Calcolo delle Probabilità Esercizi

Calcolo delle Probabilità Esercizi A.A 00-006 Costituenti. Siano dati eventi A, B, C tali che A B = Φ, A B C, determinare i costituenti. C C C C C C C [ AB C, A BC, A B C, A B C ]. Siano dati eventi A, B con A B, determinare i costituenti. C C C [ AB, A B, A B ] Decomposizione di un evento. Consideriamo un urna contenente pallina bianca e palline nere. Facciamo delle estrazioni senza restituzione. a. Sia A l evento la a pallina estratta è bianca, calcolare P(A). b. Sia B l evento la a pallina estratta è bianca, calcolare P(B). c. Sia C l evento la 4 a pallina estratta è bianca, calcolare P(C). [,, ] 4 4 4 4. Consideriamo un urna contenente pallina bianca e palline nere. Facciamo estrazioni senza restituzione. Siano A l evento la a pallina estratta è bianca e B l evento la a pallina estratta è bianca. Calcolare P(A) e P(B). [, ] Criterio classico di valutazione della probabilità. Siano X e Y i risultati del lancio di due dadi. Studiare il numero aleatorio Z=X+Y cioè la somma dei valori che compaiono nella faccia superiore dei due dadi. Calcolare P(Z=i) i=,,..,. 6. Si lanci volte una moneta. Calcolare la probabilità che volte esce testa, volte esce testa, volta esce testa, non esce testa. 7. Lanciamo dadi. Sia (X,Y) il risultato dei due dadi. Sia Z= max{x,y}, calcolare P(Z=i) 8. Lanciamo dadi. Sia X il risultato del primo dado e Y il risultato del secondo dado. Sia Z = max{x,y}, calcolare P(Z=i) 9. Lanciamo dadi. Sia X il risultato del primo dado e Y il risultato del secondo dado. Sia Z = min{x,y}, calcolare P(Z=i) Verifica della coerenza e Numero aleatorio semplice 0. Siano dati eventi A, B e A B di probabilità rispettivamente: P(A)=0.6; P(B)=0.7; P(AB)=0.. verificare la coerenza di P(A), P(B), P(AB). [NO coerenza]. Siano dati eventi A, B e C tali che: A B C di probabilità rispettivamente: P(A)=p; P(B)=p; P(C)=4p; P( B c C) = α. a. Verificare la coerenza di P(A); P(B); P(C), P( B c C) b. Trovare l intervallo in cui varia α

[ coerenza per p [ 0, ], α [0, ] ] 4 A B C =.. Siano A, B, C, tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre ( ) φ Determinare se la valutazione di probabilità P(A)=, P(B)=, P(C)= 4 è coerente e in caso affermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l evento A c c c B C [SI coerenza, 0]. L architettura di un software è costituito da moduli M, M, M. Sia A l evento il modulo M i funziona. È noto che se M funziona allora M funziona, se M funziona allora M funziona. Determinare l insieme C dei costituenti generati dagli eventi A i con i=,, 6 (tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che P ( A ) =, P(A ) =, determinare i 4 0 valori di probabilità coerenti p per A. C C C C C C [ A A A, A A A, A A A, A A A, p [, ] ] 4 4. Dati eventi A, B e C con AC=ø, verificare se la valutazione P(A)=P(C)=0.4; P(B)=0.; P(AB)=P(BC)=0. è coerente. Inoltre considerato il numero aleatorio X = A + B + C, calcolare il codominio C x dei possibili valori di X. [SI coerenza, C x ={0,,,,}]. Dati eventi A, B e C con AB= ø e ( A B) C. Considerato il numero aleatorio X = A + B C, calcolare il codominio C x dei possibili valori di X. [C x ={-,0,}] Previsione, varianza, covarianza 6. Dati tre eventi A, B, C, con A B, BC = Φ, sia X = A + B C. Supposto P(A)=x, P(B)=0.4, P(C)=y, calcolare l insieme I delle coppie (x,y) coerenti e il minimo m della previsione di X. [I=[0,0.4]x[0,0.6], -0.] 7. Siano dati eventi A, B con P(A)=0., P(B)=0.4, P(AB)=0., sia X = A B, calcolare la previsione e la varianza di X. 8. Dati eventi A, B, C, con A e C incompatibile e B C [0.,.6]. Verificare che l assegnazione P(A)=, P(B)= 0, P(C)= è coerente. Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = A B + C. [., 8.99] 9. Una pallina bianca e una nera vengono distribuite a caso in due urne U e V. Siano X il numero di palline bianche in U e Y il numero di urne non vuote. Calcolare Cov(X,Y) e ρ XY. [0,0] 0. Consideriamo due urne U, V contenenti ciascuna una pallina bianca e una nera. Da U si estrae a caso una pallina e la si inserisce in V. Siano X il numero di palline bianche in U e Y il numero di palline bianche in V. Determinare ρ XY. [-]. Un mazzo di 4 chiavi contiene una sola chiave adatta ad aprire una certa serratura. Provando a caso le chiavi una dopo l altra, occorre effettuare un numero aleatorio X di tentativi per

aprire la serratura. Calcolare Var(X). Probabilità condizionate, Teorema di Bayes A.A 00-006 [.]. Dati due eventi E, H di probabilità positiva e minore di, con P(EH)=, stabilire se la valutazione P(E\H)= è coerente. Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, mantenendo la precedente valutazione di P(EH) ed assegnando P(E)= 8, determinare la corrispondente assegnazione coerente di P(H). [NO coerenza, P(H)= 4 ]. (gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile e il tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigioniere sono costretti a sottoporsi alla prova della roulette russa. Considerati gli eventi E i = il proiettile esplode all i-esimo colpo, i=,,..,6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità 6. 4. In un urna ci sono 6 palline: bianca, nere e rosse. Si effettuano due estrazioni senza restituzione. Siano definiti gli eventi: B i = la i-esima pallina estratta è bianca, i=, N j = la j-esima pallina estratta è nera, j=, R k = la k-esima pallina estratta e rossa, k=, Calcolare P(N B ) e P(R ) [, ] 0. In una fabbrica di biscotti le linee di produzione A, B, C sfornano rispettivamente il %, il 0% e il % della produzione totale. Supposto che le percentuali di biscotti bruciati che provengono dalle linee siano rispettivamente il %, il % e il 6%, calcolare la probabilità p che un biscotto scelto a caso tra la produzione totale sia bruciato e la probabilità p che un biscotto bruciato provenga dalla linea C. [0.09, 0.] 6. Una ditta riceve merce da tre fornitori A, B, C nelle seguenti proporzioni: il 4% della merce è fornita da A, il 4% da B, e la restante merce da C. E noto che la probabilità che un pezzo sia difettoso è, rispettivamente, 0.0, 0.04, 0., a seconda che sia fornito da A, B, C. Calcolare la probabilità α che un pezzo estratto da quelli ricevuti dalla ditta sia difettoso. Inoltre, esaminato un pezzo e supposto che sia difettoso, calcolare la probabilità p che esso provenga dal fornitore B. 7. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 60 % proviene da una fabbrica A, il 0 % da una fabbrica B e il 0 % da C. Le percentuali di lampadine difettose prodotte da A, B, C sono rispettivamente il %, il 4 % e il %. Calcolare la probabilità α che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da C. 8. Date tre urne A (contenente palline bianche e nera), B (contenente pallina bianca e nere) e C (contenente pallina bianca e nera), da C si estrae una pallina. Se è bianca (evento H) viene effettuata una seconda estrazione da A, in caso contrario (evento H c ) da B. Posto E = la seconda pallina estratta è nera, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca, supposto di aver osservato pallina nera nella seconda ovvero P(H E)

