acolà di Ingegneria Prova Scria di iica I 9 Giugno 4 - opio Queio n Una biglia di dienioni racurabili è legaa ad un ilo olo oile, lungo L, enuo eo per ezzo di un piolo P iao u di una paree vericale ad un alezza L dal puno P, poo ul uolo lungo la perpendicolare al uolo eo condoa da P (ig ) Inizialene la biglia è enua era nel puno ed il egeno P è orizzonale; ad un cero iane, però, ea viene laciaa libera di percorrere una P raieoria circolare, ino ad un puno, quando, iprovviaene, il ilo i pezza Si noa che il egeno P ora un angolo col egeno orizzonale P e che la y biglia cade al uolo nel puno dopo aver percoro una raieoria parabolica Si riolva il problea dal puno di via della cineaica, uilizzando il iea di rierieno uggerio nella ig, e i riponda quindi alle egueni doande IGU O d) gl ) La coponene orizzonale x del veore r vale a c d x x 4 5 7 () x x Sia L8, ) Il odulo del veore velocià puno vale: a) gl in gl co b) c) gl in () r della biglia nel ) Il epo ipiegao dalla biglia per copiere la raieoria parabolica che va dal puno al puno vale a 459 () 9 c d 5 4) La coponene vericale y della velocià r della biglia un aio pria di urare al uolo è a y y 5 +5 P x
c d y 8 +8 () y 5) La dianza d del puno (di ipao della biglia al uolo) e il puno P vale d 7 a d 5 c d 595 () d d 7 Queio n IGU Piano licio h Piano cabro µ Un blocco di aa di piccole dienioni viene lanciao, all iane di epo e con velocià, dal puno, poo alla bae di un piano inclinao di un angolo ripeo all orizzonale (ig ), lungo il piano eo Eo raggiunge la oià del piano alla quoa h nel puno, dove i era, reando in bilico Succeivaene, il blocco inizia a cendere lungo un econdo piano, quea vola cabro, inclinao anch eo di ripeo all orizzonale Il coeiciene di ario dinaico ra il blocco e il econdo piano è pari a µ Dopo aver ben individuao la dinaica del blocco da a, i riponda alle egueni doande Sia Kg,, h, µ 6) Il valore della velocià da ipriere al blocco perché eo arrivi in a velocià nulla è a g h c 7) Il epo g h h g d gh () a ipiegao dal blocco in per raggiungere il puno è co in h g h g ()
c co in g h d gh 8) La orza di ario che il econdo piano eercia ul blocco ha odulo pari a a 7 N 56 N c 7 N () d 98 N 9) Il odulo della velocià del blocco nel puno vale a 56 () 55 c 84 d 6 ) L energia diipaa dal blocco lungo l inera dicea è, in valore aoluo, pari a a E d 6 79 J () Queio n E d 8 98 J c E d 5 4 J d E d 4 75 J M IGU Un groo rullo viene azionao anualene aravero una orza r coane, applicaa, ad un angolo ripeo r, il all orizzonale, alla aniglia, coì coe orao nella ig Parendo da ero e oopoo alla orza cilindro del rullo, di aa M e raggio, roola enza riciare u di un piano cabro orizzonale, ino a raggiungere, in un inervallo di epo, la velocià angolare ω Succeivaene, per erare il rullo, i applica, allo eo odo di r r pria, un orza Tale orza agice inano che il cenro di aa del cilindro non viene poo a ripoo
Si riolva il problea dinaico, auendo che i perni, ai quali ono collegai le ae che raeono la orza applicaa, iano privi di ario e che le ae ee e la aniglia iano di aa racurabile Si aua ancora che il cilindro ia pieno Si riponda inine alle egueni doande Sia M5 Kg, 5, 4 N,, ω 5 rad/ ) L accelerazione angolare α del cilindro, eprea in erini del odulo della orza applicaa, è a α 5M α () M c α M d α M ) L inervallo di epo neceario per porare il cilindro a ruoare alla velocià angolare ω vale a 5 57 c 6 d 6 () ) La orza di ario eerciaa ul cilindro vale a c () d 4) La reazione vincolare norale al piano vale: a N 5 N N 65 N c N 47 N () d N N 5) L inervallo di epo neceario a erare il rullo, dopo che eo ha raggiuno la velocià angolare ω, vale a 8 () 55 c 8 d 7
