Indice delle esercitazioni (Ing. Rossato)

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1 ndc dll srctazon (ng. ossato) Esrctazon numro Potnza 8 Marzo 999 Connzon Carattrstch Esrctazon numro Gnrator ral 5 Marzo 999 l dodo Parttor d tnson d corrnt Esrctazon numro Shft d gnrator Torma d Mllman 9 Marzo 999 Esrctazon numro 4 Sorapposzon dgl fftt Marzo 999 Esrctazon numro 5 Torm d Thnn Norton 9 Marzo 999 Esrctazon numro 6 Esrcz Marzo 999 Esrctazon numro 7 gnrator plotat 9 prl 999 Esrctazon numro 8 Dopp bpol non lnar prl 999 Esrctazon numro 9 Componnt dnamc 6 prl 999 Esrctazon numro Transtor dl scondo ordn prl 999 Esrctazon numro Transtor dl scondo ordn Maggo 999 Esrctazon numro t n rgm snusodal 7 Maggo 999 Esrctazon numro Potnza n rgm snusodal 6 Maggo 999 Esrctazon numro 4 Potnza n rgm snusodal Dagramm d od 9 Gugno 999 8

2 Potnza. Connzon. Carattrstch. S consdr una carca posta soggtta solo all forz d un campo lttrco Esrctazon numro 8 Marzo 999 F qe dalla qual rlazon possamo oamnt rcaar ch: F E q Possamo alutar l laoro nfntsmo solto dall forz dl campo pr spostar d un tratto nfntsmo la nostra carca sonda tramt la rlazon: dl F dr qe dr Passamo ora al laoro fnto; sccom l campo lttrostatco è consrato è assolutamnt rrlant la sclta dl prcorso ch porta la carca da un punto nzal ad un punto fnal, l laoro sarà dunqu dato dalla rlazon: L q E dr cordamo noltr la nota rlazon ch lga l campo lttrco l potnzal: Combnando qust du ultm rlazon s ottn: E grad E dr q grad dr q( ) q L q q cordamo ora la dfnzon d potnza sprssa com laoro pr untà d tmpo, s arà dunqu: dl dq P dt dt n lttrotcnca l untà d msura dlla potnza non è l watt prché spsso s fanno consdrazon nrgtch ch non hanno rscontro fsco qund non ha snso usar l watt, s usa qund l olt-ampr (). cordando la rlazon ch sprm la lgg d Ohm: dalla qual, oamnt, s rcaa: s possono ottnr, combnando qust ultm du rlazon con la dfnzon d potnza prma data, du drs sprsson ch sprmono la potnza: P damo ora qual sono l connzon d sgno utlzzat n lttrotcnca; tal connzon sono ssnzal pr potr dsgnar n manra complta una rt. damo dunqu l du connzon prncpal, la connzon d sgno dgl utlzzator la connzon d sgno d gnrator, ch damo rapprsntat d sguto: Utlzzator Gnrator Con la connzon dgl utlzzator una potnza posta mplca ch la potnza nga assorbta dal bpolo mntr, con la connzon d gnrator, una potnza posta sgnfca ch la potnza è gnrata dal bpolo. L connzon d sgno utlzzat anno smpr ndcat quando s dsgna la carattrstca d un bpolo; qu d sguto s potranno dr du smp d carattrstch partcolarmnt smplc. l prmo smpo rguarda un bpolo lnar pr l qual damo com la potnza sa smpr posta (sa nl prmo ch nl trzo quadrant), qusto sgnfca ch l bpolo è passo (s stablsc dunqu ch, con la connzon dgl utlzzator, potnza maggor d zro dnt la condzon d passtà dl bpolo). La sconda carattrstca rguarda un bpolo non lnar nl qual c è una dpndnza quadratca dlla corrnt dalla tnson. n qusto caso, usando la connzon dgl utlzzator, possamo dr ch l bpolo s comporta passamnt nl prmo quadrant (ssndo posta la potnza) mntr è atto nl scondo quadrant (do la potnza è ngata). Smpr parlando d conzon rdamo locmnt l du lgg d Krchhoff ndcando dll connzon d sgno comod da utlzzar: 9

3 LKC: la somma algbrca dll corrnt ntrant n una suprfc chusa è nulla; s consgla n qusto caso d consdrar post l corrnt ntrant nlla suprfc. LK: la somma algbrca dll tnson lungo un prcorso chuso (una magla) è nulla; s consgla d consdrar post l tnson dll qual, prcorrndo la magla nl rso ndcato, s ncontra prma la punta dlla frcca. damo ora com s trasformano l carattrstch quando camba l sgno dll connzon: quando camba la connzon rguardant l sgno dlla corrnt (s passa, pr smpo, da a ) la carattrstca n rflssa rsptto all ass dlla tnson; quando camba la connzon rguardant l sgno dlla tnson (s passa, pr smpo, da a ) la carattrstca n rflssa rsptto all ass dlla corrnt; quando n nrtto l nom dgl ass (l ass dlla corrnt dnta qullo dlla tnson crsa) la carattrstca n rflssa rsptto alla bsttrc dl prmo trzo quadrant. damo alcun smp pratc. Data la sgunt connsson n sr d du bpol l rsptt carattrstch, dsgnar la carattrstca dl bpolo qualnt. pplcando la LKC al nodo comun tra du bpol s ottn: + ppar noltr oo com s abba: + Com prma cosa s dorà rbaltar la carattrstca dl scondo bpolo rsptto alla corrnt prché è controrsa rsptto ad ad. qusto punto è possbl sommar a par corrnt (sccom samo nl caso d un collgamnto n sr) d ottnr la carattrstca dl bpolo qualnt: S ossra, tramt qusto srczo, ch la somma d du bpol pass da ancora un bpolo passo (la zona d potnza posta rlata alla carattrstca dl prmo bpolo componnt è la mdsma dlla carattrstca dl bpolo rsultant). Data la sgunt connsson n paralllo d du bpol l rsptt carattrstch, dsgnar la carattrstca dl bpolo qualnt.

