Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente eventuali massimi o minimi assoluti.. f() = 4 3. f() = ( ) 3. f() = e 4. f() = e 5. f() = e 6. f() = ln()
Soluzioni. Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione. Poiché abbiamo a che fare esclusivamente con somme di funzioni potenza (non c è pericolo che si divida per zero o che si stia facendo il logaritmo di un numero minore o uguale a zero, o la radice quadrata di un numero negativo, ecc.), evidentemente il dominio della funzione è (-, ). Il secondo passo è determinare (se, a seconda dei calcoli, questo è possibile) gli intervalli in cui f() > e, quindi, gli intervalli dove la funzione è negativa. La funzione f() risulta positiva se e solo se 4 3 >, cioè, mettendo in evidenza 3, 3 ( ) > Quindi la funzione è positiva quando il prodotto delle due quantità 3 e è positivo, cioè quando questi due fattori hanno lo stesso segno (ricorda che per è, e per è ). Studiamo dunque separatamente il segno dei due fattori 3 e. Si noti che 3 = e quindi (essendo sempre maggiore o uguale a ) 3 > se e solo se >. Invece l altro fattore,, è maggiore di se e solo se >. Per confrontare i segni dei due fattori, rappresentiamo graficamente la situazione: 3 > -------------------------------- > -------------------------------------------------- Dal confronto dei segni dei due fattori, segue che il loro prodotto è positivo per < oppure per >. Quindi f() > negli intervalli (, ) e (, ). Riportiamo, per nostra convenienza, sia il dominio sia la positività della funzione, su due linee, una sotto l altra: D: f()>: ---------------------- - Può essere comodo avere a disposizione qualche punto che appartiene al grafico della funzione. Tali punti possono essere ottenuti, per esempio, trovando le intersezioni con gli assi. Le intersezioni con l asse (y = ) sono tutti i punti le cui ascisse soddisfano l equazione 4 3 = cioè = e =. Quindi i punti di coordinate (,) e (,) appartengono al grafico della funzione. Per ottenere le intersezioni con l asse y, dobbiamo invece sostituire = a y = 4 3. Si ottiene che necessariamente = e quindi l unica intersezione con l asse y è il punto (,), punto che avevamo già trovato. Procediamo nel nostro studio calcolando i limiti della funzione negli estremi del dominio, anche al fine di trovare eventuali asintoti orizzontali e verticali. Dato che D = f lim f. Si ha che: (, ), dobbiamo calcolare lim ( ) e ( ) Prescinderemo, sia per ragioni di tempo che per coerenza con i libri di testo consigliati, dalla ricerca di eventuali asintoti obliqui.
( ) ( ) = 4 3 = 4 lim f lim lim = dato che / tende a. Per che tende a - non vi è invece alcuna forma indeterminata e concludiamo direttamente che lim f 4 3 ( ) = lim ( ) = Non vi è quindi alcun asintoto orizzontale (e nemmeno verticale, chiaramente), ma in ogni caso il risultato dei limiti ci dice che per valori di (positivi o negativi) via via sempre più grandi in valore assoluto la funzione tende ad assumere valori positivi via via sempre più grandi. Ciò è in accordo anche con lo studio della positività della funzione (che, appunto, risultava positiva agli estremi del dominio). A questo punto calcoliamo la derivata della funzione e ottenendo che f () = 4 3 6. Al fine di determinare gli intervalli dove la funzione è crescente o decrescente e quindi gli eventuali punti di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale, studiamo la disequazione f () >, cioè ( 3) >. 3 Tale disequazione è verificata per >. Rappresentiamo graficamente la situazione evidenziando con delle frecce le zone dove la funzione è crescente o decrescente: 3 f () > : ---------------- ---------------- -. 