RIGIDI. E un isomeria viene dea DIRETTA o INVERSA a seconda che il movimeno rigido dal quale si può pensare generaa compori solano uno srisciameno del piano su sé sesso (isomerie diree) oppure richieda anche un ribalameno del piano inorno ad una sua rea (isomerie inverse). LA SIMMETRIA ASSIALE E UN PO LA REGINA DELLE ISOMETRIE Un eorema esremamene ineressane (ne omeiamo la dimosrazione) afferma che QUALSIASI ISOMETRIA si può sempre scomporre nel prodoo (=applicazione successiva) di AL PIU' 3 SIMMETRIE ASSIALI. Quindi la simmeria assiale, in queso senso, ci appare come la isomeria regina, quella che, volendo, può essere assuna come l' ingrediene base di qualsiasi alra isomeria. Si può poi dimosrare che componendo un numero PARI di simmerie assiali si oiene sempre una isomeria direa; componendone un numero DISPARI, si ha una isomeria inversa. L ISOMETRIA IDENTICA ( = IDENTITA ) La indicheremo col simbolo I. E l isomeria banale che lascia uo fermo : I (P) = P, P. Pur essendo banale, ha un imporanza eorica noevole.
87 8. TEOREMI SULLA COMPOSIZIONE ( = APPLICAZIONE SUCCESSIVA) DI DUE ISOMETRIE ) La composizione di due simmerie assiali con assi paralleli è una raslazione. Il veore di quesa raslazione è il doppio della disanza veoriale orienaa del asse dal. ) La composizione di due simmerie assiali con assi incideni è una roazione il cui cenro è il puno di inersezione dei due assi, e il cui angolo è il doppio dell angolo orienao individuao dai due assi, presi nell ordine. 3) La composizione di due simmerie cenrali di cenri O,O è la raslazione di veore OO. 4) La composizione di due raslazioni di veori v, v è la raslazione di veore v + v. 5) La composizione di due roazioni aveni lo sesso cenro, è ancora una roazione, avene per cenro lo sesso cenro, e per angolo di roazione la somma algebrica degli angoli delle roazioni componeni. 6) La composizione di un omoeia con un isomeria o viceversa mua sempre un riangolo in un alro simile ed è per queso chiamaa similiudine. Dimosrazione di ) Dimosrazione di ) Il simbolo sb sa indica la rasformazione che si oiene applicando i. s a al puno P iniziale, ii. poi s b al puno P' oenuo. Osserviamo che la rasformazione applicaa PER PRIMA viene scria PER ULTIMA. PP" = PP' + P'P" = HP' + P'K = ( HP' + P'K) = HK = d Nella caena, ui i segmeni vanno pensai orienai. Il veore d esprime anch esso una disanza orienaa (da a verso b) OPH = OP'H, OP'K = OP"K ( Crierio) Perciò O = O ; O = O ; OP" = OP' = OP 3 4 ( ) POP" = POP' + P'OP" = O + O = O + O = HOK = ab 3 3 Dimosrazione di 3) Dimosrazione di 4) In PP'P'', OO è la congiungene i puni medi di due lai : perciò PP'' OO PP'' = OO PP'' = OO PP'' orienao = v+ v La somma di due veori si effeua applicandoli uno di seguio all alro, per poi prendere il veore che pare dall inizio del primo e ermina sulla puna del secondo, proprio come illusrao qui a sinisra oppure con l equivalene regola del parallelogrammo
88 9. OMOTETIE CON RAPPORTO NEGATIVO, SIMILITUDINI Un omoeia di rapporo negaivo si compora nel modo illusrao dalla figura qui a fianco (dove, per fissare le idee, si è preso k = 3). In definiiva, unificando le definizioni di omoeia a rapporo posiivo e a rapporo negaivo: si dice OMOTETIA di cenro O e rapporo k ( k * = {0}, k posiivo o negaivo ) la rasformazione piana che ad un puno P associa il puno P', ale che a) P, P', O siano allineai; b) si abbia OP' = k OP, inerpreando i segmeni come orienai (in praica, come rappresenani di veori); oppure, se si preferisce: OP' = k OP, inerpreando i segmeni come non orienai = assolui ma con l inesa che i due puni P, P' vanno presi dalla sessa pare, rispeo ad O, nel caso k > 0, da pari oppose rispeo ad O, nel caso k < 0. E evidene che un omoeia non conserva le disanze ( = non mua due puni A, B in due alri puni A', B' ali che la disanza A' B' sia uguale alla disanza AB dei due puni iniziali), quindi non è un isomeria; uavia, si porebbe dimosrare che è un