4 pplcando la LK all du magl dl crcuto s arra ad affrmar ch: noltr, sfruttando la LKC applcata al nodo dnomnato n fgura con la lttra, s ottn: Pr prma cosa rndamo compatbl l du carattrstch scambando gl ass dlla carattrstca dl prmo bpolo (smmtra rsptto alla bsttrc dl prmo trzo quadrant). Com scondo passo rbalto la carattrstca dl scondo bpolo rsptto al potnzal sccom è controrso rsptto a (smmtra rsptto all ass dlla corrnt). nfn s rbalta la carattrstca dl scondo bpolo anch rsptto alla corrnt prché è controrso rsptto ad (smmtra rsptto all ass dll tnson ch, a caus dlla smmtra dlla fgura, non porta a arazon snsbl dlla fgura). Samo dunqu pront a sommar a partà d tnson (sto ch stamo parlando d una connsson n paralllo) ottnamo la carattrstca dl bpolo qualnt:

5 Esrctazon numro 5 Marzo 999 Gnrator ral. l dodo. Parttor d tnson d corrnt. Dopo ar sto, nll lzon nll srctazon solt fno ad ora, l rsstor, l gnrator d tnson l gnrator d corrnt dal l loro carattrstch, mttamo n sr un gnrator dal d tnson d un rsstor ottnamo l gnrator ral d tnson: E pplcando la LKC all unco nodo dnzato n fgura rcaamo ch la corrnt ch passa n du bpol è la stssa; applcando nc la LK s ottn la sgunt sprsson rlata all tnson: E La potnza rogata da qusto bpolo è dunqu complssamnt data dalla rlazon: P E Da tal sprsson damo com la potnza rogata dal gnrator ral sa composta da du contrbut: l contrbuto posto ch prnd l nom d potnza rogata dal gnrator, un trmn ngato ch prnd l nom d potnza assorbta dal gnrator a causa dlla rsstnza ntrna. ppar dunqu oo ch, a fn pratc, un gnrator ral d tnson n consdrato tanto mglor quanto mnor è la rsstnza ntrna. Com dalla sr d un gnrator d tnson un rsstor s ottn un gnrator ral d tnson, così dal paralllo d un gnrator d corrnt un rsstor s ottn un gnrator ral d corrnt: n qusto caso, applcando la LK, s ottn ch la caduta d tnson su du bpol è la stssa; pr quanto rguarda, nc, l corrnt, applcando la LKC al nodo ndcato con la lttra, s ottn: Tot Combnando qusta rlazon con la lgg d Ohm carattrstca dl rsstor rcordando ch la caduta d tnson sul rsstor corrspond con la tnson msurata all strno dl bpolo s ottn: Tot nch n qusto caso, dunqu, la potnza (com dl rsto anch la corrnt) è composta da du contrbut: un contrbuto posto dtto potnza (o corrnt) gnrata un contrbuto ngato dtto potnza (o corrnt) dsspata dalla rsstnza ntrna: P E dunqu dnt ch, nl caso d gnrator ral d corrnt, un buon gnrator d ar una rsstnza ntrna molto alta. Dopo ar analzzato la sr d un gnrator d tnson d un rsstor l paralllo d un gnrator d corrnt d un rsstor, analzzamo l paralllo tra un rsstor un gnrator d tnson. La rlazon costtuta d un gnrator d tnson è la sgunt: E ( ) Sccom l alor dlla corrnt ch crcola nl rsstor non nflusc assolutamnt con la dtrmnazon dlla tnson, è smpr possbl trascurar l rsstnz n paralllo con un gnrator d tnson (s n rchsta la corrnt crcolant n qul rsstor s potrà rnsrrlo alla fn alutar la corrnt n funzon dlla rsstnza dlla caduta d tnson). Con un dscorso prfttamnt dntco s arra a dr ch è smpr possbl trascurar rsstor n sr con un gnrator d corrnt.

6 E n bas a quanto fn qu sto possamo dr ch la corrnt su un gnrator d tnson è smpr gnota così com è smpr gnota la tnson su un gnrator d corrnt. ndamo ora a dr un altro bpolo mportant nlla costtuzon d crcut: l dodo. Un dodo è un bpolo ch prmtt l passaggo dlla corrnt n un solo snso: n partcolar l dodo prmtt l corrnt post all qual assoca tnson nulla l tnson ngat all qual assoca corrnt nulla; qund l dodo probsc l tnson post l corrnt ngat. Un dodo ha smpr potnza nulla qund non s può stablr s sa un bpolo passo o atto; n comunqu consdrato un bpolo utlzzator. l smbolo grafco dl dodo la sua carattrstca sono rapprsntat d sguto: Dato l sgunt crcuto alutar tutt l corrnt tutt l tnson prsnt: ohm La corrnt mposta dal gnrator d corrnt attrarsa anch l rsstor ( s può dunqu dr ch corrspond con ) l dodo (dunqu anch corrspond con ). S ossra ch la corrnt ha un rso cornt con l dodo qund l dodo prmtt alla corrnt d crcolar. Pr la dfnzon data dl dodo, prò, la tnson sul dodo d ssr nulla (qund è nulla). Conoscndo la corrnt la rsstnza data n dat, la tnson può ssr alutata utlzzando la lgg d Ohm applcata al rsstor, s arà qund: ( Ω)( ) pplchamo ora la LK all unca magla prsnt nl crcuto, ottnndo: + ( ) + ( ) nalzzar con l mtodo analtco con l mtodo dll carattrstch l sgunt crcuto:

