Seminario Matematica e Musica Marco Costanzi Stefano Maragnoli Percorsi disponibili: Matematici e musici nella storia Evoluzione della notazione. 1
Pitagora (6 sec. a.c.) e i Pitagorici Lo scrittore Proclo (5 sec) scrive che le scienze matematiche si dividevano in concernenti la QUANTITÀ concernenti la MISURA ARITMETICA (quantità in quanto tale) MUSICA (relazioni tra quantità) GEOMETRIA (misura a riposo) GEOMETRIA SFERICA (misura del movimento di oggetti) Cassiodoro dividerà ulteriormente la Musica in ARMONIA (scienza che distingue i suoni in base all altezza) MUSICA RITMICA (spiega se i suoni (così come le parole nel linguaggio) combinati assieme suonano più o meno bene) METRICA (scienza che dà le indicazioni sulla lunghezza dei suoni) 2
Pitagora (6 sec. a.c.) e i Pitagorici Pitagora fu uno dei primi a dedicarsi al problema dello studio dei rapporti intercorrenti tra i diversi suoni, più o meno distanti, e ad analizzare gli intervalli musicali dal punto di vista di rapporti e proporzioni. A Pitagora è attribuita la prima scala musicale (la scala pitagorica, appunto). È a Pitagora infine che molti storici fanno risalire la dottrina dell Armonia Armonia Universale che sarà alla base delle scienze matematiche successive. ARCHYTAS di Tarentum (ca. 4 sec. A.C.) Fu il primo di cui si ha notizia che cercò di scoprire una relazione tra Movimenti dei corpi celesti Geometria Aritmetica Musica Inoltre a lui si deve il proseguimento dello studio delle scale. 3
Platone (4 sec. A.C.) Cercò di sostenere che la musica avesse in sé un carattere razionale, e pertanto potesse esser messa in relazione con le scienze contemporanee, e fu il primo a lanciare l idea di ricercare una unità di misura minima per il riconoscimento della durata delle note e un altra per l altezzaaltezza di esse. Aristosseno (discepolo di Aristotele) Rifiutò la tradizione Pitagorico-Platonica precedente secondo cui i suoni e gli intervalli corrispondevano a particolari intervalli razionali e si prefissò di studiare tutti i suoni e tutti gli intervalli musicali, anche quando non corrispondevano ad alcuna proporzione razionale, comunicando l idea cioè che anche nella musica vi potesse essere una sorta di continuità, esattamente come nel campo matematico l insieme Q può essere espanso attraverso l introduzione dell insieme R. 4
Aristosseno (discepolo di Aristotele) Delle moltissime opere sue di cui possediamo i titoli, due sono state parzialmente conservate e sono gli Elementi di armonia e gli Elementi ritmici, dove Aristosseno espone e sistema gli elementi della teoria musicale greca, rilevando inoltre un interessante pensiero estetico: un idea di quel che sia o come debba essere intesa l opera d arte musicale. Purtroppo è andata perduta un opera intitolata Sull ascoltare musica nella quale pare Aristosseno riconoscesse la funzione fondamentale della memoria nella intelligenza della musica: Di queste due cose, invero, la musica è coesistenza: sensazione e memoria. Bisogna infatti sentire ciò che accade e ricordare ciò che è accaduto. Sant Agostino(354-430) Con il suo Trattato sulla Musica, che in realtà prenderà in considerazione principalmente uno dei tanti aspetti musicali, il Ritmo, sant Agostino esprime la sua concezione di musica intesa come numero sonoro, fornendo quindi un importante correlazione tra i due mondi matematico e musicale. Viceversa, non solo la musica è vista in termini matematici, ma per sant Agostino anche il concetto di proporzione musicale si può utilizzare per l analisi di tutte le altre manifestazioni di bellezza artistica. 5
