Capitolo 2. Gli strumenti deduttivi.

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 Capitolo 2. Gli strumenti deduttivi. 2.1. Il lascito greco. Si è visto, nel capitolo precedente, che dobbiamo all elaborazione greca una prima presentazione di cosa si debba intendere per scienza, come determinazione del contenuto. Ma alla stessa antica cultura dobbiamo anche la scelta della modalità di presentazione dei risultati in modo convincente. Da Aristotele e da Euclide abbiamo desunto che, una volta scelti i punti di partenza per una teoria, grazie al buon senso ed all evidenza, essa si sviluppa poi senza fare riferimento a queste prerogative concrete per fare uso di strumenti razionali. I greci trovavano nella loro competenza linguistica le forme del ragionamento che si ritenevano corrette, poi queste forme sono state assunte, per lungo tempo, come la sintesi della razionalità stessa, accompagnando la storia dell evoluzione culturale umana per un paio di millenni. È importante notare che nel periodo storico in cui si sviluppava la Logica in Grecia, per altre vie e con altri obiettivi, si sviluppava in India il Nyanya che elaborava sotto forme diverse una teoria comparabile a quella dei sillogismi aristotelici. 2.1.1. Sinossi storica della Logica greca. Abbiamo notizia di vari procedimenti argomentativi applicati nella Grecia antica tramite citazioni e testi. Di altri ne abbiamo notizia indiretta. C è poi il problema del passaggio dall uso implicito all esplicitazione. Ne risulta, così, difficile garantire della paternità di una regola logica o di una specifica argomentazione. Possiamo vedere la presenza dei metodi dimostrativi nell elaborazione dei teoremi. Sulla scorta di Proclo (cfr. 1.4.1.), ciò avverrebbe già con Talete: «Talete, per primo, essendo andato in Egitto, portò in Grecia questa scienza (la Geometria), ed egli stesso trovò molte cose, e di molte indicò i princìpi a coloro che vennero dopo di lui, di alcune cose trattando in modo più generale, di altre in modo più sensibile» e si può interpretare il sorgere del procedimento deduttivo nell accenno che Talete avrebbe trattato alcune cose in modo più generale. Di qui si desumerebbe che il teorema e il suo procedimento, a- vrebbero come ruolo quello di offrire un procedimento generale, che astrae dal caso particolare. Poiché Talete si colloca a cavallo tra il VII e i VI secolo a.c., si può datare da tale periodo storico la nascita della Logica come strumento di gestione della conoscenza. Il lungo periodo dal VII al IV secolo a.c. sarebbe stato la incubatrice in cui è avvenuta l elaborazione degli strumenti deduttivi. Tra i nomi di spicco di questo lungo periodo possiamo citare Pitagora per la sua enfasi sui teoremi 51

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi (cfr. 1.4.1.) e Parmenide di Elea, fondatore della scuola di Elea e assertore della necessità di un approccio razionale, rigoroso, in grado di presentare la conoscenza secondo la verità e non secondo l opinione, frutto di un approccio sensibile ed empirico e, pertanto, imperfetto. Ed è uno scolaro di Parmenide, Zenone di Elea che viene indicato da Aristotele come il fondatore della dialettica, anche se Bochenski 1 ritiene che Zenone usasse procedimenti logici, senza essere conscio delle regole che stava applicando. Dallo stesso testo traggo uno schema cronologico che illustra la scansione temporale e le filiazioni delle linee di pensiero. Zenone di Elea (515 440 a.c.) Parmenide (515 440 a.c.) Socrate (470 399 a.c.) Antichi sofisti Platone (427 347 a.c.) Euclide di Megara (400 a.c.) Aristotele (384 322 a.c.) Diodoro Crono (m. 307 a.c.) Teofrasto (m. 287 a.c.) Filone di Megara Zenone di Cizio (335 243 a.c.) Crisippo di Soli (281 205 a.c.) 1 Bochenski, J.M. (1972). La logica formale. I. Dai Presocratici a Leibniz. II. Torino: Einaudi. 52

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 La crisi degli incommensurabili, attribuita da Proclo a Pitagora: «egli scoprì il fatto degli irrazionali», mostra la presenza di una contrapposizione tra intuizione e ragione. Infatti la non commensurabilità del lato e della diagonale del quadrato si contrappone all intuizione che un segmento sia una collana di punti e che l armonia dei rapporti razionali debba generare e gestire il mondo. Ma tale non commensurabilità non può essere scartata perché risultato di un procedimento razionale. Così si ha il primo caso in cui la ragione si contrappone all intuizione e come conseguenza si ha l abbandono dell intuizione. La stessa situazione si ha con Parmenide che razionalmente nega il vuoto, visto come non essere, e con esso la possibilità del movimento. Zenone di Elea raccoglie le istanze di Parmenide e presenta una serie di paradossi coi quali vuole convincere della bontà delle idee del suo maestro. Questi paradossi sono argomentazioni verbali con le quali si nega l evidenza in modo drastico. La forma logica è quella delle dimostrazioni per assurdo. Un argomentazione per assurdo la ritroviamo anche nel Carmide di Platone (cfr. 1.6.3.5.). Anche in altri dialoghi platonici vengono affrontati e discussi argomenti di carattere logico, ma con lo stile di contrapposizione che è tipico di tali dialoghi. Alla base della dimostrazione per assurdo, in questa fase non formale, non è esplicitato il ruolo del Principio del terzo escluso, che sarà precisato da Aristotele. Non è possibile escludere che autori precedenti o contemporanei al filosofo dell Accademia abbiano riflettuto sulla natura della dimostrazione, sul come siano connesse premesse e conclusioni per determinare la correttezza (e la validità) di una argomentazione. 2.1.2. Strumenti logici euclidei. Euclide usa procedimenti deduttivi, e talora anche raffinati, come una sorta di quadrilatero delle proposizioni, in almeno tre casi: uno è costituito dal Post. 5, dalla Prop. I.17, dal complesso delle Propp. I.27 e I.28 e dalla Prop. I.29. Un secondo si ha col complesso delle Propp. V.7 V.10 ed un terzo è sintetizzato nella sola «Proposizione X.9. Quadrati di rette commensurabili in lunghezza hanno fra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; ed i quadrati che abbiano fra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, avranno anche i lati commensurabili in lunghezza. Invece, i quadrati di rette incommensurabili in lunghezza non hanno fra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; ed i quadrati che non abbiano fra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, non avranno neppure i lati commensurabili in lunghezza» Per meglio mettere in evidenza la struttura logica di questo enunciato, siano r e s rette (segmenti), q(r) e q(s) i quadrati costruiti su tali segmenti; si esprima (male) la loro commensurabilità dicendo che (r/s) = (m/n) e la loro incommensurabilità con (r/s) (m/n) Si ha così che la Proposizione X.9, nelle quattro parti distinte che la compongono, afferma che per ogni r,s rette, m,n numeri naturali: - (r/s) = (m/n) (q(r)/q(s)) = (m 2 /n 2 ); - (q(r)/q(s)) = (m 2 /n 2 ) (r/s) = (m/n); 53