7 5ohm ohm Pr prma cosa damo l mtodo analtco. pplcando la LK posso faclmnt ossrar com la tnson sa ugual alla tnson mposta a morstt dl bpolo complsso, sfruttando dunqu la lgg d Ohm applcata al bpolo rsstor posso rcaar la corrnt ch sarà data dalla rlazon: Ossramo ora ch, quando samo n prsnza d dod, pr prosgur con la rsoluzon d un crcuto dobbamo porr dll condzon; nl caso attual potrmo ar tr cas dstnt: S la corrnt è posta (cò è possbl s la tnson è a sua olta posta) l dodo prmtt l passaggo d corrnt ma su d sso non c sarà caduta d tnson qund, applcando ancora la LK, s rcaa ch tutta la tnson cad sul scondo rsstor. noltr armo, applcando la LKC al nodo ch collga l dodo con l rsstor, ch corrspond con. Possamo dunqu rcaar ( d consgunza ) applcando la lgg d Ohm sul rsstor. S arà dunqu: Ω pplchamo ora la LKC al nodo ndcato n fgura con la lttra, ottnndo: Ω S è ngata l problma non è rsolubl a causa dlla prsnza dl dodo ch ta l corrnt ngat. S è nulla s arà d rflsso ch anch è nulla qund è nulla anch. marrà, pr quanto rguarda l corrnt: + + n bas a rsultat ottnut dalla rsoluzon analtca dl crcuto s può costrur la sgunt carattrstca dl bpolo complsso: n gnral possamo dr ch, quando l crcuto contn d dod, l bpolo rsultant non è pù lnar ma è lnar a tratt com n qusto caso; noltr, s l bpolo contn solo lmnt pass, com appunto nl caso n quston, l bpolo s dc omogno la sua carattrstca passa pr l orgn dgl ass, s nc nl bpolo c sono anch d gnrator, l bpolo dnta non omogno la sua carattrstca, n gnral, non passrà pr l orgn dgl ass. solamo ora l crcuto utlzzando l mtodo dll carattrstch. Occupamoc prma, colonna (a) dlla fgura sgunt, dl ramo d crcuto ch contn la sr dl dodo dl rsstor. S rapprsntano dunqu l du carattrstch po l s somma a partà d corrnt, ssndo un collgamnto n sr. Nlla colonna (b) dlla fgura, nc, è stata prsa la carattrstca troata nlla colonna (a) la s è capoolta n modo da potrla sommar a partà d tnson con la carattrstca rapprsntata dl ramo dl crcuto ch contn solo l rsstor (ssndo qust du 4

8 ram collgat n paralllo. part l orntamnto dl grafco, la carattrstca rsultant è dntca a qulla dsgnata pr rapprsntar l bpolo complsso troato tramt la rsoluzon analtca dl crcuto. (a) (b) Dodo Carattrstca complssa dl ramo sstor Numro sstor Numro Carattrstca complssa dl ramo po lo complsso Concludamo dndo du formul ch possono tornar partcolarmnt utl durant gl srcz d rsoluzon dll rt ch anno sotto l nom d formula dl parttor d tnson formula dl parttor d corrnt. nzamo con l analzzar la formula dl parttor d tnson: consdramo dunqu l sgunt crcuto: E S applchamo la LKC possamo faclmnt rcaar ch: pplcando nc la LK all unca magla dl crcuto s ottn: E + Combnando dunqu la lgg d Ohm rlata a du rsstor con la LK s ottn: E + + ( + ) Da qusta rlazon dunqu s può sprmr la corrnt com sgu: E + S oglamo dunqu calcolar la caduta d tnson su uno d rsstor dormo moltplcar la tnson gnrata dal gnrator pr la rsstnza dl rsstor ch c ntrssa po ddr pr la somma d tutt l rsstnz n goco; pr du rsstor dl nostro smpo s arà nfatt: 5

9 6 E + E + Qusta rlazon è oamnt gnralzzabl ad un qualsas numro d rsstor. Pr quanto rguarda l parttor d corrnt faccamo rfrmnto al sgunt crcuto: S applchamo la LK possamo faclmnt rcaar ch: do è la caduta d tnson sul gnrator (usando, oamnt, la connzon d gnrator). pplcando nc la LKC ad un nodo dl crcuto s ottn: + Combnando dunqu la lgg d Ohm rlata a du rsstor con la LKC s ottn: Da qusta rlazon dunqu s può sprmr la tnson com sgu: + S oglamo allora calcolar la corrnt su uno d rsstor dormo moltplcar la corrnt gnrata dal gnrator pr la rsstnza dl rsstor ch non c ntrssa po ddr pr la somma d tutt l rsstnz n goco; pr du rsstor dl nostro smpo s arà nfatt: + + nch qusta rlazon è oamnt gnralzzabl ad un qualsas numro d rsstor.

10 Esrctazon numro 9 Marzo 999 Shft d gnrator. Torma d Mllman. Uno strumnto mportant pr smplfcar l anals d un crcuto è lo spostamnto d gnrator n sso contnut; damo dunqu com s può procdr. Occupamoc, pr nzar, d gnrator d tnson. S nza consdrando un crcuto composto da du part ( n fgura ) collgat tra d loro da un numro n d ram; ogn ramo contn un bpolo gnrco, mntr l ramo numro contn anch un gnrator d tnson. E Fgura... n Lo shft d gnrator prd ch tal crcuto sa qualnt ad un crcuto (rapprsntato n fgura ) nl qual ogn ramo, trann l ramo numro, contn un gnrator, d tnson ugual, controrso rsptto al gnrator d partnza. l rsultato ottnuto è lo spostamnto dl gnrator dal ramo numro agl altr ram. Fgura E... E n Pr dmostrar l uguaglanza tra du sstm s può pnsar, partndo dalla stuazon rapprsntata n fgura, d aggungr su ogn ramo un gnrator d tnson E drtto dal sottosstma al sottosstma, s ottn così la stuazon rapprsntata n fgura. E Fgura E E n... E allora dnt ch l copp d gnrator contrors post su ram da ad n s annullano rman solo l gnrator sul ramo ; s è tornat dunqu, com olas dmostrar, al caso rapprsntato n fgura. Oamnt lo shft d gnrator può ssr fatto anch con gnrator d corrnt, armo nfatt una stuazon dual rsptto alla prcdnt. Consdramo dunqu una rt dalla qual spuntano n morstt (com rapprsntato n fgura 4) supponamo ch un gnrator d corrnt collgh morstt d n. Tal gnrator d corrnt può ssr tolto dal crcuto a patto d nsrr n- gnrator d corrnt ch collghno l nodo n al nodo n- così a fno al nodo (com mostrato n fgura 5). Qusto mtodo dllo shft d gnrator è molto utl pr rorganzzar gnrator prsnt su una rt da rsolr n modo da rndr pù agol l mtodo rsoluto. Un smpo pratco d spostamnto d gnrator n un pzzo d rt è mostrato n fgura 6. E E 7

