T 2. Figura 1: Conduzione monodimensionale in una lastra piana

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1 CONDUZIONE ERMIC a conduzon è l mccanmo d cambo trmco ch ha luogo tra corp a contatto o tra du rgon dllo to mzzo oldo o fludo a dvra tmpratura. Il mccanmo d trafrmnto dl calor avvn con modaltà dvr a conda dlla natura fca dl corpo. In partcolar n ga ndo la tmpratura l ndc macrocopco dll agtazon molcolar ntrna l trafrmnto d nrga trmca avvn pr dffuon atomca molcolar mdant trafrmnto d nrga cntca attravro gl urt tra l molcol. N lqud n old dlttrc l trafrmnto d nrga avvn pr mzzo d ond latch ch orgnano a caua d vbrazon dl rtcolo crtallno. N mtall nfn ch ono mglor conduttor d calor l fnomno cont prvalntmnt nlla dffuon d lttron lbr ch muovndo da una rgon all altra tramttono attravro urt l nrga cntca qund l calor. In tutt ca l mccanmo d cambo trmco non è ma accompagnato da mot rlatv macrocopc dll partcll ch compongono l matral. Il fnomno d cambo trmco conduttvo produc n dfntva un lvllamnto dll tmpratur nzalmnt dugual. Ipotzzamo ora d condrar una latra pana d por ottopota ad una dffrnza d tmpratura tra l u facc trm com rapprntato nlla fgura. Q Fgura : Conduzon monodmnonal n una latra pana du uprfc trm dlla latra ano otrm qulla d ntra a tmpratura qulla d dtra a tmpratura. In quta pot la potnza trmca tramtt condo un unca drzon qulla prpndcolar all du facc condrat. Il fnomno è dunqu da condrar monodmnonal. S pr pot > la potnza trmca Q & attravra la latra nlla drzon dll tmpratur dcrcnt coè da ntra a dtra. Supponamo noltr ch l matral a omogno d otropo: la prma pot ha pr congunza un comportamnto trmco dl matral ndpndnt dalla pozon n cu lo valuta mntr la conda ndca ch l matral comporta alla ta manra ndpndntmnt dalla drzon n cu l calor lo attravra. omogntà l otropa conntono d dfnr l prtazon trmch dl matral con un unca grandzza dtta conducbltà o conduttvtà trmca. Supponamo nfn d mantnr cotant nl tmpo l du tmpratur ch cauano l trafrmnto d calor. In qut condzon l fnomno rulta r tazonaro o prmannt oa con carattrtch trmch ch non varano nl tmpo. In qut pot coè n prnza d un fnomno monodmnonal tazonaro ch avvn n una latra pana d matral omogno d otropo poamo crvr l

2 potulato d Fourr ch prmtt d dtrmnar la potnza trmca conduttva cambata nl modo gunt: dov: Q & : potnza trmca cambata (W); : ara dlla zon prpndcolar al fluo trmco (m ); : conducbltà trmca dl matral (W/mK); d/dx: gradnt trmco (K/m). d dx Dvdndo ntramb mmbr pr ottn un altra pron dllo to potulato n cu compar l fluo trmco Φ coè la potnza trmca cambata pr untà d ara (W/m ): Φ d dx a conducbltà trmca dcrv l comportamnto trmco dl matral; com gà dtto l carattrtch d omogntà d otropa d qut ultmo conntono d uar un unco valor d pr dfnr l comportamnto trmco n ogn punto d n quala drzon. a conducbltà trmca può r dfnta com la potnza trmca cambata pr conduzon pr untà d por pr untà d alto trmco dal matral condrato. Ea n gnral dpnd pr var matral a dalla tmpratura ch dalla pron ma nlla qua totaltà d ca pratc tal dpndnza può r tracurata la conduttvtà può r condrata cotant. I matral ch offrono maggor rtnza al fluo trmco coè cattv conduttor ono carattrzzat da valor molto ba dlla conduttvtà: rntrano n quta catgora gl olant utlzzat n dlza pr qual ha: W m K l contraro matral mtallc ch conducono ffcacmnt l calor prntano valor dlla conduttvtà notvolmnt pù lvat. Pr ha nfatt: W m K ara tagnant prnta valor dlla conducbltà trmca tra pù ba n aoluto arbb pr quto l mglor olant utlzzabl ma n pratca non è pobl mantnr l ara frma all ntrno d ntrcapdn dll dmnon d qualch cntmtro com qull ch poono trovar nll part poché la prnza d dffrnz d tmpratura all ntrno d tal zon nnca com vdrmo n guto altr mccanm d cambo trmco ch nbcono l potr trmoolant dll ara. N matral olant ch ono

3 cottut da una matrc olda da pccol ncluon d ara o d altr ga l dmnon molto rdott dll clltt chu ch contngono l ara ta conntono d ralzzar tuazon favorvol n cu quta rman proché tagnant confrc all ntro matral un lvata rtnza trmca. Il gradnt d tmpratura d/dx ndca la varazon d tmpratura pr untà d por attravrato coè la rapdtà con cu la tmpratura crc o dcrc all ntrno dl matral. In altr parol o prm la drvata dlla funzon ch dcrv l'andamnto dll tmpratur all'ntrno dl corpo qund fornc la pndnza d tal curva rptto allo por. Un lvato valor dl gradnt trmco comporta una notvol varazon d tmpratura nll untà d por comportando una pndnza lvata dlla ua curva d dcadmnto. l contraro un pccolo valor dl gradnt trmco ndca una pccola varazon d tmpratura nll untà d por con una congunt rdotta pndnza dlla curva d dcadmnto dlla tmpratura ta. Il gno mno ndca ch potnza trmca gradnt ono mpr dcord pr cu la potnza vn mpr trama n vro oppoto rptto a qullo n cu crcono l tmpratur. a b Q Q x x Fgura : Potnza gradnt trmco oppot n gno Nllo chma (a) dlla fgura la tmpratura dcrc nl vro potvo dll x qund l gradnt è ngatvo mntr la potnza trmca va da a pr cu è potva poché concord con l vro potvo dll x. S ha prtanto: d dx > 0;d < 0 < 0 Q > 0 dx l contraro nllo chma d fgura (b) la tmpratura crc nl vro potvo dll x pr cu la potnza va condo l vro ngatvo dllo to a x ha: d dx > 0;d > 0 > 0 Q < 0 dx a potnza trmca d l gradnt rultano prtanto mpr dcord n gno.

4 Da un punto d vta fco quto gnfca nzalmnt ch l calor vn tramo mpr nl vro dll tmpratur dcrcnt nl pno rptto dl II Prncpo dlla rmodnamca. Il potulato d Fourr connt d calcolar la potnza o l fluo trmco tram n rgm tazonaro monodmnonal da una part pana omogna d otropa d por ottopota ad una dffrnza d tmpratura con >. Q & Fgura : Potnza trmca cambata pr conduzon n una latra pana Con rfrmnto alla fgura poamo crvr: d dx dx d 0 dx d Com gà accnnato n prma appromazon la conducbltà trmca può r condrata cotant rptto alla tmpratura pr un ampo rang d valor cò connt d portar la fuor dal gno d ntgral; analogamnt la è cotant rptto a mntr la tazonartà dl fnomno prmtt d condrar la potnza trmca ndpndnt dalla x. S ha n dfntva: 0 dx d ( ) ( ) Da cu la potnza trmca d l fluo trmco valgono rpttvamnt: & ( ) ( ) Q Φ

