Introduzione al concetto di limite con Excel Esercizio 1 Si consideri la funzione f x = x2 5x + 6 e se ne studi il comportamento per valori di x prossimi a 3. Analisi dell esercizio Bisogna predisporre il foglio di lavoro in modo tale da riprodurre una tabella nella quale vengono inseriti i valori della variabile indipendente e i corrispondenti valori della variabile dipendente. Dalla loro analisi si dovrà dedurre il comportamento richiesto. Indicazioni operative e richieste 1. Qual è il dominio della funzione data? 2. Cosa puoi dire circa l immagine di 3 tramite la f? 3. Avvia il programma Excel cliccando su START PROGRAMMI 4. Nella cella A1 inserisci il testo: I Limiti con Excel 5. Nella cella A3 inserisci il testo: Studente: 6. Dal menu INSERISCI scegli la voce OGGETTO e dal menu che compare scegli la voce MICROSOFT EQUATION 3.0 7. Scrivi la funzione data 8. Partendo dalla cella A9 organizza una tabella del tipo: f x 9. Nelle celle B9, C9, D9, inserisci i valori della variabile x che siano prossimi a 3. (Si consiglia di partire da 3 1 10, 3 1 100, fino a 3 1 10000 e saltare a 3 + 1 10, 3 + 1 100, fino a 3 + 1 10000 ) 10. Così facendo ti stai avvicinando al valore x = 3 sia per difetto che per eccesso. 11. Posizionati nella cella B10 e digita il comando: =(B9^2-5*B9+6)/(B9-3)
12. Dopo aver cliccato su INVIO, trascina il valore ottenuto nella cella a tutte le altre celle. Otterrai una tabella del tipo: f(x) 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,1 1,01 1,001 1,0001 13. Cosa noti? 14. Seleziona i dati e costruisci un diagramma a dispersione. Otterrai un grafico come il seguente: 1,5 f(x) 1 0,5 f(x) 0 2,85 2,9 2,95 3 3,05 3,1 3,15 Cosa noti? 15. Come avrai capito, quando il valore della variabile indipendente si avvicina a 3, la variabile dipendente assume dei valori sempre più prossimi a 1. Ciò viene formalizzando scrivendo: lim f x = 1 x 3 e si legge: il limite per x che tende a 3 di f(x) è uguale a 1.
Che cosa vuol dire esattamente questa espressione? 16. Se si rappresentano su una retta i punti corrispondenti a f x e il punto 1, è possibile notare che all approssimarsi di x a 3, diminuisce la distanza tra i valori di f x e 1. 17. Considera di nuovo la tabella in cui hai rappresentato x ed f x e aggiungi una nuova riga in cui calcolerai i valori f x 1, ovvero le distanze di f x da 1. f(x) 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,1 1,01 1,001 1,0001 f(x)-1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,1 0,01 0,001 0,0001 18. Considera adesso la funzione g x = x 2 + 1 e si faccia tendere x a 3. 19. Costruisci la stessa tabella di sopra. Otterrai: g(x) 9,41 9,9401 9,994001 9,9994 10,61 10,0601 10,006 10,0006 g(x)-1 8,41 8,9401 8,994001 8,9994 9,61 9,0601 9,006001 9,0006 20. Cosa noti? 21. Anche in questo caso i valori g x 1 diminuiscono per x 3, ma g x non tende a 1. 22. Analizzando la seconda riga della tabella precedente, completa il limite: lim g x = x 3 23. Qual è, secondo te, la differenza tra i valori f x 1 e g x 1? 24. Osserva che la distanza di f x da 1, per x 3, può essere resa minore di un qualunque numero positivo prefissato (a patto di scegliere valori di x abbastanza vicini a 3), ovvero può essere resa piccola a piacere. Lo stesso non si può dire della distanza di g x da 1.
