La conservazione dell energia

3//9 Leggi della dinamica La conservazione dell energia Traslazione Unico punto di applicazione tot = ma Rotazione Punti di applicazione iversi T tot = Iω Il lavoro delle forze L energia cinetica L energia potenziale per forze conservative Leve tatica tot = La conservazione dell energia totale in assenza di attriti Equilibrio traslazionale La conservazione dell energia in presenza di attriti: il calore. T tot = Equilibrio rotazionale Il lavoro di una forza Lavoro: forza e spostamento Peso m La forza peso comprime la molla ce si deforma di cm. La forza con cui la molla si oppone alla compressione È pari a m = - K Attenzione: la deformazione cresce nel tempo La compressione smette quando si giunge all equilibrio fra m e il Peso: m + Peso = Tutte le volte ce la forza applicata induce uno spostamento diciamo ce la forza a compiuto un lavoro sul sistema a cui è applicata Percé questa definizione? Lavoro effetto spostamento deformazione K = Peso = Peso/K La forza peso e la forza elastica della molla anno compiuto un lavoro? 3 4

3//9 Il lavoro di una forza m m v Ce si trasforma in un corpo in movimento Quindi: Compressione della molla: deformazione della molla Il sistema si ferma all equilibrio fra peso e forza elastica Peso Peso Il sistema a acquisito la capacità di compiere altro lavoro: abbiamo caricato la molla abbiamo fornito energia alla molla Il sistema in seguito alla deformazione della molla acquisisce una capacità (ciamiamola energia) Può compiere a sua volta un lavoro mettendo in moto un corpo 5 Ma il peso ce aveva capacità di fare lavoro sulla molla all inizio (molla estesa) perde questa capacità quando scende comprimendo la molla. Quindi: percè la forza compia lavoro, è essenziale ce ci sia uno spostamento del punto di applicazione della forza. 6 La forza peso durante la compressione lenta Eguaglia la forza della molla ce cresce: Lavoro = P * postamento Tutta l ampiezza della forza Va in moto del carrello P Lavoro = P * postamento Joule (J) è l unità di misura del lavoro Per la scelta del sistema di coordinate Corrisponde al lavoro fatto da una forza di N ce induce uno spostamento di m Tutta l ampiezza della forza Viene bilanciata dalla reazione dei binari olo la componente parallela della forza Induce moto Consideriamo OLO la componente della forza parallela allo spostamento: Percé? 7 l ampiezza della forza perpendicolare al moto Viene bilanciata dalla reazione dei binari 8

3//9 Approfondimento facoltativo Ruolo della dissipazione La forza peso durante la compressione lenta Eguaglia la forza della molla ce cresce: Lavoro = * postamento Prodotto scalare Lavoro = P * postamento = P Esempio: P = N; = cm P = k Per la scelta del sistema di coordinate L peso = k e il peso passa da a P, abbiamo una deformazione rapida della molla: Questo implica la presenza di dissipazione in termini di calore dissipato dalla molla e non voglio avere dissipazione devo fare cambiamenti ce implicino Velocità molto basse. Posso farlo pensando ce istante per istante il peso aumenti in modo da essere sempre bilanciato con la forza elastica della molla, ce nel processo di compressione cresce: Lavoro = N. m= Nm = J P() = - k Istante per istante Attenzione: il lavoro della molla? L molla = -k / In realta si può calcolare più esattamente ce L = k / 9 Allora il lavoro fatto dal peso sarà k / Esattamente uguale e contrario a quello fatto sulla molla. Approfondimento facoltativo La forza elastica non è costante durante la compressione: Approfondimento facoltativo elastica = deformazione = - k (è diretta in verso contrario allo spostamento) Lavoro = postamento Come facciamo a calcolare il lavoro? Possiamo generalizzare la definizione: Lavoro = + + 3 3 + Risultato generale: Lavoro = Area del grafico orza - spostamento =-k =-k Possiamo generalizzare la definizione: =-k Lavoro = + + 3 3 + Lavoro molla = k Compressione!!!

