Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria a.a. 2009-10 Docente: LEZIONE 8 FUNZIONI. LA MATEMATICA PER CAPIRE IL MONDO CHE CI CIRCONDA SOMMARIO: 8.1 Funzioni. 8.2 Alcuni tipi di funzioni elementari. 8.3 Composizione di funzioni, corrispondenza biunivoca e funzione inversa. 8.4 L idea di funzione a scuola Bibliografia: All inizio fu lo scriba, cap. 4, cap. 7 La matematica e le sue applicazioni, Che cos è la matematica, cap. 6. 1 8.1 Funzioni Il concetto di funzione è una chiave di volta del pensiero matematico moderno e dell applicazione della matematica nella conoscenza della realtà. Le leggi quantitative, come ad esempio la proporzionalità, sono pensate dalla matematica come funzioni. Ad esempio, se consideriamo un moto rettilineo uniforme, vi è una regola di proporzionalità fra lo spazio percorso e il tempo trascorso. Dato un tempo preciso, possiamo calcolare la distanza percorsa se conosciamo la velocità. Un punto di vista più ampio sul fenomeno è quello di considerare il tempo come una variabile, ed esaminare la regola che permette di ottenere il valore della distanza per ogni valore del tempo. Il tempo è una variabile indipendente e lo spazio una variabile dipendente; le variabili assumono valori all interno di due insiemi numerici. Una funzione f fra due insiemi A e B è una regola che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. Si usa la notazione f : A "# B ESEMPIO 8.1 Una associazione sportiva sta organizzando una corsa campestre per bambini aperta a tutti su un percorso di 15 km. Si devono scegliere i punti di ristoro e controllo di alcune tappe. Per stabilire questi punti, si calcola una velocità media dei partecipanti di 4 km/h. Quale è il tempo medio che si può prevedere per l intero percorso? Scegliere le variabili e stabilire la funzione che ci permette di decidere l organizzazione delle tappe. Discutere la semplificazione della situazione reale necessaria per stabilire tale funzione. Quale tempo di arrivo possiamo prevedere per il traguardo della metà del percorso? A quale distanza dall inizio dobbiamo stabilire un punto di ristoro e controllo raggiungibile dopo un ora e un quarto di cammino? Esempio 8.2 Le regole di proporzionalità sono state usate nella matematica pratica fin dal mondo antico, in problemi di ripartizione proporzionale, di costo e ricavo, di miscele e così via (cfr. Lezione 7). Provi a
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI identificare negli esempi di problemi classici della lezione 7 le variabili, il loro campo numerico di variazione e le funzioni di proporzionalità. Si usa la terminologia seguente: l insieme A si chiama dominio, l insieme B si chiama codominio. Dato un elemento a di A, la funzione f gli associa un unico elemento di B che si chiama immagine di a ( b = f (a) si legge b è l immagine di a in B) e a si dice controimmagine di b. La condizione per avere una funzione è che ogni elemento di A abbia un immagine e una soltanto. Tuttavia, la regola può associare a elementi diversi di A un immagine diversa in B. Inoltre, non necessariamente ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A: l insieme f (A)degli elementi di B che sono immagine di elementi di A si dice insieme immagine. Dominio e codominio possono essere lo stesso insieme. ESEMPIO 8.3 Come si generano i multipli di 3? Possiamo immaginare un macinino, un dispositivo, che moltiplica ogni numero naturale per 3 "#[ $3] "# Da una parte entra un numero naturale (input), dall altra esce il suo triplo (output), che sarà quindi un multiplo di tre. k "#[ $3] "# 3k Questa regola determina una funzione f. Quale è il dominio, il condominio e l insieme immagine? Possiamo indicare la miriade di collegamenti che possiamo stabilire in questo modo: 1,3 ( ) ( 2,6) ( 3,9) ( 4,12)... Possiamo vedere queste coppie di numeri