affinià, ossia che mua ree in ree, conservando l ordine dei puni allineai (e, di conseguenza, mua semiree in semiree, segmeni in segmeni, riangoli in riangoli). Anzi, si può dimosrare (vedi la pagina a fianco) che in un omoeia di rapporo k l immagine di un segmeno AB è un alro segmeno A'B' ale che A'B'/AB = k. Da ciò segue che se il rapporo fra due dai segmeni AB e CD è un cero numero h (AB/CD = h), allora avrà lo sesso valore h anche il rapporo fra i due segmeni A'B' e C' D' AB A'B' che corrispondono ad AB e CD araverso un omoeia: = h = h. CD C'D' Per indicare ciò si dice, brevemene, che un omoeia conserva i rappori fra i segmeni. Inolre un omoeia conserva gli angoli ( = mua ogni angolo in un angolo uguale a quello di parenza) e rasforma sempre un riangolo in un alro riangolo, simile a quello di parenza. Se, ano per fare un esempio, un omoeia ha rapporo k = 3, allora rasformerà qualsiasi riangolo in un riangolo, simile a quello dao, avene ciascun lao riplo del lao corrispondene del riangolo originario, quindi anche il perimero riplo, e l area uguale a 9 vole l area del riangolo di parenza. Poiché poi qualsiasi affinià mua ree parallele in ree parallele (facile la dimosrazione, del uo analoga a quella daa con riferimeno alle isomerie), ciò vale anche per le omoeie. Quesa bella figura dinamica GEOGEBRA mosra all opera un omoeia il cui cenro e il cui rapporo (posiivo o negaivo) possono essere fissai dall uene.
89 Si dimosra che dae due omoeie di cenri C( x, ),C ( x, ) e rappori k, k, componendole, cioè applicandole una dopo l alra, si oiene ancora un omoeia, il cui rapporo k e cenro C sono ali che: k = k k C è allineao con C e C, se C C, menre nel caso paricolare C C si ha C C C DIMOSTRAZIONE DI ALCUNI DEGLI ENUNCIATI DELLA PAGINA PRECEDENTE (diamo qui per sconao che un omoeia sia un affinià, quindi mui ree in ree, segmeni in segmeni, riangoli in riangoli) In un omoeia di rapporo k il segmeno A'B' immagine di un segmeno AB è ale che Consideriamo un omoeia di cenro O e rapporo k (supponiamo inizialmene, per meglio fissare le idee, k >0). Siano A, B due puni qualsiasi del piano e A', B' le rispeive immagini. Allora, per definizione di omoeia, si avrà OA' = k OA e OB' = k OB per cui i due riangoli OA 'B', OAB sono simili per il Crierio di Similiudine: hanno infai due lai proporzionali OA' : OA = OB' : OB ) k k e l angolo compreso in comune. E quindi, poiché in due riangoli simili i lai sono ui in proporzione, dovrà essere anche A'B' : AB = OA' : OA = OB' : OB e perciò A'B' = k (se si preferisce, A'B' = k AB ). AB k k Ora, il simbolo di valore assoluo nell enunciao è sao poso per includere anche il caso k <0, nel quale la dimosrazione sarebbe del uo simile. Se il rapporo fra due dai segmeni AB e CD è un cero numero h (AB/CD = h), allora avrà lo sesso valore h anche il rapporo fra i due segmeni A'B' e C' D' che corrispondono ad AB e CD araverso un omoeia: AB A'B' = h = h CD C'D' Con gli sessi ragionameni della pare precedene, si prova che in figura compaiono due coppie di riangoli simili ra loro: OA'B' e OAB, OC'D' e OCD. E dunque A'B' : AB = OA' : OA e C 'D' : CD = OC' : OC k k quindi anche A'B' : AB = C'D' : CD e, permuando i medi, A'B':C'D'=AB:CD. Se allora AB = CD h, sarà anche A'B' AB = C'D' = CD h. In un omoeia l immagine di un riangolo è un riangolo simile a quello di parenza. Sia ABC un riangolo, e sia A'B'C' la sua immagine araverso un omoeia di rapporo k. Allora avremo, come dimosrao sopra, A'B' = k AB, A'C' = k AC, B'C' = k BC ; quindi i lai di A'B'C' saranno proporzionali ai lai di ABC e perano poremo dire che i due riangoli sono simili fra loro per il 3 Crierio di similiudine. A'B' AB = k. Si dice infine SIMILITUDINE una rasformazione che risuli dall applicazione successiva ( composizione ) di un OMOTETIA + un ISOMETRIA, o di un ISOMETRIA + un OMOTETIA. Le proprieà scrie nel precedene riquadro dedicao alle omoeie si esendono anche alle similiudini.