11 Fgura 4 Fgura 5... n- n-... n n SHFT Fgura 6 damo ora un smpo numrco ch c prmtt d apprzzar l utltà dl mtodo dllo shft d gnrator. S consdr dunqu l crcuto dsgnato n fgura (a) dl qual sa rchsto d calcolar la tnson sul gnrator d corrnt. S olssmo rsolr qusto crcuto così com è, utlzzando l mtodo dll anals nodal modfcata, dormmo rsolr un sstma composto da quazon. damo dunqu com smplfcar l crcuto pr potrlo rsolr n modo pù agl. Com prma cosa ossramo ch l rsstnz da 5 da ohm sono collgat n sr, l sosttuamo dunqu con una rsstnza qualnt ottnndo l crcuto smplfcato rapprsntato n fgura (b) Ω F G Fgura (a) Ω E D C Ω Ω E F Fgura (b) Ω D 5 Ω Gà qusta prma smplfcazon ha rso pù smplc l laoro poché adsso dormmo gstr solo quazon, nc d. Utlzzamo ora l mtodo dllo shft d gnrator faccamo scorrr l gnrator d tnson da oltr la rsstnza da Ω; ottnamo così la confgurazon mostrata n fgura (c). Ora notamo ch du gnrator d tnson sono collgat n sr qund possamo sostturl con un unco gnrator d tnson da (drtto com ra drtto qullo da ); s d, prò, ch anch du rsstor da Ω da Ω sono ora n sr, qund sosttuamo anch loro con un rsstor qualnt d rsstnza Ω. S è gunt alla confgurazon rapprsntata n fgura (d) ch è dcsamnt pù smplc d qulla d partnza poché mpon d dor gstr solo 7 quazon nc d. qusto punto utlzzamo nuoamnt lo shft d gnrator, applcato qusta olta al gnrator d corrnt ch n fatto scorrr oltr l rsstor da Ω pr ottnr la confgurazon mostrata n fgura (). Ora c troamo nuoamnt con du rsstnz (da Ω da ) n sr ch ngono sosttut con un unco rsstor da 6. S è così gunt alla confgurazon rapprsntata n fgura (f). C 8

12 Fgura (c) Fgura (d) Ω Ω E F D 5 Ω C Ω 5 Ω D C Fgura () Fgura (f) 6 Ω D C C Samo arrat dunqu ad una stuazon molto smplfcata prché ora sarbbro suffcnt soltanto 4 quazon (dll d partnza); n raltà, data la natura dlla rt, c accorgamo subto ch la corrnt ch crcola nl crcuto non può ch ssr d. Conoscndo la rsstnza dl rsstor qualnt possamo utlzzar la lgg d Ohm applcata al rsstor ottnamo la caduta d tnson su tal bpolo ch sarà d. qusto punto basta utlzzar la LK all unca magla dl crcuto pr rcaar la tnson sul gnrator d corrnt: X + S ossr dunqu ch, n fn d cont, è stato ncssaro rsolr un unca quazon! Concludamo qusta srctazon parlando dl torma d Mllman. Tal torma è molto comodo da utlzzar quando è ncssaro rsolr rt ch prsntno du nod prncpal. damo prma, graz al prossmo smpo, com s potrbb rsolr un crcuto d qusto tpo snza usar l torma d Mllman. Dato l crcuto rapprsntato nlla fgura sgunt, alutar la tnson prsnt tra l nodo l nodo. 5 6Ω Ω S utlzz com ncognta la corrnt ch sc dal nodo andando nlla magla d snstra. pplcando la LKC al nodo s ottrrà: ( 5) Possamo ora calcolar la tnson tra nod utlzzando la magla d snstra; s ottrrà: + ( ) ( ) + ( ) calcolamo ora la mdsma tnson tra nod utlzzando, qusta olta, la magla d dstra; s rcaa: + ( ) ( 6Ω) + ( ) ( 6Ω)( [ 5) ] + ( ) Uguaglando l du sprsson troat pr la tnson tra l nodo l nodo, s rcaa la corrnt ch crcola nlla magla d snstra: 9

13 Una olta troata tal corrnt la s può sosttur n una qualsas dll rlazon ch m danno la tnson tra l nodo l nodo, troando così la soluzon al qusto: l torma d Mllman propon, pr la rsoluzon d un problma com qullo appna rsolto, la sgunt rlazon: cc k k g do l sponnt cc assocato all corrnt ndca ch s tratta dll corrnt d cortocrcuto. l torma d Mllman, dunqu, m dc ch la tnson a du nod prncpal dl crcuto è ugual alla somma dll corrnt d cortocrcuto assocat a ar prcors ch connttono du nod prncpal, dsa pr la somma dll conduttanz d mdsm prcors. damo subto un smpo pratco: solr nuoamnt l ultmo problma prsntato utlzzando l torma d Mllman. l passaggo pù complsso d qusta rsoluzon consst nl calcolo dll corrnt d cortocrcuto. Pr calcolar la corrnt d cortocrcuto assocata al ramo d snstra dl crcuto prcdntmnt dsgnato, s prnd l ramo d snstra lo s cortocrcuta ottnndo la sgunt stuazon: l l cc S può dunqu alutar com sgu la corrnt d corto crcuto assocata a qusto ramo: cc Sn Con un mtodo assolutamnt dntco s può alutar anch la corrnt d cortocrcuto assocata al ramo d dstra: cc Ds 6Ω Pr quanto rguarda l ramo cntral, la corrnt d cortocrcuto è oamnt qulla mposta dal gnrator d corrnt mntr la conduttanza è nulla poché abbamo gà sto com una rsstnza n sr ad un gnrator d corrnt sa trascurabl. Possamo qund a qusto punto applcar l quazon ch sprm l torma d Mllman, dalla qual s rcaa: cc k ( ) + + ( 5) k g l S + S + ( S) l 5 6