lre doande: 6) Lungo la curva opraelevaa diegnaa in igura, uppoa circolare e di raggio, in una rada larga (lao del riangolo in igura) e realizzaa in odo ale da avere coeiciene di ario racurabile, il liie di velocià è di v ax k/h alcolare di quano il bordo eerno della rada, lao, debba eere rialzao ripeo a quell inerno, ainché l auoveura, procedendo alla aia velocià conenia, non bandi ucendo uori rada a h 4 () h 57 c h 4 d h 8 IGU 4 O b 7) Il eorea di Koenig dell energia cineica per un iea di puni aeriali aera che a L energia cineica oale è epre nulla L energia cineica oale è uguale all energia cineica del M del iea c L energia cineica oale iuraa ripeo ad un iea di rierieno inerziale è uguale alla oa dell energia cineica del M del iea e dell energia cineica oale iuraa ripeo ad un iea di rierieno olidale con il M () d L energia cineica oale è uguale all energia cineica oale del iea ripeo ad un iea di rierieno olidale con il M 8) Per un puno aeriale in oo con velocià angolare coane ω lungo una raieoria circolare piana i conervano le egueni grandezze iiche: a Il oeno angolare ripeo al cenro della raieoria e l energia cineica () La quanià di oo e l energia cineica c Il oeno angolare ripeo al cenro della raieoria e la quanià di oo d Neuna 9) ll iane iniziale una ruoa, aiilabile ad un anello, un dico oogeneo ed una era, oogenea, ui e re di aa M e raggio, ono poizionai eri in cia ad un piano inclinao di lunghezza L e angolo Se ei vengono laciai liberi e i uovono lungo il piano inclinao con oo di puro roolaeno, deerinare la velocià con cui il M di ciacuno arriva in ondo al piano inclinao a v gh v gh; v gh () M, nello ; M, Dico M, Sera 4 7 v gh; v gh; v gh M, nello M, Dico M, Sera 7 5
c v gh; v gh; v gh M, nello M, Dico M, Sera d v gh v gh; v gh M, nello ; M, Dico M, Sera 5 ) Un oo reilineo (poizione x, velocià v, accelerazione a) è aronico quando l accelerazione è a a coane a kx con kcoane () c a kx con kcoane d a kv con kcoane 7 7 Soluzione Queio n Una biglia di dienioni racurabili è legaa ad un ilo olo oile, lungo L, enuo eo per ezzo di un piolo P iao u di una paree vericale ad un alezza L dal puno P, poo ul uolo lungo la perpendicolare al uolo eo condoa da P (ig ) Inizialene la biglia è enua era nel puno ed il egeno P è orizzonale; ad un cero iane, però, ea viene laciaa libera di percorrere y P una raieoria circolare, ino ad un puno, quando, iprovviaene, il ilo i pezza Si noa che il egeno P ora un angolo col egeno orizzonale P e che la biglia cade al uolo nel puno dopo aver percoro una raieoria parabolica L(-in) O IGU P L x Sia L8, 6) Per la conervazione dell energia i ha: E E gl in In queo odo, il odulo del veore velocià r della biglia nel puno vale: gl in r vale x glin in 7) La coponene orizzonale x del veore 8) Il epo ipiegao dalla biglia per copiere la raieoria parabolica che va dal puno al puno può eere calcolao acendo rierieno al iea di coordinae careiane indicao in ig Scriviao allora la legge oraria del oo per la biglia dopo che il ilo i pezza ( ): x y ( ) ( ) y x + y g, () gl ove y gl in co e y L( in ) Iponendo adeo y() e riolvendo l equazione di econdo grado che ne deriva, i ha