90 0. PUNTI UNITI, RETTE DI PUNTI UNITI, RETTE UNITE Si dice puno unio, o puno fisso, in una rasformazione, un puno che coincida con la sua immagine. Esempi In una simmeria cenrale, il cenro di simmeria è puno unio. In una simmeria assiale, sono puni unii ui quelli dell asse di simmeria. In una raslazione, non si ha nessun puno unio. Se una rea è cosiuia ua da puni unii, allora la si chiama rea di puni unii. Esempio classico: in una simmeria assiale, l asse di simmeria è una rea di puni unii. Se una rea viene muaa in sé sessa da una rasformazione, si dice che è una rea unia. Aenzione! Una rea unia non deve essere necessariamene una rea di puni unii. Ad esempio, in una raslazione non si ha nessun puno unio, quindi a maggior ragione non si hanno nemmeno ree di puni unii; uavia, ogni rea parallela al veore di raslazione è una rea unia, perché la rasformazione la fa risovrapporre a sé sessa, pur con ui i puni sposai. Un alro bell esempio si può rovare pensando ad una simmeria assiale. Qui l asse di simmeria è una rea di puni unii. Se ora consideriamo una qualunque rea perpendicolare all asse di simmeria, quesa sarà rea unia, pur senza essere rea di puni unii.. INVERSA DI UNA TRASFORMAZIONE Daa una rasformazione, si dice rasformazione inversa della, e si indica col simbolo, quella rasformazione che, rispeo alla, fa ornare indiero : ossia, P) P = (Q) Q = ( Insomma: P è l immagine di Q araverso la rasformazione inversa, se e solo se Q è l immagine di P araverso la. Possiamo anche dire che l inversa di una rasformazione, è quella rasformazione ale che la rasformazione composa sia l idenià: = L inversa di un omoeia di cenro O e rapporo k, è l omoeia di cenro O e rapporo /k; l inversa di una raslazione è la raslazione di veore opposo; l inversa di una roazione è la roazione con lo sesso cenro, ma di angolo opposo. L inversa di una simmeria, ano cenrale quano assiale, è la simmeria sessa!!! Quindi, dea s una simmeria (cenrale o assiale, non impora), avremo che s = s o, se si preferisce, s s = I (idenià) : applicando per due vole una simmeria, si riorna al puno di parenza. Se una rasformazione ha la proprieà di coincidere con la propria rasformazione inversa, si dice che è involuoria. involuoria = = I ( = Idenià," ras formazione idenica"). Se è una rasformazione involuoria, allora, quando è Q = (P), è senz alro anche P = (Q)! Possiamo dunque dire che le simmerie (cenrali e assiali) sono ipiche rasformazioni involuorie. I
9. FIGURE SIMMETRICHE RISPETTO A UN PUNTO, O A UNA RETTA Due puni P, Q si dicono simmerici rispeo a un puno O se O è il puno medio del segmeno PQ, ossia se la simmeria di cenro O mua P in Q e Q in P. Due puni P, Q si dicono simmerici rispeo a una rea r se r è l asse del segmeno PQ ( = se il segmeno PQ è perpendicolare ad r ed è diviso in meà da r = = se per passare da P a Q, o da Q a P, si cala dal puno di parenza il segmeno perpendicolare a r e si prosegue poi di un segmeno uguale) ossia se la simmeria di asse r mua P in Q e Q in P. Quando si dice che due figure sono simmeriche, fra loro simmeriche, o simmeriche l una dell alra, si vuole affermare che esise una simmeria (di solio, assiale, ma porebbe essere anche cenrale) che mua una figura nell alra. Cero, sarebbe più preciso affermare che le due figure sono simmeriche rispeo a una daa rea, o a un dao cenro, specificando pure di quale rea o di quale cenro si parli! L aggeivo simmerico, simmerica si usa anche al singolare. Una figura (superficie, curva, insieme di puni qualsiasi) si dice simmerica rispeo ad un puno se la simmeria rispeo a quel puno mua la figura in sé sessa. In al caso il puno in quesione viene deo cenro di simmeria per la figura simmerica rispeo ad una rea se la simmeria rispeo a quella rea mua la figura in sé sessa. In al caso la rea in quesione viene dea asse di simmeria per la figura L immagine a fianco mosra alcune figure poligonali coi relaivi assi di simmeria; osserva che solo nel caso del quadrao c è anche un cenro di simmeria! ESERCIZIO Sapresi deerminare gli evenuali assi di simmeria e l evenuale cenro di simmeria delle curve famose qui a desra? Rispose Epirocoide Trifolium Lemniscaa di Bernoulli