3//9 Il lavoro di compressione della molla è calcolabile e risulta in realtà Pari alla metà di quanto calcolato in base al peso ce comprime la molla: La molla viene deformata a discapito del lavoro della forza peso. Lavoro molla = k Compressione!!! Lavoro negativo : compressione E in generale tutte le volte in cui gli spostamenti sono in verso opposto alle forze (molla) Il lavoro fatto sulla molla è disponibile per: generare moto (v) o ulteriore deformazione. Quale legame c è fra il lavoro e la velocità impartita?? N.B. Ci a compiuto questo lavoro per deformare la molla? = m a È una relazione fra la forza impartita e l accelerazione La forza PEO L Peso = k / 3 4 Esempio: supponiamo di spingere su un piano orizzontale un oggetto con una forza diretta lungo il piano. Energia cinetica pazio percorso = s = Velocità = v = at a t v t = a Questo appena visto è un risultato generale: Lavoro fatto dalle forze = variazione dell energia cinetica K = mv / a v v s = = a a v v Lavoro = * s = ma * s = ma * = m a L = K fin -K in tato finale tato iniziale Unità di K: Kg* m /s = (Kg * m/s )*m = N*m = J 5 6

3//9 esempio esempio K = N/m erve N per deformare la molla di cm eformiamo la molla di = cm = deformazione Ora la molla è carica di energia e può compiere lavoro generando a sua volta energia cinetica secondo la relazione: = deformazione L = K fin K in =.5J Ovvero: K / = K fin = m v fin Lavoro fatto contro la molla = K / = *./ =.5 J Un corpo di massa g viene lanciato dalla molla con v tale ce: Ora la molla è in grado di compiere un lavoro uguale e contrario espandendosi mv / =.5 J N.B. la forza elastica della molla a compiuto un lavoro uguale e contrario. 7 v =.5* / m =.5* /. = m / s 8 Energia cinetica Il corpo sparato dalla molla urta contro un materiale e lo deforma o Esempio: piano inclinato P = (/) P = (/) mg Il lavoro.. Assenza di attrito molto piccolo efiniamo Energia Cinetica la quantità K=mv / mette in moto per urto un secondo corpo, etc., etc P P P P Lavoro delle forze = K fin -K in K alla fine del movimento K all inizio del movimento 9 z Il cubo scivola: il suo peso compie il lavoro P P Lavoro gravitazionale (discesa!) = mg = mg = mg

3//9 Ora l energia cinetica. P L = mg = mg Assenza di attrito molto piccolo Possiamo dire qual è la velocità finale? P L = mg = mg K fin = L Assenza di attrito molto piccolo v = g z z Il cubo parte da fermo K fin = L mv / = mg K in = mv / v = g = cm v = g = *. =.4m / s Indipendente dalla massa!! Condizioni iniziali: Inizialmente fermo In cima, fermo. Il segno del lavoro Lo sciatore ce scende lungo un pendio di dislivello H arriverebbe a valle con una velocità v = gh Indipendentemente dal percorso! L et L Peso = s > et = mg < et P = m v = gh = * 45m / s 5km / e il moto è molto lento.non c è attrito (o molto poco) e L = - L peso Per fortuna c è un po di attrito!! 3 Il corpo sale contro la forza peso a discapito di qualce altro lavoro (muscolare) 4

3//9 Condizioni iniziali: Inizialmente fermo In cima, fermo. Il segno del lavoro L et = > et Energia cinetica, lavoro e attrito L Peso = mg < K = mv / Lavoro forze di attrito empre negativo L + L a = K fin -K in e il moto non è lento. c è attrito e la forza di attrito compie lavoro L a = - a * sempre negativo L = - L peso + L a Il corpo sale contro la forza peso e l attrito a discapito di qualce altro lavoro (muscolare) e generando calore sul piano et P 5 tato finale K fin = K in +L+L a <K in +L tato iniziale Le forze di attrito limitano la conversione di lavoro meccanico in energia cinetica. 6 Energia potenziale UN EEMPIO: la forza gravitazionale celta di convenienza in L = mg L = mg ( fin in ) = mg fin mg in = -U = - U fin + U in = -(U fin -U in ) cegliamo di suddividere le forze ce possono agire su un sistema in:. orze gravitazionali P U = -mg è detta energia potenziale gravitazionale. orze di attrito 3. Tutte le altre forze ce agiscono sul sistema fin Quella forma di energia ce un corpo a per il fatto si essere in una determinata posizione (raggiunta con un certo spostamento.) Il lavoro fatto da TUTTE le forze serve a modificare l energia cinetica del sistema orze per cui L = - U sono dette forze conservative 7 8