come punti del piano, se fissiamo due assi cartesiani. Provi a rappresentare questi quattro punti e qualcun altro ottenuto con il macinino. Figura 8.1 Rappresentazioni dei punti nel piano cartesiano Come si generano i numeri naturali che danno resto 3 nella divisione per 4? Trovi un dispositivo input-output e rappresenti graficamente sul piano la nuova collezione di punti ottenuta. Consideri la stessa regola per definire una funzione con dominio R e rappresenti il grafico della funzione: che figura geometrica ottiene? ESEMPIO 8.4 Il taxi Supponiamo che la tariffa prevista per i taxi per percorsi extraurbani non oltre i 60 km nella città di Rennes è di 6 euro e di 2 euro per ogni chilometro percorso. Il taxi ha installato un tassametro 2
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA che legge il numero del contachilometri (arrotondando per eccesso) e produce un numero che indica la somma dovuta. Vi è quindi una funzione f : N "# N l "# 2 $ l + 6 Rappresenti la funzioni graficamente. Consideri ora questa funzione estesa al dominio R e rappresenti il grafico. Rappresentazioni di una funzione La funzione può essere rappresentata o pensata in diversi modi. a) Diagramma di frecce Possiamo rappresentare le funzioni degli esempi 8.3 e 8.4 che hanno dominio N attraverso un diagramma di frecce: rappresentazione gli insiemi dominio e codominio con un diagramma di Euler-Venn e rappresentiamo i collegamenti fra elementi del dominio e elementi del codominio con delle frecce. Poiché si tratta di una funzione, a ogni elemento del dominio parte un unica freccia con la punta sull elemento immagine del condominio. b) Tabella a due colonne Per rappresentare la funzione dell esempio 8.3 possiamo usare una tabella n f (n) 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 c) Rappresentazione con un dispositivo input-output Abbiamo introdotto in questa veste la funzione dell esempio 8.3. Questo modo di pensare le funzioni ci ricorda che, da una punto di vista moderno, la regola che definisce la funzione è non deve essere una vera e propria formula numerica. Quando i bambini molto piccoli calcolano il doppio e la metà, senza avere ancora un idea della moltiplicazione e usando le parole numerali si tratta di una procedura che non corrisponde a una formula uno,due,tre,...dieci..." "#[ doppio] "# due,quattro,sei,...,venti,... d) Rappresentazione con un grafico "#[ metà] "# È molto utile rappresentare le funzioni geometricamente. Ad esempio, possiamo rappresentare la funzione dell esempio 8.3 sugli assi cartesiani nel modo seguente. Rappresentiamo gli elementi del dominio su una linea orizzontale (asse delle ascisse) e gli elementi del condominio su una linea verticale (asse delle ordinate). Consideriamo tutte le coppie ordinate generate dalla funzione: 3
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI ( 1,3 ),( 2,6), ( 3,9), ( 4,12), ( 5,15),... Ognuna di esse può essere rappresentata come un punto del piano, con ascissa un numero naturale e ordinata il triplo di quel numero. Si ottengono così una serie di punti allineati. ESEMPIO 8.5 Considerare la funzione: f 3 : R "# R k "# f 3 k ( ) = 3$ k È una legge di proporzionalità con rapporto di proporzionalità 3. Ci serve, ad esempio, a calcolare il prezzo che dovremmo pagare per cinque porzioni di torta a ristorante se ogni torta costa 3 euro. L insieme immagine è l insieme de multipli di 3. I punti di coordinate k, f 3 k l origine (0,0). Possiamo considerare anche le funzioni seguenti: g 3 : R "# R k "# g 3 k h 3 : R "# R k "# h 3 k ( ( )) si trovano su una retta che passa per ( ) = 3$ k +1 ( ) = 3$ k + 2 Se rappresentiamo queste due funzioni sugli assi cartesiani, otteniamo altre due rette parallele alla prima retta ottenuta. Si dice grafico della funzione seguente: f : A "# B il sottoinsieme {(x, y) " A # B : y = f ( x) } G f del prodotto cartesiano A " B 8.2 Alcuni tipi di funzioni elementari Funzioni di proporzionalità ( ) = a $ x, con a numero fissi (ad esempio, nella Le funzioni date da una regola del tipo x "# f x funzione f 3, a = 3) si chiamano funzioni di proporzionalità. Nella rappresentazione grafica, a è il coefficiente angolare, che indica la pendenza della retta. In questo caso, se la variabile indipendente aumenta, la variabile dipendente aumenta allo stesso modo, e se la variabile indipendente diminuisce, la variabile dipendente aumenta allo stesso modo: x s = f x f s ( ) ( ) = a 4
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Funzioni lineari ( ) = a$ x + b, con a, b numeri fissi (ad esempio, Le funzioni date da una regola del tipo x "# f x nella funzione g 3, a = 3 e b =1) si chiamano funzioni lineari. La loro rappresentazione grafica è una retta di coefficiente angolare a e ordinata all'origine b: a rappresenta la pendenza della retta e ( 0,b) rappresenta il punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate, ossia l entità della traslazione della retta dall origine. Per trovare la controimmagine di un punto qualsivoglia y bisogna risolvere l equazione f ( x) = y Il punto di intersezione della retta con l asse delle ascisse si ottiene risolvendo l equazione: f ( x) = 0 In questo caso, il rapporto tra gli incrementi della variabile indipendente e gli incrementi della variabile dipendente è costante: ( ) " f ( s) f x x " s ESEMPIO 8.6 La geometria analitica permette di descrivere le figure geometriche attraverso le loro equazioni: essa nacque nel Seicento grazie all applicazione dell algebra alla geometria. A sua volta, la rappresentazione grafica delle funzioni ci permette di studiare la dipendenza funzionale da un punto di vista geometrico. Provi a considerare degli esempi di funzioni rappresentate dalle rette rappresentate in questa figura. = a Su questi temi della matematica si può consultare il libro Marina Cazzola (2001), Per non perdere la bussola. Un introduzione ai sistemi di rifermimento. Collana Quaderni a quadretti, mimesis, Milano. ESEMPIO 8.7 Un treno parte da una città C che dista 1140 km da Roma e avanza a 120 km/h con movimento uniforme. Esprimere attraverso una formula la lunghezza percorsa in km, dopo t ore dalla partenza. Esprimere attraverso una formula la distanza d dalla nostra città alla quale si trova dopo t ore dalla partenza. Rappresenti il grafico della funzione. Un secondo treno, un treno merci partito da Roma 4 ore fa, avanza verso C a 60 km/h. Fra t ore saranno trascorse t + 4 ore dall sua partenza. Esprimere la formula che permette di calcolare la distanza alla quale questo secondo treno si trova da Roma in funzione del tempo. Rappresentare il grafico della funzione. Quando è dopo si incontreranno i due treni? Risolva geometricamente e algebricamente. Esempio 8.8 In economia, la funzione che fa corrispondere al prezzo di un prodotto la quantità di quel prodotto che i consumatori sono disposti ad acquistare si chiama curva di domanda. Semplificando al 5
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI massimo il contesto economico reale, possiamo pensare che, più è conveniente un prodotto, più verrà acquistato, e più esso è costoso, meno verrà acquistato. La funzione che mette in relazione il prezzo di un prodotto con la quantità che i produttori sono disposti a offrire sul mercato si chiama curva di offerta. Si chiama prezzo di equilibrio quello in cui l offerta è uguale alla domanda. Supponiamo di poter rappresentare il caso semplificato relativo a un certo portafoglio di lusso prodotto da un unico laboratorio artigianale, considerando funzioni lineari. Sappiamo che se il prezzo fosse 100 euro, 290 tra i clienti del laboratorio lo acquisterebbero, mentre se il prezzo arriva a 