TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE

TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE Errore di misura è la differenza fra l indicazione fornita dallo strumento e la dimensione vera della grandezza. Supponendo che la grandezza vera sia G = 12,56 [mm] e che il valore di lettura sia L = 12,59 [mm], si distinguono: TIPO DI ERRORE DEFINIZIONE FORMULA ESEMPIO ERRORE ASSOLUTO è la differenza tra la lettura L ed il valore effettivo G della grandezza E a = L G E a = 12,59 12,56 = 0,03 [mm] ERRORE ASSOLUTO MEDIO ERRORE RELATIVO ERRORE PERCENTUALE Cause di errore Si distinguono: 1) Errori derivanti dallo strumento È la differenza tra il valore medio di molte letture L m ed il valore effettivo G è il rapporto tra l errore assoluto E a ed il valore effettivo G della grandezza è l errore relativo moltiplicato per 100 - dovuti a difetti di costruzione - dovuti a modifiche strutturali del materiale 2) Errori dipendenti dall ambiente E am = L m G E r = E a /G E r = 0,03/12,56 = 0,0024 E%=E r 100 E%=0,0024 100 = 0,24% Le misure devono essere effettuate alla Temperatura ambiente (20 ). Qualora questo non sia possibile, è necessario ricondurre il valore misurato alla Temperatura di laboratorio. Si può utilizzare la seguente formula: L 20 = L T / (1 + α T) Esempio: Temperatura dell ambiente = 40 C Coefficiente di dilatazione lineare dell acciaio α = 0,000012 Valore di lettura a 40 gradi = 15,02 [mm] L 20 = 15,02 / (1 + 0,000012 20) = 15,016 [mm] Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 1

3) Errori dipendenti dall operatore - dovuti ad eccessiva pressione di serraggio - di parallasse (punto di vista non perpendicolare alla tacca di misurazione). Tipi di errore Gli errori di misura possono essere classificati in due categorie: 1. ERRORI ACCIDENTALI Sono quelli dovuti a cause esterne al procedimento di misurazione (per esempio alle vibrazioni del piano su cui si effettua la misurazione). Sono provocati da cause occasionali, non prevedibili e agenti di volta in volta con diversa entità e segno. 2. ERRORI SISTEMATICI Sono legati al procedimento di misurazione (campioni impiegati, stato del misurando, temperatura dell ambiente, errore dello strumento, abilità dell operatore). Sono provocati di volta in volta sempre dalla stessa causa e sono di valore e segno costanti. Valutazione dell incertezza di misura Il concetto di incertezza di misura nasce dal fatto che, per un dato misurando e per un dato risultato della sua misurazione, non ci può essere un solo valore ma una serie infinita di valori, disposti intorno al valor medio del risultato, tutti o quasi tutti accettabili. Per l accettabilità dei risultati risulta fondamentale conoscere l intervallo di valori che può assumere il valore numerico stimato. L incertezza deve essere stimata e comunicata sempre. Sono due le modalità di valutazione dell incertezza: valutazione di tipo A e valutazione di tipo B. Il metodo di valutazione di categoria A dell incertezza si basa sull analisi statistica di una serie di osservazioni ripetute. In questo caso l incertezza è rappresentata dallo scarto tipo sperimentale della media delle osservazioni ottenuta con la media aritmetica o con una analisi di regressione. La valutazione delle incertezze di categoria B non è basata su analisi statistiche relative ad osservazioni, ma su un altro insieme di informazioni tra cui: Dati di misure precedentemente raccolti; Esperienza o conoscenza del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse; Specifiche tecniche del costruttore; Dati di certificati di taratura o di altra documentazione; Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 2

Incertezze assegnate a valori di riferimento presi dai manuali; Influenza dei parametri in sede di taratura. In questa sede è considerata solo la valutazione dell incertezza di tipo A. Sorgenti di incertezza possono essere vari elementi che interagiscono durante il processo di misurazione: la temperatura, l umidità dell ambiente, disturbi elettromagnetici, deformazioni strutturali, oscillazioni degli equipaggi mobili, rumori associati alla trasmissione dei segnali durante il processo di misurazione Sono vari i modi per esprimere l incertezza. Vediamoli di seguito. SCARTO, SEMIDISPERSIONE, SCARTO MEDIO, SCARTO QUADRATICO MEDIO E SCARTO TIPO DI RIPETIBILITÀ Lo SCARTO rispetto alla media è la differenza tra la generica misura (lettura L i ) e la misura media L m : S 1 = L 1 - L m S 2 = L 2 - L m S 3 = L 3 - L m. Gli scarti (scostamenti) delle singole letture rispetto al valore più attendibile (valore medio), sono in parte positivi ed in parte negativi. Esempio: Siano stati rilevati, col micrometro centesimale, i valori di lettura riportati nella seguente tabella: Numero misurazioni Misura (mm) d 1 23,22 d 2 23,26 d 3 23,27 d 4 23,31 d 5 23,34 d 6 23,34 d 7 23,35 d 8 23,45 d 9 23,49 d 10 23,50 Il valore medio L m risulta: L m = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L n / n L m = 23,22 + 23,26 + 23,27 + 23,31 + 23,34 + 23,34 + 23,35 + 23,45 + 23,49 + 23,50 / 10 = 23,35 mm Gli scarti rispetto alla media sono: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 3