3//9 L g = - U g = mg( fin - in ) orze di attrito Energia Cinetica Esempio: caduta di un corpo in caduta. Lavoro delle forze = L g + L a = K fin K in K in = Peso = mg > L Peso Viene fatto dal peso un lavoro positivo orze conservative sono quelle per cui il lavoro fatto NON dipende dal percorso e si trasforma in Energia cinetica In teoria.. Non si compie lavoro: i guadagna lavoro nella prima meta del Percorso (L>) e si compie lavoro nella seconda metà (L<) mv K fin = = L Peso 9 3 Esempio: sollevamento di un corpo Esempio: la ruota del lunapark in salita.soggetto ance a una forza verso l alto Cabina di massa m Il lavoro fatto dalle forze gravitazionali è mg nel tragitto in discesa Peso L tot = L + L = mg K in = Peso mv K fin = = L +L Peso Viene fatto dal peso un lavoro negativo e dalla forza un lavoro positivo. Il lavoro di in eccesso rispetto a quello del peso si trasforma in Energia cinetica 3 K in = Mentre è mg nel tragitto in salita, ma!!!! Le forze di attrito del perno della ruota agiscono sempre in modo da fare un lavoro negativo: Lavoro delle forze = L g + L a = K fin A ogni giro il lavoro totale della gravitazione è nullo: L g = L a < K fin <??? K = K fin < 3

3//9 Analizziamo mezzo giro: Analizziamo mezzo giro, con attrito grande: Cabina di massa m, v=v i Il lavoro fatto dalle forze gravitazionali Cabina di massa m, v=v i è mg nel tragitto in discesa Lavoro delle forze = mg - L a = K fin K in = Mentre le forze di attrito fanno lavoro negativo K in = Paragonabile a mg E mg - L a =. mg: Lavoro delle forze = L g + L a = K fin Lavoro delle forze = mg - L a = K fin K fin =. mg K fin = mg - L a E in salita???? Ance se non ci fosse attrito Modulo di L= L è Il valore con segno positivo v fin e l attrito è piccolo, mg L a > Lavoro delle forze = - mg = K fin = -. mg 33 Non arriva in cima!!!! 34 Lavoro delle forze = L g + L a + L et = K fin K in Esempio con il pendolo e non c e attrito e non ci sono altre forze oltre alla gravitazione. t = s L = mg ( fin in ) = -U fin + U in v = v = = L = mg U in U fin = K fin K in U in + K in = U fin + K fin U =mg v K = m = in E mec = U + = U E mec = U + K = costante fin 35 36

3//9 Esempio con il pendolo Esempio con il pendolo t = T/4 t = T/ v = v > = < Un quarto di periodo v = v = = = Mezzo periodo =mg v U v K = m a cui: v m = mg v = g E mec = U +K = U Valore iniziale di E mec 37 8 U U 6 U energia [J] 4 4 6 tempo (s) K U =mg =U v K = m = E mec = U = U enza attrito 38 Esempio con il pendolo Lavoro e calore L = s > U = mg = U L Peso = mg < L = mg < A µ et energia [J] 7 6 5 4 3 U U 4 6 tempo (s) L f = E mec = U + K < Con attrito 39 La forza di attrito compie lavoro negativo K in = K fin = L = U g -L A + K = U g L A = U g + Q Calore(>) fornito al cubo P A =µ P 4

3//9 = forza muscolare Lavoro e calore L = s > L Peso = mg < L = mg < A µ Lavoro muscolare U k = k / = forza muscolare L m + L = U k + K et attrito sul piano (L A ), lavoro (cimico-elettrico) nel nostro muscolo, L e attrito interno nel muscolo, L m < P A =µ P Q=-L A -L m > L L = lavoro muscolare (elettrico, cimico) L m = lavoro contro le forze di attrito interno del muscolo < = U k + K L m = U k + K + Q L a + L muscolo + L m + L = U g L muscolo + L = U g +Q 4 N.B. se = mg, allora L =-mg -mg+k + Q= = mg/k-q 4 A T T R I T O orze gravitazionali elastice altre. Elettromagnetice, nucleari, etc.. Lavoro = orza * postamento ENERGIA Il LAVORO induce una VARIAZIONE di ENERGIA Cinetica P O T A M E N T O Potenziale: gravitazionale, elastica, etc Traslazione Unico punto di applicazione tot =ma Leggi della dinamica Leggi di conservazione Rotazione Punti di applicazione iversi T tot = Iω Conservazione dell energia CALORE 43 Conservazione della Quantità di moto p = mv 44

3//9 Leggi di conservazione in isica tot = + + = ma equilibrio tot = tot tot ( v = m v) ( t t ) ( mv = mv) ( t t ) tot Leggi di conservazione in isica ( mv mv) = = ( t t ) ( mv mv ) = ( t t ) e un corpo non è soggetto a forze (o le forze si equilibrano) : tot = mv mv = mv è detta quantità di moto mv = mv 45 È un vettore!!!! Percé la velocità è un vettore 46 Conservazione della quantità di moto Conservazione della quantità di moto per un sistema di corpi v 3 Quantità di moto = p = mv Quantità di moto totale = p + p + p 3. m v p=mv p = m V = costante 47 Per un ITEMA di CORPI non soggetto a forze ETERNE o per cui le forze si equilibrano: La quantità di moto totale è costante m v m P = m V + m V v PRIMA È costante m v m v OPO 48