5 S dfncono a quto punto l gunt grandzz: C W conduttanza conduttva K ; C u W conduttanza conduttva untara m K ; R C rtnza conduttva K W ; R m K C u rtnza conduttva untara. W u ch prmttono d crvr l pron dlla potnza trmca dl fluo trmco nll gunt manr tra loro quvalnt: C Cu Φ C u R Φ R u R u I matral olant ono carattrzzat ovvamnt da lvat valor dlla rtnza mntr buon conduttor com mtall ono carattrzzat da lvat valor dlla conduttanza. Il potulato d Fourr connt noltr d calcolar all ntrno dlla latra pana d matral omogno d otropo l andamnto dll tmpratur n rgm tazonaro monodmnonal. S condr a quto propoto una latra pana d por d un tma d a cartan ortogonal ch prvda n ac gl por d n ordnat l tmpratur com llutrato nlla fgura. Sano 0 la tmpratura dlla latra ulla facca corrpondnt ad x 0 (x) la tmpratura aunta all ntrno dllo trato n corrpondnza dlla gnrca zon x. Intgrando tra 0 d x l quazon dffrnzal dl I ordn a varabl parabl ch drva dal potulato d Fourr ottn: d dx dx d x dx ( x) 0 0 d 5

6 0 (x) 0 x x Fgura : ndamnto dll tmpratur n una latra pana quto punto applcando l pot d tazonartà dl fnomno d cotanza dlla conducbltà rptto alla tmpratura ottn: x ( x) dx d ( x) 0 x ( x) x ll ntrno dllo trato condrato ha prtanto un andamnto lnar dll tmpratur. quazon ch ottn è nfatt qulla d una rtta con trmn noto 0 con coffcnt angolar par a Q &. Il valor ngatvo d qut ultmo ndca una pndnza ngatva dlla rtta ch a partà d fluo trmco tramo è tanto pù accntuata quanto pù pccolo è l valor dlla conducbltà trmca. In altr parol una volta fato l fluo trmco tramo dalla part quta è cottuta da matral a baa conducbltà trmca (. olant) ha al uo ntrno un dcadmnto dlla tmpratura pù rpntno d qullo ch avrbb fo ralzzata con un matral a pù lvata conducbltà. 6

7 Rtnz conduttv n r d n paralllo Condramo una part compota da du trat d dvro por matral n cacuno d qual rtno oddfatt l condzon d omogntà otropa dl matral d tazonartà monodmnonaltà dl fnomno (cfr. Fg. 5). Fgura 5: Part pana compota da du trat d matral dvr Supponamo ch la part nl uo complo a ottopota ad un alto trmco ch all ntrno d cacuno d du trat abba n rgm tazonaro un andamnto trmco lnar con pndnz dvr n funzon dl dvro valor aunto dalla conducbltà trmca. Sa la tmpratura ch ntaura all ntrfacca tra du trat. E pobl applcar n quto cao l mtodo dll analoga lttrca ch prvd la corrpondnza tra l fnomno trmco nlla confgurazon dcrtta d l fnomno lttrco ch vrfca n un crcuto d du rtnz lttrch n r dpot condo lo chma dlla fgura 6. Et una prftta analoga rpttvamnt tra la dffrnza d potnzal lttrco la dffrnza d tmpratura la corrnt lttrca d l fluo trmco d nfn tra la rtnza lttrca qulla trmca untara. Facndo rfrmnto alla fgura gunt la rtnza untara dl prmo trato rapprntata dalla prma rtnza lttrca val / mntr la conda val /. / / Fgura 6: naloga lttrca pr du trat n r 7

8 8 a potnza trmca ch attravra la part ch pr la tazonartà dl fnomno rulta ugual a qulla ch attravra ogn uo trato può r calcolata com gu: N congu: Poché nlla confgurazon d du o pù rtnz n r la rtnza lttrca total ottn ommando l ngol rtnz n modo dl tutto analogo ommando l ngol rtnz trmch untar ottn la rtnza trmca untara total: da cu l pron dl fluo dlla potnza trmca ch valgono rpttvamnt: ( ) tot u R Φ ( ) tot u R Q & Il rultato coì ottnuto può ovvamnt r gnralzzato al cao d una part multtrato con numro d trat par ad n pr l qual la rtnza trmca untara total val: ( ) ( ) Q Q & & ( ) ( ) Q Q & & ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ R R R u u tot u n n u tot u R R

9 9 Facndo rfrmnto alla part a du trat dlla fgura 5 è pobl dtrmnar la tmpratura ntrmda uguaglando flu nll ntra part nl prmo trato nl modo gunt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R tot u u tot u u tot u Φ da cu: ( ) R tot u In guto vdrà com n una part multtrato cacuna tmpratura ntrmda ntrna può r calcolata ottrando alla tmpratura maggor una quanttà data dal fluo pr la rtnza untara ncontrata fno alla zon corrpondnt. Una part può r cottuta da uno o pù trat dpot n paralllo com nlla fgura gunt n cu vn rapprntato lo chma lttrco graz al qual è pobl rolvr l problma con l mtodo dll analoga lttrca. Fgura 7: Part pana compota da du trat n paralllo d analoga lttrca In quto cao la potnza trmca Q & rpartc n du trat n modo nvramnt proporzonal all rtnz trmch offrt. Infatt ha: In dfntva quando du rtnz trmch ono pot n paralllo la potnza trmca cambata calcola con una formula dl tpo: Q Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C Q Q Q & & & ( ) tot C Q &

10 n cu: C tot C C a conduttanza trmca total è dunqu par alla omma dll ngol conduttanz. Ovvamnt quta proprtà può r gnralzzata ad un numro quala d trat dpot n paralllo. Conduzon tazonara n gomtra clndrca Il fnomno d conduzon trmca può avvnr nllo por d un tubo (clndro cavo) all'ntrno dl qual corr un fludo a tmpratura dvra dall'ambnt trno (: acqua calda n un mpanto d rcaldamnto ara n un canal a zon crcolar d un mpanto d clmatzzazon). S l tubo è uffcntmnt lungo tanto da tracurar gl fftt d bordo dlmtato da du uprfc otrm a tmpratur dffrnt può potzzar ch lo cambo trmco avvnga olo nlla drzon radal qund ch a monodmnonal. S po l tmpratur ntrna d trna al tubo ono cotant nl tmpo l fnomno avvn n rgm tazonaro. Facndo rfrmnto alla fgura 8 gunt condramo un tubo a zon crcolar d raggo ntrno r raggo trno r lunghzza conducbltà trmca mda dlmtato da u uprfc otrm a tmpratur rpttvamnt. r r Fgura 8: Conduzon trmca n gomtra clndrca In tal confgurazon la tmpratura all'ntrno dllo por dl tubo vara radalmnt ( r) mntr l potulato d Fourr può r crtto nlla forma gunt: d dr [ W ] 0

11 Rolvndo l'quazon ha: d dr π r d dr r dr d π r r Pr la tazonartà dl fnomno può portar la Q & fuor dal gno d ntgral d analogamnt la conducbltà può r portata fuor dall ntgral potndola d olto condrar ndpndnt dalla tmpratura. Prtanto ottn: π r r dr r π ( ) r ln r d r ln π r ( ) nalogamnt a quanto fatto pr la gomtra pana anch pr problm d gomtra clndrca può dfnr la rtnza trmca nl modo gunt: r ln r R π K W Pr cu ha: ( ) R Non è pobl al contraro dfnr la rtnza untara dllo trato clndrco ndo varabl con l raggo la uprfc prpndcolar alla drzon dl fluo trmco. Conduzon tazonara n gomtra clndrca multtrato Il fnomno trmco conduttvo può avr luogo n una confgurazon clndrca multtrato quando pù trat clndrc ono dpot n modo coaal l uno ull altro com accad ad mpo nl cao d tub d crcolazon d un mpanto d rcaldamnto rcoprt da uno trato d matral olant ch produc la ncara cobntazon n modo da lmtar l dpron trmch vro l trno o nl cao d un cavo lttrco rvtto da una guana olant. Il problma può r rolto rcorrndo anch n quto cao all analoga lttrca rconducndo la confgurazon trmca ad un tma cottuto da rtnz n r la cu omma prmtt d calcolar la rtnza total.

12 r r r Fgura 9: Strat clndrc n r Facndo rfrmnto allo chma dlla fgura 9 pr calcolar la potnza trmca cambata tra la uprfc ntrna dl prmo trato qulla trna dl condo trato procd prtanto nl modo gunt: dov: R tot R R ( ) R tot r r ln ln r r π π Ovvamnt la rlazon può r gnralzzata al cao d n rtnz clndrch n r calcolando la rtnza total com omma d tutt l rtnz prnt.