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi - (r/s) (m/n) (q(r)/q(s)) (m 2 /n 2 ); - (q(r)/q(s)) (m 2 /n 2 ) (r/s) (m/n); ed in forma ancora più astratta - r,s,m,n(a B) - r,s,m,n(b A) - r,s,m,n( A B) - r,s,m,n( B A) Oggi possiamo dire che questa proposizione è uno spreco di energia, se si adotta la cosiddetta logica classica, in quanto la prima affermazione e la quarta sono logicamente equivalenti, così come la seconda e la terza. Ma la certezza che la logica usata da Euclide sia classica è stata messa in dubbio da tempo (soprattutto relativamente all uso della quantificazione esistenziale) e per le riserve mostrate nell uso delle dimostrazioni per assurdo. Il quadrilatero delle proposizioni è di matrice aristotelica e lo si ritrova nel contesto dei sillogismi, ma anche, in altra forma, in Dell Espressione (cap. 10). In Euclide si trovano, però, specifiche indicazioni sugli strumenti argomentativi utilizzati, tranne gli elenchi dei postulati e delle nozioni comuni. Sempre il Nostro si attiene, all interno di una dimostrazione, al principio di utilizzare esclusivamente proposizioni precedenti. Qualche volta lo schema salta per l incompletezza della postulazione. Non viene mai violato il principio di non contraddizione: anche se tale principio non viene mai citato espressamente. 2.2. Il contributo di Aristotele. Dobbiamo ad Aristotele molte cose che hanno influito sulla nostra cultura, ed in taluni casi, l hanno diretta in modo molto stringente. In particolare, in ambito proposizionale, il Nostro introduce due principi fondamentali: - il Principio di non contraddizione (inserito in una specie di quadrato delle proposizioni): «Ecco come tali espressioni vanno ordinate tra loro. Poniamo che A indichi «essere bene»; e che B indichi «non essere bene»; che C collocato sotto B indichi «essere non bene»; D collocato sotto A indichi «non essere non bene». Senza dubbio, a qualsivoglia oggetto apparterrà A, oppure B, e d altra parte in nessun caso A e B apparterranno ad un medesimo oggetto» (Analitici primi, I A, 51b, 36 40 2 ) «è impossibile che [enunciati] contraddittori siano contemporaneamente veri» (Aristotele, Metafisica 1011b 16 3 ) - il Principio del terzo escluso: 2 Traduzione di Gigante, M. & Colli, G. (1991) Bari: Laterza. 3 Traduzione di Bochenski. J. 54

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 «Rispetto agli oggetti che sono e a quelli che sono stati, è dunque necessario che tra l affermazione e la negazione una risulti vera e l altra invece falsa: si avrà sempre un giudizio vero contrapposto ad un giudizio falso, sia riguardo agli oggetti universali, presentati in forma universale, sia riguardo agli oggetti singolari, come già detto.» (Dell espressione, 18a, 28 33 4 ). In questo brano è interessante il fatto che parli del presente e del passato, perché pone dubbi sulla applicabilità del principio quando si tratta del futuro. Dice infatti: «D altro canto rispetto agli oggetti singolari che saranno, le cose si presentano diversamente. In effetti, se tra affermazione e negazione, in ogni caso, una dev essere vera e l altra invece falsa, risulta altresì necessario che ogni determinazione appartenga oppure non appartenga ad un oggetto; di conseguenza, quando una persona affermi che un oggetto sarà qualcosa ed un altra neghi questa stessa attribuzione, è chiaro che una delle due persone deve necessariamente dire la verità, se si ammette che ogni affermazione sia vera oppure falsa. Entrambe le determinazioni non potranno infatti appartenere simultaneamente a tali oggetti. In realtà, se è vero dire che un oggetto è bianco, oppure che non è bianco, esso sarà necessariamente bianco oppure non sarà bianco, e d altra parte, se un oggetto è bianco, oppure non è bianco, era vero affermare oppure negare la cosa. Del pari, se la determinazione non appartiene all oggetto, chi l attribuisce a questo dice il falso, e d altro canto, se chi attribuisce la determinazione all oggetto dice il falso, la determinazione non appartiene all oggetto. In tal caso è dunque necessario che tra l affermazione e la negazione una risulti vera e l altra falsa. Ed allora, nulla è né diviene per caso, o secondo due possibilità indifferenti, e nulla potrà essere o non essere; tutte le cose risultano piuttosto determinate per necessità, e non sussiste alcuna indifferenza tra due possibilità (in effetti la verità è detta da chi afferma o da chi nega), poiché altrimenti qualcosa potrebbe indifferentemente prodursi oppure non prodursi: ciò che può accadere in due modi indifferenti non è infatti, né sarà, in una certa situazione piuttosto che nella situazione contrapposta. Oltre a ciò, se qualcosa è adesso bianco, era vero dire in precedenza che sarebbe poi stato bianco; di conseguenza, è sempre stato vero dire rispetto a qualsivoglia oggetto prodottosi che sarebbe poi stato. E così, se è sempre vero dire che un oggetto era o sarebbe poi stato, non è possibile che questo non fosse o che non fosse poi stato. Ciò che non è possibile, d altro canto, che non si sia prodotto, è impossibile che non si sia prodotto; inoltre, ciò che è impossibile, che non si sia prodotto, è necessario che si sia prodotto. [ ] Ciò che intendo dire, ad esempio, che necessariamente domani vi sarà una battaglia navale, oppure non vi sarà, ma che non è tuttavia necessario che domani vi sia una battaglia navale, né d altra parte è necessario che domani non vi sia una battaglia navale. Ciò che invece risulta necessario, è che domani avvenga o non avvenga una battaglia navale. Di conseguenza, dal momento che i discorsi sono veri analogamente a come lo sono gli oggetti, è chiaro che a proposito di tutti gli oggetti, costituiti così da accadere indifferentemente in due modi, secondo delle possibilità contrarie, anche la contraddizione si comporterà necessariamente in maniera simile. È appunto ciò che avviene riguardo agli oggetti che non sono sempre, oppure a quelli che non sempre non sono. In tali casi è infatti necessario che una delle due parti della contraddizione sia vera e l altra sia falsa, ma non è tuttavia necessario che una determinata parte sia vera oppure falsa; sussiste piuttosto un indifferenza tra due possibilità, e quand anche uno dei due casi risulti più vero, la verità e la falsità non saranno già decise sin da principio. Risulta chiaro, di conseguenza, che non sempre, riguardo ad un affermazione e ad una negazione contrapposte, sarà necessario che una di esse sia vera e l altra invece falsa: in effetti, ciò che vale per gli oggetti che sono non vale allo stesso modo per quelli che non sono, ed hanno la possibilità di essere o non essere. Le cose stanno piuttosto come si è detto.» (Dell espressione, 18a, 34 18b, 16 e 19a, 29 19b, 4). In questo lungo passo, accanto ad una riaffermazione del Principio di terzo escluso, è logicamente importante l equivalenza tra non possibile non con necessario, uno dei fondamenti della logica modale; poi il fatto che le affermazioni che riguardano il futuro, come per l evento della battaglia navale, la verità non è già decisa in anticipo. Aristotele quindi non si vincola ad una sola scelta classica. In ambito predicativo, la invenzione maggiore di Aristotele è data dalla teoria del sillogismo. 2.2.1. Brani dagli Analitici primi. Il testo in cui, principalmente, si occupa del sillogismo è gli Analitici primi. Il testo si apre con una sorta di dichiarazione: 4 Traduzione di Gigante, M. & Colli, G. (1991) Bari: Laterza. 55