300 euro, il numero di potenziali acquirenti si riduce a 190. Rappresenti graficamente e trovi la formula della funzione di domanda f. Il proprietario del laboratorio sarebbe pronto a produrre 40 portafogli se il prezzo è 100 euro; mentre a un prezzo di 300 ne produrrebbe ben 440. Rappresenti graficamente sugli stessi assi di coordinate e con un colore diverso e trovi la formula della funzione di domanda g. Calcoli graficamente e algebricamente il punto di equilibrio. Quale è il dominio delle funzioni f e g? (Ha senso avere p < 0? E p = 0?) ESEMPIO 8.9 Per produrre succo d ananas in un impianto, si mescola concentrato di succo importato con acqua, nella proporzione 3 parti di concentrato per 5 di acqua. Costruire una tavola di valori, la formula e rappresentare la funzione che calcola la quantità di acqua da aggiungere in funzione della quantità di concentrato. IL METODO SCIENTIFICO E LA RICERCA DELLE LEGGI MATEMATICHE DEI FENOMENI I matematici greci applicarono la geometria nelle loro ricerche di ottica e di statica, nelle loro teorie astronomiche e nella tecnologia (pneumatica e meccanica), come si evince dai lavori di Euclide, di Tolomeo, di Archimede e di Erone di Alessandria. La geometria forniva un linguaggio, una forma di schematizzazione astratta dei problemi della natura e delle macchine e una serie di teoremi su cui poggiare la ricerca di una descrizione compiuta. All inizio dell età moderna, sulla scia di questi tentativi incompiuti, fu intrapreso in Europa un ambizioso progetto di creazione di una scienza matematica che fosse in grado di fornire le leggi che regolano i fenomeni naturali, leggi verificabili empiricamente e che rendessero possibile ottenere delle previsioni sull andamento futuro di tali fenomeni. A cavallo fra Cinquecento e Seicento, Galileo (1564-1642) lavorò sulla scienza del moto andando oltre lo studio archimedeo dell equilibrio, ma applicando sempre la geometria (la teoria geometrica delle proporzioni, lo studio delle coniche e così via). Tuttavia, in quel periodo si approntarono nuovi strumenti matematici, come l introduzione delle coordinate nello studio delle curve e delle superfici. Le figure geometriche potevano, in tal modo, essere descritte attraverso le loro equazioni, ed erano viste come immerse nel piano e nello spazio geometrico descritto mediante gli assi cartesiani. Su queste basi nel corso della cosiddetta Rivoluzione scientifica fu sviluppata una nuova branca della matematica, l analisi matematica, che forniva lo strumento per descrivere qualsiasi fenomeno individuando delle grandezze dipendenti da una variabile. Ad esempio, nella meccanica, lo spazio dipende dal tempo, oppure, detto in termini moderni, lo spazio è una funzione del tempo, e individuare il tipo di moto (rettilineo uniforme, uniformemente accelerato, o circolare uniforme) basta conoscere la funzione che lo descrive. All inizio dell Ottocento, il matematico francese Jean Baptiste Fourier (1768-1830) descriveva la metodologia classica dell indagine scientifica: l osservazione o la sperimentazione portano a formulare delle ipotesi sulle regolarità del fenomeno; bisogna quindi formulare una legge in termini matematici, attraverso un equazione che lega le grandezze coinvolte alle variabili; quindi l analisi matematica permette di ottenere una soluzione di tale equazione; e infine si confronta tale soluzione con il mondo reale, cercando una verifica empirica; ed eventualmente, se si trovano discrepanze, si ritocca l equazione e si ripete il processo. Questa metodologia, applicata con successo alla meccanica, permise di sviluppare le teorie del calore, dell elettromagnetismo, la teoria 6
