Formulario di Termodinamica

Formulario di Termodinamica Punto triplo dell acqua: T triplo = 273.16 K. Conversione tra gradi Celsius e gradi Kelvin (temperatura assoluta): t( C) = T (K) 273.15 Conversione tra Caloria e Joule: 1 cal = 4.186 J T.1 Calorimetria Capacità termica di un corpo: C = dq Calore specifico: c m = C m = 1 dq m Calore specifico molare: c = 1 dq n (capacità termica dell unità di massa) (capacità termica di una mole di sostanza) m = massa che cambia fase Cambiamenti di fase: Q = mλ λ = calore latente NB: il simbolo d indica un differenziale non esatto, infatti la quantità di calore scambiato ed i calori specifici dipendono dal tipo di trasformazione. T.2 Conduzione del calore Legge di Fourier: Q = k dx S t Passaggio di calore da un solido ad un fluido (Solido a temperatura T, fluido a temperatura T 0 ) Legge di Newton: Q = h(t T 0 )S t k = conducibilità termica /dx = gradiente di temperatura S = superficie attraversata dal calore t = intervallo di tempo h = conducib. termica esterna S = superficie di contatto t = intervallo di tempo Irraggiamento Potere emissivo ε: energia emessa dall unità di superficie nell unità di tempo. e = emissività (0 < e < 1) Legge di Stefan-Boltzmann: ε = σet 4 (e = 1: superficie nera) σ = 5.67 10 8 J/(m 2 sk 4 ) T = temperatura assoluta T.3 Dilatazione termica di solidi e liquidi Coefficiente di dilatazione lineare: λ = 1 l l T l = λl T l = l 0 ( 1 + λ(t T0 ) ) Coefficiente di dilatazione volumica: α = 1 T ( = α T = 0 1 + α(t T0 ) ) Per materiali isotropi: α = 3λ. T.4 I principio della Termodinamica In un sistema che compie una trasformazione vale la relazione seguente tra: variazione di energia interna U, calore scambiato Q e lavoro scambiato W : Q = U + W Q > 0 W > 0 se ceduto dall esterno al sistema se compiuto dal sistema sull esterno 1

T.5 Energia interna U In una trasformazione B: U non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dagli stati e B: U = U B U (funzione di stato). In una trasformazione in cui il sistema torna nello stato iniziale: U = 0 Trasformazione infinitesima: dq = du + dw Trasformazione adiabatica: dq = 0, Q = 0, W = U Trasformazione reversibile: in ogni stato intermedio il sistema è in equilibrio termico e meccanico con l esterno. Trasformazione irreversibile: il sistema passa attraverso stati di non equilibrio. T.6 Gas ideali Numero di vogadro: N = 6.02214 10 23 molecole/mol Costante dei gas: R = 8.314 J/mol K Costante di Boltzmann: k B = R = 1.3807 10 23 J/K N p = pressione del gas = volume T = temperatura assoluta n = numero di moli N = numero di molecole m = massa di una molecola = massa molare M = massa del gas ρ = densità del gas = mn N = nn M = mn ρ = mn = M Equazione di stato dei gas ideali: p = nrt p = Nk B T p = ρrt Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione p W = p est d est =pressione esterna, cioè la forza per unità di superficie che si oppone dall esterno al gas Se la trasformazione è reversibile: p est = p( ) = p gas nrt W rev = p( )d = d Se la trasformazione è irreversibile ma la pressione esterna è nota e costante: W = p est Calore specifico molare di un gas ideale volume costante (trasf. isocora): c = 1 ( ) dq n pressione costante (trasf. isobara): c p = 1 ( ) dq = 1 n p n ( ) dh p gas ideali monoatomici: c = 3 2 R = 12.47 J mol K, c p = 5 2 R = 20.79 J mol K Relazione di Mayer: gas ideali biatomici: c = 5 2 R = 20.79 J mol K, c p = 7 2 R = 29.10 J mol K Costante adiabatica: R = c p c γ = c p c γ > 1 c = R γ 1 2 c p = γr γ 1