9 3. ESERCIZI SULLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (puoi poi vedere lo svolgimeno correo o le rispose se clicchi sulla freccia) Nella figura qui soo riporaa sono rappresenai un riangolo ABC; due puni D, E; due ree f, g; un veore v. Della figura, puoi riporare sul uo quaderno solano gli elemeni che i ineressano per lo specifico esercizio che sai svolgendo. ) Disegna l IMMAGINE A'B'C' del riangolo ABC: a) nella simmeria di cenro D b) nella simmeria di cenro E c) nella simmeria di asse f d) nella simmeria di asse g e) nella raslazione di veore v f) nell omoeia di cenro D e rapporo 3 g) nell omoeia di cenro E e rapporo 3/ h) nell omoeia di cenro E e rapporo 3 i) nella roazione di cenro D e angolo +90 ( = 90 in senso aniorario) j) nella roazione di cenro E e angolo 45 ( = 45 in senso orario) k) nell omoeia di cenro D e rapporo. Quesa rasformazione coincide con l) nella rasformazione che si oiene componendo ( = applicando successivamene) prima la simmeria di cenro D, poi quella di cenro E m) nella rasf. che si oiene componendo prima la simmeria di cenro E, poi quella di cenro D n) nella rasf. che si oiene componendo prima la simmeria di asse f, poi quella di asse g o) nella rasf. che si oiene componendo prima la simmeria di asse g, poi quella di asse f p) nella rasformazione ρa, + 90 τ q) nella rasformazione τ ρ v A, + 90 ) Sempre con riferimeno alla figura di prima, disegna la CONTROIMMAGINE A*B*C* di ABC: a) nella simmeria di cenro D b) nella simmeria di asse f c) nella raslazione di veore v d) nell omoeia di cenro D e rapporo /3 3) Dì quali sono i puni unii, le ree di puni unii, le ree unie di una a) simmeria cenrale b) simmeria assiale c) raslazione d) roazione e) omoeia v
4) Dì qual è la rasformazione inversa di una a) simmeria cenrale b) simmeria assiale c) raslazione d) roazione e) omoeia 5) Dì che rasformazione si oiene componendo due: a) simmerie cenrali b) simmerie assiali c) raslazioni d) roazioni con lo sesso cenro e) omoeie con lo sesso cenro 6) Fra le segueni rasformazioni, riconosci quelle isomeriche: a) simmeria cenrale b) simmeria assiale c) raslazione d) roazione e) omoeia 7) I due riangoli della figura qui a fianco sono simmerici l uno dell alro rispeo ad un cero puno. Dove si rova il puno? 93 8a, 8b) Ecco due coppie di riangoli simmerici l uno dell alro rispeo ad una cera rea. Per ciascuna coppia, disegna la rea. 9) Con riferimeno alla figura qui a fianco, che rappresena due riangoli omoeici, sabilisci il cenro e il rapporo: a) dell omoeia che mua T in T b) dell omoeia che mua T in T 0) Nella seguene figura, della quale riporerai sul uo quaderno solo ciò che i ineressa, sabilisci quale affinià (evenualmene composa) fa passare da ABC ad a) A'B'C' b) A''B''C'' IV IV IV c) A'''B'''C''' d) A B C (è possibile rispondere in più modi, anche diversi da quelli che puoi vedere indicai cliccando sulla freccia ) ) Fra le 4 affinià del precedene esercizio 0), sabilisci quali sono diree e quali inverse ) Tramie il freeware GEOGEBRA, realizza qualche affinià a ua scela, uilizzando in modo opporuno i comandi oenibili cliccando sul riangolino in basso a desra del aso (che sono poi quelli riporai qui a fianco)
94 4. APPROFONDIMENTO: TRASFORMAZIONI UN PO PIU GENERALI Il nosro discorso sulle rasformazioni piane si è ben preso focalizzao su rasformazioni molo regolari, e precisamene quelle che conservano l allineameno e l ordine dei puni allineai : le cosiddee AFFINITA. Tuavia, abbiamo subio evidenziao che esisono pure rasformazioni geomeriche non doae di quesa regolarià. INVERSIONE PER RAGGI VETTORI RECIPROCI Un bell esempio è rappresenao dalla inversione per raggi veori reciproci. Fissaa su di un piano una circonferenza di cenro O e raggio r, ad ogni puno P del piano (disino da O) si fa corrispondere quel puno P', che appariene alla semirea OP ed è ale che OP' =. OP La figura qui a fianco mosra: un segmeno AB e la sua immagine (che risula essere un arco di circonferenza) un alro segmeno CD e la sua immagine (ancora un arco di circonferenza). Si obieerà uavia: ma non si raa di una VERA rasformazione piana! Infai, il puno O è privo di immagine. L osservazione è giusa. Se un