25. Come applicazione di quanto detto, calcola per quali valori della variabile indipendente la distanza di f x da 1 è minore di 0,001. Per fare ciò devi risolvere la disequazione: x 2 5x + 6 1 < 0,001 26. Hai ottenuto come intervallo di soluzioni un intorno del punto 3? 27. Generalizzando avremo che: fissato un numero ε > 0, arbitrariamente piccolo, la distanza di f x da 1 risulterà minore di ε per ogni valore della x 3 che appartiene ad un intorno del punto 3, la cui ampiezza è dipendente da ε. Quindi, partendo dalla disequazione f x 1 < ε, bisogna dimostrare che le sue soluzioni costituiscono un intorno di 3. 28. Effettuando i passaggi si ha: x 2 5x + 6 x 2 5x + 6 x + 3 f x 1 < ε 1 < ε < ε x 2 6x + 9 2 < ε < ε < ε x 3 ε < < ε 3 ε < x < 3 + ε La disuguaglianza f x 1 < ε è quindi soddisfatta da tutti i valori di x 3 ε, 3 + ε, che costituisce un intorno di 3 di ampiezza 2ε. 29. Formalizzando quanto detto finora si avrà le seguente definizione: Definizione: Sia f x una funzione definita in un intorno I x 0, escluso al più x 0 e a valori in R. Diremo che, per x tendente a x 0, la funzione y = f x ha per limite l e si scrive: lim x x 0 f x = l se, comunque si scelga un numero ε > 0, arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza di esso, un intorno completo di x 0 tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più x = x 0 ), si abbia: f x l < ε Osservazione: In simboli avremo: lim x x 0 f x = l ε > 0 I x 0 : x I x 0 domf x 0 f x l < ε Tale definizione ha un significato geometrico rappresentato nella seguente figura. Osservazione: La definizione in simboli si presenta come segue: x x0 lim f x l 0 I x : x I x x f x l 0 0 0 Il significato geometrico della definizione è illustrato nel seguente grafico.
Scelto ε > 0, si considera l intorno del limite I l = l ε, l + ε e si considerano le controimmagini degli estremo l ε ed l + ε. Se tali controimmagini individuano un intorno di x 0, il limite è verificato, in caso contrario non lo è. Osservazioni: 1. Si noti che la disequazione f x l < ε equivale a l ε < f x < l + ε. Perciò se lim x x0 f x = l allora è possibile determinare, in corrispondenza di un qualunque ε > 0, un intorno di x 0 tale che, per tutti gli x di tale intorno, eccetto al più x = x 0, il valore di f x cada nell intervallo l ε, l + ε. 2. Per verificare la correttezza del lim x x0 f x = l si dovrà quindi risolvere la disequazione f x l < ε; se l insieme delle soluzioni così determinato è un intorno di x 0 oppure contiene un intorno completo di x 0 (con l esclusione, al più, di x 0 stesso), il limite è verificato. 3. La definizione di limite non tiene conto dell eventuale valore di f x per x = x 0 : esso può esistere o non esistere, perciò, nella risoluzione della disequazione f x l < ε, è sempre possibile supporre x x 0.
Esercizio 2 Costruisci con Excel una tabella che riporti i valori della funzione f x = x2 + x 2 x 1 per valori della variabile indipendente che si approssimano a 1. a) Quale presumi che sia il valore del lim x 1 x 2 +x 2 x 1? b) Calcola i valori delle distanze di f x da 1. c) Per quali valori della variabile indipendente la distanza di f x da 1 è 0,01? d) Verifica tale limite. Esercizio 3 Costruisci con Excel una tabella che riporti i valori della funzione f x = x 2 x + 1 per valori della variabile indipendente che si approssimano a 2. x 2 a) Quale presumi che sia il valore del lim x 2? x+1 b) Esiste un modo per calcolare il limite senza dover costruire la tabella? c) Calcola i valori delle distanze di f x da 2. d) Per quali valori della variabile indipendente la distanza di f x da 1 è 0,1? e) Verifica tale limite. Suggerimenti per la risoluzione del punto e) Per definizione di limite si ha che: x 2 lim x 2 x + 1 = 0 ε > 0 I 2 : x I 2 domf 2 x 2 x + 1 0 < ε Quindi bisogna risolvere la disequazione: che equivale a risolvere il sistema: ε < x 2 x + 1 < ε x 2 x + 1 > ε x 2 x + 1 < ε