FORMULE PER TROVARE NUMERI PRIMI Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract In this paper we examine in detail a class of special prime numbers.
Pagina 2 di 28 Index: 1. Numeri PRIMI SPECIALI... 3 2. CONNESSIONI CON LA CRITTOGRAFIA RSA... 18 3. References... 24
Pagina 3 di 28 1. NUMERI PRIMI SPECIALI Consideriamo la classe dei numeri Q n esprimibili in questo modo: Q n = 15 + 2 n Con n intero positivo qualsiasi, n ε N + TAB. 1 1 17 2 19 3 23 4 31 5 47 6 79 7 143 11 13 8 271 9 527 1731 10 1039 11 2063 12 4111 13 8207 29283 14 16399 23^231 15 32783 16 65551 17 131087 11 17 701 18 262159 317 827 19 524303 13 31 1301 20 1048591 19 229 241 21 2097167 67 113 277 22 4194319 23 8388623 24 16777231 31 541201 25 33554447 17 23 85817
Pagina 4 di 28 26 67108879 27 134217743 11 59 206807 28 268435471 47^2137 887 29 536870927 31 17318417 30 1073741839 31 2147483663 13 37 4464623 32 4294967311 33 8589934607 17 505290271 34 17179869199 31 199 2784871 35 34359738383 163 883 238727 36 68719476751 23 2987803337 37 137438953487 11 12494450317 38 274877906959 19 53 272967137 39 549755813903 31 853 3391 6131 40 1099511627791 41 2199023255567 17 29 4460493419 42 4398046511119 43 8796093022223 13 101 4943 1355297 44 17592186044431 31 241 2354729761 45 35184372088847 79 445371798593 46 70368744177679 47 140737488355343 11 23 857 16703 38861 48 281474976710671 276173 1019198027 49 562949953421327 17 31 113 9453240977 Ben 20 su 49 numeri di questo tipo sono numeri primi! Anche i numeri seguenti come differenza di potenze di 2 sono numeri primi: 15-8=7 15-4=11 15-2=13
Pagina 5 di 28 Consideriamo la classe dei numeri R n esprimibili in questo modo: R n = 2 n - 15 TAB. 2: 1-13 2-11 3-7 4 1 5 17 6 49 7^2 7 113 8 241 9 497 7 71 10 1009 11 2033 19 107 12 4081 7 11 53 13 8177 13 17 37 14 16369 15 32753 7 4679 16 65521 17 131057 83 1579 18 262129 7 37447 19 524273 223 2351 20 1048561 911 1151 21 2097137 7 17 17623 22 4194289 11 593 643 23 8388593 24 16777201 7 2396743 25 33554417 13 467 5527 26 67108849 3911 17159 27 134217713 7^229^23257 28 268435441 61 823 5347 29 536870897 17 19^287481 30 1073741809 7 367 417961 31 2147483633 5843 367531
Pagina 6 di 28 32 4294967281 11 181 241 8951 33 8589934577 7 5261 233251 34 17179869169 191 3709 24251 35 34359738353 113 373 815197 36 68719476721 7 9817068103 37 137438953457 13 17^22011 18191 38 274877906929 103 293 1663 5477 39 549755813873 7 14011 5605349 40 1099511627761 19739 55702499 41 2199023255537 9311 236174767 42 4398046511089 7 11 57117487157 43 8796093022193 149 59034181357 44 17592186044401 71 1249 198380519 45 35184372088817 7 17 19609 15078127 46 70368744177649 797 2459 35905663 47 140737488355313 19 1439 5147488693 48 281474976710641 7^26113 17881 52553 49 562949953421297 13 37 269 4350833173 Non considerando i numeri primi negativi, in questa classe abbiamo solo 7 numeri primi su 45 valori di n con n=5 49 Uno dei motivi è dovuto al fatto che il fattore piccolo 7 si ripete ogni multiplo di 3, più precisamente ogni n=3k+3, con k=1, 2,, ovvero con n=6, 9, 12, 15, 18
