PROPORZIONALITA DIRETTA E INVERSA CONCETTO DI FUNZIONE Nella quotidianità così come nei problemi di matematica o di fisica ci si imbatte nelle grandezze : alcune conservano lo stesso valore (grandezze costanti), altre possono assumere diversi valori (grandezze variabili) Grandezze costanti La distanza tra Milano e Torino I giorni di una settimana Il numero dei lati di un triangolo La larghezza dell aula Grandezze variabili La temperatura durante il giorno La velocità di un auto Il tempo che impieghi per studiare L area di un quadrato Le grandezze costanti abitualmente si indicano con : k Le grandezze variabili si indicano con : x, y, z.
Una grandezza variabile x può essere in relazione con un altra grandezza variabile y: Es: il prezzo delle fragole (y) dipende dal numero di cestini di fragole che acquisti (x) - L area del quadrato (y) dipende dalla lunghezza del lato (x) - Il tempo che impieghi per arrivare a scuola (y) dipende dalla velocità con cui cammini (x). Se la relazione che lega le due grandezze variabili è tale che a ogni valore di x corrisponde uno e uno solo valore di y si dice che questa relazione è una funzione. La variabile che assume valori indipendenti è la x (variabile indipendente), quella il cui valore dipende dai quello assunto da x è la y (variabile dipendente) Si scrive y = f (x) e si legge y è funzione di x o y è uguale a effe di x
FUNZIONI EMPIRICHE Una funzione si dice empirica se il legame tra la x e la y non è espresso da una legge matematica. Sono esempi di funzioni empiriche : la variazione della temperatura (y) in base all ora del giorno (x); la variazione della massa di un uomo (y) in base all età (x). IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE EMPIRICA È SEMPRE UNA SPEZZATA.
FUNZIONE MATEMATICA Una funzione in cui il legame tra la variabile indipendente (x) e la variabile dipendente (y) è espressa mediante una formula matematica si dice funzione matematica Sono esempi di funzione matematica : la relazione tra perimetro (y) e lato del quadrato (x): y =4x; il prezzo delle mele (y) e la massa delle mele (x) : y = 2x (nel caso in cui le mele costino 2 euro al chilo). Nelle funzioni matematiche il valore della y deve essere calcolato in base alla formula matematica della funzione data Nel caso della funzione relativa al perimetro di un insieme di quadrati avremo : x y 0 0 1 4 2 8 3 12 4 16 Y = 4x y 20 15 10 y 5 0 0 1 2 3 4 5 x
GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI Due grandezze variabili dipendenti sono direttamente proporzionali se al raddoppiare, triplicare, ecc.. Della x (variabile indipendente) anche la y (variab. dipendente) raddoppia, triplica, ecc Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali : la massa (x) e il prezzo (y) di una merce; le ore di lavoro (x) e la paga (y), la velocità (x) e lo spazio percorso (y). Tra le grandezze direttamente proporzionali si mantiene costante il rapporto tra un qualsiasi valore di y e il corrispondente valore di x. Questa costante si indica con K e si definisce coefficiente di proporzionalità diretta. k = y x L equazione della proporzionalità diretta è : y= k x
Data l equazione : y =2x Compila la tabella dei valori, stabilisci il tipo di proporzionalità, disegna il grafico della funzione x y 0 0 2 4 3 6 4 8 5 10 10 20 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La funzione esprime la proporzionalità diretta, perché.., il k vale, il grafico è una semiretta che parte dall origine
GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI Due grandezze variabili dipendenti sono inversamente proporzionali se al raddoppiare, triplicare, ecc.. della x (variabile indipendente) la y (variab. dipendente) dimezza, diventa un terzo, ecc Sono esempi di grandezze inversamente proporzionali : il numero di operai (x) e le ore di lavoro(y); la velocità (x) e il tempo(y); Il numero di eredi (x) la quota dell eredità (y). Tra le grandezze inversamente proporzionali si mantiene costante il prodotto tra un qualsiasi valore di y e il corrispondente valore di x. Questa costante si indica con K e si definisce coefficiente di proporzionalità inversa. k = y x L equazione della proporzionalità inversa è y = k x
Data l equazione : y 12 = x Compila la tabella dei valori, stabilisci il tipo di proporzionalità, disegna il grafico della funzione x y 1 12 2 6 3 4 4 3 6 2 12 1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 u La funzione esprime la proporzionalità inversa, perché.., il k vale, il grafico è una iperbole equilatera