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA dell elasticità e così via. D altra parte, la matematica, spinta dai problemi della fisica, riuscì a estendere i propri metodi, concetti e teorie. Nel corso del Novecento la matematica ha allargato ancora oltre la sua area di applicazione, all economia, alla biologia e alle scienze sociali, e anche alle applicazioni tecnologiche (dall esplorazione spaziale all organizzazione logistica e industriale) e alle scienze applicate (dalla finanza all ecologia). A questo scopo sono state sviluppate branche della matematica prima marginali, come la probabilità, l ottimizzazione o la matematica del finito. La matematica rinnova così la sua presenza, che risale alle lontane origini nel mondo antico, accanto alle più varie imprese umane. Alcuni esempi di funzioni quadratiche ESEMPIO 8.10 Si consideri la funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato. Gli antichi scribi babilonesi avevano compilato, per facilitare i loro calcoli, delle tabelle di quadrati, che dal nostro odierno punto di vista rappresentano la funzione g : N "# N n "# n 2 L insieme immagine di g è formato dai numeri naturali che sono quadrati perfetti: { 1,4,9,25,... } Si osservi che se consideriamo questa regola applicata a un insieme numerico più ampio, l insieme Z dei numeri interi (i numeri naturali, i negativi e lo zero), si tratta comunque di una funzione con lo stesso insieme immagine, ma ogni numero e il suo opposto hanno la stessa immagine: g : Z "# Z z "# z 2 1" "# 1 $1" "# 1 2 "# 4 $2 "# 4... Consideriamo ora la funzione definita sul campo numerico dei reali g : R "# R x a f x ( ) = x 2 Il grafico di questa funzione è una curva, una parabola. 7
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI ESEMPIO 8.11 Nel movimento rettilineo uniformemente accelerato, la velocità dipende dal tempo secondo una regola di dipendenza proporzionale (se la velocità iniziale è zero) oppure lineare. La regola che descrive la dipendenza della distanza percorsa dal tempo trascorso, invece, non è lineare ma quadratica. Ad esempio, consideriamo la caduta di un grave, ossia il moto di un corpo che cade perché attratto dalla forza gravitazionale terrestre (all istante iniziale è a una certa distanza da terra e fermo, e lo lasciamo cadere). La tabella dei valori assunti dalle variabili nei primi cinque secondi del moto è La formula che esprime la distanza s (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è s = 4,9t 2 e la sua rappresentazione è una parabola. Si tratta di un grafico spazio-tempo, ossia di una rappresentazione della relazione tra queste due variabili; non si tratta di una rappresentazione della traiettoria: si tratta di un moto rettilineo. La funzione di proporzionalità inversa ESEMPIO 8.12 Per eseguire un certo lavoro in una azienda agricola coinvolgendo 4 operai servono 3 ore di lavoro? In quanto tempo si può eseguire il lavoro coinvolgendo 6 operai? (Rifletta: servirà più o meno tempo?) Costruisca una tabella indicando il tempo necessario a seconda del numero degli operai. Rappresenti i punti ottenuti sul piano cartesiano. Provi a ottenere una formula che permetta di calcolare il tempo in funzione del numero degli operai. Quale è il dominio e il codominio della funzione così definita. La funzione di proporzionalità inversa f : R "# R x a f ( x) = a x ha come grafico una curva, l iperbole. 8
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA ESERCIZIO. Quali punti del grafico dell iperbole dell illustrazione hanno un senso nel contesto dell esempio 8. 