Pagina 7 di 28 Qui notiamo che 15 è un multiplo di 3. Anche un multiplo di 15, per es. 45, fornirebbe numeri primi, per es. 43, ma cominciando da 2^1 = 2 : 45-2 = 43 = 6*7 +1 45-4 = 41 = 6*7-1 45-8 = 37 = 6*6 +1 45-16 = 29 = 6*5-1 45-32= 13 = 6*2 +1 come si vede abbiamo un alternanza dei segni + e - Tutti numeri primi, anche negativi, procedendo oltre con potenze di 2 maggiori di 45: 45-64 = -19 45-128 = -83 45 256 = 211 45 512 = 467 E così via ; ovviamente non sono primi consecutivi, qualcuno viene saltato, per es. tra 37 e 29 manca il 31, tra il 29 e il 13 mancano il 23, il 19 e il 17; al crescere di 2^n, i numeri primi si diradano, specialmente tra i numeri primi negativi. Su nove numeri primi fino a 45, ben cinque sono primi, con un rapporto 9/5 = 1,8 circa la metà, come nelle tabelle
Pagina 8 di 28 precedenti con la forma iniziale 15 + 2^n. ovviamente, anche k*15 + 2^n potrebbe dare risultati analoghi alla forma k*15 2^n Per esempio, 45 +2 = 47 primo 45 +4 = 49 non primo 45+8 = 53 primo 45+16 = 61 primo 45 +32 =77 non primo 45 +64 = 109 primo 45 +128 = 173 primo Vediamo ora una possibile forma aritmetica complementare per recuperare i numeri primi mancanti 31, 23, 19 e 17 Tale forma potrebbe essere 15 k + 2^n + 2^m + 2^l, con m < n < l (1) Nella precedente tabella per 45 2^n, possiamo inserire i valori dei numeri primi mancanti, in questo modo, applicando la (1) 45-2 = 43 = 6*7 +1 45-4 = 41 = 6*7-1 45-8 = 37 = 6*6 +1 45-14 = 31 = 6*5 +1 con 14 = 16-2 = 8 + 4 +2 ; 8 potenza di 2 < 14 45-16 = 29 = 6*5-1
Pagina 9 di 28 45 22 = 23 =6*4-1, con 22= 32 8 2 = 16 + 4 + 2; 16 potenza di 2 < 14 45 26 = 19 = 26 con 26 = 32 16 + 8+2 = = 16 + 8 +2; idem 45-28 = 17 = con 28 = 32-4 = 16 + 8 + 4; idem 45-32 = 13 = 6*2 +1 31, 23, 19 e 17 i numeri primi mancanti. Sono preferibili le forme segnate in blu in quanto sono solo somme, cioè senza la differenza presente nell altra forma. Le forme segnate in blu si basano sulla potenza di 2 immediatamente inferiore al numero primo mancante, alla quale si aggiungono potenze di 2 più piccole, come 8, 4, 2 la (1) quindi si può migliorare nella 15 k + 2^n + 2^m + 2^l, con m < n < l (2) E forse anche con altre potenze di 2 al crescere di N: Ovviamente, 2^m e 2 ^n sono nulli nel caso di numeri primi ottenuti in prima istanza dalla forma originaria 15 k - 2^n, dove vale una sola potenza di 2, e quindi con il solo esponente n
Pagina 10 di 28 Insomma, forma 3k 2^n con k dispari (1) Possibile spiegazione con le forme 6k + 1 : Poiché un numero multiplo dispari di 3 è nella seconda colonna di numeri 6k - 4, 6k-3, 6k -2, 6k -1, 6k, 6k+1 come da tabella seguente, e le potenze pari di 2 sono di forma 6k -2, mentre quelle dispari sono di forma 6k + 2, il risultato finale della (1) ricade alternativamente nella forma 6k -1 e 6k +1, almeno nella parte riguardante i numeri primi positivi. Con k pari si ricade nella forma 6k, e per ottenere numeri primi (ma non tutti) basta aggiungere o sottrarre 1 ; in ogni caso si ottiene un numero primo oppure un prodotto tra numeri primi (tranne il 2 e il 3), per esempio 6*6=36, 36-1=35 =5*7, 36 +1 = 37 numero primo.