3 3 Pertanto la funzione è decrescente nell intervallo, e crescente in,. Nei 3 3 punti = e = la derivata si annulla: f ( ) =, f =. Dato che la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra di =, si ha che = è un punto di flesso a tangente orizzontale. Tale flesso ha quindi coordinate (,f()) = (,). Invece, come si vede chiaramente anche dalla rappresentazione grafica in alto, = 3 è un punto di 3 3 3 8 7 7 minimo relativo. In tale punto la funzione vale f = = =, 6 8 6 3 7 cioè circa,69. Quindi il minimo m ha coordinate,. 6 4 3
Man mano che acquisiamo tutte queste informazioni, è bene cominciare a rappresentarle nella bozza di grafico (quindi, per esempio, si possono segnare le intersezioni con gli assi, il massimo relativo, il flesso a tangente orizzontale, ecc.). Concludiamo con lo studio del segno della derivata seconda, al fine di determinare gli intervalli dove la concavità della funzione è rivolta verso l alto o verso il basso, ed eventuali altri punti di flesso. Effettuiamo quindi la derivata di f () = 4 3 6, ottenendo f () = = ( ). Studiamo dunque la disequazione f () >. Si tratta di una disequazione di secondo grado, che è verificata negli intervalli esterni rispetto ai valori = e = f ()>: ---------------------- - Pertanto la funzione ha la concavità rivolta verso l alto negli intervalli (, ) e (, ), mentre ha la concavità rivolta verso il basso nell intervallo (,). Rappresentiamo questo graficamente con degli archetti. Nei punti = e = la concavità subisce un cambiamento e la derivata seconda si annulla, cioè f () = e f () =. Concludiamo quindi che = e = sono punti di flesso. Notiamo peraltro che il flesso in = era stato già determinato precedentemente, con lo studio della crescenza / decrescenza della funzione; concentriamoci quindi sul secondo punto di flesso, quello in =. In tale punto la funzione assume valore f() = 4 3 =. Quindi, oltre al flesso F (,), già trovato prima, abbiamo trovato anche il flesso F (, ). In tali punti, lo ricordiamo, la concavità della funzione cambia. A questo punto cerchiamo di tirare le somme su tutte le informazioni sin qui ottenute e abbozziamo uno schizzo di grafico. Può anche essere utile dare alla valori arbitrari e ottenere i corrispondenti valori di y = 4 3, onde ottenere ulteriori punti per i quali il grafico passa. Nel cominciare a disegnare si può per esempio partire a sinistra del foglio, cioè quando tende a -. Qui abbiamo visto che la funzione tendeva a, quindi dobbiamo cominciare a disegnare dall angolo superiore sinistro del foglio. Sappiamo che la funzione è decrescente fino a = 3/ e che ha la concavità verso l alto fino a = (punto di flesso a tangente verticale), e quindi con la penna scendiamo sino a =, dove la funzione vale (informazione che avevamo ottenuto quando abbiamo trovato le intersezioni con gli assi). In = la concavità cambia ma la funzione rimane decrescente. La concavità cambia nuovamente nell altro flesso F (, ). La funzione rimane decrescente fino al minimo m 3 7,. Dopo tale minimo, la funzione sale intersecando l asse delle in = e, 6 mantenendo la concavità rivolta verso l alto, tende a man mano che tende a. Il disegno così ottenuto dovrebbe essere simile a quello in basso:
F F m Infine, quanto ai massimi e minimi assoluti, notiamo che la funzione non ha massimi 3 7 assoluti (infatti tende a ), mentre l unico minimo relativo m, è anche minimo 6 assoluto: come ben si vede dal grafico, tale punto è il punto di ordinata più bassa di tutto il grafico.