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi «Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spetti la presente indagine, che essa cioè riguarda la dimostrazione e spetta alla scienza dimostrativa; in seguito, bisogna precisare che cosa sia la premessa, cosa sia il termine (ο ρος), cosa sia il sillogismo, quale sillogismo sia perfetto e quale imperfetto; dopo di ciò, si deve definire che cosa sia, per un qualcosa, l essere contenuto o il non essere contenuto nella totalità di un qualcos altro, e che cosa intendiamo per venire predicato di ogni oggetto, oppure di nessun oggetto. La premessa, ordunque, è un discorso che afferma o che nega qualcosa rispetto a qualcosa. Tale discorso, poi, è universale, o particolare, o indefinito. Con discorso universale, intendo quello che esprime l appartenenza ad o- gni oggetto o a nessun oggetto; con discorso particolare, intendo quello che esprime l appartenenza a qualche oggetto, o la non appartenenza a qualche oggetto, o la non appartenenza ad ogni oggetto; con discorso indefinito, intendo quello che esprime l appartenenza o la non appartenenza, a prescindere dalla forma universale o dalla forma particolare, per esempio il discorso, secondo cui i contrari sono oggetto della medesima scienza, oppure il discorso secondo cui il piacere non è bene. D altro canto la premessa dimostrativa differisce da quella dialettica, in quanto la premessa dimostrativa è l assunzione di una delle due parti della contraddizione (chi dimostra infatti non interroga, bensì assume), mentre quella dialettica è la domanda che presenta la contraddizione come un alternativa» (An. pr., I A 24a, 9 27) Questo brano è ricco di numerose informazioni e chiarisce subito la distanza tra il modo di proporre la scienza di Aristotele (mediante premesse dimostrative) dalla esposizione platonica dei Dialoghi, in cui si preferisce puntare sulle premesse dialettiche. I fautori della interpretazione insiemistica, trovano qui spunto per indicare nell appartenenza la relazione fondamentale. Compare l idea di inclusione (che poi porterà all implicazione); Aristotele annuncia, inoltre, che il suo obiettivo è la scienza dimostrativa, che costituirà il soggetto degli Analitici secondi. C è poi la distinzione tra premesse universali e singolari, ben messa in evidenza, anche in connessione con la negazione. Il ruolo del linguaggio è importante e presuppone un consenso su ogni, nessuno, qualche, aggettivi che anche oggi pongono problemi interpretativi. «Chiamo termine, d altro canto, l elemento cui si riduce la premessa, ossia tanto il predicato quanto ciò di cui si predica il predicato; è indifferente poi che questi due elementi siano congiunti o disgiunti, per opera dell essere e non essere.» (An. pr. I A 24b, 17 19) Compare qui la specificazione di cosa sia un termine e questa nomenclatura passerà invariata sia nella lingua che nella scienza, per indicare un oggetto su cui si opera o uno stato. «Il sillogismo, inoltre, è un discorso in cui, posti taluni oggetti, alcunché di diverso dagli oggetti stabiliti risulta necessariamente, per il fatto che questi oggetti sussistono. Con l espressione per il fatto che questi oggetti sussistono intendo dire che per mezzo di questi oggetti discende qualcosa, e d altra parte, con l espressione per mezzo di questi oggetti discende qualcosa intendo dire che non occorre nessun termine esterno per sviluppare la deduzione necessaria» (An. pr. A 24b, 19-22). Qui l autore sembra chiarire che si tratti di un processo di produzione che trasforma i dati in qualche cosa d altro, senza bisogno di agenti esterni, una sorta di macchinetta e sarà questa l impressione che si svilupperà nei secoli. Finora però non è chiaro di cosa si tratti, a parte di una oggetto o strumento linguistico, dato che il sillogismo è un discorso. La novità è che mentre prima si parlava di premessa, al singolare, qui compaiono più oggetti stabiliti, con l uso del plurale. «La premessa A B sia dunque anzitutto negativa universale. In tal caso, se A non appartiene a nessun B, neppure B apparterrà a nessun A. In effetti se B appartenesse a qualche A, per esempio a C, non sarebbe vero che A non appartiene a nessun B: C infatti fa parte di B.» (An. pr. A 25a, 14 17). Indipendentemente da quello che qui Aristotele vuole dire, è fondamentale osservare che il filosofo usa, e con una certa disinvoltura, lettere per denotare variabili, non numeriche, ma linguistiche. Si 56

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 tratta di un innovazione che precede di molti secoli l algebra simbolica, in cui le variabili vengono (dapprima) usate per denotare numeri e poi estese ad altri enti. Per chiarire il passo aristotelico, bisogna rendersi conto che qui appartiene è una relazione simmetrica, quindi ben lontana dalla appartenenza insiemistica. In realtà la differenza è più sottile. Il sillogismo che Aristotele usa viene applicato come deduzione trascendentale sulle categorie, intese anche in senso intensionale. Per chiarire. Oggi se dico che gli uomini sono mortali, si può pensare in termini estensionali come al fatto che la collezione degli uomini è inclusa nella collezione degli esseri mortali. Ma Aristotele riconosce in re gli universali e le categorie, per cui è uomo che appartiene all individuo oltre che l individuo appartiene all uomo come universale, in quanto uomo è termine e quindi è «tanto il predicato quanto ciò di cui si predica il predicato». Più oltre, infatti, precisa: «se può avvenire che il bianco non appartenga a nessun vestito, può avvenire che anche il vestito non appartenga a nessun bianco» (An. pr. I A 25b, 12 14) Ulteriore considerazione: non è che Aristotele parta dal caso più semplice, bensì da uno complesso, e nel brano prova la conversione delle premesse negative, in termini oscuri anche per i commentatori moderni. La chiarificazione della struttura del sillogismo avviene nel brano seguente: «Una volta stabilite queste precisazioni, possiamo dire ormai attraverso quali elementi, in quali occasioni ed in qual modo si produca ogni sillogismo; in seguito si dovrà parlare della dimostrazione. Occorre invero trattare del sillogismo prima che della dimostrazione, poiché il sillogismo ha un grado maggiore di universalità. La dimostrazione è infatti un particolare sillogismo, mentre non tutti i sillogismi sono dimostrazioni. Orbene, quando tre termini stanno tra essi in rapporti tali che il minore sia contenuto nella totalità del medio, ed il medio sia contenuto o non sia contenuto, nella totalità del primo, è necessario che tra gli estremi sussista un sillogismo perfetto. Da un lato, chiamo medio il termine che tanto è contenuto esso stesso in un altro termine, quanto contiene in sé un altro termine, e che si presenta come medio anche per la posizione; d altro lato, chiamo estremi sia il termine che è contenuto esso stesso in un altro termine, sia il termine in cui un altro termine è contenuto. In effetti, se A si predica di ogni B e se B si predica di ogni C, è necessario che A venga predicato di ogni C.» In questo brano si chiarisce che le premesse sono due e che la conclusione, ciò che è necessario è un affermazione dello stesso tipo delle premesse. L esempio che qui viene proposto, sempre espresso mediante lettere per variabili, è quello di una forma e figura del sillogismo. Il testo degli Analitici primi, tratta poi le varie figure di sillogismo, di quelli definiti imperfetti e come fare per renderli perfetti, delle conversioni tra una figura e l altra, eccetera. Si tratta di un testo di logica assai raffinato, anche se non sempre chiaro. 2.2.2. Le analisi dei commentatori. Prima di affrontare la sostanza del sillogismo, vale la pena di spendere qualche parola sulla fortuna di questo strumento logico, nella letteratura scientifica. I manuali che riassumevano/spiegavano la proposta aristotelica sono stati assai numerosi. Il primo commentatore dell opera di Aristotele è stato il suo successore Teofrasto (373 287), a lui si deve l estrapolazione dal testo aristotelico del cosiddetto quadrato modale che collega le nozioni di necessario possibile, impossibile e contingente. Nei primi secoli dopo Cristo, si incontrano il medico Galeno (129 200) e soprattutto i commentari di Alessandro d Afrodisia (III sec.) e di Porfirio 57

