T 2. Figura 1: Conduzione monodimensionale in una lastra piana

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1 CONDUZIONE EMICA a condzon è l mccansmo d scambo trmco ch ha logo tra corp a contatto o tra d rgon dllo stsso mzzo soldo o fldo a dvrsa tmpratra. Il mccansmo d trasfrmnto dl calor avvn con modaltà dvrs a sconda dlla natra fsca dl corpo. In partcolar, n gas, ssndo la tmpratra l ndc macroscopco dll agtazon molcolar ntrna, l trasfrmnto d nrga trmca avvn pr dffson atomca molcolar mdant trasfrmnto d nrga cntca attravrso gl rt tra l molcol. N lqd n sold dlttrc l trasfrmnto d nrga avvn pr mzzo d ond lastch ch s orgnano a casa d vbrazon dl rtcolo crstallno. N mtall, nfn, ch sono mglor condttor d calor, l fnomno consst prvalntmnt nlla dffson d lttron lbr, ch, movndos da na rgon all altra, trasmttono attravrso rt l nrga cntca, qnd l calor. In ttt cas l mccansmo d scambo trmco non è ma accompagnato da mot rlatv macroscopc dll partcll ch compongono l matral. Il fnomno d scambo trmco condttvo prodc n dfntva n lvllamnto dll tmpratr nzalmnt dsgal. Ipotzzamo ora d consdrar na lastra pana d spssor sottoposta ad na dffrnza d tmpratra tra l s facc strm, com rapprsntato nlla fgra. Q Fgra : Condzon monodmnsonal n na lastra pana d sprfc strm dlla lastra sano sotrm, qlla d snstra a tmpratra qlla d dstra a tmpratra. In qsta pots la potnza trmca s trasmtt scondo n nca drzon, qlla prpndcolar all d facc consdrat. Il fnomno è dnq da consdrars monodmnsonal. S pr pots >, la potnza trmca Q attravrsa la lastra nlla drzon dll tmpratr dcrscnt, coè da snstra a dstra. Spponamo noltr ch l matral sa omogno d sotropo: la prma pots ha pr consgnza n comportamnto trmco dl matral ndpndnt dalla poszon n c lo s valta, mntr la sconda ndca ch l matral s comporta alla stssa manra ndpndntmnt dalla drzon n c l calor lo attravrsa. omogntà l sotropa consntono d dfnr l prstazon trmch dl matral con n nca grandzza, dtta condcbltà o condttvtà trmca. Spponamo nfn d mantnr costant nl tmpo l d tmpratr ch casano l trasfrmnto d calor. In qst condzon l fnomno rslta ssr stazonaro o prmannt, ossa con carattrstch trmch ch non varano nl tmpo. In qst pots, coè n prsnza d n fnomno monodmnsonal stazonaro ch avvn n na lastra pana d matral omogno d sotropo, possamo scrvr l

2 postlato d Forr, ch prmtt d dtrmnar la potnza trmca condttva scambata, nl modo sgnt: dov: Q : potnza trmca scambata (W); A: ara dlla szon prpndcolar al flsso trmco (m ); : condcbltà trmca dl matral (W/mK); d/d: gradnt trmco (K/m). A d d Dvdndo ntramb mmbr pr A s ottn n altra sprsson dllo stsso postlato n c compar l flsso trmco Φ, coè la potnza trmca scambata pr ntà d ara (W/m ): Φ d d a condcbltà trmca dscrv l comportamnto trmco dl matral; com gà dtto, l carattrstch d omogntà d sotropa d qst ltmo consntono d sar n nco valor d pr dfnr l comportamnto trmco n ogn pnto d n qalsas drzon. a condcbltà trmca pò ssr dfnta com la potnza trmca scambata pr condzon pr ntà d spssor pr ntà d salto trmco dal matral consdrato. Essa n gnral dpnd, pr var matral, sa dalla tmpratra ch dalla prsson, ma nlla qas altà d cas pratc tal dpndnza pò ssr trascrata la condttvtà pò ssr consdrata costant. I matral ch offrono maggor rsstnza al flsso trmco, coè cattv condttor, sono carattrzzat da valor molto bass dlla condttvtà: rntrano n qsta catgora gl solant tlzzat n dlza, pr qal s ha: W 0,04 0,06 m K Al contraro matral mtallc, ch condcono ffcacmnt l calor, prsntano valor dlla condttvtà notvolmnt pù lvat. Pr ss, s ha nfatt: W m K ara stagnant prsnta valor dlla condcbltà trmca tra pù bass n assolto sarbb, pr qsto, l mglor solant tlzzabl, ma n pratca non è possbl mantnr l ara frma all ntrno d ntrcapdn dll dmnson d qalch cntmtro, com qll ch s possono trovar nll part, poché la prsnza d dffrnz d tmpratra all ntrno d tal szon, nnsca, com vdrmo n sgto, altr mccansm d scambo trmco ch nbscono l potr trmosolant dll ara. N matral solant, ch sono

