Indice 1 Elementi di statica e cinematica dei mezzi continui Il legame costitutivo e i criteri di resistenza Il metodo degli elementi finiti

INDICE Indc Elmnt d tatca cnmatca d mzz contn Dfomazon Il tno dll pccol dfomazon non 4 Il tno dgl foz 4 Componnt pncpal nvaant d tnon 6 Clafcazon dgl tat tnonal 7 L condzon d qlbo 9 Il pncpo d lavo vtal L qazon gnal d lavo vtal Il lgam cotttvo ct d tnza Compotamnto latco 4 Compotamnto latco lna d anotopo 4 Copo latco lna d ototopo 4 Copo latco lna ad otopa tava 6 Copo latco lna d otopo 6 Copo latco lna d otopo : poblma pano nll tnon 7 Copo latco lna d otopo : poblma pano nll dfomazon 7 Compotamnto platco 8 Compotamnto vcoo 9 Rotta dl matal Ct d tnza Ct d tnza p matal fagl Ct d tnza p matal dttl Il mtodo dgl lmnt fnt 5 Intodzon 5 Dctzzazon n lmnt fnt 5 Stm d fmnto 6 Dtmnazon dlla matc d gdzza 7

INDICE Elmnt monodmnonal 9 Matc d gdzza dll lmnto ASA 9 Matc d gdzza dll lmnto RAVE Elmnt bdmnonal pan: lata o mmbana Matc d gdzza dll lmnto qadangola pano nza mod ncompatbl Matc d gdzza dll lmnto qadangola pano con mod ncompatbl 4 Matc d gdzza dll lmnto tangola pano 5 Elmnt bdmnonal pan: pata 6 oa d Rn-Mndln 6 Cao patcola: oa d Kcoff 7 Mtodo dgl potamnt 8 Elmnt tdmnonal 9 Matc d gdzza dll lmnto bck nza mod ncompatbl 9 Matc d gdzza dll lmnto bck con mod ncompatbl 4 Matc d gdzza dll lmnto bck a tt nod 4 Matc d gdzza dll lmnto ttadco 4 Emp ll o dgl lmnt fnt 4 Empo 4 Empo 45 S.I. Softwa Svz p l Inggna

Captolo ELEMENI DI SAICA E CINEMAICA DEI MEZZI CONINUI Dfomazon Il tno dll pccol dfomazon Dato l vtto d potamnto ntodc l tno doppo: d H = d H j = [] j dtto gadnt d potamnto. Nll pot d pccol potamnt qto pò dcompoto nll pat mmtca d mmmtca cvndo: ε = H + H ε j = j + j [] ω = H H ω j = j j [] dov ε è l tno dll pccol dfomazon ω è noto com tno d otazon. Lo potamnto d n gnco pnto P pò dfnto com: = + ω d +ε d [4] c n foma ta dvnta: = + ω ω ω ω ω d ω d d ε + γ γ γ ε γ γ d γ d [5] d ε

ELEMENI DI SAICA E CINEMAICA DEI MEZZI CONINUI qnd pò pna cottto da na contbto gdo talazon /o otazon ω da n contbto dfomatvo ε ponabl d vaazon d volm d foma. L componnt d ε ad ndc gal ε ono not com dlatazon mano la vaazon d na fba ntaa ognaamnt dpota condo l a Fg. a. L componnt ad ndc dtnt ε j ono dfnt n fnzon dgl comnt angola γ j fa d fb ognaamnt dpot condo gl a coodnat j. Qt ltm mano la dffnza fa l angolo tto l angolo fomato dall fb dopo l poco dfomatvo Fg. b. d ε = d Fga a. Dfomazon dtt. γ d = d Fga b. Scomnt angola. non Il tno dgl foz Il vtto d tnon t n agnt lla gacta d nomal n qval all componnt t n t n t n condo la tna d a catan otogonal. Alt componnt dl vtto d tnon t n Fg. ono appntat dall coddtt tnon nomal tnon tangnzal total: n = t n n = t n n + t n n + t n n [6] τ n = t n = t n + t n + t n [7] dov: n = ono con dtto dlla nomal n dlla tangnt alla gacta condata. 4 S.I. Softwa Svz p l Inggna

ENSIONE La tnon tangnzal total τ n pò dcompota nll componnt tangnzal d tnon τ n τ n agnt condo d dzon mtant otogonal c appatngono alla gacta condata Fg. : τ n τ τ n + n = [8] Il vtto d tnon t n agnt lla gacta d nomal n è noto ono not l tnon t p t gact otogonal qalnq Fg.. S cond n lmnto d volm nfntmo d mata dlmtato da t gact paalll a pan coodnat dalla gacta d nomal gnca n. Sano t t t vtto d tnon ll gact d nomal : Fga. Vtto d tnon. l popozon d t l pozon d t l pozon d t Fga. S pò dmota c: t n =t n + t n + t n [9] L componnt ad ndc gal appntano l tnon nomal agnt pan otogonal a vo dllo to ndc mnt l componnt ad ndc dtnt j appntano l tnon tangnzal latv all copondnt copp d dzon Fg. 4. S.I. Softwa Svz p l Inggna 5

ELEMENI DI SAICA E CINEMAICA DEI MEZZI CONINUI All nov componnt opa dfnt da l nom d componnt pcal d tnon l loo nm vn dtto tno dgl foz d è appntato dalla matc: = [] opp condo la notazon d Vogt dal vtto = τ τ τ }. { Fga 4. Componnt d tnon. Componnt pncpal nvaant d tnon Il vtto d tnon t n agnt lla gacta d nomal n vaa al vaa dlla gacta condata ovvo dlla nomal n alla gacta ta. S pò dmota c tono patcola gact ll qal l tno t n a dzon concdnt con la nomal ll qal ono ptanto nll l componnt tangnzal d tnon τ n τ n. Fga 5. non pncpal. In qto cao anno olo tnon nomal n.. L gact c godono d tal poptà ono dtt gact pncpal l loo nomal dcono dzon pncpal valo dll latv tnon nomal componnt pncpal d tnon. I valo dll componnt pncpal d tnon I II III Fg. 5 dtmnano com adc dll qazon cbca nll ncognta : I I I = dov: I = + + [] [] I I = + + [] = [4] 6 S.I. Softwa Svz p l Inggna

