EQUAZIONE DI STATO e LEGGI DEI GAS esercizi risolti Classi quarte L.S. In questa dispensa verrà riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti l'equazione di stato dei gas perfetti e le principali trasformazioni termodinamiche. Riprendiamo alcuni concetti utili. TRASFORMAZIONE ISOBARA: Trasformazione dello stato di un gas che avviene senza variazione della pressione a cui è soggetto il gas stesso (es. variazione della temperatura e quindi del volume di un gas entro cilindro con pistone mobile che esercita sul gas sempre la stessa pressione). Il legame a pressione costante, tra V e T è espressa dalla prima legge di Gay-Lussac o legge di Volta : V f = V 0 ( + αt ) ove V f è il volume nale del gas (espresso in qualsiasi udm), V 0 il volume che il gas ha alla temperatura di 0 C e T la temperatura nale del gas, espressa in gradi Celsius. Se le temperature sono espresse in gradi Kelvin, si ha che: V T = cost Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento orizzontale. TRASFORMAZIONE ISOCORA: Trasformazione dello stato di un gas che avviene senza variazione del volume (es. variazione della temperatura e quindi della pressione di un gas entro cilindro con pistone bloccato). Il legame a volume costante, tra T e P è espressa dalla seconda legge di Gay-Lussac o legge di Charles: P f = P 0 ( + αt ) ove P f è la pressione nale del gas (espressa in qualsiasi udm), P 0 la pressione che il gas ha alla temperatura di 0 C e T la temperatura nale del gas, espressa in gradi Celsius. Se le temperature sono espresse in gradi Kelvin, si ha che: P T = cost Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un segmento verticale. TRASFORMAZIONE ISOTERMA:Trasformazione che avviene mantenendo costante la temperatura del gas, producendo quindi una variazione di pressione in seguito ad una varazione di volume o viceversa.e' espressa dalla legge di Boyle-Mariotte : P V = K P 0 V 0 = P V =... Sul piano di Clapeyron (V, P ) è denotata da un ramo di iperbole equilatera. Equazione di stato dei gas perfetti: Legge che descrive lo stato termodinamico di un gas perfetto a partire da due qualsiasi delle sue variabili termodinamiche macroscopiche P, V, T ovvero un legame analitico fra queste tre grandezze. Può essere espressa nelle tre dierenti forme: P V = n R T ove P e V rappresentanop rispettivamente la pressione (in P a) ed il volume (in m 3 ), n è il numero di moli del gas, R è una costante e vale per tutti i gas 8, 34J/mol K e T è la temperatura assoluta.
Ricordando poi che n = N N A, ove N è il numero totale di particelle del gas e N A il numero di Avogadro (6, 03 0 3 particelle/mole), denendo K B = R N A =, 38 0 J/K, costante di Boltzmann, si ha anche: P V = N K B T Inne, la legge si può anche esprimere come: P V T = cost esercizi sulle LEGGI DEI GAS Un gas ha inizialmente una pressione pari a P 0 =, 3 0 5 P a ed un volume di 5 litri. Se mantenendo costante la temperatura lo si porta alla pressione atmosferica, quale volume andrà ad occupare? Si tratta di una trasformazione isoterma (T =cost), tra lo stato iniziale S 0 (5 l;, 3 0 5 P a) e nale S f (V f ;, 03 0 5 P a). Visto che la pressione deve diminuire, il gas subirà un incremento di volume. Applicando la legge isoterma, si ha: P 0 V 0 = P f V f V f = P 0 V 0 =, 3 05 5 =, 35 l P f, 03 05 Un gas che alla temperatura T 0 = 73 K ha un volume pari a V 0 = m 3. Di quanto cambia il suo volume se viene portato isobaricamente alla temperatura T f = 300 K? Si tratta si una trasformazione isobara (P =cost), che consiste in un riscaldamento ( T = 300 73 = 7 K) in seguito al quale il gas deve aumentare di volume. Visto che la T è espressa in Kelvin, usiamo la legge isobara nella forma V/T = cost, avendo che: V 0 T 0 = V f V f V F = V 0 Tf = 300 =, m3 T 0 73 Se avessimo voluto applicare la legge nella prima forma avremmo avuto, visto che abbiamo il volume V 0 a T = 0 C, e che T f = 300 K = 300 73, 6 = 6, 84 C: 3 V f = V 0 ( + 73, 6 T ) = ( + 6, 84) =, m3 73, 6 Una pentola a pressione fa scattare la valvola di sicurezza se, riscaldandola, la pressione al suo interno raggiunge P = 3 Atm. Supponendo che all'interno della pentola ci sia, inizialmente, del vapore acqueo in condizioni normali, a quale temperatura si trova il vapore quando scatta la valvola? E' chiaro che il gas subisce un incremento di pressione a seguito di un riscaldamento a volume costante, quindi si tratta di una trasformazione isocora (V =cost). Ricordiamo che per condizioni normali si intendono i valori P 0 = Atm e T 0 = 73 K. Quindi, in tale esercizio, disponiamo del valore di P 0, pressione a T = 0 C.
