Il Metodo degli Elementi Finiti. Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci

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1 Dall dspns dl prof. Daro Aodo dall lzon dl prof. Govann Santucc In alcun struttur la dvson n porzon lntar, faclnt schatzzabl, dscnd datant dal dsgno dalla tcnologa utlzzata pr la costruzon. L carattrstch d rgdzza d var lnt sono faclnt rcavabl da odll struttural dgl lnt (barr assal, trav) Molto spsso, nvc, partcolarnt n coponnt ccanc, la struttura è un contnuo trdnsonal, ch non prsnta una prfrnzal suddvson n lnt. In qust cas s può agnar counqu d dvdr la struttura n un nuro fnto d lnt, ognuno d qual sarà carattrzzato da un crto nuro d punt nodal n qual dfnr l grandzz cnatch dnach. La rgdzza dlla struttura dpnd dall carattrstch lastch dl atral dalla cnatca d sngol lnt. 1

2 Il todo dgl lnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt localnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo.. L da è d rcondurs al caso gà vsto dl calcolo struttural atrcal, dant l sgunt pots d lavoro: - S rapprsnta l contnuo trat un nuro dscrto d lnt fnt, connss tra loro n un nuro dscrto d punt nodal lungo l contorno. (approssazon: la connsson tra porzon d contnuo è nlla raltà su nfnt punt non n poch punt dscrt). Gl spostant nodal saranno ancora l ncognt dl probla, tutt l grandzz d ntrss vrranno sprss n funzon d tal spostant. Elnt dscrt Nod Il todo dgl lnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt localnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo.. - Un ns approprato d funzon vn sclto pr dscrvr l capo d spostant n sno al sngolo lnto n funzon dgl spostant nodal: funzon d fora (approssazon, lgata alla sclta arbtrara dll funzon d fora. In aggunta, qust dovrbbro asscurar rqust d contnutà dgl spostant (congrunza) dll dforazon. Non spr è possbl soddsfar tal condzon). P f k ( ) { f ( x, y, z) } = N { d }, { d }{, d }{, d } k P punto gnrco d coordnat x,y,z ntrno all lnto. {f} spostanto dl punto P 2

3 Il todo dgl lnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt localnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo.. - Dal capo d spostanto dfnto sopra, è possbl rcavar l capo d dforazon corrspondnt, spr n sno all lnto. Noto l capo d dforazon, s rsal al capo d tnson, assunto l lga costtutvo dl atral tnuto conto anch d vntual dforazon nzal tnson rsdu. Il todo dgl lnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt localnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo.. - S dtrna un ssta d forz concntrat a nod ch facca qulbro all tnson sul contorno ad ogn carco dstrbuto nll lnto. (approssazon: concntrando l forz a nod, la condzon d qulbro statco è vrfcata soltanto globalnt.) p F F k k g S crca nfn ancora una rlazon d qulbro d lnto dl tpo: { } = [ ] { } + { } + F K d F { F}.. p + ε0 F F dtrnando [ ] { F},{ F} K, p ε 0 trat opportun oprazon dpndnt dal tpo d lnto 3

4 Il todo dgl lnt fnt è lo studo d crtr con cu rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt localnt quvalnt, dal punto d vsta statco, all corrspondnt porzon dl contnuo.. Con qust pots, l probla è rcondotto al caso dl calcolo struttural atrcal. S può coè scrvr la condzon d qulbro pr ogn lnto: { } = [ ] { } + { } + F K d F { } + p F ε 0... In qusto caso nfatt, sngol lnt fanno l vc d vr propr coponnt ndvdual connss tra loro dant un nuro dscrto d punt nodal. L assblaggo procd prtanto dant gl stss pass prvst pr tal todo; s rcostrusc coè la atrc d rgdzza d struttura, carch nodal quvalnt a carch dstrbut dforazon nzal, s stano l forz strn {R} suppost concntrat a nod La condzon d qulbro posta a lvllo d struttura (dscrta) è dunqu: -Una volta rsolto l ssta d quazon: coè trovat l capo d spostant ncognt l razon vncolar, s possono dntfcar, lnto pr lnto ch dscrtzza l contnuo, sa l capo d dforazon ch qullo d tnson dant l: 4