14 Esrctazon numro 4 Marzo 999 Sorapposzon dgl fftt. Pr capr l alor dl mtodo rsoluto ch sfrutta la sorapposzon dgl fftt rsolamo prma un srczo con l mtodo classco dll anals nodal. solr l sgunt crcuto sfruttando l mtodo dll anals nodal: Ω Ω Com prma cosa applchamo l LKC a nod ottnndo l du sgunt quazon: + Qust du quazon fssano l connzon d sgno ch rranno utlzzat; a qusto punto, ssndo qusta una rt ch s può rsolr con la N, posso sprmr drttamnt l sstma rsoluto n forma d matrc costrundo la matrc d coffcnt con l mtodo a sta (ch s basa, com sappamo, sull conduttanz ch affrscono a ar nod); s ottrrà dunqu: Ora damo com sarbb stato possbl rsolr l mdsmo crcuto sfruttando l mtodo dlla sorapposzon dgl fftt. Pr usar qusto mtodo dobbamo, pr prma cosa, spgnr uno d gnrator d corrnt, supponamo dunqu d spgnr l gnrator d corrnt d dstra. l crcuto s rduc ad ssr composto dal solo gnrator d snstra collgato con d rsstor. Compattamo ora l crcuto ossrando ch rsstor possono ssr sosttut da un solo bpolo rssto tramt dll smplc rduzon sr paralllo; s ottrrà così l sgunt crcuto smplfcato: Eq Do la rsstnza qualnt arà l sgunt alor: Eq + 7,4Ω ( Ω) [( ) + ( Ω) ] Sccom la corrnt ch crcola n qusto crcuto è d, possamo faclmnt rcaar ch la caduta d tnson sulla rsstnza qualnt è d 7,4. spandamo ora l crcuto, ottnndo: Ω La caduta d tnson sul rsstor da Ω sarà oamnt ancora ugual a 7,4; qusto m prmtt d rcaar ch la corrnt ch crcola n qul bpolo qual a,74. Pr dffrnza posso po rcaar la corrnt ch crcola ngl altr du rsstor, ch sarà: ( ) ( ) (,74), 86 Gunt a qusto punto dobbamo rfar tutto l dscorso supponndo d rattaccar l gnrator d corrnt d dstra staccando qullo d snstra; troat po rsultat anch dl scondo caso, bsogna sommarl, ottnndo così l rsultato complsso. damo ora un smpo numrco complto ch sfrutta l mtodo dlla sorapposzon dgl fftt. Calcolar la tnson tra nod dl sgunt crcuto:

15 5 6Ω Ω Usamo l mtodo dlla sorapposzon dgl fftt, dunqu (com mostrato n fgura (a)) stacchamo l gnrator d corrnt l gnrator d tnson d dstra, n qusto modo nl ramo cntral, ssndoc un crcuto aprto, non scorrrà corrnt ( qund la caduta d tnson sul rsstor d qul ramo sarà nulla), l du rsstnz da 6Ω s troano ora n sr, qund possono ssr sosttut con un unco rsstor da Ω (d fgura (b)). Fgura (a) Fgura (b) 6Ω Ω Ω Ω Tramt una LK all unca magla atta dl crcuto d fgura (b) s può rcaar la caduta d tnson sul rsstor da Ω: oamnt tal caduta d tnson sarà par alla tnson gnrata dal gnrator. Nota tal caduta d tnson possamo ora rcaar la corrnt ch attrarsa l rsstor da Ω: ( ) ( Ω ) ( Ω) Tal corrnt sarà anch la corrnt ch crcola nl rsstor da 6Ω ch s d n fgura (a); possamo dunqu alutar la caduta d tnson su qusto rsstor ch po, com s rcaa da una LK sulla magla d dstra, qual alla tnson tra nod : 6 ( 6Ω) ( 6 ) Ω attacchamo ora l gnrator d tnson d dstra stacchamo l gnrator d corrnt l gnrator d tnson d snstra. bbamo una stuazon prfttamnt dntca a qulla appna alutata, anch n qusto caso dormo prma compattar l crcuto po rspandrlo com s è fatto prma. Possamo dunqu rscrr drttamnt l ultm du rlazon troat; oamnt, la caduta d tnson sul rsstor qualnt sarà par alla tnson gnrata dal gnrator d dstra qund s arà: ( ) ( Ω ) ( Ω) nalogamnt, la tnson tra nod sarà n qusto caso ugual alla caduta d tnson sul rsstor da qund s arà: ( ) ( 5 ) Ω accndamo, nfn, l gnrator d corrnt spgnamo ntramb gnrator d tnson ottnndo la confgurazon d fgura (c). n qusta stuazon c accorgamo ch du rsstor da da 6Ω sono collgat n paralllo qund l sosttusco (s da la fgura (d)) con un rsstor qualnt d rsstnza: Eq ( Ω) ( Ω) Ω

16 Fgura (c) Fgura (d) 5 5 6Ω Eq Ω Ω Guardando l crcuto d fgura (d) damo com, ssndo nota la corrnt, possamo rcaar la caduta d tnson su du rsstor, n partcolar a no ntrssa la caduta d tnson sul rsstor qualnt: 5 Eq ( 5) Ω ( 5) qusto punto, applcando una LK al crcuto d fgura (d), s ottn la tnson tra l nodo l nodo : 5 Ora ch abbamo troato la tnson fra nod n tr cas drs, rcaamo la tnson fftta tra tal du nod sommando tr rsultat: Concludamo con un srczo molto smplc ma ch mtt n luc l mportanza dll anals dll ntual smmtra d una rt. solr la rt rapprsntata d sguto: Ω Ω S ossr com l crcuto sa prfttamnt smmtrco; cò mplca ch non c sa passaggo d corrnt attrarso la rsstnza da dsposta orzzontalmnt (n quanto la corrnt potrbb passar da snstra a dstra o da dstra a snstra ma n ntramb cas romprbb la smmtra dl crcuto) La rt d fgura s rduc dunqu alla stuazon rapprsntata n fgura (a). Oamnt, sccom l du magl latral d tal crcuto sono prfttamnt dntch, è suffcnt studar solo mtà dl crcuto. Studamo dunqu la magla d dstra ch n rportata n fgura (b). l crcuto rportato n fgura (b) è molto smplc: ossramo n prmo luogo ch l du rsstnz (da da Ω) sono collgat n sr, possamo dunqu sostturl con un unca rsstnza da ottnndo l crcuto d fgura (c). Sfruttando ora una LK alla magla dl crcuto d fgura (c) possamo rcaar la caduta d tnson sul rsstor da. Tal caduta d tnson non può ch ssr ugual alla tnson mposta dal gnrator qund arrà. Ora possamo alutar la corrnt ch crcola nl crcuto d fgura (c) tramt la rlazon: ( ) 4 Eq ( ) Qusta mdsma corrnt sarà anch la corrnt ch crcola nl crcuto d fgura (b). La rsoluzon d qusto crcuto s conclud calcolando l cadut d tnson su du rsstor: 4 ( ) ( ) 4 4 ( Ω) ( Ω)