3 costtt da na matrc solda da pccol nclson d ara o d altr gas, l dmnson molto rdott dll clltt chs ch contngono l ara stssa consntono d ralzzar stazon favorvol n c qsta rman prssoché stagnant confrsc all ntro matral n lvata rsstnza trmca. Il gradnt d tmpratra d/d ndca la varazon d tmpratra pr ntà d spssor attravrsato, coè la rapdtà con c la tmpratra crsc o dcrsc all ntrno dl matral. In altr parol sso sprm la drvata dlla fnzon ch dscrv l'andamnto dll tmpratr all'ntrno dl corpo qnd fornsc la pndnza d tal crva rsptto allo spssor. Un lvato valor dl gradnt trmco comporta na notvol varazon d tmpratra nll ntà d spssor, comportando na pndnza lvata dlla sa crva d dcadmnto. Al contraro, n pccolo valor dl gradnt trmco ndca na pccola varazon d tmpratra nll ntà d spssor con na consgnt rdotta pndnza dlla crva d dcadmnto dlla tmpratra stssa. Il sgno mno ndca ch potnza trmca gradnt sono smpr dscord pr c la potnza vn smpr trasmssa n vrso opposto rsptto a qllo n c crscono l tmpratr. a b Q Q Fgra : Potnza gradnt trmco oppost n sgno Nllo schma (a) dlla fgra la tmpratra dcrsc nl vrso postvo dll, qnd l gradnt è ngatvo, mntr la potnza trmca va da a pr c è postva, poché concord con l vrso postvo dll. S ha prtanto: d d > 0;d < 0 < 0 Q > 0 d Al contraro, nllo schma d fgra (b), la tmpratra crsc nl vrso postvo dll, pr c la potnza va scondo l vrso ngatvo dllo stsso ass s ha: d d > 0;d > 0 > 0 Q < 0 d a potnza trmca d l gradnt rsltano prtanto smpr dscord n sgno. 3

4 Da n pnto d vsta fsco qsto sgnfca ssnzalmnt ch l calor vn trasmsso smpr nl vrso dll tmpratr dcrscnt, nl pno rsptto dl II Prncpo dlla rmodnamca. Il postlato d Forr consnt d calcolar la potnza o l flsso trmco trasmss n rgm stazonaro monodmnsonal da na part pana omogna d sotropa d spssor sottoposta ad na dffrnza d tmpratra, con >. Q Fgra 3: Potnza trmca scambata pr condzon n na lastra pana Con rfrmnto alla fgra 3 possamo scrvr: d A d d A d 0 d A d Com gà accnnato, n prma approssmazon, la condcbltà trmca pò ssr consdrata costant rsptto alla tmpratra pr n ampo rang d valor cò consnt d portar la for dal sgno d ntgral; analogamnt la A è costant rsptto a, mntr la stazonartà dl fnomno prmtt d consdrar la potnza trmca ndpndnt dalla. S ha n dfntva: 0 d A d A ( ) A ( ) Da c la potnza trmca d l flsso trmco valgono rspttvamnt: A ( ) ( ) Q Φ 4