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi di Tiro, il cui testo, Isagoge ha avuto grande successo essendo stato replicato in numerosi manoscritti, prima, e a stampa poi. Fondamentale per molti sviluppi successivi è stata l opera di Boezio, che ha inserito nella sua trattazione anche forme di sillogismo (il sillogismo ipotetico) che Severino Boezio (480-524) però escono dalla tradizione aristotelica. Successivamente, in Porfirio di Tiro quella che è nota come l età della Scolastica, l attenzione ai problemi della logica è stata assai grande e il testo di Aristotele è stato sempre (233-305) presente, se non altro per negarlo. La Scolastica, è stato un ampio e variegato movimento di pensiero che illuminò il Medioevo partire dal XI secolo fino alla fine dell epoca storica (XV secolo). È stato un periodo di fini analisi della logica ed anche di divulgazione del pensiero di Aristotele all interno delle nascenti università cosicché l opera del Filosofo peripatetico è diventato una sorta di linguaggio comune per gli uomini dotti. A riguardo del sillogismo, Michele Psello (1018 1096) propone uno schema chiarificatore di quello che viene chiamato quadrato delle proposizioni. Altri importanti pensatori in questo campo sono Pietro Abelardo (1079 1142), che fa rinascere in Occidente l interesse per la Logica, Guglielmo di Sherwood (morto nel 1249), cui si attribuisce l appellativo di classica alla logica di origine aristotelica, Pietro Ispano (Papa Giovanni XXI) (1215 1277) cui si devono i nomi standard dei sillogismi, Raimondo Lullo (1235 1315) che ha messo in luce gli aspetti combinatori del sillogismo, e Giovanni Duns Scoto (1270 1308) che svolse un approfondita anali- (1281 1349) Guglielmo di Ockham si critica dell opera di Aristotele. Il sillogismo con termini singolari è opera di Ockham, anche se se ne trovano esempi precedenti in Sesto Empirico (180 220). Contemporanei di Ockham e su posizioni filosofiche distinte (a riguardo del problema degli universali) sono Giovanni Buridano (1290 1358) e Walter Burleigh (1275 1345), ma sulla teoria del sillogismo le idee dei tre filosofi mostrano inaspettate convergenze. Paolo Veneto (1368 1429) raccoglie e sintetizza in un ampia opera, Logica Magna, tutto il sapere elaborato dalla Scolastica. L analisi del sillogismo continua oltre il Medioevo, anche se perde di interesse agli occhi dei pensatori successivi. Si può dire che l ultimo dei pensatori che affrontano il sillogismo dal punto di vista intensionale è Gian Francesco Castillon (1708 1791). Dopo, ma anche prima di lui, gli aspetti e- stensionali del sillogismo divengono preminenti, e si giunge poi fino alla metà del XIX secolo, con varie forme e strumenti. Si tratta quindi di una lunga vita, paragonabile a quella degli Elementi di Euclide. 58

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 Un altro aspetto importante che si può sottolineare è il fatto che questa teoria è stata tramandata, fin dall inizio sotto forma di scritti con intenti didattici, con una notevole costanza di analisi e con ben poche aggiunte, seppure adattandosi allo esprit du temps. Questo aspetto permette di paragonare la logica, che nel sillogismo trovava la sua estrinsecazione, alla geometria. La sostanziale costanza dei contenuti ha fatto sì che si sviluppasse quella che qualche autore 5 chiama la concezione tradizionale del sillogismo per mettere in evidenza che, anche se la gran parte delle considerazioni si ritrova in Aristotele, l esposizione succinta e sistematica del sillogismo non è riscontrabile in questa forma e in tutti i dettagli nell Organon. Il caso del sillogismo è storicamente unico: questa teoria è stata sviluppata in Grecia ed anche in India e pare in modo indipendente. Non si sono trovate, infatti, dirette filiazioni tra quanto proposto da Aristotele e dalla scuola Nyaya, anche perché gli scritti di questa elaborazione indiana sono successivi al periodo greco. 2.3. Il sillogismo e i suoi aspetti strutturali. Le parole di Aristotele, quelle in cui fa un esempio esplicito di sillogismo, sono: «In effetti, se A si predica di ogni B e se B si predica di ogni C, è necessario che A venga predicato di ogni C.». 2.3.1. I termini. Si può analizzare questo brano e trarne spunto per entrare nella struttura del sillogismo. Una volta di più si osserva la modernità del filosofo greco che usa lettere per indicare termini, anche questa un invenzione di nomenclatura: «Chiamo termine, d altro canto, l elemento cui si riduce la premessa, ossia tanto il predicato quanto ciò di cui si predica il predicato». Nell esempio si mettono in mostra i ruoli differenti dei termini: «quando tre termini stanno tra essi in rapporti tali che il minore sia contenuto nella totalità del medio, ed il medio sia contenuto o non sia contenuto, nella totalità del primo, è necessario che tra gli estremi sussista un sillogismo perfetto. Da un lato, chiamo medio il termine che tanto è contenuto esso stesso in un altro termine, quanto contiene in sé un altro termine, e che si presenta come medio anche per la posizione; d altro lato, chiamo estremi sia il termine che è contenuto esso stesso in un altro termine» Riportandosi all esempio, B è il termine medio, A e C sono i termini estremi, ma C è il minore, e di conseguenza A è il maggiore. Infatti quando si dice che B si predica di ogni C, vuol dire, con altra locuzione, che ogni C gode o soddisfa la proprietà B, ovvero tutti i C sono B, quindi C è contenuto nella totalità di B. Lo schema che chiarisce meglio i vari aspetti è costruito utilizzando le lettere M, P e S. Con M si indica il termine medio, quello che è utilizzato una volta come predicato ed una volta come sogget- 5 Ad esempio Mugnai, M. (1990). Per una storia della logica dall antichità a Boole, in Ballo et al. 9 lezioni di logica, Padova: Franco Muzzio & c. editore spa, 1 28. Dal testo di Mugnai si traggono numerosi spunti ed idee. 59

