Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe ax = 1 ha ua ed ua sola soluzioe, questa soluzioe si dice l iverso di a e si idica co a 1. Ad esempio si ha ( ) 1 =.. Poteze co espoete itero relativo. Per ogi umero reale a R e per ogi itero relativo Z, la poteza di base a ed espoete e defiita da aa a ( volte) per > 0; a = 1 per = 0; ; a 1 a 1 a 1 ( volte) per < 0; le poteze co espoete egativo soo defiite solo per a 0. Ad esempio si ha: ( ) = ( ) = 9 4. Le poteze ad espoete itero relativo hao le segueti proprieta :. Radici Cosideriamo l equazioe a m a = a m+ ; (a m ) = a m ; (ab) m = a m b m. x = a ell icogita x; per ogi a 0 si prova che l equazioe ha due soluzioi reali, di sego opposto (evetualmete coiciedeti i 0); 1
la soluzioe maggiore-uguale a 0 viee detta radice quadrata di a e viee idicata co a; per ogi a < 0 l equazioe o ha soluzioi reali, e i tal caso a o e defiita. Cosideriamo l equazioe x = a ell icogita x; per ogi a R si prova che l equazioe ha ua ed ua sola soluzioe; questa soluzioe viee detta radice terza di a e viee idicata co a. Si vegoo cosi a defiire le radici m a per ogi itero m ; per m pari m a e defiita solo per a 0, e si ha m a 0; per m dispari m a e defiita per ogi a R, e m a ha lo stesso sego di a. Coviee porre 1 a = a, per ogi a R. Per ogi itero positivo, l operazioe radice ma e l iversa dell operazioe poteza ma, el seso che valgoo le idetita segueti ( ) a = a per dispari; a = a, a = a per pari. per ogi a R. Per semplicita, d ora iazi ci limiteremo a cosiderare radici di umeri maggiori-uguali a 0. Le operazioi di radice possiedoo le segueti proprieta m a = ( m a ) ; m a = m a; m a m b = m ab,
per ogi a, b 0. Osserviamo che mp a p = m p a p = m a. Queste proprieta possoo essere usate per effettuare delle semplificazioi: = 4 = 4 = 4, = 8 4 = 8 4 = 4; oppure per effettuare dellle moltiplicazioi: 15 = 0 5 0 = 0 5 = 0 88. 4. Poteze co espoete razioale. Per ogi umero reale positivo a > 0 e per ogi umero razioale m, co m itero relativo ed itero positivo, la poteza di base a ed espoete m e defiita da a m = a m Osserviamo che la defiizioe e be posta: se mp, co p itero positivo, p e ua frazioe equivalete a m, si ha Alcui esempi: a mp p = p a mp = a m = a m. 4 = 4 = 4 8; 4 = 4 = 4 1 8. Le proprieta delle poteze cotiuao a valere per le poteze ad espoete razioale. Verifichiamo la prima proprieta : a m p a q = p a m q a = pq a mq pq a p = pq a mq+p = a mq+p pq = a m p + q. 5. Poteze co espoete reale. Per ogi umero reale positivo a > 0 e per ogi umero reale r, si puo defiire la poteza a r di base a ed espoete r. No diamo la defiizioe, ma solo u idea ituitiva su u esempio. La poteza π si puo otteere cosiderado la successioe,, 1,, 14,...
di decimali che approssimao π, ed usado la corrispodete successioe di poteze ad espoete razioale,,1,,14,... per defiire per approssimazioe π. Si dimostra che le proprieta delle poteze cotiuao a valere per le poteze ad espoete reale. Sotto l assuzioe fatta a > 0 si ha a r > 0 per ogi r R; ioltre 1 r = 1 per ogi r R.. Espoeziali Per ogi b > 0 fissato, cosideriamo la fuzioe che associa ad ogi x R la poteza b x di base b ed espoete x; questa fuzioe si chiama fuzioe espoeziale di base b e si deota co exp b ; cosi si ha exp b (x) = b x. Dalle proprieta delle poteze segue che la fuzioe espoeziale trasforma somme i prodotti e trasforma prodotti i poteze exp b (x + y) = exp b (x)exp b (y), exp b (xy) = (exp b (x)) y. Le basi piu usate soo 10 e soprattutto il umero di Nepero e; questo umero e irrazioale, le sua approssimazioe alle prime cifre decimali e e =, 718; la fuzioe espoeziale di base e viee idicata semplicemete co exp, cioe si poe exp (x) = e x. 7. Logaritmi Fissato u umero reale b, co b > 0 e b 1, cosideriamo le equazioi b x = a 4
ell icogita x; per ogi a > 0 si prova che l equazioe ha ua ed ua sola soluzioe reale; questa soluzioe viee detta logaritmo i base b di a, e viee idicata co log b a; per ogi a < 0 l equazioe o ha soluzioi reali, e i questo caso log b a o e defiito. I altri termii, l uguagliaza log b a = c sigifica che b c = a (b > 0, b 1, a > 0). Ad esempio, si ha 1 log 4 =, log 1 1 = 1, log = 1, log 1 = 0, 1 log =, log = 1, log 4 =. Per ciascu b fissato, la fuzioe espoeziale di base b e la fuzioe logaritmo i base b soo ua l iversa dell altra, el seso che b log b a = a, per ogi a > 0; log b (b a ) = a, per ogi a. Ciascua fuzioe logaritmo trasforma prodotti i somme e poteze i prodotti log b (a 1 a ) = log b a 1 + log b a, log b (a r ) = r log b a, per ogi a 1, a, a > 0, ed ogi r R. Verifichiamo la prima proprieta. Si ha che b log b a 1 = a 1, b log b a = a ; moltiplicado membro a membro, otteiamo b log b a 1 b log b a = a 1 a ; per le proprieta delle poteze, si ha b log b a 1+log b a = a 1 a ; 5
