Operazioni aritmetiche fondamentali in N Addizione Operazione che a due numeri (addendi) ne associa un terzo (somma) ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne rappresenta il secondo. L addizione è un operazione interna ad N2 (N è chiuso rispetto all addizione). + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 La tabella è completa perché l'addizione è un'operazione sempre possibile. La prima colonna e la prima riga sono uguali all'entrata perché l'operatore è (+0). Poiché lo zero non modifica niente si chiama elemento neutro. Sulla diagonale principale, si trovano i numeri pari. Essa funziona come uno specchio: i numeri che si trovano alla stessa distanza, sia a destra sia a sinistra della diagonale, sono uguali. La diagonale principale è asse di simmetria. La diagonale secondaria, divide la tabella in due metà: nella parte sinistra della diagonale si trovano tutti i numeri inferiori a 10 (formati solo di unità), nella parte destra ci sono tutti numeri superiori a 10 (formati da due cifre, decine e unità). In tutta la tabella si alternano scalette dispari e scalette pari. Ogni numero compare un numero finito di volte, cioè sempre una volta in più del numero stesso.
Sottrazione Operazione inversa all addizione che risolve l equazione a + x= b ossia risponde alla domanda: quale numero x bisogna aggiungere ad a per ottenere b? I termini di una sottrazione si dicono minuendo (il primo numero) e sottraendo (secondo numero, il risultato è detto differenza che si ottiene togliendo al minuendo tante unità quante indicate dal sottraendo. La sottrazione non è interna all insieme N (N è aperto rispetto alla sottrazione). Proprietà Invariantiva ossia aggiungendo o togliendo uno stesso numero n da entrambi i termini di una sottrazione la differenza non cambia. Caratteristiche particolari: a a= 0; a 0=a; 0 - a non ha risultato in N. - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 0 4 4 3 2 1 0 5 5 4 3 2 1 0 6 6 5 4 3 2 1 0 7 7 6 5 4 3 2 1 0 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 La tavola della sottrazione non è completa, perché la sottrazione non è un'operazione sempre possibile. La prima colonna è uguale all'entrata perché l'operatore è 0. Lungo la diagonale principale si allineano tutti gli zeri. Questo succede quando si sottraggono due numeri uguali. Ogni numero compare lungo una diagonale. Se prolungassimo la tabella lo stesso numero comparirebbe infinite volte In tutta la tabella si alternano diagonali con numeri dispari e numeri pari. La diagonale principale non è asse di simmetria come nella tavola dell'addizione. Infatti la sottrazione non è un'operazione "commutativa": se cambia l'ordine dei termini la differenza non è la stessa.
Moltiplicazione Operazione che a due numeri detti fattori5 ne associa un terzo, detto prodotto, addizionando tanti addendi uguali al primo fattore quante sono le unità del secondo. La moltiplicazione si simboleggia con a *b oppure con a x b. * 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 La tabella della moltiplicazione è completa, perché se si moltiplicano due numeri naturali si ottiene sempre un risultato tra i numeri naturali, cioè il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale. La prima colonna e la prima riga hanno tutte le caselle occupate dallo zero, perché lo zero annulla tutti i prodotti e per questo si chiama "elemento assorbente". I numeri pari e i numeri dispari si comportano come viene illustrato nelle tabelle a fianco. P X P = P P X D = P D X P = P D X D = D Se moltiplico un numero per 1 il prodotto rimane invariato; perciò è l'elemento neutro La diagonale principale, è l'asse di simmetria. I numeri si rispecchiano perché la moltiplicazione è un'operazione commutativa: se si invertono i fattori il prodotto non cambia. Lungo la diagonale principale si allineano i numeri quadrati: questo succede quando l'entrata è uguale all'operatore.
Divisione Operazione inversa alla moltiplicazione ossia risponde alla domanda quale numero x bisogna moltiplicare per a per ottenere b? La divisione tra due numeri a, b si può indicare con : o /. Il risultato di una divisione viene detto quoziente o quoto mentre i termini dividendo e divisore. Il quoziente si può interpretare come a) il numero che si ottiene suddividendo il dividendo in tante parti uguali quante ne indica il divisore (es. 32 : 8 = 4 ossia se divido 32 in 8 parti uguali ciascuna vale 4) b) il numero che indica il numero di volte che il divisore è contenuto nel dividendo (es. 32 : 8 = 4 ossia 8 è contenuto nel 32 quattro volte) La divisione tra due numeri a (dividendo) e b (divisore) può essere a) esatta, quindi indicando con c il quoziente si ha che b * c= a b) non esatta, ossia c è un resto r per cui b * c +r=a La divisione non è interna all insieme N (N è aperto rispetto alla divisione). Proprietà : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ind 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 imp 1 2 Imp 2 1 3 Imp 3 1 4 Imp 4 2 1 5 Imp 5 1 6 Imp 6 3 2 1 7 Imp 7 1 8 Imp 8 4 2 1 9 imp 9 3 1
Priorità delle operazioni nello svolgimento di un espressione numerica Moltiplicazione e divisione nell ordine in cui si presentano Addizione e sottrazione nell ordine in cui si presentano L ordine può essere alterato dalle parentesi Espressione con parentesi operazioni in parentesi rotonde operazioni in paracentesi quadre operazioni in parentesi graffe