5 S dfnscono a qsto pnto l sgnt grandzz: A C W condttanza condttva K ; C W condttanza condttva ntara m K ; C A rsstnza condttva K W ; m K C rsstnza condttva ntara. W ch prmttono d scrvr l sprsson dlla potnza trmca dl flsso trmco nll sgnt manr tra loro qvalnt: C C A Φ C Φ A I matral solant sono carattrzzat ovvamnt da lvat valor dlla rsstnza, mntr bon condttor, com mtall, sono carattrzzat da lvat valor dlla condttanza. Il postlato d Forr consnt noltr d calcolar, all ntrno dlla lastra pana d matral omogno d sotropo, l andamnto dll tmpratr n rgm stazonaro monodmnsonal. S consdr, a qsto proposto, na lastra pana d spssor d n sstma d ass cartsan ortogonal ch prvda n ascss gl spssor d n ordnat l tmpratr, com llstrato nlla fgra 4. Sano 0 la tmpratra dlla lastra slla facca corrspondnt ad 0 () la tmpratra assnta all ntrno dllo strato n corrspondnza dlla gnrca szon. Intgrando tra 0 d l qazon dffrnzal dl I ordn a varabl sparabl ch drva dal postlato d Forr, s ottn: d A d d A d d ( ) 0 0 A d 5

6 0 () 0 Fgra 4: Andamnto dll tmpratr n na lastra pana A qsto pnto, applcando l pots d stazonartà dl fnomno d costanza dlla condcbltà rsptto alla tmpratra, s ottn: ( ) d A d ( ) 0 ( ) 0 A 0 0 A All ntrno dllo strato consdrato s ha prtanto n andamnto lnar dll tmpratr. qazon ch s ottn è nfatt qlla d na rtta con trmn noto 0 con coffcnt angolar par a Q. A Il valor ngatvo d qst ltmo ndca na pndnza ngatva dlla rtta ch, a partà d flsso trmco trasmsso, è tanto pù accntata qanto pù pccolo è l valor dlla condcbltà trmca. In altr parol, na volta fssato l flsso trmco trasmsso dalla part, s qsta è costtta da matral a bassa condcbltà trmca (s. solant) s ha al so ntrno n dcadmnto dlla tmpratra pù rpntno d qllo ch s avrbb s foss ralzzata con n matral a pù lvata condcbltà. 6

7 sstnz condttv n sr d n paralllo Consdramo na part composta da d strat d dvrso spssor matral, n cascno d qal rstno soddsfatt l condzon d omogntà sotropa dl matral d stazonartà monodmnsonaltà dl fnomno (cfr. Fg. 5). Fgra 5: Part pana composta da d strat d matral dvrs Spponamo ch la part nl so complsso sa sottoposta ad n salto trmco ch all ntrno d cascno d d strat s abba, n rgm stazonaro, n andamnto trmco lnar con pndnz dvrs n fnzon dl dvrso valor assnto dalla condcbltà trmca. Sa la tmpratra ch s nstara all ntrfacca tra d strat. E possbl applcar, n qsto caso, l mtodo dll analoga lttrca, ch prvd la corrspondnza tra l fnomno trmco nlla confgrazon dscrtta d l fnomno lttrco ch s vrfca n n crcto d d rsstnz lttrch n sr dspost scondo lo schma dlla fgra 6. Esst na prftta analoga, rspttvamnt, tra la dffrnza d potnzal lttrco la dffrnza d tmpratra, la corrnt lttrca d l flsso trmco, d nfn tra la rsstnza lttrca qlla trmca ntara. Facndo rfrmnto alla fgra sgnt, la rsstnza ntara dl prmo strato, rapprsntata dalla prma rsstnza lttrca, val /, mntr la sconda val /. / / Fgra 6: Analoga lttrca pr d strat n sr 7