9. Un lotto `e costituito da 00 componenti, dei quali 40 sono stati costruiti da una macchina M e 60 da una macchina M. Il generico componente risulta difettoso con probabilità se prodotto da M e con probabilità se prodotto da M. Dal lotto viene estratto a caso un componente e viene esaminato. Definiti gli eventi E = Il pezzo esaminato risulta non difettoso ed H = Il pezzo esaminato è stato prodotto dalla macchina M, calcolare il rapporto r tra le probabilità P(H E) e P(H C E). 0. Dati eventi A, B tali che P(A) = /, P(B A) = /4, P(A B) = / stabilire se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa:. gli eventi A, B sono incompatibili;. A implica B;. P(A c B c ) = 0; 4. P(A B) + P(A B c ) = ; [F, V, V, F]. Da un urna, contenente sei palline, di cui due numerate con il numero 0, tre con il numero e una con il numero, si effettuano due estrazioni senza restituzione. Indicando con X il risultato della prima estrazione e con Y il risultato della seconda estrazione, sia Z = X+Y. Calcolare la probabilità dell evento (Z 0). [ 4 ] [ 9 8 ] [ ]. Date tre urne A, B, C, contenenti ciascuna pallina bianca e nera, dalle urne B e C si estrae a caso una pallina che (senza osservarne il colore) viene inserita in A. Successivamente da A si estrae una pallina che risulta bianca (evento E). Definiti gli eventi: F = la pallina estratta da B è bianca, K = la pallina estratta da C è bianca, Hr = r delle palline inserite in A sono bianche, r = 0,,, Calcolare la probabilità dell evento condizionato H E. [ ]. Siano dati eventi A, B con P ( A) =, P(B A) = P( A B) =. Calcolare P ( A c B c ) 4 [ 4 ] 4. Siano date urne A, B, C così composte: l urna A contiene pallina bianca e nera, l urna B contiene palline bianche, l urna C contiene palline nere. Svuotiamo in A o l urna B o la C. Definiti gli eventi H = viene svuotata in A l urna B, E = viene estratta da A una pallina bianca(dopo aver svuotato in A una delle due urne B o C). Calcolare P ( H E). Distribuzioni discrete. Da un urna, contenente pallina bianca e 4 nere, si effettuano n estrazioni con restituzione. Indicando con X il numero aleatorio di volte in cui esce pallina bianca e con h un valore possibile di X, calcolare la probabilità p h = P(X = h). Inoltre, considerando l evento E = [ 4 ] 4

nella a estrazione esce pallina bianca, calcolare la probabilità condizionata γ = P(E X ). [ ] 4 n ( ) 6. Da un lotto contenente pezzi, di cui difettosi, si prelevano a caso pezzi. Sia Hr l evento fra i pezzi prelevati dal lotto ce ne sono r difettosi, r = 0,,. Calcolare la probabilità p che nei pezzi prelevati dal lotto siano capitati entrambi i pezzi difettosi. Successivamente, viene esaminato a caso uno dei pezzi prelevati dal lotto. Sia E l evento il pezzo esaminato risulta difettoso. Calcolare la probabilità γ che nei pezzi prelevati dal lotto siano capitati entrambi i pezzi difettosi, supposto che il pezzo esaminato sia difettoso. 7. Sia dato un triangolo di vertici A, B, C. Una formica, posizionata inizialmente in A, si sposta a caso in uno degli altri due vertici, continuando in questo modo negli spostamenti successivi. Sia X il numero aleatorio di passi fino alla prima volta in cui la formica si sposta nel vertice C. Calcolare P(X > n) e IP(X) 8. Un cassetto contiene 6 chiavi, delle quali sono adatte ad aprire una certa serratura. Dal cassetto si prendono in blocco chiavi, una delle quali scelta a caso viene utilizzata per cercare di aprire la serratura. Definiti gli eventi Hr = fra le chiavi prese in blocco ve ne sono r adatte ad aprire la serratura, r = 0,, ; E = la chiave scelta a caso apre la serratura, calcolare P(H E). 9. Siano dati due lotti L ed L, contenenti ciascuno componente difettoso e 4 buoni. Da ognuno dei due lotti si estraggono in blocco componenti, con i quali si forma un lotto L. Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi contenuti in L, calcolare, per ogni valore possibile x di X, la probabilità px dell evento (X = x). (Nota: indicare con Y (risp., Z) il numero di pezzi difettosi estratti da L (risp., L)). 9 4 [,, ] 40. Fra 8 scatole di componenti elettronici, una contiene pezzi di cui il % sono buoni, mentre le altre 7 contengono in parti uguali pezzi difettosi e pezzi buoni. Si estrae a caso una scatola e da questa si estraggono con restituzione pezzi, che risultano tutti buoni (sia E questo evento). Se H0 è l evento la scatola estratta è quella che contiene il % di pezzi buoni, calcolare P(H0 E) e determinare se E ed H0 sono stocasticamente indipendenti. 4. In un controllo di qualità, si estrae (senza restituzione) un campione di n = 6 pezzi da un lotto che ne contiene N = 0 fra i quali x difettosi. Il lotto viene accettato (sia H questo evento) se nel campione non c e alcun pezzo difettoso: calcolare la probabilità di H nell ipotesi x =. [0.6] 4. Dati due lotti A e B, ciascuno contenente 6 componenti buoni e difettosi, da entrambi si effettuano estrazioni con restituzione, ottenendo X pezzi difettosi fra quelli estratti da A ed Y pezzi difettosi fra quelli estratti da B. Considerato il numero aleatorio discreto Z = X+Y, calcolare la previsione m e la varianza σ di Z; (Si noti che X e Y sono stocasticamente indipendenti). [ ] [ ]

9 [, ] 8 4. Un lotto è costituito da componenti simili, dei quali 0 costruiti da una macchina M e da una macchina M. Ogni componente, prodotto da M o da M, è non difettoso con probabilità 0.8 e gli eventi Ei = l i-esimo componente è difettoso, per i =,...,, sono stocasticamente indipendenti. Indicati con X e Y i numeri aleatori di pezzi difettosi fra quelli prodotti rispettivamente da M e M, calcolare la probabilità dell evento (X + Y = ), il coefficiente di correlazione ρ X+Y,Y dei numeri aleatori (X + Y ) e Y. Determinare inoltre la probabilità dell evento condizionato (X = X + Y = ). [0., 44. Un lotto formato da 8 componenti elettronici, uno dei quali è difettoso, è stato suddiviso a caso in gruppi, A e B, di 4 componenti ciascuno. Dal gruppo A vengono prelevati a caso componenti. Definiti gli eventi E = i componenti prelevati da A sono entrambi non difettosi, H = il componente difettoso sta nel gruppo B, calcolare la probabilità dell evento condizionato H E. 4. Con riferimento a una data estrazione al lotto, si supponga che Tizio abbia giocato i numeri {,,,4,}. Consideriamo gli eventi: A = Tizio fa esattamente un terno oppure esattamente una quaterna; B = i numeri e vengono estratti. Calcolare P(A), P(B), P(A B). [8. 0-4,. 0 -, 0. 0 ] 46. L insieme dei valori possibili di un numero aleatorio discreto X è C = {0,,..., 8}, con h 8 h 8 P(X = h) =, h = 0,,..., 8. h Calcolare: la previsione m di X e la probabilità dell evento (X 6). [0.9974] 47. Tre palline numerate da a vengono inserite a caso in due scatole s, s. Sia X il numero di palline in s e Y il numero di palline con numero dispari in s. Determinare se X ed Y sono stocasticamente indipendenti. Calcolare IP(X), Cov(X, Y ). (Suggerimento: sia Ei l evento la pallina con il numero i viene inserita nella scatola s per i =,, ) [, ] 48. Da un lotto contenente pezzi difettosi e 6 buoni si estraggono in blocco 4 pezzi. Indicando con X il numero aleatorio di pezzi difettosi fra i quattro estratti, calcolare la probabilità α che al massimo uno dei pezzi estratti sia difettoso, supposto che al massimo due dei pezzi estratti siano difettosi. 49. Il numero aleatorio X di telefonate che arrivano ad un centralino tra le 0 e le ha una distribuzione di Poisson di parametro λ. Sapendo che il numero medio di arrivi (nell ora considerata) è pari a 4, calcolare : la previsione di X e la probabilità P(A) dell evento A = arrivano meno di telefonate. Inoltre, sapendo che arrivano almeno telefonate (evento B), calcolare la probabilità che ne arrivano al più (evento C). [0, 0.4, 0.8] 0, ] [ ] [ 8 ] 6