ENSIONE ono pttvamnt l nvaant lna l nvaant qadatco l nvaant cbco. Amndo com tma d fmnto la tna cottta dall dzon pncpal d tnon gl nvaant d tnon poono cv pttvamnt: I I I = + + [5] Ι Ι ΙΙ ΙΙ Ι ΙΙΙ = + + [6] Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙ = [7] Not dalla [] l componnt pncpal d tnon n n pnto lo tato d tnon dgl nfnt lmnt aola paant p ql pnto pò gafcamnt dfnto con la cotzon d Mo. Scondo tal cotzon Fg. 6 lo tato tnonal lla gnca gacta abtaamnt ontata vn appntato potando na coppa d a catan otogonal la componnt nomal n n aca d l valo τ n dlla tnon tangnzal n odnata. I valo dll tnon nomal tangnzal na qalnq gacta ltano comp nlla gon dlmtata da t cc avnt cnto ll a dll ac ntcant qt ltmo n pnt d aca Ι ΙΙ ΙΙΙ. Clafcazon dgl tat tnonal Fga 6. Cco d Mo Dll t tnon pncpal Ι ΙΙ ΙΙΙ nna n gnal pnta valo nllo n tal ccotanza lo tato tnonal dc taal. Stazon patcola ono nvc qll latv a ca n c na dll t tnon a nlla ovvo qando d ano nll: tal mplfcazon d tat d tnon pndono l nom d tato baal monoaal pttvamnt. Spponamo c na dll tnon pncpal ad mpo la ΙΙΙ a nlla. Snza pdta d gnaltà pponamo c l a concda con la dzon pncpal caattzzata dalla tnon pncpal nlla. In qto cao olt allo fozo = ΙΙΙ annllano anc l tnon tangnzal. L nc componnt d tnon non nll ono qnd =. Gl foz pncpal mp font dall adc dll qazon [] valgono: S.I. Softwa Svz p l Inggna 7

ELEMENI DI SAICA E CINEMAICA DEI MEZZI CONINUI Ι + = ± ΙΙ + Agnat n n pnto valo d potno nl pano n τ n fg. 7 pnt P Q cotca l cco d aggo CP = CQ. P n dato tato d fozo pano valo dll tnon nomal tangnzal latv ad na qalnq gacta nl pano dll tnon appatngono a qta cconfnza o cco d Mo. In patcola gmnt OA OB foncono valo dll componnt pncpal p analtcamnt dalla [8]. Ι ΙΙ [8] Fga 7. Stato pano d tnon: cco d Mo. Lo tato pano d tnon pnta n alcn poblm d nt nggntco com d mpo l lat cacat nl popo pano Fg. 8. Data la pvalnza d d dmnon lla tza tal old vngono cmatzzat com old bdmnonal p qal l modllo d tato pano d tnon lta aa appopato. Condazon analog pmttono d conoc lo tato pano d dfomazon n ttt comn com l mo d otgno d n tapno la dga oggtta alla pon dll acqa o la tbazon ntata. In Fg. 9 è appntata la zon d na dga condo n pano = dov è la dzon pncpal ptto alla qal lta ε = ε ΙΙΙ =. S potzza c nlla dzon la ttta a llmtata c pnt la ta zon al vaa d. P l pot fatt ova com l campo d potamnt d pnt dlla zon appatnga al pano = a mno d n moto gdo d dzon d ttto lo pazo. Inolt pocé qalnq zon = è d mmta tttal lo tato d dfomazon pt dntcamnt al vaa d n. 8 S.I. Softwa Svz p l Inggna

ENSIONE Fga 8. Stato pano d tnon: lata cacata nl popo pano. Fga 9. Stato pano d dfomazon: dga oggtta alla pon dll'acqa. L condzon d qlbo S cond n mzzo contno d volm Fg. dlmtato dalla fonta Γ = Γ + Γ oggtto n ogn pnto dl volm a foz d maa b b b b lla fonta Γ a foz pfcal p p p p lla mannt pat Γ agl potamnt Fga. Gnco copo contno. mp. Ogn lmnto d volm dl mzzo dv n qlbo otto l azon d ttt l foz c ad o comptono; affncé cò accada n ogn pnto dl mzzo dvono oddfatt l t condzon dffnzal: + + + b = [9a] S.I. Softwa Svz p l Inggna 9

ELEMENI DI SAICA E CINEMAICA DEI MEZZI CONINUI + + + b = [9b] + + o qvalntmnt: + b = [9c] + [9d] jj b = Ulto condzon d qlbo gadano pnt dlla pfc d contono Γ dov è ncao c ano oddfatt l t condzon: [a] n + n + n = p [b] n + n + n = p [c] n + n + n = p j o qvalntmnt: n = p [d] j Il pncpo d lavo vtal L qazon gnal d lavo vtal S cond l mzzo contno d Fg.. Sa { b p } n tma foz-tnon tatcamnt ammbl ovvo tal c: b = n [] jj + n = p n Γ [] j j Sa { δ δε} n tma dfomazon-potamnt nfntm clt con la ola tzon: δ = n Γ [] δ εj = δ j + δ j n [4] Dfnamo l lavoo vtal tno l lavoo ntno: S.I. Softwa Svz p l Inggna

IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRUALI L t = b δ dv + p δ ds L nt = δ ε dv [5 6] Γ Il pncpo d lavo vtal ac c n n tma dfomabl n qlbo l lavoo vtal tno è gal al lavoo vtal ntno p qalnq nm d potamnt vtal nfntm compatbl con la contntà ntna dl copo ovvo: L t = L nt [7] L q. [7] è dfnta qazon gnal d lavo vtal. P mglo ca l gnfcato fco dlla [7] vn ntodotto l gnt - mpo. S cond na baa clndca d zon taval A vncolata ad na tmtà oggtta ad na pon nfom p n copondnza dll alta tmtà Fg.. La ltant dll foz pfcal agnt aà F = pa. S am l tma foztnon dfnto dalla foza F dalla tnon nfom pnt n ogn pnto ntno dl oldo: = p = F / A Sa δ L l allngamnto c ottn agnando a pnt dlla ba lba no potamnto nfom δ. S pò agonvolmnt ppo c n ogn pnto a pnt na dlatazon longtdnal δε = Fga. Povno monodmnonal. δ L Il lavoo vtal tno è qllo compto dall pon p p lo potamnto cotant δ : L = p δ ds = t A A F δ ds F δ A = [8] Il lavoo vtal ntno è nvc compto dall tnon p l dfomazonδ ε : L nt F δ Fδ = δεdv = dv = AL = Fδ A L AL Rlta qnd vfcata l gaglanza [7]. [9] S.I. Softwa Svz p l Inggna

Captolo IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RE- SISENZA Sono tat ntodott nl captolo pcdnt l lazon c govnano la tatca la cnmatca dl copo contno nza fa fmnto ad n oldo patcola. Intodcamo oa l qazon cotttv o lgam cotttv ovvo lazon att a dcv l compotamnto dl matal. Una pova d tazon monoaal condotta n povno mtallco Fg. pmtt d vdnza compotamnt caatttc d n matal gnco. Fga. Pova d tazon monoaal povno mtallco.

IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RESISENZA Compotamnto latco L dfomazon congono pocé tantanamnt all applcazon dl caco. In na pma fa O-A l lgam ε pnta nblmnt lna mvbl nl no c la foza applcata vn moa caco la dfomazon è ntamnt cpata. La fa lna tmna qando la dfomazon aggng n cto valo ε c copond lo fozo dtto lmt d popozonaltà. Incmntando ltomnt l caco la dfomazon cc non pù popozonalmnt alla tnon ma l matal pman ancoa n campo latco nl no c cacando l povno qto tona alla a lngzza nzal. Qta condzon è oddfatta fno al pnto B la c tnon copondnt vn dtta tnon d nvamnto. S Spo l lmt d popozonaltà la tnon d nvamnto ltano nblmnt S concdnt. Compotamnto latco lna d anotopo Gan pat d matal compotano latcamnt almno n na pma fa dl poco d caco. Molt d pntano n compotamnto c pò con ottma appomazon condato lna. In qto cao l lgg dtt nv dll latctà lna poono ctt nl gnt modo*: d = τ τ τ d d mm o qvalntmnt. d d c d ε 6 d ε 6 d ε 6 γ γ c 66 γ ε c ε ε = γ γ γ c c mm c c c c 6 c 6 c 6 τ τ c 66 τ [ab] = D ε ε = C [ab] L matc D C pndono l nom d appntazon matcal o d Vogt dll tno cotttvo dtto nvo. Un matal avnt condo ttt l dzon poptà dffnt dc antopo. L cotant ndpndnt c n caattzzano l compotamnto ono p la mmta dll matc opa ntodott. Copo latco lna d ototopo C ono matal c pntano compotamnto mmtco ptto a t a p p mtamnt otogonal not com dzon pncpal dl matal. p * S fa fmnto alla notazon d Vogt p l campo d tnon d dfomazon. 4 S.I. Softwa Svz p l Inggna

COMPORAMENO ELASICO Un mpo è l lgno c pnta nlla dzon paallla all fb poptà mccanc dv ptto all dzon otogonal. Un alto mpo è qllo d polm fbo-nfozat cottt da tat d fb a tta otogonal ovappot d nt da na matc polmca Fg.. L lgg dll latctà lna nl fmnto O p p p poono p com: Fga. Matal ototopo. E E E ε E E E [] ε ε E E E = γ τ γ G τ γ τ G G In c: ε E = [4] appnta l modlo d Yong qando l matal è oggtto a tnon nomal n dzon ε j j = [5] ε è l valo dl modlo d Poon p dlatazon n dzon j qando l matal è oggtto ad na tnon nomal n dzon τ γ j G j = [6] j è l modlo d latctà tangnzal qando l matal è oggtto a na tnon tangnzal nl pano j. P n matal ototopo l cotant latc ndpndnt ono 9. S.I. Softwa Svz p l Inggna 5

IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RESISENZA Copo latco lna ad otopa tava Un matal ad otopa tava è n cao patcola d matal ototopo c pnta compotamnto mccanco concdnt n d dzon ad mpo p p Fg.. In qto cao lta: E = = E E [7] = = [8] G = = [9] G G Inolt nl pano otogonal alla dzon p dv oddfatta la lazon: G E = [] + L lgg dll latctà lna nl fmnto O p p p dvntano: E E E ε E E E [] ε ε E E E = γ τ γ G τ γ τ G G Copo latco lna d otopo Fga. Matal tavalmnt otopo. Un matal dc otopo qando l poptà mccanc ono ndpndnt dalla dzon. L lgg dll latctà lna nl fmnto O dvntano: 6 S.I. Softwa Svz p l Inggna

COMPORAMENO ELASICO S.I. Softwa Svz p l Inggna 7 = G G G E E E E E E E E E τ τ τ γ γ γ ε ε ε [] P n matal otopo l cotant latc ndpndnt ono. Copo latco lna d otopo : poblma pano nll tnon S = = = τ τ lo tato tnonal è pano ngl foz. L lgg dll latctà lna nl fmnto O dvntano: = E γ ε ε τ [] + = E τ γ ε ε [4] La fomlazon pana ngl foz tova lago mpgo nll anal dll lat cacat nl loo pano. La condzon = = = τ τ lta vfcata ll zon tm ± / = c ono cac. La pccolzza dllo po pmtt d tacal ovnq. Copo latco lna d otopo : poblma pano nll dfomazon S = ε lo tato tnonal è pano nll dfomazon. L lgg dll latctà lna nl fmnto O dvntano: + = E γ ε ε τ [5] + = E τ γ ε ε [6]

IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RESISENZA E = ε + ε = + + [7] La fomlazon pana nll dfomazon tova lago mpgo nll anal d ttt comn com l mo d otgno d n tapno la dga oggtta alla pon dll acqa o la tbazon ntata. Compotamnto platco Il compotamnto platco è caattzzato dalla pnza d dfomazon pmannt. Nl cao monoaal Fg. 4 ncmntando l caco tno B-C l dfomazon comncano ad accc molto apdamnt non ono pù vbl nl no c pocdndo allo caco dl povno a pat da n pnto C tato al d opa dl pnto d nvamnto B la lgg d caco non pco a too la cva d caco nzal O-A- B-C ma avvn condo la tta C-C nblmnt paallla alla tta latca nzal O-A nll pot d pccol dfomazon. La dfomazon total ε c compt al pnto C pò qnd pna compota nlla pat latca ε c Fga 4. Pova d tazon naal pov- vn ttta allo caco p nlla pat platca o pmannt ε. La pat B-D dlla cva n c l matal non pù latco cd ancoa ncmnt d tnon p pod ncmnt d dfomazon dfnc l coddtto fnomno dll ncdmnto. In qta fa comnca a dvnta nbl la contazon taval platca tzon dl povno p c la tnon nomnal n comnca a dcota pttoto notvolmnt dalla tnon al. Qnd p contnando ad amnta la tnon al la dmnzon dll aa è tal p c la tnon nomnal qnd l caco aggnto n mamo n copondnza dl pnto D pnd a dmn no a c n E vfca la otta dl povno. La tnon nomnal vn dtta tnon d otta. Modll matmatc capac d ntpta con ffcnt appomazon la pota d n matal n campo platco ono qll lltat n Fg 5 dfnt n fnzon d paamt α β. 8 S.I. Softwa Svz p l Inggna