S 1 = 23,22-23,35 = - 0,13 mm S 2 = 23,26-23,35 = - 0,09 mm S 3 = 23,27-23,35 = - 0,08 mm S 4 = 23,31-23,35 = - 0,04 mm S 5 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 6 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 7 = 23,35-23,35 = 0,00 mm S 8 = 23,45-23,35 = 0,10 mm S 9 = 23,49-23,35 = 0,14 mm S 10 = 23,50-23,35 = 0,15 mm Come si può notare, gli scarti sono in parte positivi ed in parte negativi. Quando si effettuano numerose misurazioni, non è detto che tutte siano attendibili. Il campo di attendibilità delle misure può essere determinato in vario modo. Vediamo di seguito il metodo della semidispersione, dello scarto medio (o errore medio) e dello scarto quadratico medio. 1) La SEMIDISPERSIONE è la metà della differenza tra il valore di lettura massimo rilevato L Max ed il valore di lettura minimo L min : δ = ½ L Max - L min Il campo delimitato dal valore ± δ rappresenta l intervallo entro cui le misurazioni si possono ritenere valide. Esempio: Siano stati rilevati, col micrometro centesimale, i valori di lettura riportati nella seguente tabella: Numero misurazioni Misura (mm) d 1 23,22 d 2 23,26 d 3 23,27 d 4 23,31 d 5 23,34 d 6 23,34 d 7 23,35 d 8 23,45 d 9 23,49 d 10 23,50 Calcolo della Semidispersione: δ = ½ L Max - L min = 1/2 23,50-23,22 = 0,14 mm Il valore medio è dato da: L m = 23,35 mm Si determina il Limite superiore del campo di attendibilità: L sup = L m + δ = 23,35 + 0,14 = 23,49 mm ed il Limite inferiore: L inf = L m - δ = 23,35-0,14 = 23,21 mm Con i valori ricavati si può costruire il grafico seguente: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 4

23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 23,2 23,15 + δ - δ L sup L m L inf 0 2 4 6 8 10 12 Come si può notare dal grafico, tutti i valori misurati rientrano nei limiti e quindi sono da ritenere tutti validi. 2) Lo SCARTO MEDIO (o errore medio) è la somma degli scarti diviso il numero di letture effettuato: E m = L 1 - L m + L 2 - L m + L 3 - L m + L 4 - L m + + L n - L m n Sempre con riferimento ai valori prima riportati in tabella, si può calcolare lo scarto medio. Dapprima si ricavano i singoli valori degli scarti rispetto alla media: S 1 = 23,22-23,35 = - 0,13 mm S 2 = 23,26-23,35 = - 0,09 mm S 3 = 23,27-23,35 = - 0,08 mm S 4 = 23,31-23,35 = - 0,04 mm S 5 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 6 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 7 = 23,35-23,35 = 0,00 mm S 8 = 23,45-23,35 = 0,10 mm S 9 = 23,49-23,35 = 0,14 mm S 10 = 23,50-23,35 = 0,15 mm Risulta: E m = S 1 + S 2 + S 3 + S 10 = 0,75 / 10 = 0,075 10 Per cui i Limiti superiore ed inferiore del campo di attendibilità risultano: L sup = L m + E m = 23,35 + 0,075 = 23,425 mm L inf = L m E m = 23,35 0,075 = 23,275 mm Il grafico risulta il seguente: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 5