13 CONVEZIONE ERMIC a convzon trmca è l mccanmo fondamntal d cambo trmco tra un oldo d un fludo n movmnto rptto ad o quando tra du tm c a una dffrnza d tmpratura. Ea pruppon uno cambo trmco d tpo conduttvo tra l corpo gl trat d fludo ad o adacnt d l traporto d nrga n rgon pù lontan graz al moto macrocopco dl fludo dtto appunto convttvo. Gl urt tra l partcll d fludo a dvra tmpratura qund con un dvro contnuto d nrga prmttono l trafrmnto d nrga da zon pù cald a zon pù frdd con congunt tndnza ad un lvllamnto dll tmpratur all ntrno dl fludo. Il moto dl fludo è dunqu una condzon mprcndbl prché avvngano camb convttv. S o vn provocato da cau natural qual la dffrnza d tmpratura parla d convzon natural mntr parlrà d convzon forzata è provocato da un agnt mccanco trno qual una pompa o un vntlator. o cambo trmco ch avvn tra l ara la uprfc calda d un radator oppur tra l ara la uprfc ntrna d una part a dvra tmpratura ono tpc mp d convzon natural mntr lo cambo trmco tra l acqua calda d un mpanto d rcaldamnto la part ntrna dl tubo al cu ntrno fluc oppur tra l ara la part d un canal d traporto n un mpanto d clmatzzazon cottucono mp d convzon forzata poché n qut ca l moto dl fludo è mpr provocato da un organo mccanco trno (pompa d crcolazon o vntlator). Nlla convzon natural la dffrnza d tmpratura tra la uprfc dl corpo d l fludo a contatto con o provoca un rcaldamnto o un raffrddamnto dgl trat d fludo adacnt con congunt varazon dlla dntà tra una zona l altra dlla maa d fludo. a dntà d flud nfatt dpnd dalla tmpratura d aumnta al dmnur d quta. S ad mpo condramo l'ara a contatto con una uprfc a tmpratura pù lvata la con d calor da part d qut'ultma provoca nll'ara un aumnto d tmpratura d una congunt dmnuzon d dntà. Quto nnca un moto acnonal dll'ara ch attra nuov quanttà d fludo pù frdd a contatto con la part calda provocando n tal modo mot convttv. l contraro n un crcuto draulco o n un canal d dtrbuzon dll ara pr la clmatzzazon ambntal la pompa d crcolazon o l vntlator cottucono la caua prpondrant dl moto n qut tuazon d l fnomno convttvo ch n drva è d tpo forzato. I problm d tpo convttvo ono dcrtt analtcamnt dall quazon dlla fludodnamca combnat con l prncpo dlla conrvazon dll'nrga (I prncpo dlla trmodnamca). S tratta d quazon ch prntano d olto notvol dffcoltà nlla dtrmnazon dll oluzon analtch data la compltà gomtrca fludodnamca dl fnomno; adottano prcò po mtod numrc o prmntal qut ultm aocat all'anal dmnonal ch prmtt d dfnr alcun grupp admnonal n grado d dcrvr l fnomno n tutt l tuazon. a rlazon fondamntal utlzzata pr lo tudo dlla convzon trmca formulata da Nwton nl 70 è la gunt: ( ) h c n cu: Q & : potnza trmca cambata pr convzon (W); h c : coffcnt mdo d cambo trmco convttvo (W/m K);

14 : ara dlla uprfc d cambo (m ); : tmpratura dlla uprfc a contatto con l fludo (K); : tmpratura dl fludo ndturbato (K); nch nl cao dlla convzon poono dfnr l grandzz conduttanza rtnza nl modo gunt: W C hc conduttanza convttva K W C u h c conduttanza convttva untara m K R C h c rtnza convttva K W R u m K C u h rtnza convttva untara c W n funzon dll qual è pobl crvr l pron dlla potnza trmca dl fluo trmco analogamnt a quanto fatto pr la conduzon. Il problma fondamntal dlla convzon cont nlla dtrmnazon nll var tuazon dl coffcnt d cambo trmco ch è una funzon dll proprtà fch dl fludo dll condzon trmo-fludodnamch dl fnomno dlla gomtra dl tma. Nlla rlazon d Nwton tal coffcnt è pro n valor mdo. Infatt n una confgurazon d cambo convttvo qual ad mpo qulla dlla Fgura 0 gunt n cu ara a tmpratura a camba calor con una uprfc a tmpratura aum nll dvr zon d contatto valor dffrnt d cu h c prm la mda pazal. a Fgura 0: Scambo trmco convttvo tra ara d una part In convzon natural la dffrnza d tmpratura tra du tm ndo la caua fondamntal dl moto dl fludo è anch l paramtro ch maggormnt nflunza l

15 valor numrco dl coffcnt d cambo trmco. In lttratura ono rprbl molt pron d h c n funzon dl nll var confgurazon gomtrch. l contraro n un rgm d convzon forzata la vloctà mpra al fludo dall organo mccanco ch lo pon n movmnto è l paramtro fondamntal da cu dpnd l valor dl coffcnt d cambo. condzon d moto dl fludo poono r carattrzzat da dvr confgurazon tpch: Fluo comprmbl: ha quando la dntà dl fludo è varabl n funzon d pron tmpratura com avvn n ga. Fluo ncomprmbl: è carattrzzato da un valor cotant dlla dntà rptto alla tmpratura alla pron. I lqud poono r condrat con ottma appromazon flud ncomprmbl. Il grado d rror ch commtt condrando un ga ncomprmbl dpnd da una grandzza dmnonal dtta numro d MCH ch mtt n rlazon la vloctà ndturbata dl fludo u condrata coè ad una dtanza dalla uprfc tal da non rntr dlla ua prnza con qulla dl uono c (par a crca m/ n ara n condzon normal): u Ma c Pr valor dl numro d Mach nfror a 0 l fluo può rtnr con buona appromazon ncomprmbl. Quto gnfca ch l'ara n moto rptto ad un corpo oldo dà vta ad un fluo ncomprmbl fnché la ua vloctà è nfror a crca 0 m/ ch ovvamnt è un valor molto lvato. Pr quanto dtto può aumr prtanto ch l dfluo dll'ara rptto ad una part poa r condrato ncomprmbl pratcamnt n tutt l tuazon a d convzon natural ch forzata. Fluo ntrno: ha nl cao d moto d un fludo all'ntrno d un condotto com ad mpo qullo dll'acqua n un crcuto draulco o d rcaldamnto oppur dll'ara n canal d dtrbuzon d un mpanto d clmatzzazon. Fluo trno: è l cao d un fludo ch lambc la uprfc trna d un corpo ad mpo l'ara ch fluc u una part. Prma d affrontar pù n dttaglo l tmatch dlla convzon forzata d qulla natural è utl a quto punto prntar alcun mp d mccanm combnat d cambo trmco n partcolar confgurazon n cu la conduzon la convzon cotono d hanno luogo contmporanamnt. 5

16 Part pana multtrato con camb lmnar convttv Nlla fgura è rapprntata una part pana cottuta ad mpo da quattro trat d matral omogno d otropo ch para l ambnt ntrno da qullo trno. ara n du ambnt a rpttvamnt a tmpratur a a con a > a. a h c h c a Fgura : Scamb trmc combnat n una part pana multtrato ra l ara l uprfc ntrna d trna dlla part c ono camb trmc convttv dtt anch lmnar carattrzzat da coffcnt h c d h c mntr ngl trat ntrn dlla part l calor tramtt pr conduzon. Cacuno trato è carattrzzato una valor dvro dlla conducbltà. Endo l ara nll ambnt ntrno a tmpratura maggor d qulla trna la potnza trmca vn trama globalmnt dall ntrno vro l trno. Pr calcolar tal potnza è dunqu ncaro condrar contmporanamnt gl camb convttv qull conduttv. pplcando l mtodo dll analoga lttrca poamo rcondurr la confgurazon trmca ad un crcuto lttrco d rtnz n r calcolar la rtnza untara total com omma dll ngol rtnz untar d tutt gl trat. S ha prtanto: R u tot hc Nota la rtnza trmca untara total poono calcolar uccvamnt l fluo trmco la potnza trmca cambat nl modo gunt: h c Φ R Φ u tot R u tot ( ) ( ) ( ) ( ) hc hc h h c c 6