S nota c patndo dallo tato O d matal vgn p tnon vaabl nl tatto O-A la pota è d tpo latco l dfomazon ono vbl. P tnon maggo alla tnon d nvamnto l andamnto dlla pota g l tatto A-B dtto ncdmnto n copondnza dl qal dtmnano l dfomazon platc. a b c Fga 5. Modll cotttv lato-platc. P α β gnc π < π / α a l modllo latco-ncdnt Fg. 5a. P β = l modllo è dtto latco pfttamnt platco Fg. 5b. P α = β = l modllo è dtto gdo- platco Fg. 5c. P molt matal dagamm ε a tazon a compon ono pocé concdnt; cò non avvn n povno vn compo dopo tato to o vcva. S cond a ttolo d mpo n povno nzalmnt to lngo l tatto O-A-B Fg. 6. Il povno vn ccvamnt Fga 6. Efftto Bacng. cacato tatto B-C po compo C-D-E. Sa D l pnto dl dagamma c dlmta l tatto lna n compon; l tatto C-D è nttamnt pù bv dl tatto C-B c vbb pcoo gnt n C tona a tnd l povno n gnal pù bv anc dl tatto O-A copondnt ad na compon dl povno ndtbato. al mtamnto dll caatttc dl matal appotato da n pcdnt fozo è dtto fftto Bacng. Compotamnto vcoo Entamb compotamnt latco platco ono ndpndnt dal tmpo. Qta ccotanza non è mp vfcata. In acca ad lvata tmpata o n polm ad S.I. Softwa Svz p l Inggna 9

IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RESISENZA mpo foz dfomazon vaano nl tmpo anc l condzon tn mangono mmtat. Un tal compotamnto è dtto vcoo d ono pncpal pmnt c pmttono d nvtgalo: la pova dtta d cp n c mano l vaazon dlla dfomazon nl tmpo a fozo cotant qlla d laamnto n c valtano l vaazon d fozo a dfomazon mpota. I modll cotttv p qt compotamnt vngono dfnt vcolatc o latovcoplatc a conda c contngano olo paamt att a dcv poptà latc vco o anc lmnt c caattzzano n compotamnto platco. Rotta dl matal La cv monoaal ε ntompono qando vfca la otta dl povno. In n matal fagl qal l vto l occ conglomat la otta g qa mmdatamnt l amnto dll o latc. Un matal è dtto dttl d mpo mtall qando nvc la otta è pcdta da appzzabl dfomazon platc. I matal c pntano compotamnto dpndnt dal tmpo la otta non è olo lgata all amnto dlla tnza dl matal otto cac d bv data ma pò avvn anc p cco d dfomazon vcoa otto azon tn polngat nl tmpo. In tmn d modll cotttv tal ovazon tadcono nlla dfnzon d oppotn ct d tnza. Va codato c otto ccl d caco c podcono foz d gno altno la otta pò vfca p l fnomno noto com fatca dl matal. Il nmo d ccl ncao dpnd dal lvllo d fozo aggnto; va ottolnato pò c pò gng a otta anc l lvllo d fozo aggnto mantn bn al d otto dl lmt latco a p dopo n nmo molto lvato d ccl. S nvc all ntno d ogn cclo podcono dfomazon pmannt l nmo ncao p pota l matal a otta è datcamnt dotto. P ttt oggtt ad azon vaabl ptt nl tmpo occo qnd ntod oppotn ct d vfca n confont d qta vntaltà. Ct d tnza Fata p l gnco matal la tnon d nvamnto dfnc la tnon d lavoo o tnon ammbl adm = [8] ndo n coffcnt d czza ffcntmnt maggo d. S.I. Softwa Svz p l Inggna

CRIERI DI RESISENZA P n matal c lavo n gm monoaal la czza nl gnco pnto è gaantta oddfa la condzon: [9a] adm adm pota l pot c l matal abba gal tnon ammbl a tazon a compon. Nl cao pù gnal d dffnt compotamnto a tazon a compon la [9a] va ottta dalla condzon: c adm [9b] t adm Dva è la tazon qando nl gnco pnto dlla ttta lo tato d tnon è caattzzato dall componnt τ d tnon pcé non t pù n paamto da comma all tnon ammbl d è ncao qnd fa d ct c conntano d dtmnalo. Ct d tnza p matal fagl I matal fagl pntano po na tnza a tazon macatamnt nfo a qlla a compon. Il cto d tnza pù mplc c ncopoa qto aptto è qllo d Gallo-Rankn-Nav c am c la c abba logo qando na dll t tnon pncpal aggng la tnon lmt a tazon a compon t c. La condzon d c dl matal vn dnq ndvdata analtcamnt dal vfca d na dll d gaglanz: ma { } t Ι ΙΙ ΙΙΙ = [] mn{ Ι ΙΙ ΙΙΙ } = [] c c nl cao d gal tnza a tazon a compon dvnta: ma { } Fga 7. Cto d tnza d Gallo-Rankn-Nav. Ι ΙΙ ΙΙΙ = [] L [] dfncono nl pano I II l domno lltato n Fg. 7. I pnt al o ntno copondono a tat d fozo condat c condo qto cto. S.I. Softwa Svz p l Inggna

IL LEGAME COSIUIVO E I CRIERI DI RESISENZA La tnon tangnzal mama τ oppotabl dal matal n anza d tnon nomal val: t c τ = mn{ } [] Ct d tnza p matal dttl Cto d nvamnto d ca Il cto d nvamnto d ca am com valo lmt la mama tnon tangnzal dfnta: τ = { Ι ΙΙ ΙΙ ΙΙΙ ΙΙΙ Ι } [4] o qvalntmnt: Ι ΙΙ = ΙΙ ΙΙΙ = Ι = ΙΙ Ι = ΙΙΙ ΙΙ = ΙΙΙ = ΙΙΙ [5abc] Ι [5df] Nl pano I II l [5] dfncono n pma pfc d nvamnto d ca Fg. 8. Il paamto appnta la tnon d nvamnto dl matal n gm monoaal. Il valo lmt dlla tnon tangnzal n gm monoaal lta: τ =. Il cto d ca ptanto pvd c l appoto fa l tnon d nvamnto tangnzal nomal a paa a /. Cto d nvamnto d Hüb-Hnky-von M Il cto d nvamnto d Von M nvc am com valo lmt l nvaant condo dl dvato d fozo dfnto da: J = [6] 6 { Ι ΙΙ + ΙΙ ΙΙΙ + ΙΙΙ Ι } = Nllo pazo dll tnon pncpal la [6] dfnc n ll gola pfc d nvamnto d Von M Fg. 8. Il paamto appnta la tnon d nvamnto dl matal n gm monoaal. Il valo lmt dlla tnon tangnzal n gm monoaal lta: τ =. Il cto d Von M ptanto pvd c l appoto fa l tnon d nvamnto tangnzal nomal a paa a / =. 557 lggmnt pù lvato d S.I. Softwa Svz p l Inggna

