TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI 2
Direttore Beatrice VENTURI Università degli Studi di Cagliari Comitato scientifico Umberto NERI University of Maryland Russel Allan JOHNSON Università degli Studi di Firenze Gian Italo BISCHI Università degli Studi di Urbino Giuseppe ARCA Università degli Studi di Cagliari
TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura. P Questa collana nasce dall esigenza di offrire al lettore dei trattati che aiutino la comprensione e l approfondimento dei concetti matematici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà di Scienze economiche, finanziarie e aziendali.
Clara Viola La matematica degli economisti Prefazione di Bruno Barigelli
Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-7061-1 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 2014
Indice 9 Prefazione Parte I Algebra lineare 13 Capitolo I Matrici 39 Capitolo II Equazione caratteristica. Autovalori e autovettori. Forme quadratiche 49 Capitolo III Sistemi lineari 53 Capitolo IV Metodi di calcolo Parte II Le differenze finite e l elasticità di una funzione 73 Capitolo I Le differenze finite 83 Capitolo II Le equazioni alle differenze finite 117 Capitolo III Sistemi di equazioni alle differenze finite 7
8 Indice 129 Capitolo IV Equazioni alle differenze finite ed equazioni differenziali 135 Capitolo V Elasticità di una funzione 163 Capitolo I Funzioni omogenee Parte III Complementi di analisi 167 Capitolo II Curve di livello (o di indifferenza) 169 Bibliografia
Prefazione Attualmente lo Stato italiano si trova in cattive acque ed è per facilitare gli studiosi di Economia che l autrice si è accinta a scrivere questo libro. In generale, i testi di matematica per economisti trattano l analisi dalla A alla Z. Frequentando, nella Facoltà di Economia di Ancona, i colleghi economisti, l autrice si è convinta (e lo sono pure io) che essi conoscano abbastanza bene le basi dell Analisi (che vengono affrontati in tutti i corsi di Matematica generale) e necessitano principalmente di quelli specifici per i loro interessi. Questo, quindi, deve essere un libro di consultazione : è interessante anche il fatto che si sia dato parecchio spazio ai problemi nell ambito del discreto come avviene nello studio delle matrici e delle differenze finite anche confrontate con i casi continui a cui l autrice ha dedicato ampio spazio. Il testo è corredato di molti esempi ed esercizi che aiutano la comprensione dei concetti e dei teoremi (che, per chi non è uno studioso di matematica, non sono sempre facili). Il fatto di non aver riportato esempi di natura economica credo sia voluto, per lasciare ai competenti questo compito. La bibliografia è divisa in argomenti e quindi più facilmente consultabile; è ampia e contiene, prevalentemente, testi classici, molti dei quali sono di economia e quindi utili per le applicazioni che costituiscono il maggiore interesse per gli economisti. Bruno BARIGELLI 9
PARTE I ALGEBRA LINEARE
Capitolo I Matrici 1.1. Definizione di matrice Matrice ad m righe ed n colonne è un ente definito mediante mn numeri (reali o complessi) scritti sotto forma di una tabella rettangolare se m n, quadrata se m =n: a 11... a 1n......... a m1... a mn Se m = n, n prende il nome di ordine della matrice. Quando m = 1, la matrice prende il nome di vettore riga ad n componenti; se n = 1 la matrice prende il nome di vettore colonna ad m componenti. Una matrice mn può essere considerata una m-pla ordinata di vettori riga ad n componenti o una n-pla ordinata di vettori colonna ad m componenti. In generale, indicheremo una matrice con le seguenti notazioni: A mn oppure [a ij ] : i = 1,2,..., n ; j = 1,2,..., m, o, più genericamente, A, quando non interessa il numero di righe e/o di colonne. Indicheremo invece i vettori con la lettera in grassetto: v. Se la matrice è quadrata, gli elementi a ii si dicono elementi principali (o diagonali) e il loro insieme si dirà diagonale principale; l insieme degli elementi a i,n+1 i costituisce la diagonale secondaria; a rs e a sr si dicono elementi coniugati. Esempi 1) 2 1 0 è una matrice con due righe e tre colonne; 3 1 1 13