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi to; con P il termine che nella conclusione funge da predicato e con S quello che nella conclusione funge da soggetto. Rifacendosi al testo aristotelico, M è B, S è C e P è A. Lo schema del sillogismo, con questi simboli, è il seguente Un esemplificazione discorsiva è data da: M S S P M P Tutti gli Uomini sono Mortali ATutti i Greci sono UominiB Tutti i Greci sono Mortali Usando la dizione aristotelica, le due frasi sopra la linea di frazione sono le premesse, quella sotto la linea di frazione è la conclusione. Il termine medio, M, è l universale uomo ; il predicato, P, (termine maggiore) è la proprietà di essere mortale ; il soggetto, S, (termine minore) è dato dai Greci. Tra le premesse, quella in cui compare il soggetto (termine minore) è la premessa minore; quella dove compare il predicato (termine maggiore) è la premessa maggiore. 2.3.2. Le figure. Quello rappresentato con lo schema precedente è un sillogismo della prima figura; le figure, in totale sono 4, ottenute scambiando opportunamente la posizione dei termini. In ogni figura la conclusione è della forma S termini. Un altro esempio P, le premesse possono presentare disposizioni diverse dei Ogni Juventino è Napoletano Qualche Mandolinista non è Napoletano Qualche Mandolinista non è Juventino In termini schematici, l argomentazione precedente è data da P M S M S P Nello schema successivo si esibiscono le figure possibili del sillogismo: Prima figura Seconda figura Terza figura Quarta figura M P P M M P P M S M S M M S M S S P S P S P S P Si osservi che nelle premesse la scrittura A B, significa che A è il soggetto della proposizione e B è il predicato. Quindi le quattro figure sono caratterizzate dalle posizioni, o meglio dai ruoli, del termine medio nella premessa maggiore ed in quella minore. Le prime tre figure si ritrovano in Aristotele. La quarta viene attribuita a Galeno ed è talora vista come una trasformazione della prima figura in modo indiretto. 60

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 L analisi delle figure è molto generale, in quanto non fornisce informazioni di come siano costruite le affermazioni che intervengono con il ruolo di premesse e conclusione. Nel primo esempio mostrato ci sono delle affermazioni che riguardano tutti in modo affermativo, nel secondo esempio c è una affermazione positiva che riguarda tutti anche se si è preferita la forma ogni, e due particolari in modo negativo. 2.3.3. Quantità e qualità. Un ulteriore distinzione riguarda la quantità e la qualità. Le proposizioni prese in considerazione dal sillogismo tradizionale sono schematizzate come segue: Proposizioni Forma delle proposizioni Universali affermative Tutti gli A sono B Particolari affermative Qualche A è B Universali negative Nessun A è B Particolari negative Qualche A non è B Di fatto si può ri-organizzare la tabella precedente in base al binomio quantità qualità, come segue Quantità Qualità Affermative Negative Universali Tutti gli A sono B Nessun A è B Particolari Qualche A è B Qualche A non è B Le affermazioni che entrano nel sillogismo sono dette categoriche, perché esprimono il fatto che un certo soggetto ha o non ha una certa proprietà. Con queste precisazioni, di primo acchito, dato che le figure sono quattro e che le affermazioni che entrano in gioco sono tre, ciascuna delle quali potrebbe essere di uno delle quattro modalità indicate dalla tabella precedente, ci si aspetterebbero 64 possibilità per ogni figura, per un totale di 256 possibili sillogismi. Le cose non stanno così, perché per avere sillogismi buoni si devono rispettare alcune regole. Osserviamo intanto che grazie a Pietro Ispano, abbiamo un modo rapido per indicare i tipi di proposizioni. Egli ha preso in considerazione le due parole latine affirmo e nego ed ha proposto un trucco mnemonico per ricordarsi questi casi Quantità Qualità Affermative Negative Universali Tutti gli A sono B A Nessun A è B E Particolari Qualche A è B I Qualche A non è B O 61

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi Accanto a questi tipi di proposizioni, Guglielmo di Ockham ha introdotto altri casi da tenere presenti, mediante i termini singolari. Così si è ampliata la ricchezza espressiva del sillogismo. Un esempio per meglio comprendere. Tutti gli Uomini sono Mortali Tutti gli Uomini sono Mortali Tutti i Greci sono Uomini. Socrate è un Uomo. Tutti i Greci sono Mortali Socrate è Mortale La differenza tra le proposizioni particolari e quelle singolari è evidente: le ultime si applicano a specifici individui. La forma è simile: nel sillogismo singolare il termine medio è presente nelle due premesse, i ruoli di soggetto e predicato sono conservati, ma stavolta la conclusione non è particolare, bensì singolare. Di fatto si applica (non lo mette in evidenza Ockham) quella che in logica moderna si indica col nome di regola di particolarizzazione, una delle regole fondamentali del calcolo predicativo; in questo senso si può ritenere Ockham un precursore del pensiero moderno. 2.3.4. Il quadrato delle proposizioni e la loro tavola di verità. Tra questi tipi di proposizioni intercorrono rapporti logici abbastanza precisi, il quadrato delle proposizioni di Michele Psello: A Contrarie E Subalterne Subalterne I Subcontrarie O Il quadrato delle proposizioni da Summulae Logicales di Pietro Ispano In esse A ed E, le due proposizioni universali, la prima positiva e l altra negativa, sono tra loro contrarie, il che significa che non possono essere entrambe vere, ma possono essere contemporaneamente false Ogni Italiano è Napoletano e Nessun Italiano è Napoletano. Le proposizioni I e O sono subcontrarie, cioè possono essere entrambe vere, ma non entrambe false: Qualche Mandolinista è Napoletano e Qualche Mandolinista non è Napoletano. D altra parte I è subalterna di A, cioè se l universale è vera, lo è anche la proposizione particolare: Tutti gli Uomini sono Mortali e Qualche Uomo è Mortale, ma dalla verità della particolare non si può ottenere la verità della universale: Qualche Numero naturale è Primo e Ogni Numero naturale è Primo. Il rapporto di subalternità sussiste anche tra E e O: da Nessun Gatto Abbaia si ha Qualche Gatto non Abbaia, ma da Qualche Numero naturale non è Primo non si può concludere Nessun Numero naturale è Primo. Le 62