puno P è vicinissimo a O, la sua immagine P' sarà eserna alla circonferenza e lonanissima da O; in praica, l immagine di O dovrebbe essere un puno all infinio. Siamo allora di frone ad una ESTENSIONE del conceo di rasformazione piana : la corrispondenza del piano in sé, che siamo considerando, non è perfeamene biunivoca. Essa divena uavia biunivoca se ogliamo dal piano il puno O; oppure, se decidiamo di far corrispondere al puno O il puno O sesso (ma in queso caso, inrodurremmo una forzaura : se i puni vicini a O vengono rasformai in puni lonani da O, non è molo coerene convenire che l immagine di O sia O sesso). TRASFORMAZIONI PROIETTIVE Bellissime rasformazioni sono le rasformazioni proieive (o proieivià ). Siano fissai nello spazio due piani α e β, incideni o paralleli. Fissiamo inolre un puno O che non sia né sull uno, né sull alro piano. Tracciamo una rea per O: quesa inersecherà il piano α in un puno P (se non è parallela ad α ), e il piano β in P' (se non è parallela a β ). Diremo che P' è il corrispondene di P nella rasformazione che chiameremo proiezione di cenro O. Anche in queso caso, occorre essere un po elasici. Se i due piani α, β sono paralleli, uo regolare perché ad ogni puno del primo resa effeivamene associao uno e un solo puno del secondo. Se invece i due piani NON sono paralleli, una rea passane per O, e parallela a β, inersecherà α in un puno W, ma NON andrà poi ad inersecare β. Dunque W si roverebbe a non avere immagine. r
95 Tuavia, come la figura soosane dovrebbe ben illusrare, in queso caso possiamo pensare che a W corrisponda uno dei puni all infinio di β. Vale a dire, per rovare un immagine anche a W, noi andiamo a compleare il piano β con un puno all infinio. Anzi, lo compleeremo con infinii puni all infinio, ciascuno associao ad una deerminaa direzione su β. E evidene che anche il piano α andrà pensao compleao coi suoi puni all infinio (ciascuno associao a una direzione su α ). E cero! In al modo, infai, si roverà un conroimmagine anche a quei puni di β, che alrimeni non l avrebbero, in quano appareneni ad una rea per O, parallela ad α. Anziché a proiezioni cenrali poremmo pensare anche a proiezioni parallele : si sceglie una direzione nello spazio e ad ogni puno P di α, si fa corrispondere quel puno ale che la rea PP ' abbia QUELLA direzione. P' di β, TRASFORMAZIONI TOPOLOGICHE Fra le rasformazioni piane diamo infine un cenno alla famiglia delle cosiddee rasformazioni opologiche. Prendiamo un foglio realizzao in gomma e disegniamoci sopra una circonferenza. Se ora iriamo il foglio in modo da deformarlo, la circonferenza si rasformerà in una curva chiusa la cui forma dipenderà dal modo paricolare con cui avremo deformao il foglio. Possiamo dire, in ermini inuiivi, che una rasformazione si dice opologica se la figura immagine può essere pensaa come oenibile dalla figura iniziale mediane una deformazione coninua, a base di piegameni sirameni o compressioni, senza però che inervengano srappi o agli. Le figure che vengono soopose a rasformazioni di queso ipo, ne vengono profondamene sconvole, uavia qualche proprieà si conserva anche qui, nel passaggio da una figura alla sua immagine: ad esempio, il numero degli evenuali buchi, su di una superficie, rimane invariao in ogni rasformazione opologica della superficie sessa. E evidene che, se pensiamo a piegameni olre che a sirameni, di una superficie, non poremo preendere di rimanere su di un piano, ma opereremo in re dimensioni. D alra pare, anche nel considerare le proieivià, abbiamo fao ricorso a DUE piani disini, collocai nello SPAZIO TRIDIMENSIONALE. Insomma, il discorso ci ha condoo, a parire dallo sudio delle rasformazioni piane, a uscire dall appiaimeno su di un piano, per concepire siuazioni più generali ma senza dubbio, perlomeno curiose. Se avrai occasione di approfondire il discorso sulle rasformazioni proieive e opologiche, scoprirai un mondo affascinane, in qualche modo sopraelevao rispeo alla normale geomeria, la quale, da queso puno di osservazione privilegiao, svelerà nuovi insospeai segrei. Un indicazione bibliografica: Che cos è la maemaica? di R. Couran e H. Robbins, edizioni Boringhieri 97.