Applicando la seconda legge di Gay-Lussac si ha, essendo P f = P 0 ( + 73, 6 T ): T f = P f 3 P 0 /73, 6 = = 546, 3 C /73, 6 La temperatura nale vale allora T f = 546, 6 C. Potevamo eettuare il calcolo anche con la seconda forma della legge isocora, visto che abbiamo la temperatura espressa in Kelvin P 0 T 0 = P f T f T f = P f P 0 T 0 che equivalgono proprio ai 546 C trovati sopra! = 3/ 73, 6 = 89, 3 K 4 Un gas subisce una trasformazione isocora che lo porta dallo stato S A (P A = Atm; T A = 00 K) allo stato S B (V B = 5 l; T B = 400 K) e successivamente una trasformazione isoterma che lo porta allo stato S C (V C = 8 l). Calcolare il valore di P C. Si tratta di una successione di due trasformazioni in sequenza. Per calcolare il valore della pressione nale, si dovrà usare la legge isoterma di Boyle: P C V C = P B V B P C = V B P B V C Noto il valore di V C, sarà necessario calcolarci i valori inerenti lo stato S B a partire dallo stato S A. La transizione da S A a S B avviene tramite una isocora. Osservato che non conosciamo il valore di P 0, pressione a zero Celsius, dobbiamo usare la seconda forma della legge isocora, visto che T è espressa in Kelvin, ottenendo: P A T A = P B T B P B = P A TA T B = 400 00 = Atm Il volume V B coincice con V A, in quanto la trasformazione è isocora, quindi V B = 5 l. Con tale dato, andiamo a calcolare il valore di P C con la legge di Boyle. La pressione nale vale allora: P C = V B P B = 5 =, 5 Atm V C 8 N.B. Se avessimo voluto invece usare la prima forma della legge isocora, nella omonima trasformazione fra lo stato A e lo stato B, avremmo prima dovuto calcolare la pressione a T = 0 C, a partire dallo stato A Per la seconda legge di Gay-Lussac: P A = P 0 ( + 73, 6 T A) P 0 = Ove T A = 00 73, 6 = 73, 6 C. Inserendo i dati: + P A 73, 6 T A P 0 = =, 366 Atm + 73, 6 ( 73, 6) Ora possiamo applicare la legge nella prima forma, per trovare P B. Osservato che T B = 400 73, 6 = 6, 84 C: [ ] P B =, 366 + 6, 84 = Atm 73, 6 che, come si vede, coincide col valore trovato direttamente con la seconda forma! 3
5 Un gas eettua una trasformazione isoterma AB alla temperatura T = 60 C e successivamente un'isobara BC. Calcolare la temperatura nello stato C, sapendo che P A = 4 0 5 P a, che P B =, 5 0 5 P a, V A = 7 dm 3 e V C = 0 dm 3 Applichiamo in sequenza le due trasformazioni, calcolando tutti i parametri degli stati:. Isoterma AB: dello stato nale B è nota solo la prressione, per cui ricaviamo il volume dalla legge di Boyle: P A V A = P B V B V B = P A V A P B = 8, 67 dm 3. isobara BC: ricaviamo la temperatura nale che permette di contrarre il volume dal valore V B al valore V C < V B. Applichiamo la prima legge di Gay-Lussac nella seconda forma, osservato che T B = 60 + 73, 6 = 333, 6 C: La temperatura dello stato C è pertanto: V B = V C T C = T B VC 0 = 333, 6 T B T C V B 8, 67 = 78, 4 K T C = 78, 4 K EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 6 Calcolare il volume iniziale di un gas che si trova alla temperatura di 300K e alla pressione di Atm, che viene portato ad occupare un volume di 0l alla temperatura di 80K e alla pressione di, 5Atm. Il gas risulta compresso o