8 8 a potnza trmca ch attravrsa la part, ch, pr la stazonartà dl fnomno, rslta gal a qlla ch attravrsa ogn so strato, pò ssr calcolata com sg: N consg: Poché nlla confgrazon d d o pù rsstnz n sr la rsstnza lttrca al s ottn sommando l sngol rsstnz, n modo dl ttto analogo, sommando l sngol rsstnz trmch ntar, s ottn la rsstnza trmca ntara al: da c l sprsson dl flsso dlla potnza trmca ch valgono, rspttvamnt: ( ) Φ, ( ) A Q, Il rsltato così ottnto pò ovvamnt ssr gnralzzato al caso d na part mltstrato con nmro d strat par ad n, pr l qal la rsstnza trmca ntara al val: ( ) ( ) Q Q A A ( ) ( ) Q Q A A ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ,,, n n,,

9 9 Facndo rfrmnto alla part a d strat dlla fgra 5, è possbl dtrmnar la tmpratra ntrmda gaglando flss nll ntra part nl prmo strato nl modo sgnt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, Φ da c: ( ), In sgto s vdrà com, n na part mltstrato, cascna tmpratra ntrmda ntrna pò ssr calcolata sottrando alla tmpratra maggor na qanttà data dal flsso pr la rsstnza ntara ncontrata fno alla szon corrspondnt. Una part pò ssr costtta da no o pù strat dspost n paralllo com nlla fgra sgnt, n c vn rapprsntato lo schma lttrco graz al qal è possbl rsolvr l problma con l mtodo dll analoga lttrca. Fgra 7: Part pana composta da d strat n paralllo d analoga lttrca In qsto caso la potnza trmca Q s rpartsc n d strat n modo nvrsamnt proporzonal all rsstnz trmch offrt. Infatt s ha: In dfntva, qando d rsstnz trmch sono post n paralllo, la potnza trmca scambata s calcola con na formla dl tpo: Q Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C A A A A Q Q Q ( ) C Q

10 n c: C C C a condttanza trmca al è dnq par alla somma dll sngol condttanz. Ovvamnt qsta proprtà pò ssr gnralzzata ad n nmro qalsas d strat dspost n paralllo. Condzon stazonara n gomtra clndrca Il fnomno d condzon trmca pò avvnr nllo spssor d n tbo (clndro cavo) all'ntrno dl qal scorr n fldo a tmpratra dvrsa dall'ambnt strno (s: acqa calda n n mpanto d rscaldamnto, ara n n canal a szon crcolar d n mpanto d clmatzzazon). S l tbo è sffcntmnt lngo tanto da trascrar gl fftt d bordo dlmtato da d sprfc sotrm a tmpratr dffrnt, s pò potzzar ch lo scambo trmco avvnga solo nlla drzon radal, qnd ch sa monodmnsonal. S po l tmpratr ntrna d strna al tbo sono costant nl tmpo l fnomno avvn n rgm stazonaro. Facndo rfrmnto alla fgra 8 sgnt, consdramo n tbo a szon crcolar d raggo ntrno r raggo strno r, lnghzza condcbltà trmca mda, dlmtato da s sprfc sotrm a tmpratr, rspttvamnt,. r r Fgra 8: Condzon trmca n gomtra clndrca In tal confgrazon la tmpratra all'ntrno dllo spssor dl tbo vara radalmnt ( r) mntr l postlato d Forr pò ssr scrtto nlla forma sgnt: A d dr [ W ] 0

11 solvndo l'qazon, s ha: d A dr π r d dr r dr d π r r Pr la stazonartà dl fnomno s pò portar la Q for dal sgno d ntgral, d analogamnt la condcbltà pò ssr portata for dall ntgral potndola d solto consdrar ndpndnt dalla tmpratra. Prtanto s ottn: π r r dr r π ( ) r ln r d r ln π r ( ) Analogamnt a qanto fatto pr la gomtra pana, anch pr problm d gomtra clndrca, s pò dfnr la rsstnza trmca, nl modo sgnt: r ln r π K W Pr c s ha: ( ) Non è possbl al contraro dfnr la rsstnza ntara dllo strato clndrco ssndo varabl con l raggo la sprfc prpndcolar alla drzon dl flsso trmco. Condzon stazonara n gomtra clndrca mltstrato Il fnomno trmco condttvo pò avr logo n na confgrazon clndrca mltstrato qando pù strat clndrc sono dspost n modo coassal l no sll altro, com accad ad smpo nl caso d tb d crcolazon d n mpanto d rscaldamnto rcoprt da no strato d matral solant ch prodc la ncssara cobntazon n modo da lmtar l dsprson trmch vrso l strno, o nl caso d n cavo lttrco rvstto da na gana solant. Il problma pò ssr rsolto rcorrndo anch n qsto caso all analoga lttrca rcondcndo la confgrazon trmca ad n sstma costtto da rsstnz n sr, la c somma prmtt d calcolar la rsstnza al.