Pagina 11 di 28 Tabella semplificativa per N =1*15 2^n 6k-4 1 colonna Solo 2 primo 6k-3 2 colonna Solo 3 primo 6k-2 3 colonna 6k -1 4 colonna Con numeri primi >3 e composti 6k 5 colonna 6k+1 6 colonna Con numeri primi > 3 e composti 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 composto 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 composto 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 composto 50 51 52 53 54 55 composto 15-8 = 7 15-4 = 11 15-2 = 13 con:
Pagina 12 di 28 8=2^3 potenza dispari di 2, 4= 2^2 = potenza pari di 2, 2=2^1 = potenza dispari di 2. Da qui l alternanza dei segni + e - l alternarsi delle potenze dispari e pari di 2 (evidenziate in verde nella Tabella) nella formula k*15 + 2^n, con n pari e dispari alternati, come tutti i numeri n; qui però manca il solo numero primo 5, recuperabile con la (2), infatti cosicché ora abbiamo: 15 10 = 5 con 10 = 8 + 2 15-8 = 7 15-4 = 11 15-2 = 13 con tutti i numeri primi da 5 a 15 = N Lo stesso discorso è valido anche con la k*15 + 2^n, per il quale facciamo un solo esempio; nella sequenza seguente, per 45 +2^n, mancano il numero primo 59, compreso tra 53 e 61, e il numero primo 89 (ma anche altri)
Pagina 13 di 28 45 +2 = 47 primo 45 +4 = 49 non primo 45+8 = 53 primo 45+16 = 61 primo 45 +32 =77 non primo 45 +64 = 109 primo 45 +128 = 173 primo Vi inseriamo 45 + 14 = 59, con 14 = 8 + 4 + 2, tutte potenze di 2 45 +2 = 47 primo 45 +4 = 49 non primo 45+8 = 53 primo 45 + 14 = 59, con 14 = 8 + 4 + 2, tutte potenze di 2 45+16 = 61 primo 45 +32 =77 non primo 45 + 44 = 89 primo, con 44 =32 + 8 + 4, come dalla (2) ma ora col segno + nella formula k*15 +2^n, in questo caso 3*15*2^n = 45 +2^n 45 +64 = 109 primo 45 +128 = 173 primo Anche questo è un piccolo progresso nella possibile formula dei numeri primi, oggetto di questo lavoro, da noi successivamente identificata con la S= 1 + 2 + 4 kpari kdispari sintesi della forma estesa S = 1 + 2 + 4 = 1 + 4 + 2 + 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2 +. kpari kdispari
Pagina 14 di 28 che fornisce tutti i numeri primi di forma 6k -1 e 6k +1 (ottenibili con la (2) e con la formula originaria k*5 + 2^n e con tutte le loro possibili varianti), ma anche i loro prodotti e le loro potenze (vedi pagine successive). Come si vede, nella tabella semplificativa, i numeri risultanti 7, 11 e 13 sono alternati sulle colonne 6k -1 e 6k +1, cosa che ovviamente succederà per tutti i valori k*15 + 2^n, con k da non confondere con k di 6k della precedente tabella. Questa alternanza è dovuta al fatto che le potenze pari di 2 sono di forma 6k -2 e quelle di forma dispari sono invece di forma 6n - 4 = 6k + 2; essendo i multipli di 3 di forma 6k -3 se facciamo la somma algebrica di -4 + (-3) abbiamo -4-3 = -7, che è di forma assoluta 6k+1, come 7 = 15-8 ; le potenze pari invece abbiamo -3 + (-2) = -3-2 = -5, valore assoluto 5, di forma 6k-1, come 15-4= 11 Oppure, più semplicemente, 3 + 2 = 5 ricade nella 4 colonna (6k -1), mentre 4 + 3 = 7 ricade nella 6 colonna ( 6k+1)