CRIERI DI RESISENZA qllo pvto dal cto d ca abbatanza confom a qanto conta n mtall al. Dalla lazon [6] cava l pon analtca dl cto d nvamnto d Von M n tmn d tnon pncpal: + = I + [7] II III I II I III II E mmdato paa all pon qvalnt n tmn d componnt dl tno dgl foz: = + + τ + τ + τ + [8] L pon è na dll pù attndbl p dcv l fnomno dllo nvamnto d matal dttl d è ogg accttata da dv nomatv gadant l cotzon mtallc CNR-UNI /88. III Fga 8. Ct d nvamnto d Von M ca. S.I. Softwa Svz p l Inggna

Captolo IL MEODO DEGLI ELEMENI FINII Intodzon I mtod dgl lmnt fnt ono tcnc att ad appoma l qazon dffnzal c govnano n tma contno con n tma d qazon algbc n n nmo fnto d ncognt. Il mtodo ad lmnt fnt pò caattzzato dall gnt fa: Dctzzazon dl copo coè clta d lmnt ta loo conn n ct pnt nodal. Dtmnazon dll matc d gdzza dgl lmnt d vtto dll foz nodal. Amblaggo dll matc d gdzza dgl lmnt d va vtto dll foz nodal p l nto tma d lmnt nod. Intodzon dll condzon al contono. Solzon dll qazon dl tma ltant. Calcolo dll dfomazon dgl foz n ba agl potamnt nodal. Dctzzazon n lmnt fnt Nl mtodo dgl lmnt fnt ddvd l copo n lmnt d volm avnt dmnon fnt clgono ct pnt all ntno ll pfc al contono. Gl lmnt d volm ono dtt lmnt fnt pocé l loo dmnon ono fnt; pnt l contono ono camat pnt nodal o nod. S nmano gl lmnt nod pcano l connon nodal ta gl lmnt lncando p ogn lmnto nod aocat. In Fg. è appntata na tpca dctzzazon d n copo bdmnonal pano ottl. Non t na gola gnal p ddvd n copo n lmnt fnt. Fga. Elmnt fnt.

Va pò codato c:! Elmnt d foma gola com ttangol lng ottl tangol appattt ono da vta.! Nll zon n c a concntazon d foz è ncao dpo n nmo d nod maggo c nll zon n c gl foz vaano lntamnt.! P valta l accatzza d ltat è oppotno olv lo to mpo con ddvon pù ftta. In tal modo avà na ma dlla convgnza. Stm d fmnto I mtod agl lmnt fnt pvdono l tlzzo d tm d fmnto dffnt qal: Stma d fmnto global X X X Stma d fmnto Catano otogonal nl qal vn ntodotta la gomta dlla ttta coodnat nodal X X X dl gnco lmnto fnto n c vngono dfnt gl potamnt nodal. Stma d fmnto local dll lmnto fnto Stma d fmnto Catano otogonal caatttco dll lmnto fnto n c vngono dfnt l campo d tnon d dfomazon dll lmnto. Fga. Elmnt fnt tandad: gad d lbtà nodal tm d fmnto local. S ppon c l gnco lmnto abba n nod ndcano con n nm d nod dll lmnto. Il vtto contnnt ottovtto dgl potamnt nodal d n lmnto è dtto vtto dgl potamnt nodal dll lmnto d è ndcato con U = {... } n n. Il campo dgl potamnt dfnt nl domno dll lmnto n fnzon dgl potamnt nodal val: 6 S.I. Softwa Svz p l Inggna

n = HU [] dov H è la matc dll fnzon d foma. In ab. ono dfnt paamt d potamnto nodal. Il loo nmo la loo clta dpnd dal poblma. Elmnt fnt Gad d lbtà nodal ptto al fmnto local Ata û av û û ϕ ϕ ϕ Lata o mmbana û û Pata û ϕ ϕ Soldo D o bck û û û ablla. Gad d lbtà dgl lmnt fnt pù comn. Dtmnazon dlla matc d gdzza δ ε Il Pncpo dgl Spotamnt Vtal è tato ctto nlla foma: dv = δ b dv + δ p ds [] Γ al pncpo è ndpndnt dal compotamnto dl matal a o latco o non latco. Lmtando la tattazon a matal latco-lna pò ntod l lgam cotttvo nlla gnt foma: = Dε [] La foma d D dpnd dal matal a conda c o a otopo ototopo o anotopo. Sottndo l pon d nll q. [] ottn: δ ε Dε dv = δ b dv + δ p ds [4] S conda oa la lazon dfomazon-potamnt: Γ n ε = BU [5] dov B dpnd dalla matc dll fnzon d foma. Il campo d tnon [] pò plctato nlla foma: n = DBU [6] mnt la vaazon dl campo d dfomazon [5] val: n δ ε = BδU [7] S.I. Softwa Svz p l Inggna 7

b In gnal dfnc: b ρ& & = [8] n c b è agnato ρ è la dntà. In qto cao am: & & n = ΦU [9] l q. [4] dvnta: δε Dε dv = ρδ & dv + δ b dv + δ p ds [] Il tmn a pmo mmbo dlla [] è qvalnt a: n δ ε Dε dv = δu B DB dv U n = δu n K U dov K è dtta matc d gdzza dll lmnto. Il pmo tmn a condo mmbo dlla [] è qvalnt a: n n n n ρδ & dv = δu ρφ Φ dv U = δu M U [] dov M è la matc d maa qvalnt dll lmnto. Infn tmn mannt dlla [] fomano l vtto F dll foz qvalnt dll lmnto: δ b dv + δ ds = δ n p U Φ b dv + δ p ds = Γ Γ = δu n F [] Il Pncpo dgl Spotamnt Vtal [] p l nta ttta dvnta: n n n δ U KU + MU& = n n Γ n [] & n [4] δu F 8 S.I. Softwa Svz p l Inggna

Elmnt monodmnonal Matc d gdzza dll lmnto ASA S conda n tma d fmnto local avnt l a concdnt con l a dll ata Fg.. S am l gnt campo d potamnt: + dov: û = [5] con = ono gl potamnt aal d d nod dll lmnto mnt = L L ono l fnzon d foma. Il campo d dfomazon nll lmnto è dato da: = [6] = ε [7] L L mnt l lgam tnon-dfomazon val: = Eε [8] dov E è l modlo d Yong. La matc d gdzza dll lmnto ata lta: Fga. Elmnto fnto ASA. EA K = [9] L dov A è la zon taval dll lmnto d L è la a lngzza. S.I. Softwa Svz p l Inggna 9