12 r r r 3 Fgra 9: Strat clndrc n sr Facndo rfrmnto allo schma dlla fgra 9, pr calcolar la potnza trmca scambata tra la sprfc ntrna dl prmo strato qlla strna dl scondo strato s procd prtanto nl modo sgnt: dov: ( ) r r3 ln ln r r π π Ovvamnt la rlazon pò ssr gnralzzata al caso d n rsstnz clndrch n sr, calcolando la rsstnza al com somma d ttt l rsstnz prsnt.

13 CONVEZIONE EMICA a convzon trmca è l mccansmo fondamntal d scambo trmco tra n soldo d n fldo n movmnto rsptto ad sso qando tra d sstm c sa na dffrnza d tmpratra. Essa prsppon no scambo trmco d tpo condttvo tra l corpo gl strat d fldo ad sso adacnt d l trasporto d nrga n rgon pù lontan graz al moto macroscopco dl fldo, dtto appnto convttvo. Gl rt tra l partcll d fldo a dvrsa tmpratra, qnd con n dvrso contnto d nrga, prmttono l trasfrmnto d nrga da zon pù cald a zon pù frdd con consgnt tndnza ad n lvllamnto dll tmpratr all ntrno dl fldo. Il moto dl fldo è dnq na condzon mprscndbl prché avvngano scamb convttv. S sso vn provocato da cas natral, qal la dffrnza d tmpratra, s parla d convzon natral, mntr s parlrà d convzon forzata s è provocato da n agnt mccanco strno, qal na pompa o n vntlator. o scambo trmco ch avvn tra l ara la sprfc calda d n radator oppr tra l ara la sprfc ntrna d na part a dvrsa tmpratra sono tpc smp d convzon natral, mntr lo scambo trmco tra l acqa calda d n mpanto d rscaldamnto la part ntrna dl tbo al c ntrno flsc, oppr tra l ara la part d n canal d trasporto n n mpanto d clmatzzazon costtscono smp d convzon forzata, poché n qst cas l moto dl fldo è smpr provocato da n organo mccanco strno (pompa d crcolazon o vntlator). Nlla convzon natral la dffrnza d tmpratra tra la sprfc dl corpo d l fldo a contatto con sso provoca n rscaldamnto o n raffrddamnto dgl strat d fldo adacnt, con consgnt varazon dlla dnstà tra na zona l altra dlla massa d fldo. a dnstà d fld nfatt dpnd dalla tmpratra d amnta al dmnr d qsta. S ad smpo consdramo l'ara a contatto con na sprfc a tmpratra pù lvata, la csson d calor da part d qst'ltma provoca nll'ara n amnto d tmpratra d na consgnt dmnzon d dnstà. Qsto nnsca n moto ascnsonal dll'ara ch attra nov qanttà d fldo pù frdd a contatto con la part calda provocando n tal modo mot convttv. Al contraro, n n crcto dralco o n n canal d dstrbzon dll ara pr la clmatzzazon ambntal, la pompa d crcolazon o l vntlator costtscono la casa prpondrant dl moto n qst stazon d l fnomno convttvo ch n drva è d tpo forzato. I problm d tpo convttvo sono dscrtt analtcamnt dall qazon dlla fldodnamca combnat con l prncpo dlla consrvazon dll'nrga (I prncpo dlla trmodnamca). S tratta d qazon ch prsntano d solto notvol dffcoltà nlla dtrmnazon dll solzon analtch, data la complsstà gomtrca fldodnamca dl fnomno; s adottano prcò spsso mtod nmrc o sprmntal, qst ltm assocat all'anals dmnsonal, ch prmtt d dfnr alcn grpp admnsonal n grado d dscrvr l fnomno n ttt l stazon. a rlazon fondamntal tlzzata pr lo stdo dlla convzon trmca, formlata da Nwton nl 70, è la sgnt: ( ) h A c s n c: Q : potnza trmca scambata pr convzon (W); h c : coffcnt mdo d scambo trmco convttvo (W/m K); 3