gas ideali monoatomici: γ = 5 3 gas ideali biatomici: γ = 7 5 Coefficiente di compressibilità β: 1 β = 1 d dp Compressibilità isoterma di un gas ideale: β T = p Compressibilità adiabatica di un gas ideale: β S = γp Energia interna di un gas ideale du = nc c = 1 n du U = nc T + cost. Trasformazioni Trasformazione adiabatica dallo stato allo stato B: Q = 0 W = U = nc T = nc (T B T ) = p p B B γ 1 Trasformazione adiabatica reversibile: T γ 1 = cost. p γ = cost. T p 1 γ γ = cost. Trasformazione isoterma dallo stato allo stato B: T = T B U = 0 Q = W p = p B B = nrt Trasformazione isoterma reversibile: W = B pd = nrt log B Trasformazione isocora dallo stato allo stato B: = B W = 0 Q = U = nc (T B T ) Trasformazione isobara dallo stato allo stato B: p T = p B T B = nr p = p B Q = nc p (T B T ) W = p ( B ) = nr(t B T ) U = Q W = nc (T B T ) T = B T B = nr p Entalpia: H = U + p dh = nc p H = funzione di stato. Trasformazione ciclica: U ciclo = 0 Rendimento di una macchina termica: Q ciclo = W ciclo Q ciclo = Q assorbito + Q ceduto = Q assorbito Q ceduto W ciclo = W compiuto + W subito = W compiuto W subito η = W ciclo Q assorb = Q ciclo = 1 Q ced 0 < η < 1 Q assorb Q assorb Efficienza (o coefficiente di prestazione) di un ciclo frigorifero: ξ = Q assorb W ciclo NB: l efficienza di un ciclo frigorifero è anche detta coefficiente frigogeno e indicata, oltre che con la lettera ξ, anche con ε o K. Ciclo di Carnot BCD (T 2 > T 1 ): B: espansione isoterma reversibile a T = T 2 : Q B = W B = nrt 2 log B = Q assorb 3

BC: espansione adiabatica reversibile: Q BC = 0, T 2 γ 1 B CD: compressione isoterma reversibile a T = T 1 : D: compressione adiabatica reversibile: Q D = 0, T 2 γ 1 Rendimento: η Carnot = 1 T 1 T 2 Efficienza a funzionamento inverso (frigorifero): ξ Carnot = T 1 T 2 T 1 = T 1 γ 1 C Q CD = W CD = nrt 1 log D C = T 1 γ 1 D = Q ced Teoria cinetica dei gas ideali pressione: p = Nm v 2 3 = 2 N 3 E k Energia cinetica media di una molecola: E k = 1 2 m v2 = 3 2 k BT Equipartizione dell energia: ogni grado di libertà ha energia media = 1 2 k BT Legge di Dalton per le miscele di gas: p = i p i = RT i n i Distribuzione delle velocità di Maxwell N 0 = numero di molecole di gas, T = temperatura assoluta Distribuzione di una componente della velocità: m 2 dn(v x ) = N 0 2πk B T e mv x /2kBT dv x Distribuzione del modulo della velocità: ( ) 3/2 m dn(v) = N 0 4πv 2 e mv2 /2k BT dv 2πk B T 2kB T elocità più probabile: v p = m elocità media: v m = 2 8kB T v p = π πm 3 elocità quadratica media: v q = v 2 = 2 v 3kB T p = m Libero cammino medio: (d = diametro delle molecole, n = N0 = num. di molec. nell unità di volume) λ = 1 2π n d 2 = k BT 2π p d 2 iscosità: η = 1 3 nmv qλ = mv q 3 2πd 2 T.7 Gas reali Equazione di stato dei gas reali (an der Waals) ) (p + a n2 ( nb) = nrt 2 (p + a ν 2 ) (ν b) = RT n = numero di moli a, b = parametri tipici del gas ν = n = volume specifico molare T c, p c, ν c = coordinate termodinamiche del punto critico p c ν c = 3 8 RT c a = 3 ν 2 c p c b = ν c /3 Formula di Clapeyron : 4