17 Part clndrca multtrato con camb lmnar convttv Spor crtco dll olant Condramo un tma cottuto da du trat clndrc d dvro matral conducbltà dpot n modo coaal ottopoto a camb trmc convttv all ntrno d all trno. E l cao ch vrfca quando un tubo traporta un fludo (pr mpo acqua rcaldata n un mpanto d rcaldamnto) vn opportunamnt olato ul lato trno pr vtar ccv dpron trmch. ra l acqua ch corr all ntrno dl tubo la uprfc ntrna dllo trato ntrno c ono camb trmc convttv carattrzzat da un coffcnt h c mntr all trno c ono camb trmc convttv con l ara carattrzzat da un coffcnt h c. ara h c r r r acqua h c Fgura : Scamb trmc combnat n un clndro cavo (: tubo n cu corr acqua calda) Supponamo ch l fludo ntrno trov ad una tmpratura a maggor d qulla dl fludo trno dtrmnando n tal modo un fluo trmco ucnt dall ntrno vro l trno. o trato d olant trno carattrzzato da un bao valor dlla conducbltà rv appunto a lmtar tal dpron aumntando l valor dlla rtnza trmca offrta dall ntro tma. dottando l mtodo dll analoga lttrca può anch n quto cao rcondurr l tma ad una uccon d rtnz n r: du convttv (qulla ntrna qulla trna) du conduttv (qull dllo por dl tubo dll olant). S potrbb pnar ch com avvn nl cao d gomtra pana un aumnto dllo por dll olant comport mpr un aumnto dlla rtnza trmca. In gomtra clndrca prò vrfca la crcotanza partcolar pr la qual all aumntar dllo por dll olant aumnta la rtnza trmca dllo trato ma contmporanamnt aumnta la uprfc trna dl tma ch produc un ncrmnto dgl camb convttv. I du fattor ono contratant: l prmo lmta l dpron l condo l accntua d congunza arà ncaro valutar attntamnt l nflunza d ntramb ulla rtnza trmca global pr dtrmnar l valor ottmal dllo por dll olant. Calcolamo nl modo gunt la rtnza trmca total: r r ln ln r r Rtot R R R R π r h π π π r h c c 7

18 Studamo l andamnto dlla funzon R tot al varar dllo por dllo trato d olant coè all aumntar d r. I prm du trmn dlla omma non dpndono dal raggo trno r pr cu ono cotant rptto ad o. a drvata prma dlla rtnza total calcola prtanto nl modo gunt: dr dr tot r r π π h c Ponndola ugual a zro ottn: drtot r r r dr π π hc r r hc hc Poché noltr la drvata prma dlla funzon R tot rulta ngatva pr pr r > la rtnza total prnta un punto d mnmo pr r h c h c < potva h c Quto gnfca ch all aumntar dl raggo trno dllo trato d olant la rtnza trmca global aumnta olo o è upror ad un valor mnmo (dtto crtco) dato dal rapporto tra la conducbltà trmca dll olant d l coffcnt d cambo convttvo trno. l d otto d tal valor un aumnto dllo por è addrttura controproducnt poché comporta una dmnuzon non un aumnto dlla rtnza total dunqu un aumnto dll dpron. r 8

19 Equazon gnral dlla conduzon Condramo un tma trdmnonal oggtto d cambo trmco pr conduzon. In gnral la tmpratura dpnd dall tr varabl pazal x y z dalla varabl tmporal t pr cu l campo trmco arà dato da: f ( x y z t) Faccamo ora rfrmnto ul dagramma xyz ad un lmnto d dmnon nfntm d un corpo d dl fnomno conduttvo d volum dv dx dy dz (Fgura ). z & d Q z dz d Q & x d Q & y & d Q y dy x & d Q x dx d Q & z y Fgura : Conduzon trmca trdmnonal pplcando l I Prncpo dlla rmodnamca n anza d lavoro cambato con l trno dall lmntno (non tono part mobl non c ono albr ch raccolgono lavoro tcnco) la omma algbrca dll quanttà d calor m n goco quval alla varazon d nrga ntrna dl tma. a potnza trmca cambata pr conduzon dv con l trno (part rmannt dl tma to) valuta ffttuando l blanco trmco tra cò ch ntra cò c dall lmntno paratamnt nll tr drzon. S potzza noltr ch l matral a otropo ch prnt prtanto un unco valor d conducbltà trmca. Nlla drzon x avrà: d d x dy dz x dy dz x x x dx dy dz dx x 9

20 Dal blanco trmco lungo x ottn: d x d x dx dy dz dy dz dy dz dx dx dy dz x x x x x Pr analoga nll altr du drzon ottngono l gunt pron: d y d y dy dx dz dx dz dx dz dy dx dy dz y y y y y d z d z dz dx dy dx dy dx dy dz dx dy dz z z z z z S potzza noltr ch all ntrno dl corpo c a una gnrazon d calor Indcando con [W/m ] ottn: d Q &. Q & V la potnza trmca gnrata ntrnamnt al corpo pr untà d volum d dv V V dx dy dz a varazon d nrga ntrna dll lmntno d volum dv può calcolar nl modo gunt: du ρ dv c ρ dx dy dz c t t Pr cu crvndo l blanco d nrga ottn: dx dy dz x dx dy dz y dx dy dz z V dx dy dz ρ dx dy dz c t da cu: x y z V ρ c t n cu: ρ: dntà dl matral [kg/m ] c: calor pcfco dl matral [kj/kg K] Qulla crtta è l'quazon gnral dlla conduzon n rgm trdmnonal ch govrna la dtrbuzon d tmpratura d l fluo trmco n un oldo con proprtà fch unform. 0

21 Introducndo la grandzza dffuvtà a data dalla gunt pron: potzzando ch non c ano orgnt ntrn d calor ( V Q & 0) ottn: S l rgm è tazonaro ottn l'quazon d aplac: In rgm tazonaro bdmnonal l'quazon dvnta: ch rolta fornc l'andamnto dll tmpratur (xy) da cu può dtrmnar l fluo trmco nlla du drzon x d y. [ ] m c a ρ t a z y x 0 z y x 0 y x

22 IRRGGIMENO ERMICO rraggamnto è un mccanmo d cambo trmco ch avvn attravro radazon lttromagntch tra du corp a dvra tmpratura non a contatto tra d loro. prturbazon prodch dl campo lttromagntco ch cottucono la natura dll ond propagano nllo pazo anch n anza d un mzzo latco d traporto com l ara pr cu l trafrmnto d calor pr rraggamnto può avvnr anch nl vuoto oltr ch attravro un mzzo non opaco all radazon. ara ad mpo rulta traparnt all radazon lttromagntch poché a l ogno ch l azoto coè uo componnt fondamntal non ntragcono con. S ndchamo con E ( t) l gnrco campo lttromagntco dfnbl nllo pazo nl tmpo poono tudar l u prturbazon prodch qund l fnomno ondulatoro ch n congu n du dagramm bdmnonal n qual è pobl dfnr l grandzz fch fondamntal ncar pr dcrvr l fnomno to. E E t Fgura : unghzza d onda prodo d una radazon Sgundo l andamnto dl campo lttromagntco nllo pazo fato l tant d tmpo n cu l fnomno vn orvato dfnc lunghzza d onda la dtanza tra du punt omologh (du mam mnm punt d nullo tc.). a lunghzza d onda mura n mtr (m) o n uno d uo ottomultpl. llo to modo orvando l fnomno n un crto punto dllo pazo gundo la varazon dl campo nl tmpo dfnc prodo mura n cond () l tmpo ch ntrcorr tra du tant n cu la prturbazon aum lo to valor. S può ancora dfnr un altra grandzza fondamntal ch è la frqunza f par all nvro dl prodo. Qut ultma mura ovvamnt n ( - ) o (Hrtz). S ndchamo con c la vloctà d propagazon dll ond lttromagntch par a x 0 8 m/ val la gunt rlazon: f radazon n grado d traportar nrga trmca ono qull m da corp olo n vrtù dl loro tato trmco uprfcal. utt corp a tmpratura uprfcal upror a 0 K (zro aoluto) mttono ond trmch ch dffrcono tra d loro olo pr la frqunza pr la lunghzza d onda. Non rntrano n quta catgora l ond rado c