Pagina 15 di 28 Risultati analoghi si ottengono ovviamente anche con 5*15=75, e con tutti i successivi multipli dispari di 15. Unificando le due forme, abbiamo N = k*15 + 2^n come nuove forme per numeri primi, circa la metà dei numeri primi fino ad N di tale forma. Per dare numeri primi, questa formula deve dare come risultati numeri di forme 6k + 1, le ormai ben note forme dei numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali), e dei loro prodotti e potenze). Poiché non esiste ancora una formula per tutti i numeri primi, ricercatissima (si pensa ad essa come ad una possibile conseguenza di una futura dimostrazione dell ipotesi di Riemann, ma abbiamo i nostri dubbi in proposito, poiché tale formula dovrebbe basarsi sulle differenze tra i tutti numeri primi consecutivi. Per il momento dobbiamo accontentarci di formule che diano il maggior numero di numeri primi rispetto ad altre), la formula di cui sopra potrebbe benissimo essere una delle
Pagina 16 di 28 migliori in tal senso, dando circa la metà dei numeri primi di quelli ottenuti con essa. Un nostro lavoro precedente in tal senso è un miglioramento della formula di Eulero, Vedi Rif. 1 (articolo sulle quadruple di numeri primi). Ritorniamo nuovamente ai seguenti risultati, inerenti il numero 45 multiplo di 3 e di 15: 45-8 = 37 = 6*6 +1 45-16 = 29 = 6*5-1 45-32= 13 = 6*2 +1 45-64 = -19 45-128 = -83 45 256 = 211 45 512 = 467 Notiamo che 8, 16, 64, 128, 256 e 512 sono tutti divisibili per 8 e che tale numero è un numero di Fibonacci ed è connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan:
Pagina 17 di 28 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' 10 + 11 2 10 + 7 log + 4 4 142 2 t w' 2. Anche qui, quindi, connessioni possibili con le vibrazioni delle stringhe ed i numeri primi connessi con tale forma. Ma vediamo nel prossimo paragrafo come possiamo trovare una formula che genera tutti i numeri primi. Se osserviamo bene la tabella semplificativa, notiamo che se a 5 in 4 colonna (già 1+ 4) aggiungiamo 2, quindi 1+4+2, otteniamo 7, in 6 colonna; se ora a 7 aggiungiamo 4, ritorniamo nella 4 colonna, con 11 = 1+4+2+4, e così via all infinito. I numeri delle due colonne, come del resto anche delle altre, differiscono di 6 se sono consecutivi,per es. 11-5 =6, 13-7 = 6, e di 6k se non sono consecutivi, per esempio 17-5 =12=2*6, 19-7 = 12 =6*2, ecc. Da qui la successiva formula per i numeri primi e relativa TAB. 3, che dà tutti i numeri primi, ma anche i
Pagina 18 di 28 semiprimi (prodotti di due numeri primi maggiori di 3), che sono, se enormi (di qualche centinaio di cifre) alla base della crittografia RSA, ma solo se con rapporto massimo q/p = 2,25 Formula per trovare tutti i numeri primi 4 S = 1 + kdispari + kpari2 = 1 + 4 + 2 + 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2 +. k dispari: 1, 3, 5, 7,.. k pari : 2, 4, 6, 8,.. TAB 3: K Somma 1 5 2 7 3 11 4 13 5 17 6 19 7 23 8 25 9 29 10 31 11 35 12 37 13 41
Pagina 19 di 28 14 43 15 47 16 49 17 53 18 55 19 59 20 61 21 65 22 67 23 71 24 73 25 77 26 79 27 83 28 85 29 89 30 91 31 95 32 97 33 101 34 103 35 107 36 109 Da questa formula S ricaviamo TUTTI i numeri primi (eccetto il 2 e il 3) in quanto sommiamo alternativamente 4 (per k dispari) e 2 (per k pari). In questo modo copriamo l'intero set dei numeri primi 6k ± 1 Vedi 3 capitolo sulla crittografia RSA e Riferimenti su nostri lavori in merito
