Corporate finance 2e Capitolo 4 Valore attuale e flussi di cassa 1
Panoramica del capitolo Valutazione: il caso uniperiodale Valutazione: il caso multiperiodale Periodi di capitalizzazione Semplificazioni Quanto vale un impresa?
Valutazione uniperiodale: un esempio Pedro sta cercando di vendere un appezzamento di terreno in Andalusia. Ieri gli hanno offerto 10 000. Stava per accettare la proposta quando un altra persona gli ha offerto 11 424, che gli verrebbero pagate tra un anno. Pedro ha accertato che entrambi i potenziali clienti sono onesti e solvibili, perciò non teme che le lo possano raggirare. Quale offerta dovrebbe scegliere?
Soluzione VA = 11 424/1.12 = 10 200 Investite 10 000 al tasso di interesse del 12% e dopo un anno avrete 11 200 Rispetto a 11 424, la seconda opzione è preferibile In alternativa, attualizzate 11 424 al valore di oggi (Valore attuale) e avrete 10 200 Rispetto a 10 000 oggi, la seconda opzione è preferibile Entrambi gli approcci portano alla stessa decisione
Formula per la valutazione uniperiodale VA = C1/(1 + r) dove C 1 è il cash flow alla data 1 e r è il tasso di rendimento che richiede Pedro dalla vendita del suo terreno. Si chiama anche tasso di attualizzazione
Valutazione: il caso multiperiodale Valore futuro e capitalizzazione Il potere della capitalizzazione Valore futuro e capitalizzazione La formula algebrica
Valore futuro e capitalizzazione Supponete di depositare in banca 1 per un anno la tasso d interesse del 9%. Quanto varrà tra un anno? 1 x (1 + r) = 1 x 1.09 = 1.09 Che cosa accade se lasciate quella somma sul conto per un altro anno? 1 x (1 + r) x (1 + r) = 1 x (1 + r) 2 = 1 + 2r + r 2 1 x (1.09) x (1.09) = 1 x (1.09) 2 = 1 + 0.18 + 0.0081 = 1.1881
Formula mutiperiodale Valore futuro di un investimento: VF = C 0 (1 + r) T
Il potere della capitalizzazione Interesse semplice R = 8.47 % Investite 1 per 208 anni Interesse = 0.0847 Valore dell investimento dopo 208 anni: 1 + (208 x 0.0847) = 1 + 17.62 = 18.62 Interesse composto R = 8.47 % Investite 1 per 208 anni Valore dell investimento dopo 208 anni FV = 1(1.0847) 208 = 22,100,655 C è una bella differenza!
Valore attuale e attualizzazione Valore attuale e attualizzazione: C PV t T (1 r )
Esempio 4.5: Attualizzazione multiperiodale Il Sig. Bianchi riceverà 10 000 tra tre anni. Il Sig. Bianchi può ottenere un interesse dell 8% sul proprio investimento, perciò il tasso di attualizzazione appropriato è l 8%. Qual è il valore attuale del suo cash flow? 1 PV 10,000 1.08 10,000.7938 7,938 3
Esempio 4.6: Trovare il tasso Un cliente di Chaffkin GmbH vuole acquistare un rimorchiatore oggi stesso. Anziché pagare subito, pagherà 50 000 tra tre anni. A Chaffkin GmbH costruire immediatamente il rimorchiatore costerà 38 610. I cash flow di Chaffkin sono visualizzati nella Figura 4.9. A che tasso di interesse Chaffkin GmbH non guadagna né perde dalla vendita?
Esempio 4.6: Trovare il tasso Il rapporto tra costo di costruzione (valore attuale) e prezzo di vendita (valore futuro) è: 38, 610 50,000 0.7722 Il tasso di interesse che consente a 1 da ricevere tra tre anni di avere un valore attuale di 0.7722 è il 9%. Perché?
Esempio 4.6: Trovare il tasso
Esempio 4.7: Valutazione del Cash Flow Paul Draper ha vinto un concorso di parole incrociate e riceverà i seguenti cash flow nei prossimi due anni: Anno Cash Flow 1 2,000 2 5,000 Draper può ottenere attualmente un tasso di interesse del 6% dal suo conto corrente. Qual è il valore attuale dei cash flow?