. La funzione f() = è quella funzione che ad un numero associa il numero ( ) diviso per ( ). Poiché, come è noto, è vietato dividere per zero (!), dobbiamo assicurarci, appunto, di non dividere per zero e quindi dobbiamo imporre che ( ), cioè, cioè. Quindi il dominio D è costituito da tutta la retta reale con l esclusione del punto. Quindi, D = (, ) (, ). Intersezione con gli assi. Cominciamo con l intersezione con l asse delle (cioè la retta di equazione y = ). Dobbiamo risolvere il sistema y y = = ( ) Otteniamo quindi che ( ) =, che è verificata se e solo se il numeratore si annulla (e, naturalmente, il denominatore è diverso da ), cioè quando =. Quindi il grafico della funzione interseca l asse unicamente nel punto (,). Per quanto riguarda le intersezioni con l asse delle y (cioè la retta di equazione = ), risolviamo il sistema y = = ( ) che, sostituendo = nella prima equazione, ci dà anche in questo caso come unica soluzione il punto (,). Per studiare la positività della funzione f() =, dobbiamo studiare il segno di ( ) numeratore e denominatore. Il numeratore è evidentemente positivo se >, mentre il denominatore, essendo il quadrato di qualcosa, è sempre positivo tranne quando è, cioè quando = : > : ( ) > : Poiché stiamo cercando i valori della variabile per i quali f() >, dobbiamo prendere in considerazione le zone (contrassegnate con il ) dove numeratore e denominatore hanno lo stesso segno (cosicché, appunto, il risultato della divisione avrà segno positivo). Quindi la funzione sarà positiva (cioè il suo grafico giace al di sopra dell asse delle ) per >. Rappresentiamo nella figura in basso il dominio e la positività della funzione sulla retta reale: D: f() > :
Con le freccette blu abbiamo indicato graficamente tutti i limiti che dobbiamo calcolare, in corrispondenza degli estremi del dominio. In totale 4: a e, e poi a da sinistra e da destra. lim = ( ) Si tratta di una forma indeterminata che si può risolvere applicando il teorema de l Hôpital: lim = lim =, ( ) poiché il numeratore è un numero, mentre il denominatore tende, nel suo complesso, a. Analogamente, nello stesso modo, si vede che lim = lim =. ( ) Dunque la funzione ammette un asintoto orizzontale: la retta y =. Inoltre, lim ( ) = in quanto il numeratore tende a (da sinistra), quindi è un numero negativo, mentre il denominatore è un numero comunque positivo (è il quadrato di ) che tende a. Si noti che tale risultato è coerente con lo studio della positività di f(), dato che la funzione risulta negativa a sinistra di. Ragionando allo stesso modo si ha che lim ( ) =. La retta = è un asintoto verticale. Il grafico provvisorio della funzione è quindi il seguente, tenendo conto delle informazioni che finora abbiamo trovato: dominio, positività, intersezioni con gli assi, asintoti orizzontali e verticali. y -
Calcoliamo ora la derivata della funzione. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( )( ) = ( ) 4 ( ) 3 f = =. Studiamo quando f ( ) >. Studiamo quindi il segno di numeratore e denominatore. Per quanto riguarda il numeratore, si noti che > se <, cioè <. Invece, riguardo al denominatore, si ha che ( ) 3 = ( ) ( ) > se e solo se >, cioè >. Riassumendo > : ( ) 3 > : Quindi si ha che f ( ) > se e solo se < <. Rappresentiamo graficamente il segno della derivata sotto il dominio: D: f () > : Se ne deduce che la funzione è decrescente nell intervallo (, ), crescente nell intervallo (,) e di nuovo decrescente in (, ). Il punto di ascissa = risulta essere un punto di massimo relativo. Erroneamente si potrebbe concludere che il punto di ascissa = sia un punto di minimo relativo. Tuttavia = non appartiene al dominio e quindi non ha nemmeno senso chiederci se tale valore sia un punto di minimo, perché in tale punto la funzione non è proprio definita. Calcolando il valore della funzione nel punto di ascissa, si ottiene quindi il massimo M,. 4 Infine, per studiare la concavità della funzione, dobbiamo provare a calcolare la derivata seconda, sperando che i calcoli non siano troppo complicati. Si ha che f ( ) = ( ) 3 = 3 ( ) ( ) 3( ) ( ) 6 = ( ) 3( ) ( ) 4 = ( ) ( ) 4. Se ne conclude che f () > se e solo se > cioè se e solo se >. Rappresentiamo graficamente il segno della derivata seconda sotto il dominio. D: f () > :
