FISICA APPLICATA 2 FENOMENI ONDULATORI - 1 DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (onde1.pdf) è scaricabile dal sito http://www.ge.infn.it/ calvini/tsrm/ 08/10/2012
FENOMENI ONDULATORI Una classe di fenomeni fisici estremamente importanti è caratterizzata dalla propagazione ondulatoria di una grandezza fisica. Tra gli esempi più semplici da presentare abbiamo le onde elastiche in una corda tesa (o in una sbarra rigida) e le onde di compressione e rarefazione che costituiscono il suono. In generale si definisce onda una qualsiasi perturbazione, impulsiva o periodica, che si propaga in un mezzo con una velocità ben definita. L onda ha origine da una sorgente, trasporta energia e può essere rilevata da un sensore. 2
Esistono grandezze fisiche scalari e grandezze fisiche di tipo vettoriale. In corrispondenza esistono onde scalari, quando la grandezza fisica interessata dal fenomeno ondulatorio è scalare e onde vettoriali, quando è in gioco una grandezza vettoriale. Per semplicità si presenteranno esempi di onde scalari, senza con questo perdere in generalità, poiché un vettore è assegnato mediante la sue componenti [V = (V x, V y, V z )] e, quindi, quanto si dirà per un onda scalare risulterà pure applicabile alle singole componenti di un onda vettoriale. 3
Una grandezza fisica scalare a dà origine ad un fenomeno ondulatorio (si dice che si propaga come un onda) quando varia nello spazio ed evolve nel tempo nella seguente maniera: se il profilo spaziale per a all istante t = 0 è dato da a(x, 0) = f(x), (1) la sua evoluzione temporale sarà data da a(x, t) = f(x c t), (2) dove c è la velocità di propagazione dell onda. Per semplicità si è considerata una situazione unidimensionale (1D, spazio = asse x). Quando nella (2) si usa il segno, l onda si propaga nella direzione positiva dell asse x mentre con la scelta del + l onda viaggia nella direzione negativa. 4
In ogni caso, indipendentemente dalla scelta del segno, la propagazione ondulatoria quale viene assegnata dalla (2) è caratterizzata dalla traslazione rigida a velocità costante c del profilo geometrico dato dalla (1). Risulta facile mostrare questo fatto se si sceglie per a un andamento di tipo impulsivo, cioè abbastanza localizzato nello spazio. Si consideri ad esempio la funzione f(x) data da f(x) = x 4 + x 4 [= a(x, 0)], (3) la quale risulta apprezzabilmente diversa da zero nell intervallo [ 10 x 10]. Il suo grafico è mostrato nella slide successiva. 5
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La propagazione ondulatoria richiesta dalla (2) e applicata all esempio (3) dà, se si sceglie il e si prende c t = 30, la seguente funzione f(x 30) = x 30 4 + (x 30) 4 [= a(x, 30 )], (4) c la quale non è altro che la funzione (3) traslata di 30 unità nella direzione positiva dell asse x. Nella slide successiva viene mostrata la sovrapposizione degli andamenti di a al tempo t = 0 ed al tempo t = 30 c. Si può pensare a due istantanee di a scattate a istanti diversi (punto di vista del fotografo). 7
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PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Le condizioni affinché per una grandezza fisica a si abbia propagazione ondulatoria non fissano l espressione per il profilo spaziale f(x) della (1), ma semplicemente richiedono che la completa dipendenza spazio-temporale sia data dalla (2), dove il valore di c dipende dalla natura di a e dall ambiente fisico in cui a si propaga. Pertanto, se a 1 (x, t) e a 2 (x, t) rappresentano due onde per a in quanto obbediscono alla (2), allora anche la loro somma a s (x, t) = a 1 (x, t) + a 2 (x, t) (5) rappresenta un altra possibile modalità di propagazione ondulatoria per la grandezza fisica in gioco. 9
ONDE SINUSOIDALI O ARMONICHE Di fronte a questa indeterminatezza, che permette infinite possibilità, risulta utile introdurre una classe di funzioni in grado di descrivere tutti i possibili profili. Allo scopo vengono introdotte le cosiddette onde sinusoidali dette anche onde armoniche (o anche monocromatiche). Un onda sinusoidale propagantesi nel verso positivo dell asse x è data da a(x, t) = a cos [ 2π λ ] (x c t) + φ (6) dove a è l ampiezza dell onda, λ rappresenta una lunghezza caratteristica dell onda armonica, detta lunghezza d onda, e infine φ indica la fase addizionale. 10
L argomento della funzione coseno (ossia la quantità tra le parentesi quadre) rappresenta la fase totale (o complessiva). La velocità di propagazione c è anche detta velocità di fase. Possiamo effettuare un semplice studio delle proprietà della funzione (6), che dipende dalla due variabili x e t, esaminandone la dipendenza dallo spazio x a t fisso (punto di vista del fotografo) e, poi, esaminandone l andamento temporale a x fisso (punto di vista del naufrago). 11