0. Siano X e Y due numeri aleatori stocasticamente indipendenti con distribuzione di Poisson di parametri rispettivamente λ = e λ =. Dimostrare che il numero aleatorio Z = X + Y ha distribuzione di Poisson e calcolarne la previsione di Z. []. Un canale di trasmissione trasmette simboli binari, ognuno dei quali vale con probabilità. Inoltre, quando viene trasmesso 0, la probabilità di ricevere 0 `e pari a, mentre 4 quando viene trasmesso la probabilità di ricevere `e pari a. Sia Ei l evento l i-mo simbolo trasmesso è ricevuto correttamente e si assumano indipendenti gli eventi E,E,.... Calcolare la probabilità p di Ei e la probabilità α che, su 4 simboli trasmessi, siano ricevuti correttamente. Inoltre, supposto che il primo simbolo ricevuto sia, calcolare la probabilità β che sia stato trasmesso 0. (Sugg. Indicare con T0 il simbolo trasmesso è 0, con T il simbolo trasmesso è, con R0 il simbolo ricevuto è 0 e con R il simbolo ricevuto è ) [, ] 8 7. Da uno studio condotto durante la fine della seconda guerra mondiale emerse che il numero aleatorio N di bombe cadute nell area di 0.km a sud di Londra poteva essere approssimato con una distribuzione di Poisson di parametro λ = 0.9. Calcolare la probabilità p 0 che in tale regione non sia caduta nessuna bomba e la probabilità p + che siano cadute o più bombe. Infine, calcolare la previsione di N. [0.94, 0.94,.8]. Dati numeri aleatori X, Y indipendenti e con distribuzione geometrica di parametro p= sia Z = X+Y, calcolare la previsione di Z e P(. Z 4.) [4, 6 7 ] 4. Dati numeri aleatori X, Y, Z indipendenti e con distribuzione geometrica di parametro p. Calcolare la previsione di (X+Y-Z), la probabilità P(. X+Y+Z 4.) e σ UV con U=X+Y e V=X-Y. Funzione di ripartizione [, p ( + q), 0] p c c. dati 4 eventi A, B, C, D, con A B C, CD=Φ, P(D)=0.4, P( A) = P( A B) = P( B C) = p. i) Calcolare l insieme dei valori coerenti di p ii) Considerato il numero aleatorio X = A B + C D, calcolare la previsione di X iii) Assumendo p=0. calcolare la funzione di ripartizione F(x) 0 x < 0.4 x < 0 [ 0 p 0., p 0.4, F(x) = ] 0.8 0 x < x 7

0 x < 0 0 x < 4 6. Data la funzione di ripartizione: F ( x) = x < del numero aleatorio X, determinare 4 x < x il codominio di X e la probabilità dei seguenti eventi: 4 9 E = X, H = X, E H. 4 4 [C X ={0,,,},,, ] 0 4 Distribuzioni continue 7. Un numero aleatorio continuo X ha una densità di probabilità f(x) = a(x ), 0 x, con f(x) = 0 altrove. Calcolare il valore della costante a. 8. La funzione di ripartizione di un numero aleatorio X, continuo e non negativo, è e x per x 0 F(x) = 0 altove Posto Y = X+, calcolare: (i) la previsione di Y ; (ii) la probabilità p dell evento (7 Y 6); (iii) la funzione di sopravvivenza di Y. [ y 4 0, e e, S y = e y Y ( ) ] 0 altrove 9. Il tempo di attesa T (in minuti) di arrivo del primo cliente ad uno sportello è un numero aleatorio con distribuzione esponenziale. Supposto che il tempo medio di attesa sia pari a minuti calcolare la probabilità p che il primo cliente arrivi entro minuto dall apertura. Inoltre, sapendo che nei primi minuti non è arrivato nessun cliente, calcolare la probabilità p che il primo cliente arrivi nei successivi minuti. 60. Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell intervallo,, calcolare: - la densità di probabilità, - la funzione di ripartizione F(x) - confrontare P X e P X 7 6. Un n.a. X ha distribuzione uniforme nell intervallo,, calcolare: la densità di probabilità, la funzione di ripartizione F(x), la previsione IP(X) e la varianza Var(X). [ ] 8