Pagina 20 di 28 2. CONNESSIONI CON LA CRITTOGRAFIA RSA Come prima accennato, i numeri RSA sono dei semiprimi, cioè prodotti tra due numeri primi molto grandi e con rapporto massimo q/p = 2,25, osservato nei numeri RSA già fattorizzati (esempi di possibili chiavi pubbliche) e pubblicati da Wikipedia. Si desume quindi che anche le chiavi pubbliche siano numeri semiprimi con lo stesso rapporto massimo. Nella TAB.3 possiamo trovare alcuni piccoli semiprimi di questo tipo, cioè piccoli numeri RSA buoni però soltanto a fare degli esempi didattici di come funziona la crittografia RSA. Ma estendendo la TAB. 3 all infinito, si incontrano sicuramente le chiavi pubbliche effettivamente usate, complete di fattori, ma i tempi di calcolo sono lunghissimi. Facciamo un breve elenco iniziale di tali piccoli numeri RSA per vedere poi, con il nostro Teorema fondamentale della fattorizzazione, come è semplice fattorizzarli conoscendo il rapporto. Non conoscendo tale rapporto, ovviamente la cosa è più difficile, ma accessibile, come
Pagina 21 di 28 abbiamo visto in Rif. 2, solo per numeri primi molto vicini, cosa tradita (con pochissime eccezioni) dall alta parte decimale della radice quadrata molto alta (tipo 0,999 tipica nei numeri primi gemelli o molto vicini), e quindi con rapporti r = q/p molto bassi, leggermente superiori ad 1 (1 si ha solo con p = n =q, poiché in tal caso q/p = 1) Piccoli numeri RSA: Dalla TAB 1 : 7 143 11 13 Rapporto 13/11 = 1,1818 1,1818 = 1,0871, n = 143 = 11,95 9 527 1731 Rapporto 31/17 = 1,8235 1,8235 = 1, 3503 n = 527 = 22,95 Dalla TAB 2 20 1048561 911 1151 RAPPORTO 1151/ 911 =1,2634 1,2634 = 1,1240 n = 1048561 = 1023, 99
Pagina 22 di 28 Applicazione del Teorema fondamentale della fattorizzazione veloce (TFF), p n/ r, q n* r, con n = N, abbiamo, rispettivamente p 11,95/1,0871 = 10,9925 11 = p valore reale q 11,95*1,0871 = 12,9908 13 valore reale p 22,95/1,3503 = 16,9962 17 valore reale, q 1,1240 22,95*1,3503 = 30,9893 31 valore reale p 1023,99/1,1240 = 911,0231 911 VALORE REALE q 1023,99*1,1240 = 1150,96 1151 VALORE REALE come però possiamo vedere, n = 527 = 22,95 ha una parte decimale molto alta, ma il rapporto 1,8235 è molto più alto di 1, e quindi l ipotesi percentuale non funziona, sia pure raramente. Molti semiprimi si trovano ovviamente anche nelle colonne 6k -1 e 6k +1, per esempio 29083 = 127*229, n = 29083 =170,53 e di forma 6k +1 = 4847 +1, con rapporto r = 229/127 = 1,8031, 1,8031= 1,3420, tale
Pagina 23 di 28 che : p 170,53/1,3420 = 127,07 127 valore reale q 170,53*1,3420 = 228,85 229 valore reale: Questo è uno dei rarissimi casi in cui l ipotesi percentuale funziona anche per valori così grandi di r, poiché la parte decimale 0,53 rispecchia il rapporto reale: con la formula di proporzionalità (in gran parte però un po caotica) r = 1/0,53 = 1,8867, con 1,8867 = 1,3735 per cui ora possiamo calcolare, sia pure approssimativamente : p 170,53/1,3735 = 124,15 prossimo a 127 valore reale q 170,53*1,3735 = 234,22 229 valore reale. Per calcolare la percentuale approssimativa di p rispetto ad n, bisogna calcolare l inverso di r % 1/1,3735 = 0,7280%, quindi circa 72,8 % di 170,53 p 170,53*0,7280 = 124, 1458 vicinissimo a p stimato col teorema fondamentale della fattorizzazione, senza disturbare tutti i numeri primi fino a 124. Ma questo è un caso molto raro (che chiamiamo con parte