Il valore attuale netto: la formula algebrica VAN NPV C1 C2 C C T 0 L 1 r 2 (1+ r) (1+ r) T C 0 T i= 1 C i (1+ r) i
Periodi di capitalizzazione A volte l interesse viene applicato più di una volta nel corso dell anno Semestralmente (2 volte all anno) Trimestralmente (4 volte all anno) Mensilmente (12 volte all anno) Settimanalmente (52 volte All anno) Quotidianamente (365 volte all anno) Continuativamente
Formula per capitalizzare gli interessi più di una volta all anno Capitalizzando una somma m volte all anno si ottiene a fine anno un capitale di: C 0 1 (4.6) dove C 0 è l investimento iniziale e r è il tasso di interesse annuo nominale. Il tasso di interesse annuo nominale è il tasso di interesse annuo al netto della capitalizzazione r m m
Esempio 4.9: Tasso d interesse effettivo annuo Quale sarà il capitale di Cristina a fine anno, se riceve un interesse nominale annuo del 24% composto mensilmente su un investimento di 1? 12.24 11 1 (1.02) 12 1.2682 Il rendimento effettivo annuo è il 26.82%. Questo tasso di rendimento annuo prende il nome di tasso annuo effettivo (TAE) o rendimento annuo effettivo (RAE). Grazie alla capitalizzazione, il tasso di interesse effettivo annuo è superiore al tasso di interesse nominale del 24%. 12
Formula del tasso effettivo annuo m r 1 1 m
Capitalizzazione pluriennale FV C 0 1 r m mt
Il tasso di interesse percentuale annuo Molti finanziamenti comportano esborsi aggiuntivi iniziali o finali per spese di gestione, amministrative, ecc. Nell UE, tutti i mutui devono specificare il tasso di interesse effettivo, che include tutti i costi e non solo gli interessi Questo tasso prende il nome di Tasso percentuale annuo o APR (Annual Percentual Rate)
Esempio 4.12: TAEG o APR Il prezzo di vendita dell auto è di 30 000. Il tasso nominale dichiarato è un tasso di interesse semplice del 12% sul capitale finanziato in origine per tre anni, pagabile in 36 rate mensili. La finanziaria addebita anche spese amministrative per 250. Che cosa significa? Il finanziatore applicherà un interesse del 12% annuo sul prestito originario di 30 000 per tre anni. Ogni anno, la quota interessi sarà 3600 (12% di 30 000), per un totale di 10 800 in tre anni.
Esempio 4.12: TAEG Importo originario L automobile costa 30,000 Interessi e spese Il totale degli interessi è 10,800 Le spese amministrative ammontano a 250 Pagamento mensile (30,000 + 10,800)/36 = 1,133.33
Esempio 4.12: TAEG Qual è il TAEG di questo finanziamento? Si ottiene così un tasso percentuale annuo del 24.13%! Il finanziatore deve anche dichiarare la somma totale annua versata alla fine del contratto: in questo caso è 41 049.88, mentre il costo totale del finanziamento è 11 049.88 (41 049.88 30 000).
Capitalizzazione in continuo L interesse viene capitalizzato ad ogni infinitesimo istante FV = C 0 e rt
Esempio 4.14: Valore attuale con la capitalizzazione continua Avete vinto un concorso di parole incrociate, ma il premio di 1000 vi sarà pagato tra quattro anni. Se il tasso di interesse annuo composto in continuo è l 8%, qual è il valore attuale di questa somma? 1 1 1,000 1,000 726.16.08 4 e 1.3771
Semplificazioni Rendita perpetua Rendita perpetua crescente Rendita annua Rendita annua crescente
Rendite perpetue e rendite annue Rendita perpetua Un flusso costante di cash flow che non finisce mai Rendita annua Un flusso costante di cash flow che dura un numero prefissato di periodi
Formula della rendita perpetua PV C C 1 (1 ) 2 C r (1 ) 3 r r L C r
Esempio 4.15: Rendite perpetue Considerate una rendita perpetua che paga 100 all anno. Se il tasso di interesse di riferimento è l 8%, qual è il valore del consol? Supponete ora che il tasso di interesse scenda al 6%. Quale sarebbe il valore del consol?