23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 23,2 + σ - σ L sup L m L inf 0 2 4 6 8 10 12 Dal confronto col precedente, questo grafico fornisce un campo di errore più limitato. Alcune misurazioni (5), fuori dai limiti definiti, non possono essere ritenute valide. 3) Lo SCARTO QUADRATICO MEDIO è dato dalla radice quadrata della somma degli scarti diviso il numero n di letture effettuato moltiplicato per (n 1): σ = ± S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 + S n 2 n (n 1) Considerando i valori di misura prima riportati, si ha: σ = ± 0,03 mm Si determina così il Limite superiore del campo di attendibilità: L sup = L m + σ = 23,35 + 0,03 = 23,38 mm ed il Limite inferiore: L inf = L m - σ = 23,35-0,03 = 23,32 mm Con i valori prima riportati, il grafico assume la forma seguente: Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 6

23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 L sup + σ - σ L inf L m 23,2 0 2 4 6 8 10 12 Lo Scarto quadratico medio è il metodo che fornisce il campo di attendibilità più ristretto, cioè il campo di errore più limitato. Molte misurazioni (8), fuori dai limiti definiti, non possono essere ritenute valide. La norma UNI 4546 prevede anche lo scarto tipo di ripetibilità o deviazione standard, come media quadratica degli scarti di n misure x i della stessa grandezza, ottenute nelle medesime condizioni ed in brevi intervalli di tempo, e il loro valore medio: Curva normale o di Gauss σ R = ± S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 + S n 2 (n 1) Supponendo di eseguire un controllo di una caratteristica (es.: diametro) di 150 pezzi, si può rappresentare in un diagramma quante volte la stessa quota compare sui 150 elementi esaminati. Si ottiene così una distribuzione di frequenza come quella di figura, rappresentabile con dei trattini verticali (ad ogni trattino corrisponde una misurazione, il trattino inclinato è la quinta misurazione e così si ha facilità di lettura), o mediante un istogramma (costituito da colonne con base corrispondente all intervallo di quota, che è detta classe, per esempio 0,01 mm, ed altezza proporzionale al numero di misure rilevate entro lo stesso intervallo di quota. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 7

Si può constatare che le misure sono sparse entro un campo più o meno ristretto e che sono distribuite in questo campo con una certa regola che può essere espressa nel modo seguente: - Concentrazione dei valori intorno ad una quota centrale; - Diluizione dei valori in vicinanza dei bordi del campo; - Simmetria nella distribuzione dei valori. Queste tre caratteristiche sono proprie di una distribuzione rappresentata da una curva chiamata Curva normale o Curva di Gauss. Infatti, se tracciamo la tangente alle colonne dell istogramma si ottiene una curva a campana. La distribuzione gaussiana è caratteristica di tutti i fenomeni le cui variazioni sono dovute al sovrapporsi casuale di numerose piccole cause accidentali di variazione, ciascuna delle quali agisce indipendentemente dalle altre e con effetto molto piccolo in rapporto alla somma di tutti gli effetti. Per una macchina utensile, tali cause accidentali possono essere: - giochi sugli elementi mobili - eccentricità di parti rotanti - usura di un utensile - allentamento di un perno - irregolarità nella materia prima -.. I difetti suddetti possono determinare errori nei pezzi lavorati, con distribuzione di frequenza simile a quella sopra descritta. La corrispondente Curva di frequenza presenta la forma a campana simmetrica e si estende tra - e + ; l area compresa tra la curva e l asse delle ascisse rappresenta la totalità delle osservazioni. La Teoria degli errori afferma che gli scarti sono rappresentabili secondo una curva a campana o di Gauss. Con riferimento alle grandezze fisiche misurate, ponendo gli scarti in ascissa e le probabilità in ordinata, si ottiene l andamento sotto riportato. La curva è simmetrica rispetto all asse delle y. Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 8

Ciascun punto della curva rappresenta la probabilità che una certa misurazione si verifichi (ponendo in ordinata la probabilità ed in ascissa il valore della misurazione). In effetti il valore che ha la maggior probabilità che si verifichi è il valor medio delle misurazioni (linea centrale del grafico). L area limitata dalla curva, dall asse delle ascisse e da due parallele all asse delle ordinate, rappresenta la probabilità che una certa osservazione sia contenuta nel corrispondente intervallo. In particolare si ha: da σ a + σ = 68,3 % delle osservazioni da 2σ a + 2σ = 95,5 % delle osservazioni da 3σ a + 3σ = 99,7 % delle osservazioni dove σ è lo scarto quadratico medio. Se X è la Media di n valori X 1, X 2, X 3. X n, il valore dello scarto quadratico medio dei singoli valori rispetto alla loro media è dato da: σ = ( X 1 X) 2 + ( X 1 X) 2 + ( X 3 X) 2 +. ( X n X) 2 / n (n 1) Tecnologie mecc. di proc. e prod. - Appunti dalle lezioni del prof. Di Cara Nicola ITIS Galilei - Conegliano 9