14 A: ara dlla sprfc d scambo (m ); s : tmpratra dlla sprfc a contatto con l fldo (K); : tmpratra dl fldo ndstrbato (K); Anch nl caso dlla convzon s possono dfnr l grandzz condttanza rsstnza nl modo sgnt: W C hc A condttanza convttva K W C h c condttanza convttva ntara m K C h A c rsstnza convttva K W m K C h rsstnza convttva ntara c W n fnzon dll qal è possbl scrvr l sprsson dlla potnza trmca dl flsso trmco analogamnt a qanto fatto pr la condzon. Il problma fondamntal dlla convzon consst nlla dtrmnazon, nll var stazon, dl coffcnt d scambo trmco, ch è na fnzon dll proprtà fsch dl fldo, dll condzon trmo-fldodnamch dl fnomno dlla gomtra dl sstma. Nlla rlazon d Nwton, tal coffcnt è prso n valor mdo. Infatt, n na confgrazon d scambo convttvo, qal ad smpo qlla dlla Fgra 0 sgnt, n c ara a tmpratra a scamba calor con na sprfc a tmpratra s, assm nll dvrs zon d contatto valor dffrnt, d c h c sprm la mda spazal. s a Fgra 0: Scambo trmco convttvo tra ara d na part In convzon natral la dffrnza d tmpratra tra d sstm, ssndo la casa fondamntal dl moto dl fldo, è anch l paramtro ch maggormnt nflnza l 4

15 valor nmrco dl coffcnt d scambo trmco. In lttratra sono rprbl molt sprsson d h c n fnzon dl nll var confgrazon gomtrch. Al contraro, n n rgm d convzon forzata, la vloctà mprssa al fldo dall organo mccanco ch lo pon n movmnto è l paramtro fondamntal da c dpnd l valor dl coffcnt d scambo. condzon d moto dl fldo possono ssr carattrzzat da dvrs confgrazon tpch: Flsso comprmbl: s ha qando la dnstà dl fldo è varabl n fnzon d prsson tmpratra, com avvn n gas. Flsso ncomprmbl: è carattrzzato da n valor costant dlla dnstà rsptto alla tmpratra alla prsson. I lqd possono ssr consdrat con ottma approssmazon fld ncomprmbl. Il grado d rror ch s commtt consdrando n gas ncomprmbl dpnd da na grandzza dmnsonal dtta nmro d MACH, ch mtt n rlazon la vloctà ndstrbata dl fldo, consdrata coè ad na dstanza dalla sprfc tal da non rsntr dlla sa prsnza, con qlla dl sono c (par a crca 344 m/s n ara n condzon normal): Ma c Pr valor dl nmro d Mach nfror a 0,3 l flsso s pò rtnr con bona approssmazon ncomprmbl. Qsto sgnfca ch l'ara n moto rsptto ad n corpo soldo dà vta ad n flsso ncomprmbl fnché la sa vloctà è nfror a crca 03 m/s, ch ovvamnt è n valor molto lvato. Pr qanto dtto s pò assmr prtanto ch l dflsso dll'ara rsptto ad na part possa ssr consdrato ncomprmbl pratcamnt n ttt l stazon, sa d convzon natral ch forzata. Flsso ntrno: s ha nl caso d moto d n fldo all'ntrno d n condotto, com ad smpo qllo dll'acqa n n crcto dralco o d rscaldamnto, oppr dll'ara n canal d dstrbzon d n mpanto d clmatzzazon. Flsso strno: è l caso d n fldo ch lambsc la sprfc strna d n corpo, ad smpo l'ara ch flsc s na part. Prma d affrontar pù n dttaglo l tmatch dlla convzon forzata d qlla natral, è tl a qsto pnto prsntar alcn smp d mccansm combnat d scambo trmco, n partcolar confgrazon n c la condzon la convzon cosstono d hanno logo contmporanamnt. 5