Boezio (476-525) Costituì un importantissimo tramite tra la cultura classica e la cultura medioevale, grazie alle traduzioni e commenti delle opere di Aristotele. Il De institutione musica costituisce una summa delle teorie musicali elleniche: in quest opera vengono ripresi i fondamenti matematici e simbolici della teoria musicale pitagorica. Musica e Matematica nel medioevo La musica, assieme ad aritmetica, geometria e astronomia, rientrava nel corso di studi posto alla base della conoscenza scientifica e filosofica del medioevo: il quadrivium. In questo ambito l aritmetica costituiva il fondamento della conoscenza scientifica, ma la musica ne era considerato il compimento, perché comprendeva nei suoi ambiti problematici tanto la scienza dei numeri, quanto la scienza del moto degli astri, quanto le regole dei metri verbali desunti dalla retorica. La teoria musicale veniva vista come applicazione dell ordine numerico su cui l intero cosmo era fondato. 6
La musica liturgica Già con sant Agostino si va ad introdurre un nuovo modo di intendere la musica: è uno strumento attraverso il quale poter meglio comprendere la grandezza divina. MUSICA NUMERI DIO Ecco dunque l introduzione, sempre più diffusa, dei Salmi Biblici musicati e cantati, da solisti o in coro, attraverso melismi e altri artifici di abbellimento. Comunque, all interno della Musica Liturgica il canto e l accompagnamento verranno sempre visti come proclamazione della Parola divina, e mai la musica sarà analizzata come arte autonoma, astratta. Giacomo di Liegi (1300-1350 circa) Fu l autore della più estesa e completa summa del sapere musicale del Medioevo. Il suo Speculum musicae (1330-40), in sette libri, raccoglie l intero sapere musicale medioevale, approfondendone i fondamenti aritmetici, retorici, teologici e fisici, attraverso l apporto delle più diverse fonti, da Aristotele al platonismo, a Boezio, alla scolastica, utilizzate come specchio dell unica dottrina dell harmonia universale. 7
Mersenne (1588-1648) L importante apporto matematico-musicale di Mersenne sta nel Harmonie Universelle (1636, scritto molto lungo e complesso): in quest opera viene trattato l aspetto musicale sotto diversi aspetti: 1. Studio del suono per una riformulazione della conoscenza (studio dell acustica, dell intensità del suono, delle vibrazioni delle corde, tensione e frequenze di corde ) 2. Fisica del suono: studio della velocità del suono (e da cosa può dipendere tale velocità), fenomeno dell eco: arrivò ad una misurazione quantitativa della velocità del suono stesso. Mersenne 3. Conoscenza sensibile e conoscenza razionale: studio della percezione (come agisce l intelletto per avere conoscenza degli oggetti); la conoscenza sensibile sensibile senza ragione non è conoscenza, ma solo registrazione di impressioni. 4. Teoria musicale e teorizzazione del temperamento dodecatonico equalizzato: divisione del Monocordo in dodici semitoni uguali usando la formula dei medi geometrici. Inoltre studiò la divisione del manico degli strumenti musicali (chitarre, mandolini ). Mersenne era un grande conoscitore della musica del suo tempo e in quest opera riporta tutti i sistemi dell accomodamento dell ottava pubblicati o noti prima del 1630. 8
Johannes Kepler (1571-1630) L interesse musicale di Keplero è dato dallo studio dei pianeti, dalla forza dei dati sperimentali e dalla capacità di elaborazione. 1. Il sistema del mondo scelto da Keplero è quello copernicano. 2. Le velocità sei pianeti sono messe in analogia con le note musicali: Keplero verifica che solo in questi casi ci sono corrispondenze precise. 3. Nessun pianeta crea un orbita circolare intorno al sole,ne tanto meno la velocità è costante. Keplero decide di non considerare Johannes Kepler valori medi o approssimati, ma dedica un serio studio per elaborare le sue teorie. Il modello di Keplero è unico perché l armonia che si ascolta non è più data dalla sovrapposizione di onde fisse, ma evolve continuamente nel tempo. Osserviamo che la terza legge di Keplero (studiata a scuola come (R 3 /T 2 )=cost), ma elaborata e usata da Keplero come R 3/2, sfrutta il rapporto 3/2: questa frazione rappresentava l intervallo musicale di quinta, che stava alla base sella costruzione della scala pitagorica. 9