3//9 Per un ITEMA di CORPI ce urtano senza deformarsi si conserva l energia cinetica: L energia cinetica si conserva in un urto elastico: v 3 m m m m v m v m v v v v K = m + m È costante PRIMA OPO Quindi p tot = costante K tot = costante in un urto elastico 49 5 P prima tot = m u P dopo tot = mv + mv prima dopo P = P tot tot m Conservazione della quantita di moto m Conservazione dell energia cinetica K prima tot = u m K = K prima tot dopo tot v = m K dopo tot + v m 5 5

3//9 m + u = mv mv u v m = m + m v v m = u v m m u = m u v mv m m + u v = m + m m m v = u m + m e m >> m e m = m v = u v = u v = u v = um v + m + m v m = u v = m + m m m v = u m + m 53 u è la velocità della massa m prima dell urto. v = e m << m v = -u 54 tot = Questo è vero ance se alcune forze INTERNE AL ITEMA agiscono: v v. La forza peso degli oggetti ce è bilanciata esattamente dal piano.. Le forze legate al contatto dei corpi, ovvero al vero e proprio urto. Trascuriamo invece, nell esempio, l attrito. = - tot = + = tot = istema di due corpi ce urtano v v 55 56

3//9 Esempio sulla conservazione della quantità di moto. Ance se ci sono forze INTERNE al sistema di corpi e m = m v = u v = la quantità di moto totale del sistema rimane invariata. = - Infatti In ogni istante tot = istema di due corpi ce urtano 57 v = v = v > v = v = v = v > v = 58 Esempio sulla conservazione della quantità di moto. Esempio sulla conservazione della quantità di moto. v = e m << m v = -u e m >> m v = u v = -u m << m m >> m Al crescere della massa m, la sfera pesante tende a rimanere ferma. Al crescere della massa m, la sfera pesante tende a rimanere ferma. 59 6

3//9 Esempio sulla conservazione della quantità di moto. Esempio sulla conservazione della quantità di moto. Il cannone spara mentre e sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce una forza (il rinculo ) uguale e contraria ce trasmette al vagone ce va nel verso opposto al proiettile Il cannone spara mentre e sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce una forza (il rinculo ) uguale e contraria ce trasmette al vagone ce va nel verso opposto al proiettile cannone proiettile vagone Il vagone dopo il colpo si muove di moto rettilineo uniforme in direzione Opposta al colpo sparato. 6 Il vagone dopo il colpo si muove di moto rettilineo uniforme in direzione Opposta al colpo sparato. 6 Esempio sulla conservazione della quantità di moto. Il cannone spara mentre e sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce una forza (il rinculo ) uguale e contraria ce trasmette al vagone ce va nel verso opposto al proiettile Esempio: quantità di moto (p palla + p muro ) prima = (p palla + p muro ) dopo p = m V = costante p pi + p mi = p po + p mo p mi = inizialmente il muro è fermo Ma vi è stato uno postamento netto el centro di massa di Tutto il sistema p pi =mv i Muro: Massa molto grande p muro Quando il proiettile colpisce la parete del vagone e ci si conficca applica una orza al vagone ce lo fa fermare: in questo modo la quantità di moto Non è variata, ovvero rimane NULLA. 63 p pi = p po + p mo p po =mv o 64

3//9 Esempio: quantità di moto p pi = p po + p mo Visto dall alto p i po Autotest.. Un corpo di massa M= 5 g è posto a un altezza di m da terra. - Quanto vale la sua energia potenziale? - e cade a terra con quale velocità arriverà a toccare il suolo?. Una molla di costante elastica k=. N/m viene compressa di cm. - quanto vale la sua energia potenziale elastica? - se viene rilasciata a quale velocità si trova la sua estremità quando si è riespansa fino alla condizione di equilibrio? 3. Appliciamo una forza di 5 N a un corpo di massa M= Kg per ms. quanto vale la sua velocità dopo questa interazione? p iy p oy y 4. L equipaggio di un pendolo semplice viene sollevato in modo da essere a cm da terra e pi lasciato. Quanto vale la velocità dell equipaggio quando passa per il punto di minore altezza rispetto al terreno? p pi, = p po, + p mo, p iy = -p oy p pi,y = p po,y + p mo,y 65 66