14 La matematica degli economisti 2) 5 2 4 1 3 2 1 4 0 è una matrice quadrata di ordine 3. Gli elementi 5, -3, 0 sono gli elementi principali ed il loro insieme è la diagonale principale; gli elementi 4, -3, -1 formano la diagonale secondaria. Le coppie di elementi {1, 2 }, {-1, 4}, {-4, -2} sono gli elementi coniugati. 1.2. Matrici particolari Matrice nulla. Matrice con tutti gli elementi nulli. Matrice triangolare. Matrice quadrata in cui tutti gli elementi a destra (a sinistra) della diagonale principale, cioè tutti gli a ij con i > j (i < j), sono nulli. La matrice si dice più propriamente bassa o inferiore (alta o superiore). Matrice simmetrica rispetto alla diagonale principale. Matrice quadrata nella quale gli elementi coniugati sono uguali: a ij = a ji. Matrice diagonale. Matrice quadrata nella quale a ij = 0 se i j e a ii = λ i con i λ i non tutti nulli. Se i λ i sono tutti uguali (λ i = λ =costante) la matrice si dice scalare. Una matrice scalare in cui λ i = 1 si dice matrice unità. Esistono infinite matrici unità, a seconda dell ordine della matrice. Una matrice diagonale è ovviamente simmetrica. Esempio 3) Le seguenti matrici: 2 0 0 1 1 0 2 0 0 a) 1 4 0 b) 1 2 4 c) 0 1 0 3 1 0 0 4 3 0 0 5
3 0 0 1 0 0 d) 0 3 0 e) 0 1 0 0 0 3 0 0 1 I. Matrici 15 sono rispettivamente: a) triangolare, b) simmetrica, c) diagonale, d) scalare, e) unità. 1.3. Matrici associate ad una matrice data. Matrice opposta di una matrice A: è la matrice i cui elementi sono gli opposti di quelli della matrice data ; si indica con A. Matrice trasposta di una matrice A: è la matrice che si ottiene scambiando i vettori riga con i vettori colonna ; si indica con A. Si osservi che: a) la trasposta della trasposta è la matrice data; b) una matrice simmetrica coincide con la sua trasposta. Esempi 4) Data la matrice le matrici e 1 2 3 4, 5 1 1 2 A = 3 4 5 1 1 3 5 A 2 4 1 sono rispettivamente l opposta e la trasposta.
16 La matematica degli economisti 1.4. Uguaglianza di matrici ed operazioni Matrici uguali: sono due matrici A e B in cui a ij = b ij per ogni coppia di i e j. Somma o differenza di due matrici A e B. La somma o differenza tra due matrici si può eseguire solo se esse hanno lo stesso numero di righe e di colonne. La somma o differenza A ± B è una matrice i cui elementi sono a ij ± b ij. La somma gode delle proprietà commutativa ed associativa. Esempio 5) Siano 2 0 1 A = 1 3 3 e 4 2 1 B = 5 1 3 due matrici. La loro somma sarà: 2 + 4 0 + 2 1 + 1 A + B = = 1 + 5 3 + 1 3 + 3 2 2 2. 4 4 0 Prodotto del vettore riga x per il vettore colonna y, entrambi ad n componenti, n è il numero a = x i y i. i=1 Prodotto del vettore colonna x per il vettore riga y, entrambi ad n componenti è la matrice A quadrata di ordine n i cui elementi sono a ij = x i y j, con i, j = 1,2,..., n. Esempio 6) Siano dati i due vettori: x = 1 2 3, 2 y = 1 1
I. Matrici 17 Si avrà: x y = 1 2 + 2 ( 1) + ( 3) 1 = 2 2 3 = 3 ; 2 4 6 y x = 1 2 3 1 2 3 Prodotto di una matrice A m,n per un vettore colonna x n,1 è il vettore colonna n b m,1 i cui elementi sono b i = a ij x j (i = 1,2,...,m). j=1 Si noti che un sistema di equazioni lineari di m equazioni ad n incognite (vedi capitolo III): a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2...................... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m si può scrivere in forma matriciale Ax = b, con: Esempi a 11 a 12... a 1n x 1 b 1 a A = 21 a 22... a 2n......, x = x 2..., b = b 2... a m1 a m2... a mn x n b m 7) Il prodotto tra la matrice A = 1 x = è: 2 Ax = 3 1 ed il vettore 7 2 3.1 + 1.2 5 = 7.1 + ( 2.2) 3
18 La matematica degli economisti 8) Il sistema 2x y + z = 4 x + y 3z = 1 può essere scritto nella seguente forma matriciale: x 2 1 1 4 1 1 3 y =. 1 z Prodotto di un vettore riga y 1,m per una matrice A m,n è il vettore riga c 1,n i m cui elementi sono: c i = y i a ij (i = 1,2,...,n). Esempio i=1 9) Il prodotto tra il vettore y = 1 2 1 e la matrice A = 1 2 0 1 sarà: 3 1 y A = 1 2 1 1 2 0 1 3 1 = 1 1 + 2 0 1 3 1 ( 2) + 2 1 1 1 = 2 1. Prodotto di due matrici. Per effettuare il prodotto di due matrici è necessario e sufficiente che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B (in questo caso si dirà che le due matrici sono conformabili), quindi esse dovranno essere del tipo A mn e B np. Il prodotto sarà una matrice C mp ed i suoi elementi saranno c ij = n a ik b kj, k=1 i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,p.