23 ragg X o fnomn ondulator qual la fluorcnza o la foforcnza. ond lttromagntch ch cadono nl campo dl vbl (luc) dll nfraroo ono l prncpal rponabl dl traporto d calor. ll ntrno dllo pttro d mon d un corpo tutt l radazon ch hanno lunghzza d onda compra tra nm crca appartngono al vbl mntr qull ch hanno lunghzza d onda nfror a 80 nm ono ultravoltt (UV) qull con lunghzza d onda upror a 780 nm appartngono all nfraroo (IR). I corp tnt n natura hanno comunmnt tmpratur uprfcal tal da mttr qut ultmo tpo d radazon. In alcun ca raggungono tmpratur lvat dll ordn dll mglaa d Klvn nnca l fnomno dll ncandcnza con mon d radazon lumno. Quando una radazon ncd u una part l nrga raggant ncdnt E rpartc n una quotapart rfla E r una trama E t d una aorbta E a. E E r E a E a E t Fgura 5: Efftto d una radazon ncdnt u una part Val la gunt rlazon: E E E E r t a Dfnamo a quto punto gunt coffcnt: Coffcnt d rflon: Coffcnt d tramon: Coffcnt d aorbmnto: Er r E Et t E Ea a E a rlazon prcdntmnt crtta dvnta: E E Er Et Ea r t a E E E

24 gg d mon dl corpo nro Com po accad n Fca pr dcrvr l modaltà con cu un corpo mtt o aorb radazon ntroduc un modllo d comportamnto dtto corpo nro. Un corpo nro è dfnto com un aorbtor prftto d un mtttor dal. a prma dll du carattrtch ndca la ua capactà d aorbr tutta l nrga ncdnt ulla ua uprfc. Un corpo può r a comportamnto dal (nro) rptto a tutt l radazon lttromagntch o rptto ad una partcolar zon dllo pttro lttromagntco coè all radazon carattrzzat da partcolar valor dlla lunghzza d onda. d mpo un manto d nv è condrato con buona appromazon un corpo nro rptto all radazon nfraro ma d crto non lo è rptto all radazon vbl. a conda carattrtca ndca ch un corpo a comportamnto nro mtt la mama nrga raggant ad una crta tmpratura ponndo un lmt alla pobltà pr corp ral d mttr radazon trmch: un corpo a tmpratura uprfcal non può mttr una potnza trmca upror a qulla d un corpo nro alla ta tmpratura d ugual uprfc. Dato un corpo nro a tmpratura dfnamo la gunt gg d Planck: E n 5 C C n cu: E n : potr mvo monocromatco dl corpo nro (W/m µm); : lunghzza d onda (m); : tmpratura (K); C : W µm /m (7 0-6 Wm ) C : 0 µm K Il potr mvo monocromatco ndca l fluo trmco mo da un corpo pr untà d lunghzza d onda qund fornc la dtrbuzon pttral dlla potnza trmca. E pobl rapprntar grafcamnt la lgg d Planck n un dagramma n cu una volta paramtrzzata la tmpratura uprfcal dl corpo l potr mvo a pro n funzon dlla lunghzza d onda. E n Fgura 6: Potr mvo monocromatco d un corpo nro

25 curv ndcat n fgura rapprntano l potr mvo monocromatco d quattro corp a tmpratur uprfcal dvr. In partcolar qut ono crcnt dalla alla. ll aumntar dlla tmpratura l punto d mamo d cacuna curva aum valor crcnt dl potr mvo monocromatco ma pr lunghzz d onda dcrcnt. a rlazon ch t tra la tmpratura la lunghzza d onda d mama mon rcavabl ffttuando un oprazon d drvazon dlla funzon d Planck va otto l nom d gg d Wn d affrma ch qut du grandzz rultano nvramnt proporzonal ndo l loro prodotto par ad una cotant com rulta dalla formula: 898µ m K max Quta crcotanza pga l fnomno dll ncandcnza graz al qual ha la pobltà d produrr luc artfcal da un flamnto d tungtno ad lvata tmpratura. In una lampada ad ncandcnza nfatt l flamnto attravrato da una corrnt lttrca rcalda pr fftto Joul fno a tmpratur vcn a 000 K n corrpondnza dll qual l punto d mamo dlla curva d mon cad nl campo dl vbl. S condramo l ol un corpo nro a tmpratura uprfcal par appromatvamnt a 6000 K calcolamo con la lgg d Wn l punto d mamo dlla ua curva d mon ottnamo: 898 max 898 max 0 8µm 6000 coè all ntrno dl campo dl vbl. l contraro calcolando l punto d mamo pr un corpo a tmpratura uprfcal 00 K ha: n pno Infraroo. 898 max 898 max 9 66µm 00 Efftto rra Una dll congunz dlla lgg d Wn è l fftto rra ch vrfca ogn qualvolta dpon un corpo opaco dtro una uprfc traparnt al vbl (vtro polcarbonato...) ottopota a radazon olar. nrga olar provnnt dal ol è compota prvalntmnt da radazon vbl d nfraro. radazon ultravoltt vngono fltrat dallo trato d ozono prnt nlla tratofra ch ngl ultm dcnn è tato dannggato da clorofluorocarbur (CFC) utlzzat nll ndutra frgorfra. nrga lumnoa ch ncd ulla uprfc traparnt n mama quanttà la attravra olo n pccol prcntual vn rfla o aorbta; va ad ncdr ulla uprfc opaca ch al contraro n groa prcntual la aorb. al aorbmnto provoca un rcaldamnto dl corpo ch coì aumnta l mon d radazon nfraro. Qut ultm andando ad ncdr ulla uprfc traparnt vngono da a rfl o aorbt ndo la traparnza dl vtro rlatva olo al campo dl vbl. Qull ch l vtro aorb n provocano l rcaldamnto mntr qull rfl vanno ad ncdr d nuovo ulla uprfc opaca vnndo a loro volta aorbt contrbundo n 5

26 tal modo al urrcaldamnto dl corpo. In dfntva l ara compra tra l du uprfc trova a contatto con corp ad lvata tmpratura ubc un urrcaldamnto dnomnato appunto fftto rra. Radazon vbl Radazon IR Fgura 7: Efftto rra Dalla lgg d Planck oprando una ntgrazon dlla funzon all ntrno dllo pttro lttromagntco può calcolar l potr mvo total d un corpo a tmpratura condo la lgg d Stphan Boltzman: W E n d m Φ σ ndo: Φ: fluo trmco global mo dal corpo nro (W/m ) σ: cotant d Stphan Boltzman 567x0-8 (W/m K ) : tmpratura uprfcal dl corpo nro (K) Noto l fluo trmco la potnza ma dal corpo nro può r calcolata moltplcando l fluo pr l ara dlla uprfc dl corpo. & Φ σ [ W ] Q & : potnza trmca ma dal corpo nro (W); : ara dlla uprfc dl corpo nro mttnt (m ); Q 6

27 Scamb trmc radatv tra du corp nr a dvra tmpratura Fnora abbamo trattato l argomnto tudando l modaltà con cu un corpo nro mtt nrga. nalzzamo ora coa avvn quando du corp nr cambano tra loro nrga trmca raggant. Faccamo nzalmnt l pot ch du corp ano d ugual uprfc tra loro prfttamnt affaccat n modo tal ch tutta l nrga raggant ucnt da uno d du vada ad ncdr ull altro vcvra. I du corp ano nzalmnt a tmpratur uprfcal con >. Fgura 8: Scambo trmco tra corp nr prfttamnt affaccat Il corpo mtt complvamnt una potnza trmca par a: mntr l corpo mtt una potnza par a: σ σ Poché ntramb ono nr la confgurazon è tal ch tutta l nrga ma da uno ncda ull altro può calcolar la potnza trmca cambata tra du n trmn d blanco trmco ffttuato ull uno o ull altro computando ad mpo pr l corpo la dffrnza tra la potnza trmca aorbta qulla ma ottnndo: σ σ Endo l du uprfc prfttamnt ntrfaccat ha: & ( ) Q σ Ovvamnt ffttua l blanco trmco ul corpo ottn lo to rultato con l gno cambato: ( ) σ 7