Rendita perpetua crescente PV C r g
Esempio: Rendite perpetue crescenti Immaginate un condominio di appartamenti in affitto che l anno prossimo procurerà al proprietario dei cash flow al netto delle spese di 100 000. Questi cash flow dovrebbero aumentare del 5% all anno. Il tasso di interese di riferimento è l 11%. Qual è il valore attuale dei cash flow? 100, 000.11.05 1, 666, 667
Alcune osservazioni importanti sulle formule della rendita perpetua Importante! Il numeratore Il tasso di attualizzazione e il tasso di crescita L ipotesi sulla disponibilità temporale dei flussi di cassa
Formula della rendita annua 1 1 PV C r r(1 r) T
Esempio 4.16: Valutazione del premio di una lotteria Il Sig. Verdi ha appena vinto una lotteria che paga 50 000 all anno per vent anni. Riceverà il primo pagamento tra un anno. Gli organizzatori della lotteria l hanno intitolata Il Milionario perché 1000 000 = 50 000 x 20 anni. Se il tasso di interesse è l 8%, qual è il valore effettivo del premio?
Il valore futuro della formula di una rendita annua (1 r) T 1 FV C r r C (1 r) r T 1
Esempio 4.17: Investimento per la pensione Supponete di versare ogni anno 3000 in un conto di risparmio, che vi dà un interesse annuo del 6% al netto delle imposte. Quanto avrete tra 30 anni, quando andrete in pensione?
Formule per il calcolo della rendita annua Aspetti problematici Rendita differita Rendita anticipata Rendita periodale Equalizzare il VA di due rendite
Esempio: Rendita differita Danielle Caravello riceverà una rendita annua di 500 all anno, a partire dalla data 6. Se il tassi di interesse è il 10%, qual è il valore attuale della sua rendita? Come lo calcolate? 1.Attualizzate la rendita riportandola all anno 5 2. Attualizzate il valore della rendita dell anno 5 riportandola all anno 0
Esempio 4.18: Rendite annue differite Fase 1: Attualizzare la rendita all anno 5 1 1 (1.04) 4 500 500.10 Fase 2: Attualizzare la rendita dell anno 5 all anno 0 1, 584.95 A. 4 10 500 3.1699 1, 584.95 (1.10) 5 984.13
Esempio 4.21: Lavorare sulle rendite annue Antonio e Elena Rossi stanno risparmiando per pagare gli studi universitari della foglia neonata Susanna. I coniugi stimano che tra 18 anni, quando Susanna andrà all università, le spese universitarie ammonteranno a 30 000 all anno. Nei prossimi decenni il tasso di interesse sarà del 14%. Quanto devono depositare in banca ogni anno in modo che le spese universitarie della figlia siano totalmente coperte per tutti i quattro anni di università?
ESEMPIO 4.21: Equalizzare il valore attuale di due rendite annue Tre fasi: 1.Calcolare il valore delle spese universitarie all anno 17 2.Calcolare il valore delle spese universitarie all anno 0 3.Calcolare il cash flow che equalizza i versamenti effettuati dall anno 1 all anno 17 al valore delle spese universitarie all anno 0
ESEMPIO 4.21: Equalizzare il valore attuale di due rendite annue 1. 1 1 (1.14) 4 4 30, 000 30.000 A.14.14 30, 000 2,9137 87, 411 2. 87, 411 (1.14) 17 9, 422.91 3. 17 C A.14 9, 422.91 C 9, 422.91 6.3729 1, 478.59
Rendita annua crescente 1 g T PV C 1 1 r r g
Esempio 4.22: Rendite annue crescenti Gabriele, che frequenta il secondo anno dell MBA, è stato appena offerto un posto di lavoro da 80 000 all anno. Prevede che il suo stipendio crescerà del 9% all anno fino a quando andrà in pensione, tra 40 anni. Se il tasso di interesse è il 20%, qual è il valore attuale dei suoi introiti complessivi da lavoro?
Esempio 4.22: Rendite annue crescenti Applicate la formula della rendita annua crescente a 9422.91 e risolvete per C: C T 17 1 g 1.04 1 1 1 r 1.14 C r g.14.04 9, 422.91 Qui, C = 1,192.78.