96 5. TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (soprauo: affinià) NEL PIANO CARTESIANO Nel piano caresiano, una rasformazione può essere descria dalle due equazioni che fanno passare dalle coordinae del puno iniziale (, x ) a quelle del puno finale ( x', ') x { ' = Ax : (, ) ' = B( x, ) Si può dimosrare che le AFFINITA ( = le rasformazioni che muano ree in ree, conservando l ordine dei puni allineai) sono ue e sole quelle rasformazioni le cui equazioni sono LINEARI ( = di grado ), ossia della forma x' = ax+ b + m, ' = cx + d + n PURCHÉ PERÒ si abbia a b D= ad bc 0 c d = : infai se ale deerminane si annulla, la corrispondenza non è biunivoca (vedi NOTA). FRA LE AFFINITA, SONO poi ISOMETRIE quelle per le quali il deerminane D è ale che siano verificae ENTRAMBE LE CONDIZIONI SEGUENTI: ) D=+ oppure D= ) gli elemeni di una diagonale sono uguali e quelli dell alra opposi. Le rasformazioni il cui deerminane soddisfa alla condizione ), ma non necessariamene alla ), sono invece le SIMILITUDINI ( = composizioni di un ISOMETRIA con un OMOTETIA, o viceversa). NOTA In effei, fissaa a piacere una coppia ( x', '), la risoluzione rispeo a x, del sisema x { ' = ax + b + m ' = cx+ d+ n {, che poi equivale a ax + b = x' m cx + d = ' n, permee di risalire alla coppia incognia ( x, ) cui la ( x', ') corrisponde. Ma se il deerminane dei coefficieni delle incognie a b è nullo, ale sisema risula impossibile o indeerminao: c d quindi il puno ( x', ') non ha, in al caso, nessuna conroimmagine, oppure ne ha infinie. Per la quanià D = ad bc ( cosane di affinià o rapporo di affinià ) si può dimosrare che ) il suo valore assoluo esprime il rapporo S'/S fra le aree di due figure corrispondeni qualsiasi F' ed F: ) il suo segno indica: ad bc = se è posiivo, che la rasformazione mua un poligono in un alro poligono, i cui verici si susseguono nello sesso ordine (orario o aniorario) che avevano nel poligono iniziale (si parlerà di affinià DIRETTA ); se è negaivo, che la rasformazione mua un poligono in un alro poligono, i cui verici si susseguono in ordine inverso rispeo ai verici del poligono iniziale (si parlerà di affinià INVERSA ). ad bc > 0 affinià DIRETTA In sinesi: ad bc < 0 affinià INVERSA (NOTA) NOTA Gli aggeivi direa e inversa qui usai vanno d accordo, come è inuiivo e si porebbe dimosrare, col significao che era sao loro aribuio nel paragrafo 7, quando, parlando di isomerie, avevamo convenuo di classificare una isomeria come direa nel caso fosse associabile ad un movimeno rigido che non comporasse ribalameni ma solo srisciameni, inversa nel caso conrario. OCCHIO INVECE a non confondere la locuzione affinià inversa con affinià inversa di un alra affinià. S' S
97 Esempio x Consideriamo la rasformazione descria dalle equazioni { ' = : x + 5 ' = x + Innanziuo, quesa rasformazione è un affinià, perché le sue equazioni sono di grado con ad bc = ( ) ( ) = + = 0. Non è però una isomeria (non si realizza la seconda delle due condizioni caraerizzani). Esploriamo ora il comporameno di quesa affinià andando a vedere, ad esempio, come opera sul riangolo ABC di verici A(0,0); B(,0); C(0,): Abbiamo disegnao il riangolo ABC e il suo rasformao A'B'C'. Dalla figura si può noare che un'affinià, in genere, non conserva né le disanze (ad esempio, B'C' non è uguale a BC), né i rappori fra i