I. Matrici 19 Il prodotto, come si desume dalla definizione, non gode della proprietà commutativa: se A mn B np = C mp con m p, B np A mn non si può eseguire. Se A mn B nm = C mm (con m n) risulta B nm A mn = D nn C mm. Se A mm B mm = C mm risulta B mm A mm = D mm C mm (salvo casi particolari). Quando si moltiplica una matrice per un altra è opportuno dire se il prodotto è a destra o a sinistra. Data la matrice A, moltiplicando per B a destra si ha AB, moltiplicando a sinistra si ha BA. Esempio 10) Date le matrici A = 3 1 2, B = 1 0 1 1 0 1 0 4 2 1 1, C = 2 1, 1 1 0 1 3 volendo eseguire i prodotti AB, AC, BA, CA si può notare che i prodotti AB, AC, CA sono possibili mentre BA no: 1 0 1 3 1 2 A B = 1 0 1 2 1 1 1 1 0 3 1 + 1 2 + 2 1 3 0 + 1 ( 1) + 2 1 3 1 + 1 ( 1) + 2 0 = 1 1 + 0 2 1 1 1 0 + 0 ( 1) 1 1 1 1 + 0 ( 1) 1 0 7 1 2 = 0 1 1 0 4 3 1 2 A C = 1 0 1 2 1 1 3 3 0 + 1 ( 2) + 2 1 3 4 + 1 1 + 2 3 = 1 0 + 0 ( 2) 1 1 1 4 + 0 1 1 3 0 19 = 1 1
20 La matematica degli economisti 0 4 3 1 2 C A = 2 1 1 0 1 1 3 0.3 + 4.1 0.1 + 4.0 0.2 + 4.( 1) = 2.3 + 1.1 2.1 + 1.0 2.2 + 1.( 1) 1.3 + 3.1 1.1 + 3.0 1.2 + 3.( 1) 4 0 4 = 5 2 5 6 1 1 Come si vede, i prodotti AC e CA sono diversi. Prodotto di una matrice per uno scalare: è la matrice che si ottiene moltiplicando ogni elemento della matrice data per lo scalare. Se A = [a i,j ] sarà ka = [ka i,j ]. Dalla definizione di prodotto tra matrici segue che, detta D una matrice scalare con d i,i = k, si avrà: D mm A mn = A mn D nn = ka. La matrice D si comporta quindi come uno scalare; è quindi giustificato il nome che le è stato dato. Proprietà della matrice unità. Il prodotto di una matrice per la matrice unità lascia inalterata la matrice stessa: A mn I nn = I mm A mn = A mn Si noti che, a seconda che la matrice unità sia a destra o a sinistra della matrice A, essa cambia ordine. Esempio 11) Sia data la matrice 1 3 A = 2 2 1 0
I. Matrici 21 Moltiplicando la matrice A per la matrice unità sia a destra che a sinistra si avrà 1 3 1 3 1 0 AI = 2 2 = 0 1 2 2 1 0 1 0 1 0 0 1 3 1 3 IA = 0 1 0 2 2 = 2 2 0 0 1 1 0 1 0 Si noti che nella prima moltiplicazione abbiamo usato una matrice unità 2 2 mentre nella seconda una matrice 3 3. Matrice inversa. La matrice inversa A 1 di una matrice A ove esista è quella matrice che, moltiplicata a destra o a sinistra per A, dà come risultato la matrice unità: AA 1 = A 1 A = I. La matrice inversa, se esiste, è unica. Esempio 12) Sia data la matrice A = 3 1. Si ha: 5 2 AA 1 2 1 = 5 3 3 1 = 5 2 2 1. La sua inversa sarà A 5 3 1 = 3 1 = A 5 2 1 A = 2 1 1 0 =. 5 3 0 1 Dalle ultime uguaglianze tenendo presente la regola del prodotto tra matrici si deduce che condizione necessaria (ma non sufficiente) perchè esista la matrice inversa è che la matrice A sia quadrata; la matrice inversa se esiste sarà anche essa quadrata e dello stesso ordine di A.