Matc d gdzza dll lmnto RAVE P mplctà vn d gto calcolata la matc d gdzza dll lmnto pano. S conda n tma d fmnto local avnt l a concdnt con l a dlla tav Fg. 4. S am l gnt campo d potamnt: Fga 4. Elmnto fnto RAVE. 4 = + ϕ = + + ϕ [a] ϕ [b] dov ϕ con = ono lo potamnto taval condo l a la otazon condo l a d d nod dll lmnto mnt = + = + L L = 4 = + L L ono l fnzon d foma. Il campo d dfomazon nll lmnto è dato da: [ab] L L [cd] L L d ε = [] d mnt l lgam tnon-dfomazon val: = EJε [] dov E è l modlo d Yong J è l momnto d nza dlla zon. S.I. Softwa Svz p l Inggna

La matc d gdzza dll lmnto tav lta: 6 6 L L L L 6 6 4 EJ K = L L [4] L 6 6 L L L L 6 6 4 L L Nl cao tdmnonal ommando gad d lbtà dll ata a qll dlla tav * ottn: K = EA L EA L az cz bz cz ay dy by dy GJt L GJt L y cy fy z dz fz EA L az dy ym ay cz GJt L y z con: A zon taval dlla tav E modlo d Yong L lngzza dlla tav G modlo d latctà tangnzal J t momnto d nza toonal az=ai z φ y ay=ai y φ z b z =bi z φ y [6a.b.c] M [5] * J.. Pzmnck oy of mat tctal analy McGaw-ll Nw Yok 968. S.I. Softwa Svz p l Inggna

fz=fizφy fy=fiyφ z [6ab] dov: EI EI 6EI ai φ= bi φ= ci φ= L +φ L +φ L + φ [7abc] 6EI 4 + φ EI φ EI di φ= I φ= fi φ= L + φ L+ φ L + φ [8abc] con: EJ z φ y = GA L EJ y z = GA L [9ab] z I momnto d nza nomal alla dzon A A aa a taglo nomal alla dzon = µ µ coffcnt a taglo. y Elmnt bdmnonal pan: lata o mmbana S conda n oldo gnato da n gmnto d lngzza po c pota mantnndo mp l o pnto mdo d n pano π con dzon mp otogonal a tal pano pano mdo. S la lngzza è Fga 5. Soldo bdmnonal pano. pccola ptto all alt d dmnon dl oldo pala d old bdmnonal pan. S è dbolmnt vaabl da pnto a pnto l oldo dc d po vaabl. Dponndo n fmnto catano con gl a gacnt nl pano mdo l a ad o nomal l oldo bdmnonal pano è ottopoto a foz applcat al contono o all ntno paalll mp al pano mdo ma con la condzon c lo to pano mdo a pano d mmta p l foz pala d lata pana o mmbana. S lo to oldo è cacato tavalmnt otogonalmnt al pano mdo dfnc pata. Nlla tattazon c g la lata/pata aà condata d matal omogno otopo d latco lna. S.I. Softwa Svz p l Inggna

Matc d gdzza dll lmnto qadangola pano nza mod ncompatbl S conda l lmnto pano a 4 nod lltato n Fg. 6. S am n tma d fmnto local avnt l a paalllo alla congngnt - l a nomal all a appatnt al pano dll lmnto. L lmnto è fomlato nl fmnto natal [-] d [-]. Fga 6. Elmnto fnto LASRA qadangola Il tma d fmnto local qllo natal ono colat da: 4 + + + 4 = [a] 4 + + + 4 = [b] dov: con = 4 ono l coodnat local d qatto nod dll lmnto mnt + 4 = [] + ono l fnzon d foma. Il campo d potamnt nll lmnto val: 4 + + + 4 = [a] 4 + + + 4 = [b] dov: con =..4 ono gl potamnt d qatto nod dll lmnto. La matc d gdzza dll lmnto mmbana è dfnta da []: K B = DB dv = B ξ DB ξ dt Jdd dov: B dpnd dalla matc dll fnzon d foma [] S.I. Softwa Svz p l Inggna

D è la appntazon matcal dl tno cotttvo J è lo Jacobano aocato alla tafomazon [] d è dfnto da: = J [4] Matc d gdzza dll lmnto qadangola pano con mod ncompatbl L lmnto pano a 4 nod ntodotto nlla zon pcdnt pò pod n ct ca pcfc ltat non attndbl a caa dl fnomno dllo a lockng. P ovva a qto poblma vn d gto popoto n lmnto fnto caattzzato dalla pnza d mod ncompatbl α j. Il campo d potamnt dvnta: = + + + 4 + φ α [5a] α + φ = + + + 4 α + φ + φ α [5b] dov: φ = φ = ono l fnzon d foma addzonal. Il campo d dfomazon nll lmnto dvnta: ε = BMB n U L α 4 [ [6] I ] dov B è la matc dfomazon-potamnt dll lmnto qadangola pano nza mod ncompatbl B I è l contbto d mod ncompatbl. L lmnto fnto dotato d mod ncompatbl l copondnt lmnto compatbl anno compotamnto analogo n copondnza d tat d tnon cotant. Qto qval ad affma c l nga d dfomazon aocata a mod ncompatbl n condzon d tnon cotant dv zo ovvo dv val: B I dv = [7] L qazon [7] è oddfatta omma a B I na matc cottva B Ico. 4 4 + + 4 S.I. Softwa Svz p l Inggna

In qto modo ottn na nova matc dfomazon-potamnt * B = B + B c dv oddfa: I I ICo B I + BICo dv = BI dv + VBICo = [8] La matc cottva val qnd: B = dv [9] ICo B I V Matc d gdzza dll lmnto tangola pano S conda l lmnto pano a nod lltato n Fg. 7. S am n tma d fmnto local avnt l a paalllo alla congngnt - l a nomal all a appatnt al pano dll lmnto. L lmnto è fomlato nl fmnto oblqo L L L. Un gnco pnto P nl fmnto oblqo a coodnat: A L A A L A A L A Fga 7. Elmnto fnto LASRA dov: A con = tangola. ono l a d tangol n Fg. 7. A è l aa total dl tangolo. Il tma d fmnto oblqo qllo natal ono colat da: + L + L L = [4a] + L + L L = [4b] dov: con = ono l coodnat local d t nod dll lmnto. Ponndo: L + L + L = [4] tova l pon dll fnzon d foma: S.I. Softwa Svz p l Inggna 5