12? Ha senso considerare valori della variabile indipendente minori di 1? E valori maggiori di 12? Le funzioni in matematica Le funzioni hanno rilevanza centrale anche all interno della matematica. Ad esempio, le operazioni fra numeri naturali possono essere pensate come funzioni. Vediamo il caso dell addizione: + : N " N # $ N n,m " n + m ( ) " # (si osservi che in questo caso il dominio è un insieme prodotto cartesiano). ESEMPIO 8.13 Consideri la legge che ad ogni numero naturale associa il numero naturale successivo, secondo gli assiomi di Peano (funzione successore). (i) Discuta se questa legge definisce una funzione, usando la definizione. Indichi il dominio e il condominio. Scriva la funzione in notazione simbolica. (ii) Rappresenti la funzione successore in vari modi. (iii) Ottenga l immagine dei numeri 8, 19, 193 e la controimmagine dei numeri 47, 8, 390. (iv) Dato un numero naturale qualsivoglia n, esiste sempre una controimmagine? Quale è? Indichi l insieme immagine. ESEMPIO 8.14 Considerare la regola seguente: F : N " N * # N " N (a,b) " (q,r) che associa a ogni coppia di numeri naturali il quoziente e il resto della divisione del primo per il secondo ( a = b" q + r, con 0 " r < b). 9
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI (N* indica l insieme dei numeri naturali diversi da zero) F è una funzione? Giustifichi la risposta. 8.3 Composizione di funzioni, corrispondenze biunivoche e funzione inversa Funzione composta Date due funzioni f : A "# B e g : B "# C, si dice funzione composta la funzione con dominio A e condominio C che associa a un elemento a di A l immagine seguente: a "# f ( a) " # ( ( )) " g f a La funzione composta si denota f o g : A "# C La funzione composta si chiama anche prodotto operatore. Se consideriamo tutte le funzioni con dominio e condominio un insieme A, la composizione di funzioni è un operazione fra funzioni, che gode della proprietà associativa, ma non della proprietà commutativa. La funzione identità, che lascia invariato ogni elemento di A, è l elemento neutro della composizione di funzioni: id A : A "# a x a id A ( x) = x ESERCIZIO Quale è il grafico della funzione identità su R? ESEMPIO 8.15 Consideriamo la funzione del taxi dell esempio 8.4. Quale è il calcolo eseguito dal tassametro? Quindi la funzione f è la composizione delle funzioni n a [ doppio] a 2n a [ aggiungere 6] a 2n + 6 h : N "# N l "# 2 $ l g : N "# N l "# l + 6 Infatti g o h(n) = g(h(n)) = g(2n) = 2n + 6 = f (n) Osservare che g o h " h o g; infatti h o g(n) = h(g(n)) = h(n + 6) = 2 n + 6 Funzione ineittiva e suriettiva ( ) = 2n +12 Vi sono diversi tipi di funzione, definiti inserendo condizioni più forti. Una funzione f è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno immagini diverse, e quindi se due elementi hanno la stessa immagine, allora coincidono; in altre parole "a,b # A f ( a) = f ( b) " a = b 10
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Una funzione f è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio ( f A ( ) = B). ESERCIZIO La funzione g : Z "# Z dell esempio 8.8 non è iniettiva e non è nemmeno suriettiva. Esamini i vari esempi di funzione introdotti nella lezione per capire se si tratta di una funzione iniettiva. Per ogni funzione è stato ottenuto l insieme immagine: concluda se si tratta di funzioni suriettive. Corrispondenza biunivoca e funzione inversa Una funzione f è biiettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva. In questo caso si dice anche corrispondenza biunivoca. La corrispondenza biunivoca, ossia la corrispondenza o funzione perfetta, è un concetto matematico ispirato da una procedura, il contare Data una corrispondenza biunivoca f : A "# B, si chiama funzione inversa alla funzione con dominio B e condominio A che a un elemento b di B fa corrispondere l elemento a di A tale che b = f (a). (La funzione inversa verifica la condizione di funzione proprio perché la funzione originaria era suriettiva e iniettiva) La funzione inversa di una funzione f si denota Data una funzione 8.4 L idea di funzione a scuola f : A "# A biunivoca, si ha f o f "1 = f "1 o f = id A f "1 : B # $ A. La consapevolezza del ruolo della matematica, sia nella conoscenza scientifica sia nella conduzione di ogni