Quindi studiamo l andamento spaziale dell onda armonica ad un istante fissato. È il punto di vista del fotografo. Non si perde in generalità ponendo t = 0. Dalla (6) si ottiene una funzione della sola x, che possiamo scrivere come a(x, 0) = a cos (2π xλ ) + φ. (7) In base alle proprietà del coseno, le variazioni della grandezza a sono comprese tra a e +a, l andamento spaziale di a è periodico e la minima distanza che separa profili identici è la lunghezza d onda λ. Pertanto λ specifica la periodicità spaziale dell onda. Il grafico generato dalla (6) risulta invariante per traslazioni avanti o indietro dell asse x (o lungo l asse x) di un numero intero di lunghezze d onda. 12
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Invece il punto di vista del naufrago corrisponde a studiare al passare del tempo il comportamento dell onda armonica in un punto fisso dello spazio. Non si perde in generalità ponendo x = 0. Utilizzando la parità della funzione coseno [cos( α) = cos(α)] si ottiene a(0, t) = a cos(2π c t λ φ), (8) per mezzo della quale si può definire una grandezza T avente le dimensioni di un tempo ([T ] = s) come T = λ c. (9) Questa grandezza si chiama periodo dell onda, può essere interpretata in base alla (9) come il tempo che l onda sinusoidale impiega a spostarsi di una lunghezza d onda. 14
Grazie alla definizione (9), la (8) può essere riscritta come a(0, t) = a cos(2π t T φ), (10) indicando per a una variazione temporale di tipo armonico dove T corrisponde al tempo necessario affinché si svolga un intero ciclo di oscillazione. La variazione temporale di a è pertanto periodica di periodo T. A questo proposito risulta utile ricordare che in cinematica si definisce moto armonico il moto della proiezione su un diametro di un punto che percorre una circonferenza di moto circolare uniforme. 15
Vi sono due grandezze collegate al periodo T : la frequenza ν e la pulsazione ω. La frequenza ν indica il numero di cicli che hanno luogo in un secondo ed è data da ν = 1/T. [ν] = s 1 = Hz dove Hz è l abbreviazione di Hertz. La pulsazione ω è data da ω = 2 π ν = 2 π/t. La relazione (9) usata per introdurre il periodo è di fondamentale importanza in tutti i tipi di onde e viene scritta anche come λ = c T = c ν (11) oppure come c = λ ν. (12) 16
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LE ONDE NELLO SPAZIO Finora si è considerata la situazione 1D di un onda viaggiante lungo l asse x. In realtà le onde si propagano nello spazio tridimensionale e questo fatto permette l introduzione di altre definizioni. Si definisce fronte d onda il luogo dei punti dello spazio in cui l onda ha un assegnato valore della fase (totale). Al variare dei valori della fase si ha una classe di superfici nello spazio, le quali viaggiano con la velocità di fase c. Definendo i raggi come le linee perpendicolari ai fronti d onda si stabilisce un collegamento con l ottica geometrica. I raggi, punto per punto, danno la direzione di propagazione dell onda e, quindi, la direzione del vettore c. 19
Nel caso di onde propagantisi nello spazio esistono due situazioni abbastanza semplici: quella delle onde piane, caratterizzate da fronti d onda piani e quella delle onde sferiche, caratterizzate da fronti d onda che sono superfici sferiche di raggio progressivamente crescente. Nel caso delle onde piane i raggi risulteranno paralleli, mentre nel caso delle onde sferiche i raggi risulteranno divergenti da un centro, dove presumibilmente si trova localizzata la sorgente dell onda. 20
INTENSITÀ DELL ONDA Tutte le onde trasportano energia dalla sorgente verso l esterno. Si definisce intensità I di un onda l energia trasportata dall onda nell unità di tempo attraverso una superficie unitaria disposta perpendicolarmente al verso di propagazione. I ha le dimensioni di potenza su superficie (ossia [I] = W m 2 ) ed è proporzionale al quadrato dell ampiezza. Vale cioè I a 2. (13) Nel caso dei fronti d onda piani (e anche quando si può trascurare la divergenza dei raggi) l intensità I resta costante poiché la stessa potenza attraversa sezioni sempre uguali. Questo vale se i fenomeni dissipativi sono trascurabili. 21
LEGGE 1/r 2 PER L INTENSITÀ Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sorgente nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici sferiche di area via via crescente. Sempre sotto l ipotesi che i fenomeni dissipativi siano trascurabili, l intensità I(r) dell onda può essere calcolata in base alla sua definizione come I(r) = P ower 4 π r 2, (14) dove con P ower si indica la potenza emessa dalla sorgente (... localizzata). 22