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 diagonali del quadrato servono per indicare proposizioni contraddittorie, quindi non possono essere contemporaneamente vere o contemporaneamente falsa. Ad esempio Ogni Uomo è Mortale (A) e Qualche Uomo non è Mortale (O); e Nessun Cane Miagola (E) e Qualche Cane Miagola (I). La situazione si può riassumere con una tabella indicando con V e F vero e falso e con? quando la verità della proposizione non dipende dalla struttura del sillogismo, ma dal contenuto della proposizione. A E I O E A I O I A E O O A E I V F V F V F F V V? F? V F?? F?? V F? V? F F V V F V F V 2.4. Le regole per i sillogismi. La struttura del sillogismo è complessa e richiede attenzione sia sui termini che sulle proposizioni. 2.4.1. Termini presi universalmente. Per comprendere le regole che sovrintendono la costruzione dei sillogismi, bisogna prima comprendere cosa significhi che un termine sia preso universalmente (p.u.) in una proposizione. I termini usati in una proposizione hanno una duplice funzione, sono usati come soggetti oppure come predicati. In entrambi i casi possono essere assimilati a classi di oggetti. Nella frase Tutti gli Uomini sono Mortali, uomini è il soggetto, mortali è il predicato e quanto affermato può essere inteso come il fatto che ogni individuo riconosciuto come uomo partecipa alla collezione degli individui mortali. Quindi la proprietà di essere mortale è applicabile a tutti gli individui uomo. In questo caso, una proposizione A, il soggetto della proposizione è preso universalmente. Ma il predicato Mortale non è preso universalmente, perché ci possono essere degli individui mortali che non sono uomini. Nella proposizione E Nessun Cane è Bipede la proprietà di non essere bipede si applica ad ogni individuo che sia un cane. Quindi in A e in E il soggetto viene preso universalmente. Ma nella frase Nessun Cane è Bipede si esclude che un qualsiasi bipede sia cane. Quindi nella proposizione E anche il predicato, oltre al soggetto, è un termine preso universalmente. Nella proposizione O Qualche Napoletano non è Stonato, il soggetto non è preso u- niversalmente, visto che si stanno considerando solo alcuni Napoletani, mentre per il predicato stonato è preso universalmente in quanto devo analizzare la carta di identità di tutti gli individui stonati per verificarlo. Nelle proposizioni I, né soggetto, né predicato è preso universalmente. 2.4.2. Le regole sui termini e le proposizioni. Per riconoscere i sillogismi, si adoperano regole sui termini e regole sulle proposizioni. 63

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi - Regole sui termini o 1(t) il termine medio deve essere preso universalmente almeno in una premessa; o 2(t) nessun termine può essere preso universalmente nella conclusione, senza che sia stato preso universalmente in una delle premesse. - Regole sulle proposizioni o 1(p) da premesse entrambe negative non segue alcuna conclusione; o 2(p) se una premessa è negativa, la conclusione deve essere negativa: se una premessa è particolare, la conclusione deve essere particolare. Dalla regola 1(t) si desume che non ci può essere un sillogismo con due premesse affermative particolari, dalla 1(p) non vi possono essere sillogismi con entrambe le premesse particolari negative. Si possono anche escludere due premesse particolari; in questo caso, per la 2(p) la conclusione deve essere O. Ad esempio se fosse I,O/O, ciò non è possibile in quanto anche se il termine medio fosse p.u. nella premessa minore (sillogismo di prima o seconda figura), il predicato sarebbe p.u. nella conclusione e non nella premessa maggiore. Se si considera O,I/O, allora per la 1(t) ciò sarebbe possibile solo per sillogismi della seconda o della quarta figura. Ma nella conclusione il predicato è p.u., quindi lo dovrebbe essere per 2(t) anche nella premessa maggiore e ciò non avviene nella seconda e quarta figura, essendo la premessa maggiore di tipo O. 2.4.3. I modi del sillogismo. Sotto queste condizioni ci sono solo 19 modi di sillogismo (invece dei possibili 256). In realtà accanto ai 19 se ne considerano altri 5 ottenuti per indebolimento di una conclusione universale con una particolare subalterna. Queste regole sono relative alla correttezza del sillogismo, nel senso che il sillogismo corretto con premesse vere conduce a conclusioni vere, ma questo aspetto è separato dal fatto che si possa avere una conclusione vera o falsa sulla base delle affermazioni in base alle conoscenze esterne ed estranee alla struttura del sillogismo. Qualche esempio per chiarire meglio: Tutti gli Ussari sono Mosche Tutti gli Italiani amano la Pizza Tutti i Gatti sono Ussari Qualche Allergico al formaggio non è Italiano Tutti i Gatti sono Mosche Qualche Allergico al formaggio non ama la Pizza La prima argomentazione, priva di senso e che porta ad una conclusione falsa, del tipo A,A/A, rispetta tutte le regole del sillogismo. Infatti è del tipo esemplificato da Aristotele. Il termine medio, Ussari è preso universalmente nella premessa maggiore, in quanto è il soggetto in essa; il termine minore, Gatti è il soggetto di una affermazione universale A, quindi è preso universalmente nella conclusione, ma lo stesso capita nella premessa minore. Le regole sulle proposizioni sono banalmente soddisfatte perché le affermazioni sono solo affermative. 64

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 La seconda argomentazione è del tipo A,O/O. Dal punto del significato delle frasi e dalla conoscenza culinaria, l argomentazione sembra sensata e corretta. Dal punto di vista della struttura si osserva che il termine medio, Italiano è preso universalmente nella premessa maggiore. Essendo, la conclusione una frase di tipo O, il termine preso universalmente in essa è il predicato, ama la Pizza e questo termine compare come predicato nella premessa maggiore, di tipo A, quindi non è preso universalmente in essa. Il fatto che si sia usato il verbo transitivo amare non cambia la sostanza. Si potrebbe infatti sostituire ama la Pizza col neologismo Pizzofilo per cui l argomentazione diventerebbe Gli Italiani sono Pizzofili, Qualche Allergico al formaggio non è Italiano/ Qualche Allergico al formaggio non è Pizzofilo. Le regole sulle proposizioni sono rispettate dalla seconda argomentazione: vi una sola premessa negativa particolare e la conclusione è negativa particolare. Questa distinzione, presente anche in Aristotele, fa presentire la differenza tra aspetti sintattici e semantici. La scelta innovativa del filosofo greco di indicare i termini con lettere, infatti, è funzionale ad evidenziare la struttura del sillogismo piuttosto che a pensare alla semantica delle frasi usate che risulta, di fatto, impossibile a livello simbolico. 2.4.4. I modi della prima figura. Sulla base regole di 2.4.2. si possono individuare i seguenti modi del sillogismo: Figura Schema figura Modi Prima figura Premessa maggiore M P A A E E Premessa minore S M A I A I Conclusione S P A I E O I modi del sillogismo indicati rispettano le condizioni. Nel primo modo A,A/A, il termine medio è p.u. nella premessa maggiore e il soggetto, che è p.u. nella conclusione è p.u. nella premessa minore. Nel secondo modo il termine medio è p.u. nella premessa maggiore, la premessa minore è particolare positiva, quindi la conclusione è particolare, ma non può essere negativa in quanto il predicato sarebbe in esso p.u. e questo non avverrebbe in alcuna premessa. Se è particolare positiva nella conclusione non ci sono termini p.u. e questo non contrasta con le premesse. Nel terzo modo e nel quarto modo il termine medio è ancora p.u. nella premessa maggiore. Siccome per 1(p) la premessa minore non può essere negativa si devono considerare come premessa minore A e I e comunque la conclusione è negativa. Nel terzo modo, soggetto e predicato sono p.u. nella conclusione e ciò è ottenibile in quanto nella premessa maggiore il predicato è p.u, mentre in quella minore il soggetto è p.u. Nel quarto modo, avendo considerato una premessa minore particolare, l unica soluzione possibile è una particolare negativa e per esso si osserva che il predicato è p.u. nella conclusione e nella premessa maggiore. 65