genere di attività nel mondo attuale, ha portato a inserire questi aspetti nei programmi scolastici. Anche nella scuola elementare, all aritmetica, la misura e la geometria è stata aggiunta una parte relativa all interpretazione, rappresentazione ed elaborazione dell informazione, che include il concetto di funzione e le tecniche e concetti della statistica. L avvicinamento a tali questioni non deve però tralasciare il ruolo formativo dei concetti matematici basilari aritmetici e geometrici, anche nei loro aspetti più astratti. D altra parte, è importante che l insegnante approfondisca, anche dal punto di vista storico e filosofico, il ruolo della matematica opera dell uomo nella conoscenza e nel dominio della realtà. Come ha scritto Laurent Lafforgue nel suo saggio Le calcul nell école primaire, l obiettivo del calcolo nella scuola primaria è fare acquisire agli alunni la conoscenza dei numeri interi e frazionari, la loro scrittura decimale e le loro relazioni elementari (ordine e operazioni) allo stesso tempo in modo astratto e nei loro usi concreti legati al conteggio e alla misura: lunghezze, aree, volumi, masse, tempi, angoli. Alla fine della scuola primari gli alunni devono possedere un dominio agile, esatto e sicuro delle operazioni elementari sui numeri e le grandezze e della manipolazione delle unità; debbono saper redigere in modo conciso e rigoroso la soluzione di problem di calcolo formulate nella lingua corrente tratti dalla vita pratica, dalle scienze della natura o dalla meccanica, e che necessitano di un ragionamento di natura discorsiva. Gli esempi più semplici riguardanti le scienze della natura e la meccanica riguardano le leggi di proporzionalità, come quelle riguardi i moti rettilinei uniformi e l idea di velocità oppure il rapporto di proporzionalità fra massa e volume dei corpi e l idea di densità. 11
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI LE FUNZIONI A SCUOLA PER I PIÙ PICCOLI In anni recenti si è tentato in diversi modi di introdurre nella scuola elementare l idea di funzione. Tabelle a doppia entrata Innanzitutto, fin dalla scuola dell infanzia si parla di relazioni fra insieme di varia natura, registrando i collegamenti fra elementi in tabelle a doppia entrata. Le tabelle a doppia entrata che rappresentano visivamente una selezione di coppie del prodotto cartesiano di due insiemi. Operatori Nella scuola primaria si parla alle volete di numeri come operatori per introdurre l idea di funzione fra insiemi numerici. Si adopera spesso questa visualizzazione +2 "# $2 %" " &3 "# Il terzo operatore, ad esempio, corrisponde alla funzione di proporzionalità f 3 prima introdotta. Allo stesso modo, lavorare con i primi due operatori come inversi (come è indicato dalle frecce) fa riferimento alla funzione inversa. Possiamo anche rappresentare l idea di funzione successore o di aggiungere uno scrivendo +1 "# e quindi denotare il successore di un numero n (o il numero successivo) scrivendo n +1. Questa scrittura usa il simbolo del numero privilegiato della sequenza (1) e il simbolo dell addizione (+) Bisogna stare attenti, però, in quanto l idea di operatore deve essere associata a un insieme dominio (i numeri naturali) e non a un singolo numero o più numeri. A questo scopo può essere utile l idea di dispositivo input-output, che conviene tuttavia distinguere concettualmente dal lavoro sui numeri naturali e le loro proprietà. Trasformazioni geometriche Oltre lo studio tradizionale sulle figure (classificazione, aree e perimetri) si possono studiare i movimenti rigidi delle figure oppure le trasformazioni quali la similitudine. Le trasformazioni geometriche sono corrispondenze biunivoche del piano geometrico nel piano geometrico, come vedremo più avanti. Esercizi 1) Un organismo unicellulare si riproduce per scissione binaria, dando luogo in ogni scissione a due cellule identiche. Quanti organismi saranno presenti dopo 6 scissioni. Provi a trovare una formula che permetta di calcolare il numero di organismi in funzione del numero di scissioni. 12