René Descartes (1596-1650) 1618: stesura de Compendium musicae. In quest opera Cartesio tratta in modo nuovo l approccio musico-matematico: la novità della tecnica sta nell attenzione riservata all ascolto ascolto (analisi del tempo, ritmo, consonanze ); scelta dei numeri sonori 2, 3 e 5 (consonanze dell ottava, della quinta e della terza maggiore) che creano una visione dinamica delle grandezze musicali (triade maggiore centro propulsore dinamico della struttura musicale); analisi psicologica che pone la regola di fondamento della buona composizione. (Cartesio creò una scala con 18 note) René Descartes Il compendium musicae è un vero trattato di musica: nei 13 capitoli vengono trattati diversi argomenti e definizioni musicomatematiche: dalla proprietà del suono (durata, altezza), alle proporzioni aritmetiche (e non geometriche) usate nella costruzione della battuta, dalla durata delle note alla diversità del suono. Inoltre vengono trattati nel dettaglio i problemi degli intervalli: consonanze, dissonanze e altezze (ottava, quinta, quarta, terza maggiore, minore e seste), con regole e modi per la buona composizione. Il capitolo finale è una conclusione personale del trattato, che fu indirizzato a Beeckmann, dove l autore nota imprecisioni e incompletezze della sua opera. Quest opera fu scritta come lettera personale a Beeckmann. Importante ricordare che Cartesio ebbe una fitta corrispondenza con Mersenne. 10
(1601-1680) Musurgia Universalis (1650): opera di Kircher composta da 10 libri divisi in 2 tomi. Gli argomenti trattati hanno natura diversa: studio sulla fisiologia della voce, origine della musica, speculazione teorica sulla divisione del monocordo e sulla scienza armonica, compendio di teoria della composizione e struttura degli strumenti musicali, elaborazione di una propria personale classificazione degli stili musicali. Infine tratta in modo fantasioso i misteriosi effetti della musica, ritenuta fra l'altro in grado di curare le malattie e costituisce una delle più importanti teorizzazioni della concezione barocca dell'armonia delle sfere: Kircher affermò che l'intera compagine del mondo era determinata da un intima armonia di tutti gli esseri, accordati fra loro da Dio, che egli definì supremo organista come già aveva fatto Keplero. L apporto strettamente matematico dato da Kircher sta nello studio della varietà di arrangiamenti e combinazioni delle note e nello studio della sequenza metrica (ritmo, battute ). Inoltre compose musica utilizzando delle particolari tavole di numeri da lui prodotte ( musica dei numeri ) 11
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) L interesse musicale di Leibniz verte su tre diversi aspetti: 1. Interesse verso problemi molto specifici riguardante la teoria musicale, l acustica e le pratiche esecutive (definisce la musica come una pratica occulta dell aritmetica, nella quale l anima non si rende conto di calcolare; definisce la struttura numerica sottostante la musica come principio costruttivo) 2. Il fine della ricerca è la comprensione di quel principio armonico che governa il mondo ( consonanza e dissonanza ) Gottfried Wilhelm von Leibniz 3. Tentativo di Leibniz di elaborare una lingua artificiale che la musica inizia ad assumere un ruolo privilegiato, che caratterizzerà il suo intero sistema filosofico. Leibniz ebbe una corrispondenza con Kircher ( Musurgia Universalis ) al quale inviò la sua opera giovanile De arte combinatoria per ottenerne un giudizio. Il punto in comune tra i due studiosi è costituito dalla nozione di simbolicità del linguaggio musicale: ordine dell universo concezione di bello musicale come percezione della struttura numerica costituente l armonia: la musica ha le caratteristiche che la rendono adatta a divenire strumento di costruzione della lingua universale: sistema logico relazionale e non gerarchico, la cui base è costituita da pochi elementi da cui dedurne infiniti altri sulla base di un metodo combinatorio. 12