5 L 459 g 9) Per rovare la coponene vericale y della velocià deriviao la legge oraria del oo ripeo al epo, oenendo: x y ( ) ( ) x y r della biglia un aio pria di urare al uolo, g () Se adeo poniao nella econda epreione della (), i ha: y ( ) 8 y ) Per rovare la dianza d ra il puno (di ipao della biglia al uolo) e il puno P, ci i calcola dappria la dianza O, oiuendo nella pria epreione della () Soraendo la dianza coì rovaa ad OP Lco i ha: d 595 Queio n IGU Piano licio h Piano cabro µ Un blocco di aa di piccole dienioni viene lanciao, all iane di epo e con velocià, dal puno, poo alla bae di un piano inclinao di un angolo ripeo all orizzonale (ig ), lungo il piano eo Eo raggiunge la oià del piano alla quoa h nel puno, dove i era, reando in bilico Succeivaene, il blocco inizia a cendere lungo un econdo piano, quea vola cabro, inclinao anch eo di ripeo all orizzonale Il coeiciene di ario dinaico ra il blocco e il econdo piano è pari a µ Sia Kg,, h, µ ) Il valore della velocià da ipriere al blocco perché eo arrivi in a velocià nulla i rova iponendo conervazione dell energia eccanica E E gh gh ) Il epo ipiegao dal blocco in per raggiungere il puno i rova noando innanziuo che la ua accelerazione lungo il piano è a g in La velocià del blocco arà quindi: g Iponendo adeo (), i oiene ( ) ( in )
h in g ) La orza di ario che il econdo piano eercia ul blocco ha odulo pari a µ N µ g co 7 N 4) Il odulo della velocià del blocco nel puno può eere rovao aravero il eorea dell energia cineica coe egue Scriviao quindi E h in gh µ g co in h E Sepliicando opporunaene l epreione di opra e riolvendo per c, i ha 56 5) L energia diipaa dal blocco lungo l inera dicea è, in valore aoluo, pari a h Ed 6 79 J in Queio n M IGU Un groo rullo viene azionao anualene aravero una orza r coane, applicaa, ad un angolo ripeo all orizzonale, alla aniglia coì coe orao nella ig Parendo da ero e oopoo alla orza r, il cilindro del rullo, di aa M e raggio, roola enza riciare u di un piano cabro orizzonale, ino a raggiungere, in un inervallo di epo, la velocià angolare ω Succeivaene, per erare il rullo, i applica, allo eo odo di r r pria, un orza Tale orza agice inano che il cenro di aa del cilindro non viene poo a ripoo Si riolva il problea dinaico, auendo che i perni, ai quali ono collegai le ae che raeono la orza applicaa, iano privi di ario e che le ae ee e la aniglia iano di aa racurabile Si aua ancora che il cilindro ia pieno Sia M5 Kg, 5, 4 N,, ω 5 rad/ 6) Per rovare l accelerazione angolare α del cilindro, eprea in erini del odulo della orza applicaa, i può crivere:
iolvendo adeo per α i ha I P' α M P' M α co α M 7) L inervallo di epo neceario per porare il cilindro a ruoare alla velocià angolare ω i può rovare ricorrendo all epreione cineaica per la velocià angolare ω eguene: ω M ( ) α + ω oveω ω α ω 6, M 8) La orza di ario eerciaa ul cilindro può eere rovaa aravero l applicazione del eorea del cenro di aa al cilindro Perano, oervando il diagraa delle orze in ig 4, poiao crivere: Ma co Mα ex x M y IGU 4 iolvendo adeo per, conocendo ed α, poiao crivere N 9) La reazione vincolare norale al piano può eere rovaa eguagliando a zero la coponene y della riulane delle orze, coicché: Mg x N + in Mg ex y iolvendo per N e oiuendo i valori, i ha: N 47 N ) L inervallo di epo neceario a erare il rullo, dopo che eo ha raggiuno la velocià angolare ω, i può rovare noando che l accelerazione angolare adeo deve eere negaiva e pari aα α Dalla cineaica roazionale, allora, i ha ω Ponendo adeo ( ), i ha ( ) α ω ω + ω α 8