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi Non sono possibili altri modi di sillogismo nella prima figura. Se la premessa minore fosse E oppure O, la premessa maggiore dovrebbe essere positiva e la conclusione negativa, perché da due premesse negative non segue conclusione. Ma se il modo fosse A,E/E oppure A,E/O, nel primo caso il termine medio sarebbe p.u. in E, però nella conclusione, ancora E, sia il soggetto che il predicato sarebbero p.u., ma il predicato compare solo nella premessa maggiore e colà non è p.u. Nel secondo caso A,E/O succede lo stesso in quanto nella conclusione il predicato è p.u., ma non lo è nella premessa maggiore. Nel caso che la premessa minore sia O, allora il termine medio sarebbe p.u. in entrambe le premesse e sarebbe possibile solo il modo del sillogismo A,O/O, in quanto una premessa è particolare negativa, quindi anche la conclusione deve essere particolare negativa, ma si ripete così il caso precedente, in quanto nella conclusione, proposizione di tipo O, il predicato è p.u. e lo dovrebbe essere anche nella premessa maggiore. Se la premessa maggiore fosse O, allora la premessa minore non può essere né I (in quanto il termine medio non sarebbe p.u., qualunque sia la conclusione), e per lo stesso motivo non può essere A. Non può essere neppure E o O, per 1(p); quindi non esistono modi di sillogismo della prima figura con premessa maggiore O. Se la premessa maggiore fosse I, allora per fare sì che in essa il termine medio sia p.u., la premessa minore può essere solo E oppure O, ma in tal caso per 2(p) la conclusione deve essere negativa e particolare, quindi, scartato I,O/O, il modo di sillogismo dovrebbe essere I,E/O. Ma nella conclusione il predicato sarebbe p.u., mentre non lo è nella premessa maggiore. Resta da discutere il modo A,A/I. Il sillogismo tradizionale non lo considera tra quelli della prima figura in quanto si tratta di un indebolimento della corrispondente forma con conclusione universale. La verità della conclusione è frutto del fatto che le proposizioni di tipo I sono subalterne a quelle di tipo A. Un altro modo possibile è la forma E,A/O, ottenuta anche in questo caso come subalterna della conclusione indicata nel modo E,A/E. 2.4.5. I modi della seconda figura. Passiamo alla considerazione della seconda figura: Figura Schema figura Modi Seconda figura Premessa maggiore P M A A E E Premessa minore S M E O A I Conclusione S P E O E O I quattro modi indicati rispettano le regole assegnate. In tutti e quattro la premessa maggiore garantisce che il predicato è p.u. Nel primo modo e nel secondo, nelle premesse minori il termine medio è p.u. e nelle conclusioni dei due primi modi si richiede che il predicato sia p.u., ma nel primo anche 66

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 il soggetto deve essere p.u, ed a questo provvede la premessa minore E. Essendo presenti premesse negative, la conclusione deve essere negativa. Nel secondo caso la conclusione è obbligata dato che una premessa è particolare. Nel terzo modo il termine medio è p.u nella premessa maggiore che è negativa ed in essa anche i predicato è p.u. Il soggetto è p.u. nella premessa minore. Infine nel quarto modo, dato che la conclusione richiede che solo il predicato sia p.u., la premessa maggiore soddisfa entrambe le condizioni sul termine medio e sul predicato. Non possono esserci altri modi di sillogismo della seconda figura. Può stupire che non ci siano modi di sillogismo con conclusione affermativa, ma per fare ciò entrambe le premesse dovrebbero essere affermative, ma una premessa maggiore affermativa non garantisce che il termine medio sia p.u. in quanto ha il ruolo di predicato e ciò non può avvenire neppure nella premessa minore, né se essa è A e neppure se essa è I. Quindi nella seconda figura non ci sono sillogismi con conclusione affermativa. Così restano i casi i primi due casi con premessa maggiore affermativa e la minore negativa. Se la premessa maggiore fosse I allora, per garantire che il termine medio sia p.u., la premessa minore può essere solo E oppure O. L unica conclusione possibile però è O e in esso il predicato è p.u. e tale condizione non si verifica in una premessa maggiore I, l unica in cui è presente il predicato. Se la premessa maggiore fosse O, allora il termine medio sarebbe p.u., e la premessa minore dovrebbe essere positiva con conclusione necessariamente O, ma il predicato, che nella conclusione è p.u. non lo è nella premessa maggiore. Non ci sono pertanto altri modi di sillogismo della seconda figura. I sillogismi della forma A,E/O e E,A/O sono indebolimenti, per subalterne, della forma con le stesse premesse e conclusione universale negativa. 2.4.6. I modi della terza figura. La terza figura è quella con più modi possibili di sillogismo. Figura Schema figura Modi Terza figura Premessa maggiore M P A A E E I O Premessa minore M S A I A I A A Conclusione S P I I O O I O Data la posizione del termine medio, almeno una delle premesse deve essere A oppure E, perché il termine medio sia p.u. La condizione sui termini della conclusione, quando questa è I non si applica perché in I i termini non sono p.u. Più interessante chiedersi perché in questa figura si ottengano comunque conclusioni particolari. Si supponga che ci sia un sillogismo di questa figura la cui conclusione sia A. Questo comporterebbe che il soggetto deve essere p.u., quindi nella premessa minore il predicato deve essere p.u., ma ciò 67