segmeni (ad es., il rapporo AC/AB non è uguale ad A'C'/ A'B') e neppure gli angoli: quindi, in generale, un'affinià mua sia le forma che le dimensioni delle figure. Però in un'affinià è cosane il rapporo S'/S fra le aree di due superfici corrispondeni, e ale rapporo cosane è uguale al valore assoluo di quel deerminane ad bc che viene chiamao cosane di affinià o anche rapporo di affinià. Nel nosro caso ad bc =, quindi ad bc = e ciò significa che in quesa paricolare affinià che abbiamo scelo come esempio, si ha sempre S'/S = (vale a dire, si conservano le aree). In effei si può facilmene verificare che l area del riangolo A'B'C' è uguale all area del riangolo ABC. Abbiamo anche scrio che, se ad bc >0, si parla di affinià direa, se ad bc < 0 di affinià inversa (un affinià direa conserva il verso delle figure, menre un'affinià inversa effeua una specie di ribalameno, inverendo il verso delle figure). Nel nosro caso, ad bc = quindi l affinià da noi consideraa è inversa. In effei, nel percorrere il perimero di ABC roviamo, procedendo in senso aniorario, prima A, poi B, poi C, menre se vogliamo percorrere il perimero del riangolo immagine A'B'C' in modo da inconrare prima A', poi B', poi C', dovremo procedere in senso orario. 3 COPPIE DI PUNTI CORRISPONDENTI INDIVIDUANO UNIVOCAMENTE UN AFFINITA = ax + b + m Poiché l equazione di una generica affinià è e quindi coniene 6 parameri, ' = cx+ d+ n un affinià è univocamene deerminaa quando, per 3 puni non allineai del piano, siano assegnai i rispeivi 3 puni corrispondeni, anch essi non allineai. Infai ale conoscenza pora complessivamene a poer scrivere 6 condizioni! Ad esempio, sapere che un affinià si compora nel modo seguene: (0,0) (5,); (,0) (7,); (0,) (4,0) = ax + b + m permee di scrivere, sosiuendo nel sisema ' = cx+ d+ n : 5= a 0+ b 0+ m m = c 0+ d 0+ n ; 7= a + b 0+ = c + d 0+ n ; 4= a 0+ b + m 0= c 0+ d + n. Tali 6 condizioni, pose a sisema, conseniranno di deerminare i valori dei 6 parameri a, b, c, d, m, n. Se ci provi, roverai a =, b=, c =, d =, m= 5, n =.
98 6. AFFINITA PARTICOLARI (TRASLAZIONI, SIMMETRIE, OMOTETIE) DESCRITTE IN COORDINATE, NEL PIANO CARTESIANO SIMMETRIA RISPETTO ALL ORIGINE s 0 x' = x : ' = SIMMETRIA RISPETTO ALL ASSE x SIMMETRIA RISPETTO AD UN PUNTO P 0 è il puno medio del segmeno PP', perciò (ascissa puno medio = = media ascisse esremi, idem per l ordinaa) x+ x' x0 = x' = x0 x + ' 0 = ' = 0 x' = x0 x sp : 0 ' = 0 SIMMETRIA RISPETTO ALL ASSE s x' = x asse x : ' = s x' = x asse : ' = SIMMETRIA RISPETTO A UNA PARALLELA ALL ASSE x s M è il puno medio di PP', perciò + ' 0 = ' = x' = x = : 0 ' = 0 SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETTRICE DEL E 3 QUADRANTE 0 SIMMETRIA RISPETTO A UNA PARALLELA ALL ASSE s M è il puno medio di PP', perciò x + x' x0 = x' = x x x' = x0 x x= x : 0 ' = TRASLAZIONE DI VETTORE v ( ab, ) ossia di componene orizzonale a e vericale b 0 τ v x' = x+ a : ' = + b s x' = = x : ' = x i, j sono i cosiddei versori degli assi (di modulo uniario). Nell esempio a fianco, è a=, b=