16 Part pana mltstrato con scamb lmnar convttv Nlla fgra è rapprsntata na part pana costtta ad smpo da qattro strat d matral omogno d sotropo ch spara l ambnt ntrno da qllo strno. ara n d ambnt sa rspttvamnt a tmpratr a a, con a > a. 3 4 a h c h c a Fgra : Scamb trmc combnat n na part pana mltstrato ra l ara l sprfc ntrna d strna dlla part c sono scamb trmc convttv, dtt anch lmnar, carattrzzat da coffcnt h c d h c, mntr ngl strat ntrn dlla part l calor s trasmtt pr condzon. Cascno strato è carattrzzato na valor dvrso dlla condcbltà. Essndo l ara nll ambnt ntrno a tmpratra maggor d qlla strna, la potnza trmca vn trasmssa globalmnt dall ntrno vrso l strno. Pr calcolar tal potnza è dnq ncssaro consdrar contmporanamnt gl scamb convttv qll condttv. Applcando l mtodo dll analoga lttrca, possamo rcondrr la confgrazon trmca ad n crcto lttrco d s rsstnz n sr calcolar la rsstnza ntara al com somma dll sngol rsstnz ntar d ttt gl strat. S ha prtanto: 3 4, hc 3 4 Nota la rsstnza trmca ntara al s possono calcolar sccssvamnt l flsso trmco la potnza trmca scambat nl modo sgnt: h c Φ Φ A,, ( ) ( ) A ( ) A ( ) 3 4 hc 3 4 hc 3 4 h h c 3 4 c 6

17 Part clndrca mltstrato con scamb lmnar convttv Spssor crtco dll solant Consdramo n sstma costtto da d strat clndrc d dvrso matral condcbltà dspost n modo coassal, sottoposto a scamb trmc convttv all ntrno d all strno. E l caso ch s vrfca qando n tbo trasporta n fldo (pr smpo acqa rscaldata n n mpanto d rscaldamnto) vn opportnamnt solato sl lato strno pr vtar ccssv dsprson trmch. ra l acqa ch scorr all ntrno dl tbo la sprfc ntrna dllo strato ntrno c sono scamb trmc convttv carattrzzat da n coffcnt h c mntr all strno c sono scamb trmc convttv con l ara carattrzzat da n coffcnt h c. ara h c r r r 3 acqa h c Fgra : Scamb trmc combnat n n clndro cavo (s: tbo n c scorr acqa calda) Spponamo ch l fldo ntrno s trov ad na tmpratra a maggor d qlla dl fldo strno dtrmnando n tal modo n flsso trmco scnt dall ntrno vrso l strno. o strato d solant strno, carattrzzato da n basso valor dlla condcbltà, srv appnto a lmtar tal dsprson amntando l valor dlla rsstnza trmca offrta dall ntro sstma. Adottando l mtodo dll analoga lttrca, s pò anch n qsto caso rcondrr l sstma ad na sccsson d rsstnz n sr: d convttv (qlla ntrna qlla strna) d condttv (qll dllo spssor dl tbo dll solant). S potrbb pnsar ch, com avvn nl caso d gomtra pana, n amnto dllo spssor dll solant comport smpr n amnto dlla rsstnza trmca. In gomtra clndrca, prò, s vrfca la crcostanza partcolar pr la qal, all amntar dllo spssor dll solant, amnta la rsstnza trmca dllo strato ma contmporanamnt amnta la sprfc strna dl sstma, ch prodc n ncrmnto dgl scamb convttv. I d fattor sono contrastant: l prmo lmta l dsprson, l scondo l accnta, d consgnza sarà ncssaro valtar attntamnt l nflnza d ntramb slla rsstnza trmca global pr dtrmnar l valor ottmal dllo spssor dll solant. Calcolamo nl modo sgnt la rsstnza trmca al: r r3 ln ln r r 3 4 π r h π π π r h c 3 c 7