Quindi il grafico della funzione rivolge la concavità verso il basso nell intervallo (,), verso l alto nell intervallo (, ). Il punto di ascissa =, dove la concavità cambia e la derivata seconda si annulla, è un flesso. Calcoliamo, al fine di rappresentarlo nel grafico, il valore della funzione in questo punto: si ha che f() = /9. Quindi il flesso è il punto F,. 9 Ora abbiamo tutte le informazioni per tracciare il grafico della funzione: M F e 3. Per determinare il dominio di f() = dobbiamo innanzitutto capire quali sono le funzioni coinvolte. Esse sono: la funzione esponenziale, che è definita su tutto R, e la funzione che prende un numero e restituisce /. Quest ultima operazione di divisione di per è consentita purché sia diverso da zero (è severamente vietato dividere per zero!). Quindi il dominio della funzione è dato da tutti i numeri reali eccetto : D = (,) (, ). Quanto al segno della funzione, si noti che la funzione risulta essere sempre strettamente positiva, in quanto f() è sempre l esponenziale di qualcosa (precisamente di /) e come tale è sempre positivo per qualsiasi valore di. Rappresentiamo come al solito graficamente, sulla retta reale, il dominio e la positività della funzione: D: f() > :
Troviamo le intersezioni con gli assi. Non vi è alcuna intersezione con l asse y dal momento che il valore = è fuori dal dominio. D altra parte le eventuali intersezioni con l asse sono date dalle soluzioni del sistema y y = e = che è equivalente all equazione e =. Ma tale equazione non ha alcuna soluzione, in quanto la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva. Concludiamo che la nostra funzione non ha alcuna intersezione né con l asse né con l asse y. Passiamo quindi a studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Dobbiamo calcolare 4 limiti, uno per ciascuna delle freccette azzurre disegnate in alto. Si ha che: lim e =, in quanto / per che tende a. Per lo stesso motivo si ha anche che lim e =. Vi è quindi un asintoto orizzontale, e precisamente la retta di equazione y =. Inoltre, poiché quando lim e la funzione = e e quindi, a sua volta,. Pertanto la retta = è un asintoto verticale (destro), cioè il grafico della funzione si avvicinerà sempre più alla retta = fino quasi ad apporgiarvisi dal lato destro. Invece dal momento che quando lim e = la funzione e quindi e (tieni a mente il grafico della funzione esponenziale). Ci aspettiamo quindi che la funzione quando si avvicina a da sinistra sia molto vicina al valore ; in altre parole il grafico della funzione sfiora l origine (,). Di ciò dobbiamo tenere conto quando disegneremo il grafico. Passiamo ora al calcolo della derivata, in modo da studiare la crescenza e decrescenza della funzione. Si ha che f e ( ) = e ( ) = e ( ) =.
e Di conseguenza, f () > se e solo se >, che è equivalente a risolvere e <. Si noti che tale disequazione non è mai verificata. Infatti il numeratore è sempre positivo (lo abbiamo visto prima, l esponenziale di qualcosa è sempre un numero positivo) ed anche il denominatore è sempre positivo tranne che in (punto che però è escluso dal e dominio). Quindi è il rapporto tra due numeri positivi e quindi è a sua volta un numero positivo. Graficamente quindi il segno della derivata è rappresentato da una linea continua in cui non vi alcun tratto calcato : f () > : La funzione quindi risulta essere sempre decrescente, in tutti i punti del suo dominio. Dato che l espressione della derivata non appare particolarmente complicata, proviamo a calcolare la derivata seconda: e e e e ( ) f = = =. 4 4 Di conseguenza f ( ) > se e solo se >, cioè se e solo se > : D: / f ( ) > : Pertanto il grafico della funzione ha la concavità rivolta verso il basso nell intervallo, e verso l alto in, e (, ) (chiaramente abbiamo escluso il valore = in quanto non appartiene al dominio). Nel punto di ascissa = la concavità cambia e la derivata seconda si annulla esso è quindi un punto di flesso. L ordinata è pari a f = e =. Quindi la funzione ammette il flesso F,. e e