(trasform. da stato 1 a stato 2, ν i = vol. spec. mol., λ = calore latente) dp = T (ν 2 ν 1 ) λ Teoria cinetica dei gas reali a = αn 2, b = 4 2πN r 3 dp = λ T (ν 2 ν 1 ) α = coeff. dipendente da forze intermolecolari r = raggio delle molecole Energia interna di un gas reale: du = nc + na 2 d U = nc T na + cost. T.8 II principio della Termodinamica Teorema di Carnot: data una macchina termica che lavora scambiando calore con due sorgenti termiche a temperatura T 1 e T 2 > T 1 : η rev = η Carnot = 1 T 1 T 2 η irrev < η Carnot Teorema di Clausius: data una macchina termica che lavora scambiando calore con n sorgenti termiche (sia Q i il calore scambiato con l i-esima sorgente a temperatura T i ): n Q i 0 (l uguaglianza vale per cicli reversibili) T i i=1 Nel limite in cui il numero di sorgenti diventa infinito: dq T = 0 (rev.) dq T < 0 (irrev.) T.9 Entropia S S = funzione di stato. In una trasformazione dallo stato allo stato B: S = S S B = NB: qualunque sia la trasformazione tra lo stato e lo stato B, l integrale nella formula precedente va calcolato lungo una trasformazione reversibile qualsiasi che lega i due stati. B In una trasformazione adiabatica reversibile: S = 0. In una trasformazione ciclica il sistema torna nello stato iniziale: l ambiente esterno può avere S (ciclo) amb = 0 (trasf. rev.) oppure S (ciclo) amb quindi S (ciclo) = universo S(ciclo) + S (ciclo) = S (ciclo) sist amb amb dq T S (ciclo) sist { = 0 trasf. rev. > 0 trasf. irrev. = 0, mentre > 0 (trasf. irrev.), Scambio di calore Q tra due sorgenti a temperature T 1 e T 2 > T 1 : S 1 = Q T 1 S 2 = Q T 2 S universo = S 1 + S 2 > 0 Corpo di massa m e calore specifico c m a temperatura iniziale T 1 messo a contatto con sorgente di calore a temperatura T 2 : S corpo = mc m T2 Cambiamento di fase: T 1 T = mc m log T 2 T 1 S sorgente = mc m(t 2 T 1 ) T 2 S universo = S corpo + S sorgente > 0 S = mλ T (λ = calore latente) 5

Entropia di un gas ideale: S = nc log T + nr log + cost. ariazione di S in una trasformazione tra lo stato e lo stato B (tutte le espressioni seguenti sono equivalenti): B ) ( dq S = S B S = = nc log T B + nr log B = nc log T B γ 1 B T T rev T γ 1 In particolare, per una trasformazione = nc log p B + nc p log B p = nc p log T B nr log p B T p isoterma: S B S = nr log B isocora: S B S = nc log T B T isobara: S B S = nc p log T B T = nr log p B p = nc log p B p = nc p log B = nc log p B γ B p γ = nc p log T Bp (1 γ)/γ B T p (1 γ)/γ Entropia di un gas reale: (b = parametro dell eq. di an der Waals) S = nc log T + nr log( b) + cost. Energia inutilizzabile E inut = T min S universo T min = Temperatura minima delle sorgenti coinvolte nel processo Formula di Boltzmann S = k B log N + cost. N= numero di configurazioni del sistema T.10 III principio della Termodinamica lim S rev = 0 S(T = 0) = 0 T 0 Calore specifico molare (c X = c o c p ): c X = 1 ( ) dq = 1 ( ) S n X n log T X lim c X(T ) = 0 T 0 T.11 Potenziali termodinamici Entalpia libera: G = U + p T S (equilibrio: G minima) Energia libera: F = U T S (equilibrio: F minima) Entalpia: H = U + p (equilibrio: H minima) 6