6. La quantità di rifiuti solidi smaltiti da un industria in ciascuna giornata è un n.a. X con x 0 x densità: f ( x) = a( x) < x <. Calcolare il valore della costante a. 0 altrove 6. La densità di probabilità di un n.a. X è data da: Determinare la funzione di ripartizione F(x) x 4 x f ( x) = 6 0 0 x < x 4 altrove 64. Sia X [0,] un n.a. continuo, con densità di probabilità f(x) = ax+ con 0 x. Calcolare: ) la costante a, ) P(X > ) ) la densità di probabilità g(y) del n.a. Y = X per ogni y [0; 4]. x 6. Un n.a. X [ a, + [ ha in tale intervallo una densità f(x) = be. )Calcolare la costante b e la previsione m di X ) calcolare le costanti c e d tali che il n.a. Y = cx + d abbia distribuzione esponenziale di parametro λ = 66. Un sistema S è costituito da dispositivi D e D in parallelo funzionanti simultaneamente. Siano T, T, T i tempi aleatori di durata di D, D ed S rispettivamente. Supposto che T, T siano stocasticamente indipendenti ed ugualmente distribuiti, con distribuzione esponenziale di parametro λ =, calcolare: a. la probabilità pt che il sistema non si guasti in un fissato intervallo [0; t] b. la densità di probabilità f(t) di T per ogni t 0 c. la funzione di sopravvivenza S(t) 67. Il tempo di funzionamento fino al guasto di una data apparecchiatura è un n.a. continuo X x ( + x) e con densità di probabilità f(x) = x 0. Calcolare, per ogni x > 0 la funzione 0 altrove di rischio h(x) di X. 68. Un sistema S è costituito da due dispositivi D e D in parallelo funzionanti simultaneamente (quindi S funziona finchè almeno uno dei due dispositivi funziona). Siano X, Y, Z i tempi aleatori di durata di D, D, S rispettivamente. La densità congiunta di (X, Y ) è f(x; y) = x y 6e per x 0, y 0. Calcolare la probabilità che D si guasti prima di D e, per ogni 0 altrove z 0, la funzione di ripartizione F Z (z) e la funzione di rischio h Z (z) di Z. 69. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m =, σ =. Posto Y = ax + b, con a > 0, determinare i valori di a e b tali che risulti P(Y >.96) = P(Y <.96) 0.0. 9

70. Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale standard, e sia Y = X a. Calcolare il valore di a tale che P(Y ) = Φ0,(). 7. Sia X un numero aleatorio con distribuzione normale di parametri m X = e σ X =.. Posto Y= X +, calcolare la previsione m Y e lo scarto quadratico medio σ Y di Y.Determinare inoltre la covarianza σ XY di X e Y. Vettori aleatori 7. L insieme dei possibili valori di un vettore aleatori discreto (X; Y ) è C = {(0, 0); (0, ); (, ); (, 0); (, )} con P(X = ; Y = ) = p = α, p hk = β per (h, k) (, ). Calcolare l insieme I delle coppie (α, β) coerenti Cov(X, Y ) p = P[(X + Y = ) (X = Y )] 7. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha una densità di probabilità f(x, y) = ( x + y) per (x, y) C = {( x, y) x, y } con f(x, y) = 0 altrove. - Stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. - Determinare le densità marginali condizionate. 74. Dato l insieme C = {(, y) 0 x, - y } x sia f(x, y) = densità congiunta di un vettore aleatorio (X, Y ).. Calcolare la probabilità p dell evento (X + Y 0). Le densità marginali. Stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti x( y + ) 0 per (x, y) C altrove la 0