RELAZIONI TRA ROTAZIONI E MOMENTI DI ESTREMITA PER LE ASTE A SEZIONE COSTANTE

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Arturo Toscano
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1 FACOLTÀ DI STUDI INGEGNERIA E ARCHITETTURA A. A Corso d Laura agstra n Archtttura TECNICA DELLE COSTRUZIONI (9 CFU) DOCENTE: ING. GIUSEPPE ACALUSO RELAZIONI TRA ROTAZIONI E OENTI DI ESTREITA PER LE ASTE A SEZIONE COSTANTE

2 RELAZIONI TRA ROTAZIONI E OENTI DI ESTREITA PER LE ASTE A SEZIONE COSTANTE Ipotzzando d strarr un asta da un gnrco tao (Fg. 1) rotazon ag strm (dfnt ) sono n gnra funzon d momnt d strmtà ( d ), d carch n campata comunqu dstrbut (q(x)) d cdmnto ratvo a du strm (, ). Fg.1. Trav soggtta ad una condzon d carco gnrca. Oprando pr sovrapposzon dg fftt è possb pnsar rotazon d strmtà com somma d sngo contrbut dat da cascuna d azon prcdntmnt dfnt. E qund possb scrvr: ( 1 ) ( 2 ) ) (, ( q) = = + (1) ( 1 ) ( 2 ) ) (, ( q) = = + (2) Cascuno d contrbut prcdnt può ssr cacoato. A ta fn s assumrà ch ast abbano szon costant ungo ass da trav ch a dformabtà tagant sa trascurab. ( 1 ) Cacoo d ( 1 ) Ta rotazon possono ssr smpcmnt cacoat appcando anaoga d ohr vautando dagramma d momnt prodotto da d assoggttando a trav ausara a carco fttzo d ntnstà par a qua d dagramma d curvatur cambato d sgno (Fg. 2). Fg.2. Rotazon dg strm pr fftto d (a); Dagramma d momnt prodott da (b); Trav ausara carcata con dagramma d curvatur cambato d sgno (c). Da qubro aa rotazon attorno a strmo no schma ausaro s ottn:

3 2 T = 0 (3) 3 da cu ssndo tago na trav ausar par aa rotazon n sstma ra s ha: ( 1 ) = T = (4) Da qubro aa rotazon attorno a strmo no stsso schma s ottn: T + = 0 (5) 3 da cu ( 1 ) = T (6) S not nfn com a rotazon n pr fftto d momnto sa, n vaor assouto, doppa rsptto a qua d strmo. ( 2 ) Cacoo d ( 2 ) Ao stsso modo può procdrs pr a vautazon d rotazon prodott da momnto (Fg. 3). Fg.3. Rotazon dg strm pr fftto d. (a); Dagramma d momnt prodott da (b); Trav ausara carcata con dagramma d curvatur cambato d sgno (c). Da qubro aa rotazon attorno a strmo no schma ausaro s ottn T = 0 (7) 3 da cu ( 2 ) = T = (8) Da qubro aa rotazon attorno a strmo no stsso schma s ottn 2 T + = 0 (9) 3

4 da cu Cacoo d ( 2 ) = T (10) Pr fftto d cdmnt d strmtà a trav ruota rgdamnt. Fg.4. Rotazon dg strm pr fftto d cdmnt. S ossrva facmnt ch trattandos d una rotazon rgda grandzz crcat assumono o stsso vaor, ch n pots d pcco spostamnt è cacoab com: Cacoo d = = = (11) L rotazon dovut a carch n campata possono vautars mdant anaoga d ohr (Fg. 5). Fg.5. Rotazon dg strm pr fftto d carch n campata (a); Dagramma d momnt prodott da carch n campata (b); Trav ausara carcata con dagramma d curvatur cambato d sgno (c). Daa scrttura d quazon d qubro aa rotazon a po da trav ausara s ottngono tag fttz quvant a rotazon crcat com: * 1 0 = T = ( x)( x) dx (12) EI 0 * 1 0 = T = ( x ) x dx (13) EI La dtrmnazon d qust contrbut comporta ntgrazon da gg d momnto può rsutar poco agvo. Ta procdura può vtars com mgo spcfcato n sguto. 0

5 Aa uc d quanto dtrmnato Eqq. (1) (2) s possono scrvr com: = + + = ( 2 + ) + + ( 2 + ) + (14) (15) Pr pratctà trmn non sono spctat n Eqq. (14) (15). otpcando a (14) pr a (15) pr sommando mmbro a mmbro, stss quazon possono scrvrs sprmndo momnt d strmtà n funzon d atr grandzz com: = EI ( 0 ( 2 ) ( 2 ) 3 2 ) 2 ) N prcdnt compaono nuovamnt trmn EI ( 0 ( 2 ) ( 2 ) 3 (16) (17). S ossrv tuttava ch pnsando damnt d boccar strmtà da trav aa trasazon d aa rotazon sprsson (16) (17) assumono a forma sgunt: 2 EI ( 2 ) = µ 2 EI ( 2 = ) = µ C s accorg ch Eqq. (18) (19) ngobano contrbut d rotazon dovut a carch n campata ch stss, pr com sono stat ottnut, rapprsntano momnt ch s dstano a strmtà da trav pr fftto d ta carch pnsando damnt d boccar g strm aa trasazon d aa rotazon. Ta quanttà prndono nom d momnt d ncastro prftto s ndcano con smboo µ pr dstngur da momnt ra. I momnt d ncastro prftto consntono d vtar cacoo d rotazon (18) (19) rcorrndo ad uno schma d trav doppamnt ncastrata d pù smpc rsouzon. L Eqq. (16) (17) possono qund rscrvrs n funzon d ta quanttà com: = 2 3 (20)

6 2 3 Rsuta convnnt sprmr anch Eqq. (14) (15) n funzon d momnt d ncastro prftto. otpcando Eq. (18) pr du sommando mmbro a mmbro rptndo vcndvomnt oprazon s ottn: = ( 2 + ) ( 2 µ ) + (22) ( 2 + ) + ( 2 µ ) + (23) L Eqq. (20-23) gano momnt d strmtà a rotazon atr grandzz vcvrsa rotazon. Ta sprsson costtuscono dg strumnt d partcoar auso oprando attravrso mtod d forz d dformazon purché s cacono quanttà µ µ ch possono rprrs fra casstch rportat da manua o comunqu agvomnt cacoat. N caso n cu non sano prsnt carch n campata, stss sprsson trovano una appcazon ancora pù agvo com mostrato d sgunt appcazon. (21) APPLICAZIONE 1 Consdrando o schma rapprsntato n Fg. A.1. s cacono rotazon ag strm pr fftto d momnto. Fg. A.1. Rotazon d strmtà pr fftto d momnto. Utzzando drttamnt Eqq. (22-23) sprsson s ottn A = ( 2 + ) ( 2 µ ) + B ( 2 + ) + ( 2 µ ) + (25) Poché sono assnt momnto ( =0), carch n campata (µ =0 µ =0) cdmnt ( =0), s ottn; A = ( 2 ) = (24) (26)

7 B ) (27) APPLICAZIONE 2 Consdrando o schma rapprsntato n Fg. A.2. s cacono momnt d strmtà pr fftto d cdmnto mposto. Fg. A.1. omnt d strmtà pr fftto d cdmnto mporto. Utzzando drttamnt Eqq. (20-21) sprsson s ottn = ( 2 3 ) ( 2 3 ) Essndo nu rotazon ag strm A B ( =0, =0) carch n campata (µ =0 µ =0) s ottn; (28) (29) = ( 3 ) 2 (30) ( 3 ) = 2 (31)

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