Abbiamo quindi tutte le informazioni per disegnare il grafico della funzione, che è approssimativamente il seguente: F 4. Il dominio della funzione f() = e è evidentemente tutta la retta reale, dal momento che la funzione esponenziale è definita su tutto R, come pure la funzione y =. D: Gli intervalli dove la funzione è positiva si trovano risolvendo la disequazione e >. Per risolverla dobbiamo studiare separatamente il segno di ciascuno dei due fattori, ed e, e poi confrontare il loro segno tenendo conto della ben nota regola dei segni (una quantità positiva moltiplicata per una negativa dà una quantità negativa, una positiva per una positiva dà una quantità positiva, ecc.). > e > Dato che stiamo cercando le zone dove la quantità e è positiva, dobbiamo prendere in considerazione gli intervalli contrassegnati dal. In definitiva e > per appartenente all intervallo (, ). D: f() > :
Procediamo a determinare le intersezioni con gli assi cartesiani. Le intersezioni con l asse sono tutte le soluzioni dell equazione e =. Si noti che tale equazione ammette l unica soluzione = dal momento che l altro fattore, e, è una quantità sempre strettamente diversa da zero (positiva, per la precisione). Quindi l origine O(,) è l unica intersezione della funzione con l asse. Le intersezioni con l asse y sono date dai punti di ascissa e ordinata y = e =. In definitiva anche in questo caso l unica intersezione trovata è l origine. Possiamo ora cominciare a studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio, cioè a e. D: lim e =, poiché sia la funzione y = che y = e tendono a quando. Invece lim e =. La ragione di questo risultato è la seguente. Quando la funzione y = tende a, mentre la funzione y = e tende a. Abbiamo quindi una forma indeterminata del tipo. Tuttavia è sufficiente notare che e tende a più rapidamente di quanto tenda a in pratica tra le due funzioni ( ed e ) quella che vince è e. Un modo più classico di risoluzione può essere quello di utilizzare la regola de l Hôpital. Come noto, il teorema di de l Hôpital si può però utilizzare solo per risolvere le forme indeterminate / oppure /. Di conseguenza riscriviamo il nostro limite in questo modo e lim e = lim. Abbiamo così trasformato la forma indeterminata in una forma indeterminata. Ora sì che possiamo applicare la regola di de l Hôpital! Si ha: ( ) lim e = lim = lim = lim =. ( ) e e e L ultimo passaggio si spiega col fatto che il numeratore è un numero (il numero ), mentre il denominatore è una quantità che tende a per. Pertanto vi è un asintoto orizzontale, la retta y =. Calcoliamo la derivata: ( ) = e e = e ( ) f. Non dovresti avere difficoltà a concludere che f () > se e solo se >. f ( ) > :
Pertanto la funzione è decrescente nell intervallo (, ) e crescente in (, ), e in vi è un minimo. Dato che f( ) = e = /e, il minimo m avrà coordinate (, /e). Procediamo con il calcolo della derivata seconda, dato che i calcoli appaiono piuttosto agevoli: f = e ( ) e = e. ( ) ( ) Di conseguenza f () > se e solo se >, cioè se e solo se > : f ( ) > : Otteniamo dunque un altra informazione e cioè che il grafico della funzione avrà la concavità rivolta verso il basso nell intervallo (, ) e verso l altro in (, ). In abbiamo un flesso. Per trovarne l ordinata calcoliamo f( ) = e =. Quindi il nostro e flesso sarà il punto F,, che ci segniamo sugli assi cartesiani. e Abbiamo dunque tutti gli strumenti per disegnare uno schizzo del grafico, che è rappresentato dalla figura in basso: F m
5. Esattamente come nell esercizio precedente, anche in questo caso il dominio (o campo di esistenza) della funzione f() = e è tutta la retta reale. Inoltre la funzione risulta essere sempre non-negativa, in quanto essa è il prodotto di una quantità sempre non negativa ( ) con una sempre strettamente positiva (e ). L unica intersezione del grafico della funzione tanto con l asse quanto con l asse y è data dall origine O(,). D: f() > : Passiamo a studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio, al fine di trovare eventuali asintoti. Cominciamo con : lim e = dal momento che entrambi i fattori, ed e, tendono a quando tende a. Inoltre lim e =. Infatti, anche in questo caso vi è una forma indeterminata del tipo, che può essere risolta esattamente come nell esercizio precedente, cioè utilizzando la regola di de l Hôpital oppure osservando che, quando, e tende a più velocemente di quanto tenda a. Il tutto ti viene lasciato come utile esercizio. Quindi la retta y = è un asintoto orizzontale. Calcoliamo ora la derivata: ( ) e. f ( ) = e e = Dato che e è una quantità sempre positiva, abbiamo che f () > se e solo se >. Tale disequazione è verificata per valori esterni a e. Quindi, ricapitolando, f () > quando < oppure > : f ( ) > : Pertanto la funzione risulta essere crescente negli intervalli (, ) e (, ), e decrescente nell intervallo (, ). In = vi sarà un minimo relativo, mentre in = un massimo relativo. Dato che f() = e f( ) = ( ) e = 4/e, il minimo sarà dato dal punto m(,), cioè l origine degli assi, mentre il massimo dal punto M(,4/e ). Può essere utile già disegnare questi due punti su un sistema di assi cartesiani. Infine, la derivata seconda è data da f ( ) = ( ) e ( ) e = ( 4 ) e