L = a + b + c con = [4] A Il campo d potamnt nll lmnto val: + L + L L = [44a] + L + L L = [44b] dov: con = ono gl potamnt d t nod dll lmnto. La matc d gdzza dll lmnto mmbana a t nod è dfnta da: K = B dov B D DBdV dpnd dalla matc dll fnzon d foma è la appntazon matcal dl tno cotttvo. Elmnt bdmnonal pan: pata In qto paagafo vngono dc modll agl potamnt p lo tdo mdant lmnt fnt d pat nfl. oa d Rn-Mndln Ipot: Indfomabltà dl pano mdo dant l poco dfomatvo. L tnon nomal al pano mdo ono tacabl ptto all tnon. Ln tt nzalmnt nomal al pano mdo - Fga 8. Pata d Rn-Mndln mangono tt n gto al poco dfomatvo ma non ncaamnt nomal al pano mdo. Sotto qt pot nll ambto dlla toa dgl potamnt dfomazon nfntm l campo d potamnt pò ctto com Fg. 8: = + ϕ [46a] = ϕ [46b] [45] 6 S.I. Softwa Svz p l Inggna

= [46c] dov è lo potamnto taval dl pano mdo; ϕ ϕ ono l otazon dlla nomal al pano mdo attono agl a. L componnt d dfomazon ltano: ϕ ε ϕ ε = γ ϕ ϕ γ γ = + ϕ ϕ P matal otop d ototop l poblma flonal qllo a taglo ono daccoppat qnd lgam cotttv poono ctt nl gnt modo: ε B = D ε [49] γ τ z S γ = D [5] τ γ dov D B D S ono l appntazon matcal a flon a taglo pttvamnt dl tno cotttvo. Cao patcola: oa d Kcoff Ipot: Indfomabltà dl pano mdo dant l poco dfomatvo. L tnon nomal al pano mdo ono tacabl ptto all tnon. [47] [48] S.I. Softwa Svz p l Inggna 7

8 S.I. Softwa Svz p l Inggna Ln tt nzalmnt nomal al pano mdo mangono tt n gto al poco nomal al pano mdo. Mtodo dgl potamnt Matc d gdzza dll lmnto qadangola S conda l lmnto pano a 4 nod lltato n Fg. 9. S am n tma d fmnto local avnt l a paalllo alla congngnt d pnt md d lat -4 - nomal all a appatnt al pano dll lmnto. L lmnto è fomlato nl fmnto natal [-] [-]. Il tma d fmnto local qllo natal ono colat da: 4 4 + + + = [5a] 4 4 + + + = [5b] dov: con =...4 ono l coodnat local d qatto nod dll lmnto mnt 4 + + = [5] ono l fnzon d foma. Il campo dgl potamnt qllo dll otazon ono p n fnzon dll fnzon d foma: 4 4 + + + = [5a] 4 4 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + = [5b] 4 4 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + = [5c] dov: ϕ ϕ con = 4 ono lo potamnto taval l otazon dlla nomal al pano mdo d qatto nod dll lmnto. L lmnto fnto c ottn lta toppo gdo a caa dl fnomno dllo a lockng. P ovva a Fga 9. Elmnto fnto PIASRA qadangola

qto poblma manda ad n lmnto fnto d tpo pata cntmnt vlppato p l qal l contbto flonal qllo a taglo ono modllat mdant fnzon ntpolant d odn dffnt *. Elmnt tdmnonal Matc d gdzza dll lmnto bck nza mod ncompatbl S conda l lmnto pano a 8 nod lltato n Fg.. S am n tma d fmnto local avnt l a paalllo alla congngnt - l a nomal all a appatnt al pano --6-5 l a dfnto dalla gola dlla mano dta. L lmnto è fomlato nl fmnto natal [-] [- ] t [-]. Il tma d fmnto local qllo natal ono colat da: [54a] = 8 t t = [54b] = 8 t t = [54c] = 8 t t = dov: con = 8 ono l coodnat local dgl otto nod dll lmnto mnt + + t t 8 = [55] + ono l fnzon d foma. Il campo d potamnt nll lmnto val: Fga. Elmnto fnto BRICK. * A. Ibambgovc Qadlatal fnt lmnt fo analy of tck and tn plat compt mtod n Appld mcanc and Engnng 95-9 99. S.I. Softwa Svz p l Inggna 9

4 S.I. Softwa Svz p l Inggna = = 8 t t [56a] = = 8 t t [56b] = = 8 t t [56c] dov: con = 8 ono gl potamnt dgl otto nod dll lmnto. Nl cao n am la matc d gdzza dll lmnto è dfnta da: dv DB K B = = dd J DB ξ ξ B dt [57] dov: B dpnd dalla matc dll fnzon d foma D è la appntazon matcal dl tno cotttvo J è lo Jacobano aocato alla tafomazon [54] d è dfnto da: = t t t J [58] Matc d gdzza dll lmnto bck con mod ncompatbl L lmnto D ad 8 nod ntodotto nlla zon pcdnt pò pod n ct ca pcfc ltat non attndbl a caa dl fnomno dllo a lockng. P ovva a qto poblma contmnt a cò c è tato ntodotto p l copondnt lmnto pano la matc d gdzza dll lmnto bck vn cotta con l alo d mod ncompatbl α j.. P la tattazon matmatca manda all lmnt mmbana con mod ncompatbl.

Matc d gdzza dll lmnto bck a tt nod Nlla modllazon d ttt tdmnonal è tl l tlzzo d lmnt tdmnonal a 7 nod. al lmnt fnt vngono ottnt dagl lmnt bck ad 8 nod facndo collaa ad mpo l nodo 8 nl nodo 7 Fg.. L lmnto è fomlato nl fmnto natal [-] [-] t [-]. Il tma d fmnto local qllo natal ono colat da: ~ [59a] = 7 t t = ~ [59b] = 7 t t = ~ [59c] = 7 t t = dov: con = 7 ono l coodnat d tt nod dll lmnto Fga. Elmnto fnto BRICK a tt nod. ~ = + = 56 = 7 ono l fnzon d foma. Il campo d potamnt val: [6] = 7 t t = = 7 t t = = 7 t t = ~ [6a] ~ [6b] ~ [6c] S.I. Softwa Svz p l Inggna 4

dov: con = 7 ono gl potamnt d tt nod dll lmnto. La matc d gdzza dll lmnto è ancoa dfnta da: K B = DBdV = B ξ DB ξ dt Jdd Matc d gdzza dll lmnto ttadco S cond l lmnto ttadco lltato n Fg.. L lmnto è fomlato nl fmnto oblqo L L L L 4. Un gnco pnto P nl fmnto oblqo a coodnat: = V V V L V L = V V V4 L V L = [6a] 4 = [6b] dov: V con = 4 ono volm dlmtat dal pnto P dalla facca -ma. V è l volm total dl ttado. Il tma d fmnto oblqo qllo natal ono colat da: + 4 L + L + L + L4 = [64a] + 4 L + L + L + L4 = [64b] + 4 L + L + L + L4 = [64c] dov: con = 4 ono l coodnat local d qatto nod dll lmnto. Ponndo: L + L + L + L 4 = [65] tova l pon dll fnzon d foma: Fga. Elmnto fnto ttadco tangola. L = a + b + c + d con =...4 [66] 6V [6] 4 S.I. Softwa Svz p l Inggna