28 Il fatto ch l corpo a nzalmnt pù frddo dl corpo fa ì ch nl proco cda complvamnt calor a raffrddando ( Q & 0 ) lo aorba da rcaldando ( Q & > 0 ). Nl cao n cu la tmpratura dl corpo a maggor d qulla dl corpo vrfca ovvamnt la tuazon nvra pcularmnt n cu l corpo rcalda d l raffrdda. < Fattor d ntrcttazon o d forma S du corp ch cambano tra loro calor pr rraggamnto non ono prfttamnt affaccat non tutta l nrga ma da uno d du ncd ull altro ma olo una part dtrmnata dalla confgurazon gomtrca dll ntro tma. nrga rmannt vn dpra n drzon ch non ncdono ull uprfc d du corp ntrat. Fgura 9: Scambo trmco tra corp non prfttamnt affaccat Pr quantfcar la potnza trmca cambata n confgurazon d quto gnr è ncaro ntrodurr una nuova grandzza admnonal dnomnata Fattor d ntrcttazon o d forma n grado d dcrvr la confgurazon gomtrca. Il fattor d ntrcttazon F tra l corpo d l corpo dfnc com l rapporto tra la potnza trmca ma dal corpo ch ncd ul corpo qulla totalmnt ma dallo to corpo. llo to modo dfnrà l fattor d ntrcttazon F tra l corpo d l corpo com l rapporto tra la potnza ma dal corpo ch ncd u qulla totalmnt ma dal corpo. ra du fattor d ntrcttazon t una rlazon dtta d rcproctà pr la qual l prodotto tra l fattor d ntrcttazon l ara dlla uprfc a cu rfrc rta cotant. In altr parol ndcat con d l ar dll uprfc d du corp ch cambano calor ha: F F 8

29 Il fattor d ntrcttazon prmndo una frazon dlla potnza ma da un corpo rptto alla potnza ta aum valor numrco nfror ad uno. Rulta par ad uno olo nl cao n cu du corp ano prfttamnt affaccat. Un cao partcolar è rapprntato dallo cambo trmco tra du corp ch prntno com nlla fgura 0: l corpo convo è mmro n una cavtà (). nrga ma dal corpo ncd totalmnt ul corpo ndo l prmo racchuo dalla cavtà cottuta dal condo mntr l nrga ma dal corpo fnc olo n part ul corpo la rtant part rcad ul corpo to. S ha prtanto: pr la rlazon d rcproctà: F F Endo < F <. Fgura 0: Scambo trmco tra un corpo d una cavtà 9

30 Scamb trmc radatv tra du corp nr a dvra tmpratura non prfttamnt affaccat. Immagnamo ch corp rapprntat n fgura 9 ano a comportamnto dal nro trovno rpttvamnt a tmpratur dvr tra d loro. Il corpo mtt una potnza trmca par a: σ ma olo una part d a ncd ul corpo. Indcato con F n fattor d ntrcttazon tra a val: F σ nalogamnt l corpo mtt una potnza par a: σ dfnto con F l fattor d ntrcttazon tra d può calcolar la part d quta ch raggung l corpo : F σ Poché ntramb ono nr tutta l nrga ma da uno ch ncd ull altro vn da quto compltamnt aorbta. a potnza trmca cambata tra du corp può r calcolata n trmn d blanco trmco ffttuato ull uno o ull altro. Rfrndo ad mpo al corpo la dffrnza tra l calor aorbto qullo mo val: Endo: ottn: σ F σ F F F σ F ( ) σ F ( ) Ovvamnt ffttua l blanco trmco ul corpo ottn lo to rultato con l gno cambato: σ F ( ) σ F ( ) 0

31 S l corpo è nzalmnt pù frddo dl corpo durant l proco cd complvamnt calor a raffrddando ( Q & 0 ) lo aorb da rcaldando < ( Q & > 0 ). Succd l contraro la confgurazon trmca nvrt. Scamb trmc radatv n una cavtà cottuta da corp nr. Condramo una cavtà chua cottuta da n uprfc a comportamnto nro a dvra tmpratura ch cambno tra loro calor pr rraggamnto. C proponamo d dtrmnar la potnza trmca ch la gnrca ma uprfc camba con l n rmannt. n Fgura : Scamb trmc all ntrno d una cavtà Data la confgurazon gomtrca dl tma tutta l nrga raggant ma dall ma uprfc ncd ull altr uprfc dlla cavtà. a omma d fattor d ntrcttazon dv r prtanto par ad uno. Qualora la uprfc ma foa concava una part dll nrga ma rcadrbb ulla uprfc ta tra fattor d ntrcttazon dovrbb prvdr anch l F ch n cao contraro rulta r nullo. In gnral poamo crvr: F n F... F... Fn Fj F cavtà j Supponamo ch l uprfc dlla cavtà ano tutt conv (F 0) calcolamo la potnza trmca cambata tra la ma uprfc d l rto dlla cavtà. cavtà σ σ F j... σ j Fj... σ n Fn n Da cu: cavtà σ n j σ j F j j

32 Pr la rlazon d rcproctà ha: cavtà n σ F j j j al pron può gnralzzar d tndr al cao n cu la cavtà non a chua ma la confgurazon gomtrca a comunqu rconducbl ad a potzzando una cavtà con dll uprfc mancant. Nllo chma trmco potzzrà ch qut uprfc ano carattrzzat da una tmpratura nulla. n 0 K 0 K Fgura : Scamb trmc all ntrno d una cavtà con uprfc mancant Ipotzzando com llutrato n fgura ch l uprfc ano mancant ha: cavtà n σ F j j j Emon d corp grg I corp ral mttono radazon condo modaltà dffrnt da un corpo nro prntando pttr d mon molto pù rrgolar. In prma appromazon può rcondurr l comportamnto d corp ral dal punto d vta dll mon ad un altro modllo d corpo dtto corpo grgo pr l qual l mon radatva ad una crta tmpratura avvn condo modaltà ml a qull dl corpo nro ma con valor rdott n funzon d un coffcnt d mon o mvtà ε. 'mvtà monocromatca d un corpo ral dfnc com l potr mvo monocromatco dl corpo fratto qullo corrpondnt d un corpo nro alla ta tmpratura:

33 ε E E n a lgg d Krchoff affrma ch pr quala lunghzza d onda mvtà coffcnt d aorbmnto ono ugual: ε a In gnral n corp ral l mvtà dpnd n manra rrgolar dalla lunghzza d onda mntr n corp grg a rulta ndpndnt da tal paramtro d aum un valor unco n tutto lo pttro d lunghzz d onda pr cu l comportamnto d un corpo grgo dal punto d vta dlla potnza trmca ch mtt ad una crta tmpratura vn dcrtto da un unca grandzza valda pr tutto lo pttro: ε E E n ndo E d E n rpttvamnt l potr mvo global (W/m ) dl corpo grgo d qullo nro alla ta tmpratura. Ovvamnt n tutto lo pttro ha: ε a Nota l mvtà d un corpo grgo la potnza trmca ch mtt è data da: & Q g ε σ con ovvo gnfcato d mbol. Condramo ancora una volta du corp prfttamnt affaccat dll mpo prcdnt d mmagnamo ch l corpo a nro d l a grgo carattrzzato da una mvtà ε. potnz trmch ch mttono ono rpttvamnt: σ ε σ a potnza trmca ch l corpo mtt va ad ncdr ul corpo vn aorbta da o n mura proporzonal al uo coffcnt d aorbmnto a : a σ l contraro qulla ch l corpo mtt vn totalmnt aorbta dal corpo :

