Capitolo 10 Costi
I COSTI NEL LUNGO PERIODO Nel lungo periodo non esistono costi fissi Il problema dell impresa è quello di scegliere la combinazione ottimale di input in relazione all output che si intende produrre La retta di isocosto individua tutte le combinazioni di lavoro e capitale che generano un dato livello di costi: C = rk + wl K = C/r (w/r) L Il valore assoluto della pendenza dell isocosto (w/r) misura il prezzo relativo del lavoro rispetto al capitale
Figura 10-10: Isocosto
VI RICORDA NIENTE????? IN TEORIA DEL CONSUMATORE M= reddito P x,p y =prezzi di x e di y -P x /P y = inclinazione del vincolo di bilancio IN TEORIA DELL IMPRESA C=costo w,r= prezzi di L e K -(w/r)= inclinazione dell isocosto
MASSIMIZZAZIONE VINCOLATA DELL OUTPUT L impresa che intende massimizzare l output ad un dato costo, deve risolvere un problema di ottimizzazione simile a quello relativo alla scelta del paniere ottimo del consumatore In termini grafici si tratta di sovrapporre la retta di isocosto alla mappa degli isoquanti La quantità ottimale di output si rileva sull isoquanto più elevato compatibile con il vincolo rappresentato dalla retta di isocosto
Figura 10-11: Massimo livello di output per un dato livello di costo
MINIMIZZAZIONE VINCOLATA DEI COSTI È possibile anche procedere alla minimizzazione vincolata dei costi per un dato livello di output In termini grafici si tratta di sovrapporre ad un dato isoquanto di produzione una mappa degli isocosti corrispondenti ai vari livelli di costo La quantità ottimale di output si rileva sulla retta di isocosto più bassa compatibile con il vincolo rappresentato dall isoquanto di produzione
Figura 10-12: Livello minimo di spesa per un dato livello di produzione
CONDIZIONE DI OTTIMO In entrambi i casi, sia che si proceda attraverso la massimizzazione vincolata dell output, sia attraverso la minimizzazione vincolata dei costi, in generale la condizione di ottimo per una soluzione cosiddetta interna implica: MRTS = MP L /MP K = w/r Ovvero l eguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione tecnica e il prezzo relativo dei fattori produttivi
OPPURE: MP L* / w = MP K* / r Cosa ci dice? Il beneficio marginale (in termini di maggiore produzione) ottenibile dall euro marginale speso deve essere uguale per tutti i fattori produttivi. Se così non fosse se l euro marginale mi rende di più se impiegato in capitale piuttosto che in lavoro mi converrà sempre allocarlo su K piuttosto che su L. Quindi la mia configurazione originaria non è ottimale.
Anche questo vi ricorda niente?!?! Quando fate il Lagrangiano: MU x /P x =λ MU y /P y =λ Cioè: MU x /P x = MU y /P y L utilità marginale dell ultimo euro speso su x deve essere uguale all utilità marginale dell ultimo euro speso in y.
TROPPE SOMIGLIANZE.. ALLORA VUOI VEDERE CHE POSSO FARE IL LAGRANGIANO ANCHE QUA?!?!?!
E INFATTI (APPENDICE AL CAP.10): minimizzo i costi dato il vincolo di produzione
La derivata della funzione di produzione rispetto a K è il prodotto marginale del capitale (MP K ). La derivata della funzione di produzione rispetto a L è il prodotto marginale del lavoro (MP L ) Applicando esattamente lo stesso procedimento che applicammo nel caso di teoria del consumatore: r = λ MP K w= λ MP L Dividendo la prima per la seconda: MP L* / w = MP K* / r
UN ESEMPIO CONCRETO Q= K L r=4 w=2 Trovate la combinazione di capitale e lavoro che minimizzino i costi per produrre 2 unità di output (Q 0 =2). Il problema è: Min 4K+2L s.t. 2= K L
E, come l altra volta, ho due opzioni: 1) faccio il lagrangiano (problema di ottimizzazione in questo caso minimizzazione vincolata) 2) sostituisco il vincolo nella funzione obiettivo e pongo la derivata prima uguale a zero (problema di ottimizzazione non vincolata). FATEMI QUELLA DOMANDA
FATEMELA..!!!! ALLORA?!?! CONTO FINO A 3. 1 2.
Perchè in teoria del consumatore hai massimizzato, e qui hai minimizzato, ma il procedimento è assolutamente identico?! La prima volta porre la derivata prima = 0 ti faceva trovare il massimo della funzione. Ora il minimo. Ci prendi per il.?! DATEVI QUELLA RISPOSTA.
Azzerare la derivata prima ci trova il massimo se la funzione è concava (cioè ha la derivata seconda negativa). E ci trova il minimo se la funzione è convessa (cioè ha la derivata seconda positiva). 2-16/L 2 =0 (cioè derivata prima della funzione obiettivo =0). Scommettiamo che la derivata seconda è negativa?