Il campo d potamnt val: + 4 L + L + L L4 = [67a] + 4 L + L + L L4 = [67b] + 4 L + L + L L4 = [67c] dov: con = 4 ono gl potamnt d qatto nod dll lmnto. La matc d gdzza dll lmnto ttadco è dfnta da: K = B DBdV [68] Emp ll o dgl lmnt fnt Empo * Fga.. Scma tatco. L mpo potato popon d vfca gnt aptt: Dfomazon a taglo nll ttt Dczon La ttta Fg.. è cottta da n tto n c.c.a. ncatato alla ba oggtta n ommtà ad n azon ozzontal P = 4 kg. S vol analzza l nflnza dl contbto dfomatvo dovto al taglo al vaa dlla lngzza dlla pat. * L mpo è tatto da Roak Fomla fo St & Stan 6t dton Wan C Yong McGaw Hll capt 7.. S.I. Softwa Svz p l Inggna 4

Solzon toca La dfomazon flonal è data da: PH f = [84] EJ La dfomazon dovta al taglo è data da vd tto ctato: PH t µ AG tot = [85] La dfomazon complva lta n dfntva data da: + = [86] f t ndo: µ =6/5 p zon ttangola pn; E = kg/cm E G = = 9 kg/cm [87] + Indcando con: H/d = appoto fa altzza lngzza dlla mnola; = pcntal d dfomazon a taglo ptto alla dfomazon total; t % p l t ttt appntat n Fg.. ottn: H / d cm cm f t cm t % Cao a.875 7.E-.44E- 8.8E- 6.% Cao b.75 5.6E-.67E- 5.9E- 4.5% Cao c 7.5 4.5 5.8E- 4.55 % ablla.. Solzon con Po-Sap La olzon nmca fonc la dfomazon total dll t ttt ottn: cm tot Cao a 8.5E- Cao b 5.9E- Cao c 4.55 ablla.. S potano gafcamnt ltat ottnt Fg..: tot 44 S.I. Softwa Svz p l Inggna

Fga.. Mapp potamnt nodal. Ovazon S confontano oa ltat ottnt vdnzando l dffnz a n tmn aolt c n tmn pcntal ptto a qll ottnt dall foml toc ottn: cm tot cm tot tot % Cao a 8.5E-.E-.4% Cao b 5.9E- % Cao c 4.55 % ablla.. S ova n ttt ca n ottma pondnza fa l ltato toco valo cavat p va nmca. Eamnando la olzon toca ova n patcola c l nflnza dlla dfomazon a taglo lta tanto pù nbl qanto pù pccolo è l appoto H/d oa qanto pù tozza lta la ttta. Empo * L mpo potato popon d vfca gnt aptt: oon n pofl a zon apta pat ottl Fga.. cma tatco. * L mpo è tatto da Roak Fomla fo St & Stan 6t dton Wan C Yong McGaw Hll capt 9.. S.I. Softwa Svz p l Inggna 45

Dczon La ttta Fg.. è cottta da n poflo n accao a zon apta ncatato pfttamnt ad na tmtà oggtto nll alto tmo ad n momnto tocnt =. MNm ctato da d foz d taglo P =.6 MN nfommnt dtbt lngo l al. S vol tova la mama tnon aal n na zon pota a dtanza.5 m dal vncolo. Solzon toca La tnon nomal ccata ottn dalla fomla potata nl tto ctato: HB B + H '' = Eθ [88] B + H ndo nolt: B + H K = t K=. m 4 [89] C w H B B + H = t =.47 m B + H 6 [9].5 KG β = =.95 m C ω E - [9] E = Mpa =. E G = = 8769 Mpa [9] + cava: '' θ n β = L. 5 = = 69.4 [9] C Eβ co βl ω la tnon nomal ccata lta n dfntva data da: = L. 5 = 8.7 MPa Solzon con Po-Sap La olzon nmca tata ottnta tdando d modll caattzzat da: a 8 ddvon lngo l a dlla tav 8 ddvon lngo la lna mda dlla zon; 46 S.I. Softwa Svz p l Inggna

b 6 ddvon lngo l a dlla tav 6 ddvon lngo la lna mda dlla zon. S potano nlla tablla ottotant valo cavat p va nmca: Mpa Cao a.4 Cao b 9.7 ablla.. S potano gafcamnt ltat ottnt Fg..: Fga.. Cao b Mapp tnon N -. Ovazon S confontano oa ltat ottnt vdnzando l dffnz a n tmn aolt c n tmn pcntal ptto a qll dvat dall foml toc ottn: Mpa Mpa % Cao a.4.7.6 % Cao b 9.7..9 % ablla.. S ova n ntamb ca na bona pondnza fa l ltato toco valo cavat p va nmca. S ova n patcola c all amnta dlla affnatzza dl modllo Cao b mgloa la convgnza dlla olzon. Analog condazon poono ffttat p gl alt tat tnonal n qto contto non condat. S.I. Softwa Svz p l Inggna 47

Pbblcato nl ttmb AUORE Ing. Eka Ga ALRE PUBBLICAZIONI ELEMENI DI SAICA E SCIENZA DELLE COSRUZIONI APPLICAZIONI DEGLI ELEMENI FINII ELEMENI DI SAICA E SCIENZA DELLE COSRUZIONI APPLICAZIONI AVANZAE DEGLI ELEMENI FINII ELEMENI DI GEOECNICA ELEMENI DI DINAMICA DELLE SRUURE PRO_SAP INRODUZIONE ALL'USO PRO_SAP ESEMPI GUIDA PRO_SAP ESEMPI DI PROGEAZIONE P n lnco pù aggonato dll pbblcazon dponbl contatta: P.tta Scatt 8-44 Faa l. 5/9 - Fa 5/86 www..t nfo@.t 48 S.I. Softwa Svz p l Inggna