17 Fgura (a) Fgura (b) Ω Ω Ω Fgura (c) Eq 4

18 Esrctazon numro 5 9 Marzo 999 Torm d Thnn Norton. l torma d Thnn dc ch, agl fftt strn, una qualunqu rt adnamca lnar ch prsnt du morstt, qual ad un gnrator d tnson n sr ad una rsstnza: Eq Eq cordamo ch la carattrstca d un bpolo formato solo da un gnrator d tnson da un rsstor è sostanzalmnt una rtta. Nl caso n quston la carattrstca rrà rapprsntata nlla sgunt fgura (): Fgura () Fgura ( ) Eq Eq cc Eq Eq E dunqu oo ch, facndo tndr a zro la rsstnza qualnt, troamo una carattrstca com qulla rapprsntata nlla fgura (); tal stuazon ndca ch la rt ch abbamo rdotto al suo qualnt Thnn s comporta com un gnrator d tnson. partr dalla fgura (), s può ossrar com non c sa modo pr ottnr, nc, una carattrstca orzzontal. Una carattrstca d qusto tpo ndca nfatt ch la rt ch s è rdotta s comporta com un gnrator d corrnt non è oamnt possbl rapprsntar un gnrator d corrnt utlzzando un rsstor d un gnrator d tnson (non sarbb nppur comodo!). damo dunqu com calcolar la tnson la rsstnza qualnt a partr dal crcuto nzal. La tnson qualnt corrspond alla tnson a uoto ch s msura tra du morstt lbr; pr calcolar la rsstnza qualnt c sono nc du mod: l prmo consst nl rcaar la corrnt d cortocrcuto ch s arbb tra tal du morstt d nsrrla nlla rlazon Eq Eq cc rcaando la rsstnza qualnt com rapporto. l scondo modo consst nllo spgnr tutt gnrator d corrnt d tnson prsnt sul crcuto d rdurr tutt l rsstnz rmast ad un unca rsstnza, la rsstnza qualnt appunto. damo, pr charr mglo l dscorso, un smpo pratco: caar l qualnt Thnn dl sgunt crcuto: Ω Com prma cosa, dunqu, do alutar la tnson qualnt, cò sgnfca alutar la tnson tra du morstt scoprt. Pr far qusto s utlzzrà l torma d Mllman. Nlla sgunt fgura (a) s può ossrar com la corrnt d corto crcuto rlata al ramo contnnt l solo rsstor da Ω sa oamnt nulla; dunqu, pr qusto prmo ramo s arà: cc g S 5

19 Fgura (a) Fgura (b) Fgura (c) Ω cc cc cc Nlla fgura (b) s può nc ossrar com la corrnt d corto crcuto rlata al ramo contnnt l solo gnrator d corrnt sa par, oamnt, a ; dunqu, pr qusto scondo ramo s arà: cc g nfn, com mostrato n fgura (c), pr l trzo ramo s arà: cc g 5 S Posso, a qusto punto, alutar la tnson tra du morstt lbr con l torma d Mllman dal qual s rcaa: Eq k k cc k g k 4 dsso dobbamo rcaar la rsstnza qualnt; pr far qusto utlzzrmo l scondo mtodo; dunqu spgnamo tutt gnrator ndpndnt prsnt sul crcuto ottnamo un crcuto puramnt rssto com qullo rapprsntato nlla fgura sgunt: Ω ppar dnt com la rsstnza qualnt s ottnga dalla connsson n paralllo dll du rsstnz da da Ω. S arà dunqu: Eq + Ω ( ) ( ) Ω Quando l qualnt Thnn d un crcuto non s può troar (opratamnt c n accorgamo quando troamo una rsstnza qualnt nfnta) dobbamo usar l torma d Norton. Tal torma c dc ch, agl fftt strn, una qualunqu rt adnamca lnar ch prsnt du morstt, qual ad un gnrator d corrnt n paralllo ad una rsstnza: Eq Eq n qusto caso la carattrstca dl bpolo qualnt sarà sprssa dal grafco dlla fgura sgunt: 6

20 Eq Eq Eq Pr rcaar l qualnt Norton, qund, sarà prma ncssaro rcaar la corrnt d cortocrcuto rlata a tutto l crcuto po calcolar la rsstnza qualnt usando la tnson pr ottnr la rsstnza com rapporto fra tnson corrnt oppur, ancora una olta, condnsando n un unco rsstor rsstor ch rmangono quando tolgo dalla rt tutt gnrator ndpndnt. damo ora un smpo pratco d applcazon d qust du torm: Calcolar la tnson tra l nodo l nodo dl sgunt crcuto: Ω 5 Ω Pr rsolr qusto problma scomponamo l crcuto n du part: la prma part sa l trangolo costruto sul gnrator d corrnt da mostrato nlla sgunt fgura (a). alutamo l qualnt Thnn d qusta part dl crcuto. Calcolamo nnanztutto la tnson qualnt. qusto scopo ossramo, dalla fgura (a), ch n qul pzzo d crcuto la corrnt è mposta dal gnrator d corrnt. Conoscr la corrnt m prmtt d calcolar mmdatamnt la caduta d tnson su du rsstor da da ; qust dunqu saranno, rspttamnt: ( )( ) 5 ( )( ) 45 qusto punto rsulta mmdato alutar la tnson a uoto rlata a nod d qusto pzzo d crcuto; s arà nfatt: EqT + + ( ) ( 5 ) + ( 45 ) + ( ) 7 Pr rcaar la rsstnza qualnt tolgo tutt gnrator ndpndnt dal crcuto d fgura (a) ottnndo la confgurazon d fgura (b). ppar dunqu dnt ch la rsstnza qualnt s ottn con l collgamnto n sr dll du rsstnz da da, ottnndo: + Fgura (a) EqT ( ) ( ) Ω Fgura (b) Fgura (c) EqT EqT EqT Qund l qualnt Thnn dl prmo pzzo d crcuto è qullo rapprsntato n fgura (c). Ora andamo a consdrar l scondo pzzo d crcuto, oro qullo rapprsntato n fgura (d). n qusto caso rsulta pù comodo rcaar prma la rsstnza qualnt. Toglndo nfatt tutt gnrator ndpndnt, l crcuto assum la confgurazon d fgura () nlla qual l rsstor da Ω, ssndo drttamnt collgato con un crcuto aprto, rsulta taglato fuor dal crcuto. Dunqu la rsstnza qualnt concd con l rsstor da Ω, oro: 7