IN GENERALE, IN MATEMATICA, PER OTTIMIZZARE: L AZZERAMENTO DELLA DERIVATA PRIMA SI CHIAMA CONDIZIONE DEL PRIMO ORDINE. IL SEGNO DELLA DERIVATA SECONDA SI CHIAMA CONDIZIONE DEL SECONDO ORDINE.
VABBE TORNIAMO A NOI Ci sono diversi modi di produrre una data quantità di output: - o uso più lavoro e meno capitale - o meno lavoro e più capitale A SECONDA DI QUALE COSTA MENO
Figura 10-13: Diversi modi di produrre una tonnellata di ghiaia
I COSTI NEL LUNGO PERIODO: disegniamo le stesse curve fatte finora, ma nel lungo periodo: tutti gli input sono variabili (NO COSTI FISSI) La crescita del prodotto dell impresa definisce il sentiero di espansione dell output, il quale descrive il costo totale minimo necessario per ciascun livello di produzione 1) In teoria del consumatore: quando aumenta il reddito, come cambia il paniere ottimale di consumo? 2) In teoria dell impresa: quando cambia il livello di produzione, come cambia la quantità ottimale di fattori produttivi impiegata? 1): curva reddito-consumo 2): sentiero di espansione dell output
Figura 10-14: Sentiero di espansione dell output di lungo periodo
In corrispondenza del sentiero di espansione dell output è possibile definire la curva del costo totale di lungo periodo (LTC) L andamento della LTC dipende dai rendimenti di scala della funzione di produzione
Se la LTC cresce meno che proporzionalmente all aumentare dell output: rendimenti crescenti Se la LTC cresce proporzionalmente all aumentare dell output: rendimenti costanti Se la LTC cresce più che proporzionalmente all aumentare dell output: rendimenti decrescenti Notate la discrasia: meno che ---crescenti. Perché? Perché stiamo affrontando la faccenda dal lato dei costi.
NON E CHIARO? PROVIAMO COSI Se raddoppiando l output ho raddoppiato anche i costi, ho rendimenti costanti Se raddoppiando l output ho più che raddoppiato i costi, ho rendimenti decrescenti Se raddoppiando l output ho meno che raddoppiato i costi, ho rendimenti crescenti. Guardando a tutte e tre le curve di costo di lungo periodo (LTC, LAC e LMC) posso capire i rendimenti di scala.
I COSTI NEL LUNGO PERIODO Le curve di costo medio di lungo periodo (LAC) e costo marginale di lungo periodo (LMC) rispecchiano anch esse i rendimenti di scala Si ricordi, viceversa, che l andamento delle curve di costo di breve periodo riflettono la proprietà dei rendimenti marginali (crescenti e/o decrescenti) del singolo fattore produttivo
Figura 10-15: Curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo
Figura 10-16: Curve LTC, LMC e LAC e rendimenti di scala costanti nella produzione
Figura 10-17: Curve LTC, LMC e LAC e rendimenti di scala decrescenti nella produzione
VEDETE CHE LA CURVA DEI COSTI MARGINALI (LMC) GIACE SOPRA ALLA CURVA DEI COSTI MEDI (LAC)? E INFATTI IL COSTO TOTALE (LTC) SALE.
Figura 10-18: Curve LTC, LMC e LAC e rendimenti di scala crescenti nella produzione
QUI INVECE IL CONTRARIO. LA LMC GIACE SOTTO LA CURVA LAC. E INFATTI LTC SCENDE.
COSTI DI LUNGO PERIODO E STRUTTURA DELL INDUSTRIA La struttura di un industria è fortemente influenzata dai costi di lungo periodo in quanto la sopravivenza di un impresa, data la tecnologia, dipende dalla sua capacità di ridurre al minimo i costi totali di produzione nel lungo periodo Il livello di output corrispondente al punto di minimo della curva LAC dipende dalla particolare forma assunta da questa ultima Quando la curva LAC ha pendenza negativa per tutti i livelli di output, i costi sono minimi se nel mercato opera una sola impresa (monopolio naturale)
COSTI DI LUNGO PERIODO E STRUTTURA DELL INDUSTRIA Se la curva LAC è a forma di U e la quantità di output che minimizza i costi medi rappresenta una quota consistente del mercato allora in quel mercato operano poche imprese Se la curva LAC è a forma di U e la quantità di output che minimizza i costi medi rappresenta solo una piccola frazione del mercato, allora in quel mercato operano molte piccole imprese Accade lo stesso anche nel caso in cui la curva LAC è orizzontale oppure inclinata positivamente
Figura 10-19: Curve LAC caratteristiche di industrie fortemente concentrate
Figura 10-20: Curve LAC tipiche di industrie non concentrate