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA 2) (i) Ottenga i valori della formula seguente per i primi dieci numeri naturali 3n 2 " n + 41 Per il numero 15 si ottiene un numero primo? E per 41? (ii) Considerare la regola h : N " N n " h(n) = 3n 2 # n + 41 h è una funzione? Descriva a parole l azione di h sul numero n. 3) Interpreti gli operatori +2 "# $2 %" " come funzioni con dominio e codominio l insieme N dei numeri naturali e provi a rappresentarli graficamente: (i) (ii) (iii) (iv) con i diagrammi di Venn con una tabella a due colonne con una tabella a doppia entrata rappresentando le coppie ordinate scelte nel prodotto cartesiano determinano la funzione usando gli assi cartesiani N " N che 4) Consideri l operatore dell esempio 3 "3 # $ Di quale funzione si tratta? Esiste la funzione inversa? Se si, provi a rappresentarla in alcuno dei modi illustrati nella lezione. 5) Consideri il calcolo del doppio e della metà. In che senso si tratta di due operatori inversi? 6) Si consideri la regola seguente che associa elementi di Z a elementi di Z: : Z "# Z z "# z Si tratta di una funzione? Rappresentarla in uno dei quattro modi. Quale è l immagine degli elementi seguenti: 3, 0, 167, 14? Quale è l insieme immagine? Indagare se la funzione valore assoluto è iniettiva e/o suriettiva? 13
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI 7) Dati l insieme A delle vocali e l insieme B dei numeri da 10 a 15 a) scrivere i due insiemi per estensione e rappresentarli per mezzo di due diagrammi di Venn. b) costruire una funzione f : A "# B (ricordi prima la definizione) c) la funzione f è iniettiva? d) A e B hanno la stessa cardinalità? (ricordi le definizione riguardanti la cardinalità di insiemi finiti e infiniti) 8) Siano A l insieme di numeri interi compresi fra -5 e -1 e B l insieme dei numeri naturali minori di 6. Considerare la regola f con dominio A e codominio B che associa a ogni elemento di A il suo opposto: è una funzione? Rappresentarla usando un diagramma di Venn e scrivere il grafico della corrispondenza e rappresentarlo sugli assi cartesiani. La funzione f è biunivoca? 9) Consideri il seguenti dispositivi input-output. Per ognuno di essi, costruisca una tabella a due colonne per registrare le uscite quando in entrata si collocano i numeri naturali a partire da 1. a) " b) n 3 " n 2 " " 1 n " 10) Sia C l insieme delle cifre che servono a scrivere il numero venti mila settecento trentasei e D l insieme dei quattro primi numeri naturali primi diversi da 1. (a) (b) (c) Determinare l insieme intersezione di C e D, l insieme unione di C e D e l insieme prodotto cartesiano di C e D. L insieme C " D è finito? Quanti elementi ha? Costruire una funzione con dominio D e codominio C. E iniettiva? È suriettiva? 11) (i) Ottenga i valori della formula seguente per i numeri da 1 a 3 2 2n +1 Per il numero 4 si ottiene un altro numero primo, 65537. Per il numero 5 invece si trova un numero composto: ciò fu dimostrato da Eulero nel 1732. (ii) Considerare la regola f : N " N f è una funzione? Descriva a parole l azione di f sul numero n. n " f (n) = 2 2n +1 14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA 12) Consideri le funzioni L e A che permettono di calcolare rispettivamente la lunghezza della circonferenza in funzione del raggio e l area del cerchio in funzione del raggio. Costruisca una tabella di valori e approssimi i valori in espressione decimale usando la calcolatrice. Di che tipo di funzione si tratta? Altri esercizi: In equilibrio sulla linea dei numeri, cap. 1, esercizi 1-4 e cap. 3 (tutti gli esercizi). 15