21 EqN Ω Ora bsogna calcolar la corrnt d cortocrcuto complssa d qusto scondo pzzo dl crcuto; rfaccamoc, pr far qusto, alla fgura (f). n qusta fgura damo un crcuto composto da tr ram; sul ramo ch contn l gnrator d corrnt la corrnt è oamnt fssata ad, qund s arà: Sul ramo ch contn l gnrator d tnson l rsstor da Ω la corrnt può ssr calcolata molto smplcmnt tramt la rlazon: ( 5 ), 5 ( Ω) pplcando ora una LKC al nodo N s rcaa la corrnt d cortocrcuto complssa: cc cc +,5,5 ( ) ( ) Fgura (d) Fgura () Fgura (f) Ω cc 5 Ω Ω 5 Ω Ω Qund l qualnt Norton dl scondo pzzo d crcuto è qullo rapprsntato n fgura (g). Fgura (g) N Ω cc EqN l crcuto nzal può dunqu ssr smplfcato com mostrato n fgura (h). Fgura (h) EqT cc EqN EqT qusto punto rsolr l problma è dntato molto smplc poché basta applcar l torma d Mllman al crcuto smplc d fgura (h), ottnndo: 8 8

22 Esrctazon numro 6 Marzo 999 Esrcz. Ogg s drà un unco srczo affrontato da drs punt d sta usando tutt l mtodch st fno ad ora. Dato l sgunt crcuto, alutar la corrnt ch attrarsa la rsstnza da Ω: g Ω E g 5 C Ω L Ω D, Proamo prma a rsolr qusto problma con l mtodo dll anals nodal modfcata. Pr potr far qusto dobbamo aggungr l nodo 4, scglr un nodo d rfrmnto (l nodo ) ndcar tutt rs dll corrnt dll tnson (qust ultm non rranno ndcat ma ngano consdrat smpr rspttos dlla connzon dgl utlzzator pr quanto rguarda rsstor d gnrator pr quanto rguarda gnrator): g Ω L g C 4 4 C Ω L Ω E gt 5 D gt D, pplchamo dunqu la LKC a nod,, 4, ottnndo l sgunt sstma d quazon: + C + g + + L L C + D g gt Esprmamo ora l corrnt ch attrarsano ar rsstor attrarso la lgg d Ohm; ottnamo n qusto modo l sgunt sstma: g g ( ) g g C g CC gc ( ) D g DD g D g g gg g g ( 4 ) L g LL g L( ) Combnamo ora du prcdnt sstm d aggungamo la sgunt quazon ch sprm la prsnza dl gnrator d tnson: 4 E gt 9

23 4 S ottrrà così l sgunt sstma, qu sprsso n forma matrcal: gt solndo qusta matrc s ottngono sgunt rsultat: gt Possamo dunqu rspondr alla domanda dl problma n quanto s arà: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] g g L L L L 5 5 Ω Un altro modo pr gungr al mdsmo rsultato sarbb qullo d utlzzar gl qualnt d Thnn Norton. Crchamo dunqu l qualnt d Thnn d tutta la part dl crcuto ch s troa alla snstra d nod. Dobbamo dunqu troar, pr prma cosa, la tnson qualnt oro la tnson ch s troa tra l nodo l nodo. Pr far qusto possamo sfruttar nuoamnt la MN; toglndo l rsstor da Ω, s ottn una matrc sml a qulla prcdntmnt troata nlla qual s ponga nulla la conduttanza rlata a tal rsstor; s arà qund: gt solndo tal sstma s ottn: gt 5 4, 5, Possamo ora calcolar la tnson a uoto ch sarà data dalla rlazon: ( ) ( ) ( ) Eq 5 5,,5 8 Dobbamo ora calcolar la rsstnza qualnt. Ossramo com, n qusto caso, l calcolo drtto dlla rsstnza qualnt n modo drtto sa rsa complssa dalla partcolar connsson d rsstor (ch non sono collgat né n sr, né n paralllo) qund sarà ncssaro ntrodurr a nod un gnrator d corrnt nota (pr comodtà s usrà un gnrator da ), s spgnrà l gnrator d tnson s dorà calcolar la caduta d tnson sul gnrator ch abbamo nsrto. Cò sgnfca rsolr l sgunt crcuto:

24 g g Ω C D C Ω D, p solamo nuoamnt qusto crcuto con la N; partamo dunqu dal sgunt sstma d LKC rlat a nod, : + C + g + p C + D + p Esprmamo ora l corrnt ch attrarsano rsstor attrarso la lgg d Ohm all conduttanz; s ottn dunqu l sgunt sstma: g g ( ) g g C g CC g C ( ) D g DD g D g g gg g g Combnando qust du sstm s ottn l sgunt sstma rsoluto, qu sprsso n forma matrcal: solndo qusto sstma s ottn:,9,95,4 qusto punto s può calcolar la tnson sul gnrator d corrnt mposta, ottnndo: gc (,95 ) (,4 ) 5, 7 La rsstnza qualnt sarà dunqu: gc ( 5,7 ) Eq 5, 7Ω ( ) ( ) Ora ch abbamo troato l qualnt Thnn ch staamo crcando, c troamo a dor gstr l sgunt crcuto: 4