34 ε σ a potnza cambata tra può r valutata ffttuando l blanco trmco ul corpo o ul corpo. Endo l mvtà concdnt con l coffcnt d aorbmnto l blanco ul corpo può crvr com gu: ( ) a σ ε σ ε σ l contraro ffttuamo l blanco ul corpo dobbamo tnr prnt ch la potnza trmca ch gung ulla ua uprfc è data dalla omma d qulla ch l corpo mtt d qulla ch provnndo dal corpo lo to corpo non aorb. Prtanto ha: ( a ) σ σ ε ( ) ε σ σ ovvamnt Q & prm la quanttà d calor cambata complvamnt tra ch quvarrà a qulla ch l corpo pù caldo cd ch qullo pù frddo aorb. S du corp prfttamnt ntrfaccat a dvra tmpratura ono ntramb grg l problma rulta r pù complo poché non tutta l nrga ma dal corpo vn aorbta dal corpo ma part vn rfla torna ul corpo ch d nuovo n part la rfltta rnvandola vro coì va. nalogamnt accad all nrga ma da. naltcamnt la oluzon dl problma è una r convrgnt la potnza trmca cambata tra du corp val: con ovvo gnfcato d mbol. Q & σ ε ( ) ε Nl cao n cu du corp grg non ano prfttamnt ntrfaccat la confgurazon gomtrca a dcrtta da un fattor d ntrcttazon F lo cambo trmco tra du corp può r dcrtto da pron dl tpo: ( F ε ε ) ( ) F σ n cu la F prm una funzon dll ar d coffcnt d mon dl fattor d ntrcttazon ch d volta n volta aum valor dvro.

35 MECCNISMI COMBINI DI SCMBIO ERMICO: RSMINZ DI UN PREE MUISRO. Condramo una part multtrato ch par n rgm tazonaro monodmnonal un ambnt ntrno da uno trno. Sa a la tmpratura dll ara nll ambnt ntrno a la tmpratura dll ara nll ambnt trno. Nll ambnt ntrno ano noltr prnt un crto numro d corp (part offtto pavmnto arrd pron ) cacuno carattrzzato da una propra tmpratura uprfcal. S ndch con j la tmpratura dlla gnrca uprfc prnt nll ambnt. ltrttanto facca nll ambnt trno. ra l ara prnt nll ambnt ntrno la uprfc ntrna dlla part vrfcano camb convttv mntr tra la uprfc uddtta l var uprfc a dvra tmpratura prnt nll ambnt hanno camb radatv. llo to modo avvn all trno. Il problma vn rolto con l mtodo dll analoga lttrca mdant una chmatzzazon dlla confgurazon trmca ch prmtt d rcondurla ad una rt lttrca n cu cacun nodo corrpond ad un lmnto otrmo (ara uprfc d una part corpo prnt nll ambnt tc.) collgato a tutt qull con cu camba calor attravro una rtnza. Il modllo baa ulla quvalnza dl fnomno trmco d qullo lttrco una volta amma n rgm tazonaro la prftta analoga tra la dffrnza d tmpratura l fluo trmco la rtnza trmca tra du nod trmc rpttvamnt la dffrnza d potnzal la corrnt lttrca la rtnza lttrca tra nod corrpondnt nlla rt lttrca. utt gl camb radatv ch avvngono tra cacuno d du ambnt la part poono r rdott ad un unco fnomno tra l nodo ch ndca la tmpratura uprfcal dlla part rpttvamnt ntrna d trna d una partcolar tmpratura dtta mpratura mda radant dfnta com la tmpratura uprfcal d un pottco corpo nro con l qual la uprfc dlla part condrata camb pr rraggamnto la ta quanttà d calor ch camba nlla raltà. E dunqu pobl calcolar una tmpratura mda radant pr l ambnt ntrno mr d una pr l ambnt trno mr. In prma appromazon la tmpratura mda radant calcola com mda pata tra tutt l tmpratur uprfcal prnt. In formula: n mr n ndo la tmpratura uprfcal dll mo corpo prnt nll ambnt. a fgura ch gu dcrv grafcamnt lo chma lttrco mdant l qual vn tudato l fnomno n tr fa ch vanno dallo chma (a) al (b) d nfn allo chma rolutvo (c) condo paagg ch vngono d guto dcrtt. o cambo trmco radatvo tra la tmpratura mda radant ntrna mr la tmpratura uprfcal ntrna dlla part l analogo tra la mr la dovrbbro r dcrtt con rlazon dl tpo: Q F σ Q F σ S S ( mr ) ( ) mr 5

36 mr a Q mr a a b mr mr o o a a c o o n cu la potnza trmca Q vn calcolata n funzon dlla dffrnza tra l quart potnz dll tmpratur d un fattor F ch dpnd dall ar dll uprfc d du corp ch cambano calor dall loro mvtà dal fattor d ntrcttazon o d forma. al rlazon poono r lnarzzat ntroducndo un coffcnt d cambo trmco radatvo h r ch ovvamnt dpndrà dall tmpratur n goco dl tutto analogo a qullo convttvo ottnndo: ( ) Q h r mr ( ) Q hr mr Facndo rfrmnto allo chma dlla fgura prcdnt nota noltr ch la confgurazon lttrca ch dcrv gl camb convttv ntrn d trn può r rcondotta ad uno chma a du rtnz n paralllo rducndo du nod mr a ad un unco nodo ch carattrzz con la ua tmpratura l rgm trmco dll ntro ambnt cu rfrc. Quta appromazon è lcta nlla maggor part d ca ndo comunmnt non molto dml la tmpratura dll ara qulla mda radant mntr comporta rror pù lvat n prnza d gro uprfc a tmpratura dratcamnt dvra da qulla dll altr (mpo uprfc vtrat t). S ntroduc a tal propoto la tmpratura opratva rpttvamnt ntrna d trna ch è cottuta dalla mda artmtca tra la tmpratura dll ara qulla mda radant. o a mr o a mr 6

37 7 Qut ultma appromazon connt d traformar l modllo lttrco llutrato nllo chma (a) n qullo mplfcato dllo chma (b) n cu l du rtnz convttva radatva appaono n paralllo. S ha prtanto: ( ) o c c h Q ( ) o r r h Q ndo: Q c : potnza trmca convttva [W]; h c : coffcnt mdo d cambo trmco convttvo [W/m K] Q r : potnza trmca radatva [W]; h r : coffcnt d cambo trmco radatvo (W/m K). Sommando du contrbut com ro lcto dalla confgurazon n paralllo dll du rtnz ottn l fluo trmco complvamnt cambato tra l ambnt ntrno la uprfc ntrna dlla part: ( ) ( ) ( ) o o c r Q h h Q α In tal pron compar un nuovo coffcnt α dnomnato adduttanza ntrna o coffcnt d adduzon ntrno ch dcrv contmporanamnt tutt gl camb trmc convttv radatv ch avvngono tra l ambnt ntrno la uprfc ntrna dlla part. In modo dl tutto analogo dfnc l adduttanza trna α omma d coffcnt radatvo convttvo trn: ( ) ( ) ( ) o o c r Q h h Q α Evdntmnt l adduttanza è dmnonalmnt ugual ad una conduttanza untara mura qund n W/m K. E pobl prtanto dfnr la rtnza untara corrpondnt ch chamrmo adduttva data dal uo nvro /α murabl n m K/W. quto punto la confgurazon dl modllo lttrco è dvntata qulla dllo chma d fgura n cu tutt l rtnz ono dpot n r. In partcolar procdndo dall ntrno vro l trno ncontrano: una rtnza adduttva ntrna tr rtnz conduttv rlatv agl trat dlla part d nfn una rtnza adduttva trna. partr da tal confgurazon è pobl rdurr tutt l rtnz untar n r ad un unca rtnza untara total con la gunt procdura: ( ) ( ) ( ) o o o Q Q α α α ( ) ( ) ( ) Q Q