99 OMOTETIA DI CENTRO L ORIGINE E RAPPORTO k * = {0} (nella figura è k = 3 ) ω O, k x' = kx : ' = k OMOTETIA DI CENTRO C (, ) x E RAPPORTO k * (nella figura è k = 3 ) C C CP' = k CP (segmeni orienai) xp' xc = k x xc = k C, P' C C ( P ) ( P ) ( C) = ( C) ( ) ( ) x' xc = k x x ω : C, k ' C k x' = kx+ ( k) xc k x C =a da cui, ponendo ' = k+ ( k) C k C = b ω k : = kx + a ' = k + b x NOTA Se le equazioni di un omoeia sono assegnae soo la forma { ' = kx + a ' = k+ b allora sarà possibile risalire al cenro di omoeia in due modi alernaivi: ) ricordando le posizioni a = k x ( ) ( k) b= da cui: a xc = k b C = k C C (NOTA) ) oppure semplicemene deerminando il puno unio della rasformazione. Esempio: x' = 3x 4 per rovare il cenro C dell omoeia { ' = 3+ 5 mi basa rovare il puno ( x, ) la cui immagine ( x', ') coincide con ( x, )! { { x = 3x 4 x = 5 C, = 3+ 5 = 5/ DILATAZIONE DI CENTRO L ORIGINE E RAPPORTI h (orizzonale), h, k *; nella figura è h = 4, k = / k (vericale) d x' = hx O, hk, : ' = k Nella figura, la fisarmonica orizzonale si apre (h=4), quella vericale si chiude (k=/) Generalizzazione: se il cenro non fosse l origine ma un dao puno C ( xc, C), le equazioni divenerebbero : x' xc = h x x d C, hk, ' C = k ( C) ( ) C
300 7. COME SCRIVERE LE EQUAZIONI DELLA TRASFORMAZIONE INVERSA DI UNA TRASFORMAZIONE DATA Consideriamo una rasformazione di equazioni x' = Ax (, ) : ' = Bx (, ) Per rasformazione inversa della si inende, come sappiamo, quella rasformazione (si indica con ) che fa ornare indiero, dal puno ( x', ') al puno ( x, ). Abbiamo già osservao che: l'inversa di una raslazione è la raslazione di veore opposo; l'inversa di un'omoeia di cenro C e rapporo k è l'omoeia di cenro C e rapporo /k; l inversa di una simmeria (cenrale o assiale) è la simmeria sessa; ecc. Ma come si fa, daa una rasformazione, a scrivere le equazioni della rasformazione inversa? Vediamo. Si prendono le equazioni della rasformazione daa IN GENERALE: ESEMPIO: = Ax (, ) x : ' = B( x, ) { ' = : 3 x ' = 3 4 e si risolve il sisema rispeo a x ed, isolando cioè x, : x Cx ( ', ') : = D( x', ') = () : x' + x = 3 ' + 4 = 3 Fao! Ecco che abbiamo ricavao le equazioni della rasformazione inversa. () NOTA: in queso caso il procedimeno di inversione è sao semplicissimo; nella pagina a fianco roverai esercizi più complicai In queso momeno nelle equazioni della rasformazione inversa, così come le abbiamo oenue, il puno INIZIALE è indicao con ( x', ') e il puno FINALE con ( x, ): ( x', ') ( x, ). MA NOI, SE VOGLIAMO, POSSIAMO SCAMBIARE I SIMBOLI, indicando, in quese equazioni della rasformazione inversa, il puno INIZIALE con ( x, ) e quello FINALE con ( x', '): ( x, ) ( x', '), il che corrisponde a pensare la come una rasformazione a sé sane, liberandoci dal doverla per forza immaginare come l inversa di un alra. Se facciamo così, oeniamo: x + x' Cx (, ) = x' : () = : 3 () ' = D( x, ) + 4 ' = 3 ed è imporane capire che le equazioni () e le equazioni () sono LA STESSA COSA, nel senso che sia le () che le () individuano la medesima rasformazione, la nosra brava la differenza sa solo nei simboli con cui si indicano le coordinae del puno iniziale e di quello finale. x Sia la rasformazione di equazioni { ' = Ax : (, ) ' = B( x, ) RICAPITOLAZIONE Se vogliamo scrivere le EQUAZIONI DELLA TRASFORMAZIONE INVERSA ) inveriamo le equazioni di isolando, in esse, x e e oenendo x Cx ( ', ') = : { = D( x', ') ) scambiamo ( x, ) con ( x', ') (almeno nei casi in cui vogliamo pensare la come una rasf. a sé sane) così da scrivere la nella forma, equivalene alla precedene ma più consuea, { x' Cx (, ) : ' = D( x, ) =