25 Eq L L Ω Eq damo subto ch la rsstnza qualnt la rsstnza da Ω sono tra d loro n sr qund posso sostturl con un unco rsstor d rsstnza: Tot L + Eq ( Ω) + ( 5,7Ω) 5,7Ω 5, Posso qund, nfn, alutar la corrnt ch attrarsa qusto rsstor, ch sarà po ugual alla corrnt ch attrarsa la sngola rsstnza da Ω; s arà dunqu: Eq ( 5,5 ) ( 5, ) L Tot Qusto srczo può anch ssr affrontato com un srczo rlato ad un doppo bpolo: possamo nfatt ossrar com tutto cò ch è comprso tra nod a snstra tra nod a dstra sa n fftt un doppo bpolo. l fatto ch qusto sa un doppo bpolo è confrmato ossrando ch, prndndo una suprfc chusa ch contnga l gnrator d tnson la rsstnza da Ω, s può dmostrar, applcando una LKC, ch la corrnt ch ntra nl nodo da snstra è ugual alla corrnt ch sc da dstra dal nodo ; analogamnt, utlzzando una suprfc chusa ch contnga la rsstnza da Ω, s può dmostrar ch la corrnt ch ntra da dstra nl nodo qual alla corrnt ch sc da dstra nl nodo. bbamo dunqu l sgunt doppo bpolo: C C C Ω D D, Com s può notar, nod sono stat rbattzzat,, C D d è stato rsrato l l all rsptt port. Crchamo dunqu l rapprsntazon matrcal d qusto doppo bpolo. Utlzzamo l mtodo dll pro smplc pr rcaar gl lmnt dlla matrc. L sprsson splcta d tal rapprsntazon matrcal è la sgunt: r + r r + r Dunqu l lmnto (,) dlla matrc s ottn tramt la rlazon sgunt: r Pr rsolr qusto problma lascamo aprta la porta dl doppo bpolo (n modo ch la corrnt pr qulla porta sa, appunto, nulla) mponamo alla porta una corrnt prstablta (ad smpo mmttndo un gnrator d corrnt da ), msuramo la tnson ch cad sul gnrator ch abbamo mposto ottnamo, facndo l rapporto, l lmnto d matrc crcato. l crcuto da rsolr è dunqu qullo rapprsntato nlla sgunt fgura (): D 4

26 Fgura () Fgura () C C C Ω C D Ω, D D, D Com s ossra n fgura (), l doppo bpolo può ssr rorganzzato (snza modfcarn l grafo) n modo da sottolnar com sa composto dal paralllo d du ram ch contngono du rsstnz n sr. alutamo dunqu l rsstor qualnt a qust quattro rsstnz: Eq + 7,6 + C + D qusto punto s può calcolar, nota corrnt rsstnza, la caduta d tnson su tal rsstor qualnt ch, com proato da una LK all unca magla alla qual è stato rdotto l crcuto, qual alla tnson crcata sul gnrator: 7, ( ) Eq Eq 65 Ora possamo rcaar l prmo lmnto d matrc com sgu: ( 7,65 ) r 7,6 ( ) Pr troar l lmnto d matrc (,) s d oamnt far un dscorso nrso. n qusto scondo caso l rsstnz n sr saranno la con la C la con la D; s arà allora: Eq + 6,8Ω + C + D E qund: Eq Eq ( ) 6, 8 Da cu: ( 6, 8 ) r 6,8Ω ( ) facndo rfrmnto ancora all fgur () () prcdnt, alutamo ora l trmn d matrc (,) ch s sprm com sgu: r Dalla fgura () s può ossrar com la tnson alla porta qualga alla tnson tra nod C D. pllcando una LK alla magla formata dalla porta, dal rsstor dal rsstor C s ottn: C Pr troar la tnson alla porta dobbamo dunqu troar la caduta d tnson su rsstor C, qusto prò sgnfca troar la corrnt ch passa n tal rsstor; pr far qusto sfruttamo la fgura () ossramo ch l corrnt ch passano n rsstor C possono ssr rcaat con la formula dl parttor d corrnt. rmo dunqu, nl rsstor s arà: ( ) ( C + D ), ( ) ( ) C D 4

27 Pr quanto rguarda l rsstor C posso applcar nuoamnt la rgola dl parttor d corrnt oppur, molto pù smplcmnt, rcaarla pr dffrnza: C D ( ), 4 Ora ch conosco l corrnt posso rcaar l cadut d tnson su du rsstor:, 8 C CC 7, 6 E qund: C, 4 Posso qund troar l lmnto d matrc crcato tramt la formula: (,4 ) r,4ω ( ) Sccom l doppo bpolo è composto solo da bpol pass, posso sfruttar l prncpo d rcproctà scondo l qual l trmn (,) è ugual al trmn (,). La matrc rlata a qusto bpolo sarà allora la sgunt: 7,65,4,4 6,8 Pr rcaar la matrc G possamo ora nrtr la matrc troata, ottnndo:,68,88 G,88,8 Ora ch conoscamo l rapprsntazon G possamo rsalr alla rapprsntazon mplcta. cordando nfatt la rlazon: M N ossramo ch, ponndo la matrc M ugual alla matrc untà, s rcaa ch la matrc N qual alla matrc cambata d sgno, oro: 7,65,4 N,4 6, 8 Qund la rapprsntazon mplcta d qusto doppo bpolo sarà la sgunt: 7,65,4 +,4 6,8 Sfruttamo ora la rapprsntazon mplcta pr rcaar l rapprsntazon brd d qusto doppo bpolo: com sappamo, dobbamo rorganzzar la rapprsntazon mplcta nl modo sgunt:,4 7,65 6,8 +,4 L du matrc brd saranno qund: 5,96,5 H M N,5, 6,,4 H,4 4,87 Notamo dunqu com un doppo bpolo rcproco abba l matrc H H msmmtrch. arrangamo ora la rapprsntazon mplcta al fn d ottnr l rapprsntazon d trasmsson; s arà: 7,65,4,4 + 6,8 L du matrc d trasmsson saranno dunqu:,6,5 T M N,,9 44

28 ,9,5 T,,6 Ossramo com un doppo bpolo rcproco abba l matrc T T tal pr cu l loro dtrmnant sa untaro; facndo la proa con l caso n anals s d nfatt com sa: dt T dt T ( ) ( ) 45