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi avviene solo con proposizioni negative e la conclusione non può essere affermativa. La stessa cosa avviene se la conclusione fosse E, perché in tal caso sia il soggetto che il predicato dovrebbero essere p.u., quindi la premessa maggiore ed anche la premessa minore devono essere negative, il che è impedito dalla regola 1(p). Quindi i modi di sillogismo della terza figura con premesse positive sono A,A/I, A,I/I, I,A/I, tenendo inoltre presente che I,I/I è escluso. Non ci può essere un sillogismo in cui la premessa maggiore sia positiva e la minore negativa, in quanto la conclusione, negativa, richiederebbe che il predicato sia p.u. e questo non è assicurato dalla premessa maggiore positiva. Quindi i sillogismi con proposizioni negative, devono avere la premessa maggiore (e la conclusione) negativa. Inoltre la conclusione può essere solo particolare. Quindi E,A/O oppure E,I/O o anche O,A/O. Queste sono forme corrette, invece O,I/O non è accettabile. 2.5.7. I modi della quarta figura. Considerazioni analoghe si svolgono ora per la quarta figura: Figura Schema figura Modi Quarta figura Premessa maggiore P M A A I E E Premessa minore M S A E A A I Conclusione S P I E I O O Data la struttura della quarta figura, perché il termine medio sia p.u., ci vuole che la premessa maggiore sia di tipo E oppure O, oppure la premessa minore sia di tipo A oppure di tipo E. Con la premessa maggiore di tipo A, e la premessa minore dello stesso tipo, è possibile solo la conclusione I, in quanto in tale tipo di proposizione non sono p.u. né il soggetto né il predicato. La stessa conclusione si ottiene in I,A/I, in quanto la premessa minore garantisce che il termine medio è p.u. Nel caso che la premessa maggiore sia A e la minore E, la condizione sul termine medio è soddisfatta e la conclusione è negativa; se essa è universale negativa, allora il soggetto ed il predicato sono p.u., ma il predicato è p.u. nella premessa maggiore A ed il soggetto è p.u nella premessa minore. Per indebolimento si ottiene anche A,E/O. Nella quarta figura è presente anche un modo, di sillogismo, il quarto, che scambia il tipo delle due premesse, A e E. La condizione sul termine medio è soddisfatta in entrambe le premesse. La conclusione deve essere negativa. Se però fosse di tipo E, allora sia il soggetto che il predicato dovrebbero essere p.u., ma ciò non è possibile in quanto nella premessa minore il soggetto non è p.u., quindi è possibile solo il sillogismo della forma E,A/O. Il quinto modo di sillogismo è obbligato dalla presenza di una premessa particolare. Non sono possibili modi di sillogismo con premessa maggiore A e minore I, perché non sarebbe soddisfatta la condizione sul termine medio. Se la premessa maggiore fosse di tipo O, la condizione sul termine medio è garantita. Allora si potrebbe assumere la premessa minore di tipo A, mentre è 68

C. Marchini Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010 esclusa quella di tipo di tipo I, e la conclusione sarebbe ancora O. Ma in nessuno di questi casi il sillogismo sarebbe corretto in quanto il predicato sarebbe p.u. nella conclusione e in nessun caso nella premessa maggiore. 2.4.8. Le trasformazioni dei sillogismi. Accanto a queste forme di sillogismo delle varie figure, sulla base di un affermazione di Aristotele che solo i sillogismi della prima figura sono perfetti, forse perché i sillogismi della prima figura sono più evidenti degli altri, si è posto il problema di ricondurre un sillogismo di altra figura ad uno della prima. Ciò avviene mediante la conversione. Le due forme di conversione sono la conversione semplice (conversio simplex) e la conversione per limitazione (conversio per accidens). Nella conversione semplice si scambiano il soggetto ed il predicato. Questo tipo di trasformazione, però, è accettabile solo per le proposizioni di tipo E: da Nessun A è B, si conclude che Nessun B è A, e per quelle di tipo I: Qualche A è B ottiene Qualche B è A. Per gli altri tipi di proposizione la trasformazione per conversione semplice non è possibile: da Qualche A non è B non si può concludere che Qualche B non è A ; da Ogni A è B non si può concludere che Ogni B è A, bensì Qualche B è A e questa è la conversione per limitazione. Sicché si può affermare che E e I ammettono conversione semplice, mentre A ammette la conversione per limitazione. Accanto alle regole di trasformazione della singola proposizione, ve ne sono altre che riguardano l intero sillogismo, ad esempio lo scambio della premessa maggiore con la minore, che però ha l effetto di scambiare nella conclusione il soggetto con il predicato. Queste regole, da sole non bastano: infatti per i modi A,O/O della seconda figura e O,A/O della terza, si ottiene una trasformazione indiretta a modi della prima figura perché effettuata mediante una dimostrazione per assurdo. Come si vede la teoria del sillogismo è abbastanza complessa e richiede una sorta di manualetto per poter applicare correttamente le varie trasformazioni. Nel Medioevo si faceva ricorso a tecniche mnemoniche, la più fortunata e utilizzata è dovuta a Pietro Ispano nel XIII secolo. Il suo trattato Summula logicales ebbe numerose edizioni anche a stampa. Il contributo di Pietro Ispano è abbastanza vasto, ma a lui si attribuisce una complessa tecnica mnemonica esposta in rima, in cui si sintetizzava, grazie ad una poesia assai poco poetica, la teoria. In una versione più moderna si ha: Barbara, Celarent primae, Darii Ferioque Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae Tertia grande sonans recitat Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. Quartae sunt Bamalip, Cameles, Dimatis, Fesapo, Fresison. Le parole in corsivo, indicano modi di sillogismo delle varie figure. 69

Capitolo 2 Gli strumenti deduttivi Il testo originale delle Summule logicales presenta altre forme di sillogismo (ed anche una diversa divisione delle figure. Seguendo il testo originale di Pietro Ispano si hanno i seguenti esempi Prima figura: Barbara (Ogni animale è una sostanza, Ogni uomo è un animale/ogni uomo è una sostanza); Celarent (Nessun animale è una pietra, Ogni uomo è un animale/nessun uomo è una pietra); Darii (Ogni animale è una sostanza, Qualche uomo è un animale/qualche uomo è una sostanza); Ferio (Nessun animale è una pietra, Qualche uomo è un animale/qualche uomo non è una pietra). A questi modi, se ne aggiungono altri: Baralipton (Ogni animale è una sostanza, Ogni uomo è un animale/qualche sostanza è un uomo); Celantes (Nessun animale è una pietra, Ogni uomo è un animale/nessuna pietra è un uomo); Dabitis (Ogni animale è una sostanza, Qualche uomo è un a- nimale/qualche sostanza è un uomo); Fapesmo (Ogni animale è una sostanza, Nessuna pietra è un animale/qualche sostanza non è una pietra), Frisesmo (Qualche animale è una sostanza, Nessuna pietra è un animale/qualche sostanza non è una pietra). Seconda figura: Cesare (Nessuna pietra è un animale, Ogni uomo è un animale/nessun uomo è una pietra); Camestres (Ogni uomo è un animale, Nessuna pietra è un animale/nessuna pietra è un uomo); Festino (Nessuna pietra è un animale, Qualche uomo è un animale/nessuna pietra è un uomo); Baroco (Ogni uomo è un animale, Qualche pietra non è un animale/qualche pietra non è un uomo). Terza figura: Darapti (Ogni uomo è una sostanza, Ogni uomo è un animale/qualche animale è una sostanza); Felapton (Nessun uomo è una pietra, Ogni uomo è un animale/qualche animale non è una pietra); Disamis (Qualche uomo è una sostanza, Ogni uomo è un animale/qualche animale è una sostanza); Datisi (Ogni uomo è una sostanza, Qualche uomo è un animale/qualche uomo è una sustanza); Bocardo (Qualche uomo non è una pietra, Ogni uomo è un animale/qualche animale non è 70