da cio segue che log b (a 1 a ) = log b a 1 + log b a. Esempio. log 10.40 = log 10 ( 10, 40 ) = log 10 ( 10 ) + log 10 (, 40) = + m, dove m e u umero reale, co 0 < m < 1. I geerale, se u umero a ha ordie di gradezza 10 k, co k itero relativo, allora il logaritmo i base 10 di a ha parte itera k. I logaritmi erao lo strumeto pricipale del calcolo umerico mauale. Veivao stilate tavole di valori della fuzioe espoeziale e della fuzioe logaritmo (solitamete i base 10, co ua approssimazioe a u certo decimale). Il calcolo dei prodotti veiva ricodotto al piu semplice calcolo delle somme el modo seguete. Per calcolare il prodotto a = a 1 a di due umeri a 1 e a, si predevao sulla tavola della fuzioe logaritmo i valori l 1 = log 10 a 1 e l = log 10 a, poi si calcolava la somma l = l 1 + l, e ifie si predeva sulle tavola della fuzioe espoeziale il valore 10 l = a. La fuzioe logaritmo di base e viee detta logaritmo aturale e viee idicata semplicemete co l, cioe si poe la = log e a. Fuzioi trigoometriche 1. Fissato el piao u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale moometrico, cosideriamo la circofereza co cetro ell origie e raggio 1, avete duque lughezza π ed equazioe x + y = 1. Sia P u puto materiale che si muove el tempo, e sia P(t) il puto del piao i cui si trova P all istate t; suppoiamo che P si muova sulla circofereza i seso atiorario co velocita agolare costate,
percorredo u arco di lughezza 1 i ogi uita di tempo, e che P si trovi i (1, 0) all istate t = 0. A partire da ogi istate, il puto P ritora ella stessa posizioe dopo π uita di tempo; i simboli, si ha da cui segue che P(t + π) = P(t), per ogi t R, P(t + kπ) = P(t), per ogi t R, k Z. Ioltre, π e il piu piccolo umero reale positivo per il quale vale questa proprieta. Questo fatto si esprime dicedo che il moto di P e periodico ed ha periodo π. Si ha ioltre che P( t) e simmetrico a P(t) rispetto al primo asse del sistema di riferimeto, per ogi t R.. Le fuzioi Coseo e Seo Per ogi umero reale t, la prima coordiata del puto P(t) si dice coseo di t, e viee idicata co cost; la secoda coordiata del puto P(t) si dice seo di t, e viee idicata co si t. I altri termii, si poe P(t) = (cost, si t), t R. Dal fatto che ciascu puto P(t) appartega alla circofereza segue che (cost) + (si t) = 1, t R. Le fuzioi coseo e seo soo periodiche di periodo π; i particolare si ha cos (t + kπ) = cost, per ogi t R, k Z; si (t + kπ) = si t, per ogi t R, k Z. 7
Si ha ioltre cos ( t) = cost, per ogi t R; si ( t) = si t, per ogi t R. Dalla defiizioe si ricava immediatamete la seguete tabella di valori t cost si t 0 1 0 π 0 1 π -1 0 0-1 Altri valori si possoo ricavare da cosiderazioi di geometria elemetare. Ad esempio per t = π si ha che il triagolo di vertici l origie O, P(π) e P( π) ha tutti gli agoli uguali a π, e tutti i lati di lughezza 1. Da cio segue che ( π ( π ) cos = ), si = 1.. Cosideriamo l equazioe cos x =. Le soluzioi x co 0 x < π soo x = π e x = π. Poiche la fuzioe coseo e periodica di periodo π, le soluzioi x R soo x = ± π + kπ, k Z. Cosideriamo l equazioe si x = 1. Le soluzioi x co 0 x < π soo x = π e x = 5 π. Poiche la fuzioe seo e periodica di periodo π, le soluzioi x R si possoo descrivere come x = π ± π + kπ, k Z. 8
4. La fuzioe Tagete. Per ogi t R, cosideriamo la retta passate per l origie O e per il puto P(t); la pedeza di questa retta viee detta tagete di t, e viee idicata co ta t. Duque la tagete di t e defiita per t π + kπ, k Z, e si ha tat = si t cost. La fuzioe tagete e periodica di periodo π, i particolare si ha Si ha ioltre ta(t + kπ) = tat, per ogi t R, k Z. ta( t) = ta t, per ogi t R. Esempio. 5. Cosideriamo l equazioe ta( π ) = si (π) 1 cos ( π) = = 1 =. ta x =. Nell itervallo π x < π c e solo la soluzioe x = π. Poiche la fuzioe tagete e periodica di periodo π, le soluzioi x R soo x = π + kπ, k Z. 9