e quindi f ( ) > se e solo se 4 >. Risolviamo quest ultima disequazione. Le soluzioni dell equazione di secondo grado associata sono 4 ± 6 8 4 ± 8 = = = ±, cioè =, 59 e = 3, 4. La disequazione è soddisfatta per valori della esterni rispetto ad e : f ( ) > : Pertanto la funzione ammette flessi: F nel punto di ascissa =, 59, per il quale l ordinata vale f( ),9, e F nel punto di ascissa = 3, 4, per il quale l ordinata vale f( ),38. Tenuto conto di tutte le informazioni raccolte, il grafico della funzione è approssimativamente del tipo di quello disegnato nella figura in basso F M F m
6. La funzione f() = ln() è definita dove è definita la funzione logaritmo. Cioè dobbiamo imporre che >. Il dominio è dunque D = (, ). Riguardo alle intersezioni con gli assi, ha senso solo trovare quella con l asse, perché quella con l asse y ci condurrebbe ad imporre =, valore non appartenente al dominio. Le eventuali intersezioni con l asse sono date dalle soluzioni del sistema y y = ln( ) = vale a dire dalle soluzioni dell equazione ln() =. Tale equazione è soddisfatta se e solo se = oppure ln() =. Le intersezioni quindi sono date da = e =. Passiamo a studiare la positività / negatività della funzione, cioè trovare gli intervalli dove la funzione è positiva e quelli dove è negativa. Dobbiamo sostanzialmente risolvere la disequazione ln() >. Studiamo quindi ciascuno dei due fattori, e ln(). Infatti la disequazione sarà soddisfatta per quei valori della per i quali i due fattori e ln() hanno segno concorde. Tenuto conto che ln() > equivale a chiedere che ln() > ln(), e quindi (dato che ln è una funzione strettamente crescente!) >, possiamo schematizzare il tutto nel modo seguente: > ln() > Siccome stiamo risolvendo la disequazione ln() >, cioè stiamo cercando i valori di per i quali il prodotto di e di ln() è positivo, dobbiamo scegliere le zone contrassegnate dal simbolo, che corrispondono proprio agli intervalli in cui e ln() hanno segno concorde. Si noti però che i valori a sinistra di non appartengono al dominio e quindi vanno esclusi. In conclusione, la funzione è positiva per >. In basso abbiamo rappresentato schematicamente il dominio e la positività della funzione: D: f() > : - - - - - - - Studiamo ora il comportamento agli estremi del dominio, cioè, in questo caso, a (da destra) e. Intanto si ha subito che lim ln( ) = dal momento che sia che ln() tendono a quando. Quando invece, il limite lim ln( )
dà luogo ad una forma indeterminata ( ). Trasformiamo tale forma indeterminata in una del tipo /, in modo da poter utilizzare la regola de l Hôpital. È sufficiente scrivere il limite in modo leggermente diverso: ln ( ln ) lim ln( ) = lim = lim = lim = lim =. Quindi non ci sono asintoti orizzontali o verticali, ma la funzione in sfiora il valore. Cioè pur essendo l origine degli assi un punto non appartenente al grafico della funzione (perché non appartiene al dominio), nelle sue immediate vicinanze la funzione tende a sfiorarlo. Il calcolo della derivata mostra che f ( ) = ln( ) = ln( ). Pertanto f () > se e solo se ln() >, cioè se e solo se ln( ) e > e, cioè > : e D: f () > : - - - - /e Quindi la funzione è decrescente in (, /e) e crescente in (, ). In = /e,37 vi è un punto di minimo relativo, la cui ordinata è data da f = ln =, 37 e e e e. In questo caso anche la derivata seconda è molto semplice ed è data semplicemente da f ( ) = ( ln( ) ) =. Pertanto f () > se e solo se >. Questo risultato, tenendo conto che il dominio è (, ), ci dice che il grafico della funzione ha la concavità sempre rivolta verso l alto: Il grafico della funzione è rappresentato nella figura in basso. D: f () > : - - - - - - -
m