Leonhard Euler (1707-1783) Numerosi suoi saggi e trattati sulla musica e l acustica li troviamo nelle lettere ad una principessa tedesca (1768-1772): inizialmente ammettendo la sua ignoranza in campo musicale, afferma che il piacere musicale va ricercato nel concetto di ordine, che risulta comprensibile sulla base di due elementi: armonia (suoni gravi o acuti) e misura (ogni suono ha una certa durata). L origine del piacere musicale è integrato dall osservazione che armonia e misura si fondano su proporzioni matematiche, ma il piacere non è dovuto alla semplicità dei rapporti matematici. Leonhard Euler Per Eulero la musica è matematica, come assistere alla soluzione di un problema: le facoltà dello spirito possono essere in tal modo occupate senza incontrare difficoltà: bellezza. Un tema importante per Eulero è poi il problema del singolo suono: Conjectura physica circa propagationem soni ac luminis, del 1750: in questo contesto ricerca la scienza dell acustica e la spiegazione matematica della musica. Il suono coincide per Eulero con una serie di vibrazioni che colpiscono il nostro orecchio, grazie alle quali distinguiamo suoni e rumori (frequenze regolari e non regolari ). Riuscì ad indicare in maniera approssimata i limiti di frequenza percettibili dall orecchio umano: 30-7520 (dopo si scoprirono 20-4000). 13
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Lagrange ebbe un importantissimo ruolo nello studio della corrispondenza matematicomusicale. Nella Francia del fine 700 gli intellettuali consideravano la musica un campo troppo sottile per poter essere spiegata da concetti matematici. Ma il grande scienziato iniziò uno studio a partire dalle regole matematiche usate in musica, e spese molto tempo sullo studio degli strumenti a fiato. Dallo studio delle vibrazioni nell aria, passò allo studio delle vibrazioni delle corde, arrivando ad importantissimi risultati fisico matematici: Joseph-Louis Lagrange Scoprì in questi studi la relazione ortogonale del seno e del coseno ed arrivò alla soluzione generale per le corde vibranti e per la propagazione del suono. Le conseguenze di tali scoperte: 1. Nel caso delle vibrazioni delle corde le oscillazioni sono periodiche. 2. La velocità del suono è indipendente dal primo movimento. Scoprì inoltre che l eq. diff. della corda vibrante era la stessa per le particelle nell aria (dallo studio infinitesimale del movimento delle particelle): un eq. diff. del secondo ordine. Lo studio che iniziò Lagrange sarà terminato e approfondito da Fourier (coeff. di Fourier per la sol. dell eq. diff.). 14
Christiaan Huygens (1629-1695) Una delle personalità più famose all interno del mondo della fisica, analizzò a fondo la Teoria delle Onde e scrisse su questo argomento diversi trattati. In realtà la Musica per lui era uno strumento che, pur nella sua dimensione matematica e fisica attraverso la quale poteva esser analizzata, in primo luogo era da considerarsi un arte e pertanto utilizzata quasi esclusivamente allo scopo di dilettare. Bach è un eccezione? Non bisogna pensare che solo i Matematici si siano occupati di musica: anche musicisti di professione si accostarono alla musica attraverso una visione di tipo matematico... Un esempio lampante di questo è dato dalla personalità di J. S. Bach. Ma se in Bach (e in modo particolare nell Arte della Fuga) si può riscontrare un cervello di tipo matematico, che utilizza simmetrie, traslazioni e altre trasformazioni geometriche come strumenti tradotti in linguaggio musicale, questi potrebbe sembrare un eccezione alla regola: in realtà, molti altri musicisti si sono accostati al mondo musicale considerandolo proprio in relazione alla matematica o al mondo fisico 15