dilatato? Ricaviamo, dalla conoscenza completa dello stato C, il numero di moli n. Ovviamente V f = 0 l = 0, 0 m 3, P f =, 5 Atm =, 5, 03 0 5 P a =, 535 0 5 P a. Si ha: 7 n = P f V f =, 535 05 0, 0 =, 088 R T f 8, 34 80 Conoscendo il numero di moli, deduciamo, per lo stato iniziale, il valore del volume: V 0 = n R T 0 P 0 =, 088 8, 34 300, 03 0 5 = 0, 03 m 3 n =, 5 moli di un gas perfetto, contenute in un volume V = 80 l sono compresse isotermicamente da uno stato A ad uno stato B, aumentando la pressione da P A =, 5 Atm a P B =, 8 Atm. Raggiunto lo stato B, si aumenta ancora la pressione mantenendo costante il volume, sino a giungere alla temperatura T C = 60 K. Calcolare la pressione P C. La pressione dello stato nale C, dipenderà da quella dello stato B intermedio secondo la legge isocora: P C T C = P B T B La pressione P B e la temperatura nale T C sono note: ci manca la temperatura T B. Essa, che è pari a quella nello stato iniziale T A, si può calcolare dall'equazione di stato, appplicata allo stato A: T A = T B = P A V A n R Facciamo attenzione a trasformare le unità di misura: V A = 80 l = 0, 08 m 3 4
P A =, 5 Atm =, 5, 03 0 5 =, 595 0 5 P a Ponendo i valori numerici nell'equazione precedente, si ha: Usiamo ora la legge isocora: T A = T B =, 595 05 0, 08, 5 8, 34 = 584, 84 K P C = P B TC 60 =, 8 =, 9 Atm T B 584, 84 8 Quale è il volume occupato da 0 g di gas Neon alla temperatura T = 5 C e a pressione ordinaria, sapendo che la sua massa molare è m mol = 0, 8 g? Ovviamente T = 5 + 73 = 98 K e P = Atm =, 03 0 5 P a. Il volume inerente lo stato del gas si determina con l'equazione di stato, a patto di determinare prima il numero n di moli. Sapendo che Si ha che n = 0/0, 8 = 0, 495moli. Applicando l'equazione di stato si ha: n = m m mol V = n R T P = 0, 498 8, 34 98, 03 0 5 = 0, 0 m 3 9 A quale pressione 4 moli di ossigeno si trovano ad una temperatura T = 5 C in un volume V = 3, l? Convertendo le unità di misura, si ha ovviamente T = 5 + 73 = 98 K e V = 3, l = 0, 003 m 3. Applicando l'equazione di stato, si ha: P = n R T V che corrisponde a circa 30, 57 Atm. = 4 8, 34 98 0, 003 = 3, 097 0 5 P a 0 3 moli di gas perfetto alla temperatura di T A = 400 K e alla pressione di P A =, 5 Atm subiscono un'espansione isoterma AB in modo che nello stato B il volume sia doppio. Il gas è quindi compresso isobaricamente sino a tornare al volume di partenza. Determina lo stato nale del gas. Se la trasformazione AB è isoterma, ovviamente T A = T B e se è V B = V A, allora sarà anche P B = P A =, 5 Atm. Se l'ultima trasformazione è isobara, allora P B = P C = P A =, 5 Atm. Sappiamo anche che l'ultima trasformazione riporta il volume al valore iniziale, per cui V C = V A Dunque, applicando la prima legge di Gay-Lussac: V B = V C V A T C = T B V C V B = T A = T A T B T C V A = 00 K Riassumendo, gli stati sono caratterizzati da: STATO A: (V A,, 5 Atm, 400 K) STATO B: (V A,, 5 Atm, 400 K) 5
STATO A: (V A,, 5 Atm00 K) Lo stato C si trova compiutamente applicando indierentemente l'equazione di stato coi valori di T A e P A, oppure coi valori di T C e P C. Si ha dunque: V C = V A = n R T A 3 8, 34 400 = P A, 5, 03 0 5 = 0, 039 m3 = 39 l 6