18 Stdamo l andamnto dlla fnzon al varar dllo spssor dllo strato d solant, coè all amntar d r 3. I prm d trmn dlla somma non dpndono dal raggo strno r 3, pr c sono costant rsptto ad sso. a drvata prma dlla rsstnza al s calcola prtanto nl modo sgnt: d dr 3 r3 r3 π π h c Ponndola gal a zro s ottn: d r3 r r 3 dr3 π π hc r3 r3 hc hc Poché noltr la drvata prma dlla fnzon rslta ngatva pr pr r 3 >, la rsstnza al prsnta n pnto d mnmo pr r h c h c 3 < postva h c Qsto sgnfca ch all amntar dl raggo strno dllo strato d solant, la rsstnza trmca global amnta solo s sso è spror ad n valor mnmo (dtto crtco) dato dal rapporto tra la condcbltà trmca dll solant d l coffcnt d scambo convttvo strno. Al d sotto d tal valor, n amnto dllo spssor è addrttra controprodcnt, poché comporta na dmnzon non n amnto dlla rsstnza al, dnq n amnto dll dsprson. 3 r 8

19 Eqazon gnral dlla condzon Consdramo n sstma trdmnsonal oggtto d scambo trmco pr condzon. In gnral la tmpratra dpnd dall tr varabl spazal, y z dalla varabl tmporal t, pr c l campo trmco sarà dato da: f (, y, z, t) Faccamo ora rfrmnto, sl dagramma,y,z, ad n lmnto d dmnson nfntsm d n corpo sd dl fnomno condttvo d volm dv d dy dz (Fgra 3). z d Q z dz d Q d Q y d Q y dy d Q d d Q z y Fgra 3: Condzon trmca trdmnsonal Applcando l I Prncpo dlla rmodnamca, n assnza d lavoro scambato con l strno dall lmntno (non sstono part mobl non c sono albr ch raccolgono lavoro tcnco), la somma algbrca dll qanttà d calor mss n goco qval alla varazon d nrga ntrna dl sstma. a potnza trmca scambata pr condzon dv con l strno (part rmannt dl sstma stsso) s valta ffttando l blanco trmco tra cò ch ntra cò sc dall lmntno sparatamnt nll tr drzon. S potzza noltr ch l matral sa sotropo ch prsnt, prtanto, n nco valor d condcbltà trmca. Nlla drzon s avrà: d d dy dz dy dz d dy dz d 9

20 Dal blanco trmco lngo s ottn: d d d dy dz dy dz dy dz d d dy dz Pr analoga, nll altr d drzon, s ottngono l sgnt sprsson: d y d y dy d dz d dz d dz dy d dy dz y y y y y d z d z dz d dy d dy d dy dz d dy dz z z z z z S potzza noltr ch all ntrno dl corpo c sa na gnrazon d calor Indcando con [W/m 3 ], s ottn: d Q s. Q V la potnza trmca gnrata ntrnamnt al corpo pr ntà d volm d s dv V V d dy dz a varazon d nrga ntrna dll lmntno d volm dv s pò calcolar nl modo sgnt: du ρ dv c ρ d dy dz c t t Pr c, scrvndo l blanco d nrga, s ottn: d dy dz d dy dz y d dy dz z V d dy dz ρ d dy dz c t da c: y z V ρ c t n c: ρ: dnstà dl matral [kg/m 3 ] c: calor spcfco dl matral [kj/kg K] Qlla scrtta è l'qazon gnral dlla condzon n rgm trdmnsonal ch govrna la dstrbzon d tmpratra d l flsso trmco n n soldo con proprtà fsch nform. 0

21 Introdcndo la grandzza dffsvtà a, data dalla sgnt sprsson: potzzando ch non c sano sorgnt ntrn d calor ( V Q 0), s ottn: S l rgm è stazonaro, s ottn l'qazon d aplac: In rgm stazonaro bdmnsonal l'qazon dvnta: ch, rsolta, fornsc l'andamnto dll tmpratr (,y) da c s pò dtrmnar l flsso trmco nlla d drzon d y. [ ] s m c a ρ t a z y 0 z y 0 y