Alcuni esempi Claude Debussy (1862 1918) scrive: La Musica è l Aritmetica dei suoni così come l Ottica è la Geometria della luce Béla Bartók (1881 1945) contrastò Beethoven nel creare musica con l utilizzo di poche note, combinate tra loro attraverso numerose trasformazioni geometriche. Alban Berg (1885 1935), seguendo le orme del grande Schoenberg, sviluppò l idea di una musica costruita a partire da trasformazioni geometriche (isometrie) riportate in campo musicale, con l uso intenso della scala cromatica formata dai dodici semitoni Fine percorso 16
Evoluzione della Notazione Il linguaggio della musica viene attualmente codificato in una forma nota alla maggior parte di noi, almeno minimamente, così che, anche se in pochi sanno leggere una partitura, è comunque abbastanza facile riconoscerla. La scrittura musicale si è evoluta, esattamente come ogni altra forma di scrittura, per evitare di perdere composizioni che altrimenti avrebbero dovuto essere tramandate oralmente (correndo così il rischio di perderne la massima parte), esattamente come accadde per il linguaggio parlato. Evoluzione della Notazione Uno dei primi tentativi di stabilire regole di notazione musicale è dovuto a Guido d'arezzo (997-1050), ed è noto come mano musicale. Prima di questo periodo, i sistemi di notazione si limitavano ad indicare l'andamento della melodia, gli accenti e poco altro. Questi simboli erano chiamati neumi: essi risalgono all'vii secolo, ed originariamente erano posti sopra il rigo delle parole da cantare. 17
Evoluzione della Notazione Il problema è che, mancando il rigo musicale, l'altezza dei suoni era affidata alla memoria ed all'orecchio degli esecutori (questa notazione è detta in campo aperto). I grandi centri religiosi europei, come Cluny, San Gallo, Nonantola e Benevento adottarono proprio sistemi neumatici (ne esistevano 15 famiglie): nell'immagine sono riportati quelli usati in San Gallo, in Svizzera. Tra l'altro, i neumi non davano nozioni sulla durata dei suoni, cosa che venne introdotta successivamente (un esempio è nella seconda colonna dell'immagine). Evoluzione della Notazione Col tempo la notazione venne perfezionata aggiungendo un riferimento per l'altezza dei suoni, consistente in una riga rossa che indicava il Fa. Non bastando, si aggiunse alla riga rossa una seconda riga di colore giallo, che indicava il Do. 18
Evoluzione della Notazione Successivamente, al posto delle righe colorate, venne inserito un simbolo per riferire le note, più precisamente si usava una C per il Do, ed una F per il Fa (erano proprio i nomi usati per le note). Rimaneva, a questo punto, il problema della durata delle note. Per risolverlo, si pensò di rappresentare i suoni lunghi con un simbolo, ed i suoni brevi con un altro: in particolare il punctum (quadratino nero) indicava suoni di durata maggiore del virga (un quadratino con una gambetta). Evoluzione della Notazione Nel XIV secolo il francese Philippe de Vitry perfezionò ulteriormente il sistema, arricchendolo di simboli atti a rappresentare diverse lunghezze, e stabilì alcune regole (molto complicate) che formano l attuale base della scrittura musicale. Nel Rinascimento la musica cominciò ad uscire dalle chiese, nelle quali era massimamente concentrata, ed in particolare entrò nelle case dei nobili del tempo. Per questo fu necessario progredire nella tecnica notazionale, per rendere le partiture sempre più rispondenti alle intenzioni degli autori. Nel Cinquecento viene definito il rigo musicale come pentagramma, formato cioè da cinque linee. 19
Evoluzione della Notazione L'invenzione della stampa, ad opera di Gutenberg, rappresentò una rivoluzione anche nel campo della scrittura musicale: la struttura delle note, sia per la musica strumentale che per quella vocale, venne unificata ed assunse definitivamente la forma tondeggiante, e come rigo musicale venne scelto il pentagramma. Fine percorso 20
21 IL QUADRIVIUM Il quadrivium medievale era costituito da Aritmetica Astronomia Geometria Musica mentre il trivium da Grammatica Retorica Logica IL QUADRIVIUM G E O M E T R I A M U S I C A A R I T M E T I C A A S T R O L O G I A
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