Pagina 24 di 28 decimale ottimale molto difficile da trovare). Ma noi non vogliamo violare la crittografia RSA, che ci sta bene cos com è; anzi vogliamo proteggerla, sconsigliando per esempio i prodotti di numeri gemelli come chiavi pubbliche, e anche i prodotti tra numeri primi di Mersenne, (anche se solo p oppure q) poiché, essendo già noti, potrebbero essere provati da qualche hacker per fattorizzare un numero RSA che li contenesse come fattori. Connessione con l ipotesi di Riemann Recentemente abbiamo pubblicato un lavoro sulle ipotesi RH equivalenti con le forme 6k+1 (Rif.4), per chi volesse approfondire l argomento. Connessioni con la fisica La 6 colonna contiene i numeri primi 7, 13 e 31, tutti di forma 6k+1, che in base all equazione della geometria proiettiva, L(n)=n 2 +n+1, (con n primo o potenza di primo) dà i numeri di Lie (anche d forma 2T+1 con T numero Triangolare) alla base dei gruppi di Lie molto importanti
Pagina 25 di 28 nelle simmetrie del Modello Standard della Fisica (Rif. 5) CONCLUSIONI Possiamo concludere dicendo che tra le sei colonne di numeri della tabella semplificativa, le più importanti sono la 4 e la 6 perché sono alla base della nostra formula dei numeri primi esposta e dimostrata in questo lavoro (nonché anche i semiprimi, alla base della crittografia RSA) per le connessioni con la RH tramite le ipotesi RH equivalenti (Rif. 4) è importante la 5 (numeri di forma 6k, i più abbondanti e alla base della RH1 (Rif. 4), e la 6 è importante per la fisica perché contiene i numeri di Lie (Rif. 5a e 5b)
Pagina 26 di 28 3. REFERENCES 1) QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE LE FORME 6K + 1 E LORO INFINITA Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show the Eulero s formula x^2+ x + 41 and quadruples of prime numbers by means forms 6k + 1, and their infinity sul nostro sito, file : nardelli.xoom.it/.../quadruple%20%20di%20%20numeri%20%20... 2) Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = N per una fattorizzazione più veloce Francesco Di Noto, Michele Nardelli (Gruppo B.Riemann ) 3) IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE Gruppo B.Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli 4) Ipotesi RH equivalenti, le funzioni σ(n), φ(n), (n) e le forme numeriche 6k +1 (Accenno finale alla relazione Fattorizzazione veloce RH) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero
Pagina 27 di 28 5a) L EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA E I RELATIVI GRAFICI PARABOLICI Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli 5b) L EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2+ n +1 (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa) GRUPPO B. RIEMANN Francesco Di Noto, Michele Nardelli 6) I numeri semiprimi e i numeri RSA come loro sottoinsieme Francesco Di Noto, Michele Nardelli Altri riferimenti utili: 7) Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1 Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero 8) I tre principi matematici alla base delle teorie di stringa
Pagina 28 di 28 (geometrico, aritmetico, algebrico) Francesco Di Noto, Michele Nardelli