38 8 ( ) ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) ( ) o o o Q Q α α α Sommando mmbro a mmbro l quazon crtt ottn: ( ) Q α α avndo pr mplctà ndcato con l tmpratur opratv ntrna d trna. S ndchamo con R la rtnza trmca untara total dlla part potrmo crvr: u R α α W K m nvro dlla rtnza trmca untara total è la tramttanza dlla part par a: u R K α α K m W a dtrmnazon dlla tramttanza d una part connt dunqu d calcolar l fluo trmco ch la attravra n rgm tazonaro a è ottopota ad una dffrnza d tmpratura una volta not l carattrtch dlla part ta. Infatt: ( ) K Q ( ) W Noto l fluo trmco ch attravra la part può dtrmnar l andamnto dll tmpratur trato pr trato mponndo l uguaglanza n rgm tazonaro tra l fluo trmco ch attravra l ntra part d ogn ua ngola part. In quta pot ha: Con rfrmnto ad un gnrco trato ntrno alla part l fluo ch ntra n o dv uguaglar qullo ch da o fuorc; n altr parol n quala trato anch nfntmo vada a calcolar l fluo trmco o arà mpr ugual a qullo ch attravra l ntra part. S coì non fo arbb pobl ndvduar uno trato d matral all ntrno dl qual l fluo ntrant arbb dvro da qullo ucnt ma quto provochrbb una varazon d tmpratura nl tmpo d tal trato contraddcndo l pot d rgm tazonaro.

39 9 ( ) ( ) ( ) K K Q α α nalogamnt: ( ) ( ) ( ) α α K K Q In altr parol la tmpratura alla gnrca ntrfacca tra du trat è data da qulla ntrna mno l prodotto dl fluo pr untà d uprfc dlla rtnza untara ncontrata fno a qullo trato. Valgono prtanto ancora l gunt rlazon: ( ) α K ( ) α K

40 VERIFIC DI CONDENS SUPERFICIE ll ntrno dgl ambnt poono crar condzon gnch favorvol lgat alla pobltà ch part dl vapor prnt nll ara trov ull uprfc pù frdd ch dlmtano l ambnt to condzon don prché vrfch l fnomno dlla condna uprfcal. S tratta d un fnomno ch può ntrar la facca ntrna d una part d parazon tra l ambnt ntrno qullo trno n partcolar quando u tal part la tmpratura uprfcal aum valor condrat a rcho. Quto avvn oltamnt u porzon d part carattrzzat da dpron partcolarmnt ntn com ad mpo l dcontnutà gomtrch /o truttural dnomnat pont trmc o u ntr uprfc qual qull vtrat ch pr loro natura prntano lvat valor dlla dpron ono dunqu pù frdd dll altr uprfc d contorno. Il vrfcar dl fnomno dlla condna uprfcal può dar luogo a formazon d muff ull part ch rndono crtch l condzon gnch ambntal d è maggormnt probabl n ambnt rcch d vapor (rvz cucn ) o dov non a ffttuato un ffcac rcambo dll ara. Dat l carattrtch trmodnamch dll ara prnt n ambnt è pobl dtrmnar mdant l utlzzo d un dagramma pcromtrco la ua tmpratura d rugada oa qulla alla qual ralzzano condzon d aturazon durant un proco d raffrddamnto nbl. d mpo com llutrato nlla fgura gunt un ambnt carattrzzato da una tmpratura a bulbo acutto d 0 C da una umdtà rlatva dl 50 % prnta una tmpratura d rugada d 9 C drttamnt dtrmnabl dal dagramma pcromtrco. r 9 C Pr congurar l fnomno dlla condna uprfcal è ncaro vrfcar ch l tmpratur dll uprfc d contorno dll ambnt non aumano valor mnor o ugual alla tmpratura d rugada poché olo n quto cao vn vtata la pobltà d far 0

41 raffrddar l ara ambnt fno all condzon d aturazon. E vdnt ch tal vrfca va ffttuata nll condzon d rczo pù vr ch ralzzano n corrpondnza dlla tmpratura d progtto trna n rgm tazonaro. In tal pot la tmpratura uprfcal ntrna d una part trna dtrmna con la gunt rlazon: - K( - ) α ndo: : tmpratura uprfcal ntrna (K); : tmpratura dll ambnt ntrno (K); : tmpratura dll ambnt trno (K); K: tramttanza dlla part (W/m K); α : adduttanza ntrna (W/m K). S tal tmpratura mantn u valor upror a qullo aunto dalla tmpratura d rugada anch ull part pù dprdnt l fnomno dlla condna uprfcal è congurato. Eo vrfca nvc ogn qualvolta: R Poché la dtrmnazon d è trttamnt lgata al valor d K può ovvar ad un valor d troppo bao dmnundo l valor dlla tramttanza dlla part ad mpo nrndo n a un matral olant. E pobl n quto cao calcolar l valor ch dv avr la rtnza d tal trato agguntvo pr vtar l fnomno dlla condna. Infatt ndchamo con R la rtnza total dlla part n condzon attual ha: R K D altro canto l aggunta d un matral olant comporta un aumnto d rtnza par al valor ch ha la rtnza dllo trato aggunto R ol. a nuova rtnza total val: R R R d congunza la nuova tramttanza aum l gunt valor: ' ol K ' R ' R R ol al valor dv dar luogo ad una tmpratura uprfcal ntrna upror a qulla d rugada. Imponndo allora ch la tmpratura uprfcal ntrna a ugual a qulla d

42 rugada ottn Il valor mnmo ch dv aumr la rtnza agguntva al fn d vtar la condna uprfcal. ' ' R R - K ( - ) K α α Nota K può dtrmnar l corrpondnt valor d R ol : ( R ) ( ) K ' R R ol R R ol K ' R ol K ' R VERIFIC DI CONDENS INERSIZIE Mtodo d GSER In rgm nvrnal l vapor acquo prnt all ntrno d un ambnt tnd a mgrar vro l trno a caua dlla dffrnza tra valor ch aum la pron parzal dl vapor nll ambnt ntrno d n qullo trno. ll ntrno dlla part poono vrfcar l condzon prché part d quto vapor condn. al vntualtà può provocar dtroramnto d matral pggoramnto dll prtazon trmch dgl t. Partcolarmnt a rcho ono matral olant pr qual l vntual prnza d acqua lquda oltr a pggorar dratcamnt l prtazon trmch n caua l dtroramnto d l prcoc nvcchamnto. E ncaro allora ffttuar una vrfca ch cluda tal crcotanza. Qualora l condzon ambntal foro tal da non potrla congurar arà ncaro accrtar ch la quanttà d acqua lquda formata all ntrno dlla part pr condna dl vapor acquo prnt nll ara a nfror a talun valor lmt mpot dall attual normatva vgnt n Itala ma tal ultror vrfca ula dagl cop dl prnt coro. Il mtodo utlzzato pr vrfcar la pobltà dl fnomno dlla condna ntrtzal è d tpo grafco d è dovuto a Glar. Eo applca n rgm tazonaro n condzon d pcco coè nll condzon clmatch pù vr. a vrfca d condna ntrtzal non può r ffttuata confrontando l tmpratur ch carattrzzano var trat ntrn alla part ch prumblmnt aranno aunt dal vapor ch mgra dall ntrno vro l trno con qulla d rugada poché non è nota trato pr trato la quanttà d vapor prnt ndo dvro l comportamnto d ngol matral al fluo d vapor: alcun ono nfatt pù prmabl al vapor altr mno. Quto dtrmna una prnza d vapor n quanttà ncrt all ntrno d var trat. In qut condzon non è pobl dfnr qual a attamnt la tmpratura d rugada con la qual ffttuar l confronto. S procd allora amnando valor aunt da un altro paramtro trttamnt lgato alla quanttà d vapor prnt coè la pron parzal dl vapor. Rcordando l pron ch fornc l umdtà rlatva dll ara n funzon d tal paramtro dlla pron d aturazon ad una crta tmpratura poamo affrmar ch l condzon d aturazon con l congunt fnomno dlla condna vrfcano ogn qual volta la pron parzal dl vapor aum lo to valor d qulla d aturazon alla tmpratura condrata.