5 Crcando d rapprsntar l contnuo dant un ns d lnt dscrt d dnson fnt s ntroducono l sgunt approssazon: - la connsson tra porzon d contnuo è nlla raltà su nfnt punt non n poch punt dscrt. - concntrando l forz a nod, la condzon d qulbro statco è vrfcata soltanto globalnt. - la sclta arbtrara dll funzon d fora non garantsc ch gl spostant vr n sno a sngol lnt sano dscrtt accuratant. In aggunta, qust dovrbbro asscurar rqust d contnutà dgl spostant (congrunza) dll dforazon. Al dcrscr dll dnson dgl lnt dscrt (con h la d. da d l.) tal approssazon s rducono. S può dostrar ch sotto opportun pots (rguardant l funzon d fora d altro..), l todo dgl lnt fnt convrg alla soluzon satta quando h 0. La prcson dl todo dpnd fortnt da co l funzon d fora rscono a dscrvr l capo d spostant ral. Ess sono sclt n anra arbtrara ntroducono una approssazon qualora l capo vro d spostant non sa dscrvbl dant la forulazon analtca adottata. L rror s rduc al dcrscr dlla dnson dll lnto Pr asscurar la convrgnza dl todo al rsultato corrtto, s dostra ch l funzon d fora dvono ssr sclt n bas a sgunt crtr: 1) dvono ssr n grado d rapprsntar corrttant ot rgd: n tal cas non dvono gnrar dforazon nll lnto; 2) dvono ssr n grado d rprodurr la condzon d capo unfor d dforazon all ntrno dll lnto; 3) l dforazon n corrspondnza dlla sparazon tra gl lnt possono prsntar una dscontnutà a qusta dv ssr fnta (cò corrspond alla condzon ch gl spostant sano contnu tra lnt contgu, ovvro ch l funzon d spostanto sano C 0 n corrspondnza dlla sparazon. C sono noltr class d lnt ch rchdono ch gl spostant sano C 1 ). 5

6 Probl pan: L lnto trangolar a 3 nod Dall dspns dl prof. Daro Aodo dall lzon dl prof. Govann Santucc Elnt bdnsonal: stato d tnson pana In olt cas, pur ssndo l oggtto da studar un soldo contnuo, la schatzzazon dl coportanto struttural può ssr fatta con un odllo contnuo bdnsonal, con un suffcnt grado d approssazon. Cò è possbl quando la gnrca szon trasvrsal sa rapprsntatva dl coportanto dll ntro soldo Modllo soldo 2D Stato pano d tnson Stato pano d dforazon s H L Stato pano d tnson: s << L, H Tnson noral al pano trascurabl Spssor untaro o spssor ffttvo 6

7 Elnt bdnsonal: stato d dforazon pana In olt cas, pur ssndo l oggtto da studar un soldo contnuo, la schatzzazon dl coportanto struttural può ssr fatta con un odllo contnuo bdnsonal, con un suffcnt grado d approssazon. Cò è possbl ognqualvolta la gnrca szon trasvrsal sa rapprsntatva dl coportanto dll ntro soldo Stato pano d tnson Modllo soldo 2D Stato pano d dforazon s Spssor untaro H L Stato pano d dforazon: s >> L, H Dforazon noral al pano trascurabl Elnto pano trangolar a 3 nod S consdr un soldo (oogno d sotropo) s potzz ch carch vncol, ad sso applcat, sano tal da gnrar un capo pano d spostant ch tal pano sa noral allo spssor. In tal caso è spsso possbl rcondurs a cas vst pra d stato d tnson pana o dforazon pana y s s y In qust condzon è possbl rapprsntar l coportanto struttural dl soldo con un odllo pano. S dvda l soldo n una sr d lnt trangolar, d dnson fnt. S agn ora d strarr uno d tal trangol dal contnuo d studar l suo coportanto rfrndolo ad un ssta d coordnat cartsano. x Pr l pots l assunzon fatt l lnto può solo spostars, dforandos, sul pano x y. Ogn suo punto ha qund du coponnt d spostanto, ch ndchro co u v. x 7

8 Elnto pano trangolar a 3 nod Consdrao qund l lnto, dotato d spssor s, nl pano x y. L lnto è un trangolo d vrtc,, y Elnto ndforato Elnto dforato v d v u d u f v u v u d x Indchao con {f} l vttor dgl spostant d un gnrco punto ntrno. L coponnt dl vttor {f} sono u v: {f} dpnd dal vttor dgl spostant nodal d lnto {d} trat una atrc d fora [N] ch contn l funzon d spostanto: Elnto pano trangolar a 3 nod: funzon d fora y v u Nl caso d lnto pano a tr nod r = 2 = 3 v v u v u u x [N], [N] d [N] sono quadrat d dnson 2 x 2 8

9 Elnto pano trangolar a 3 nod: atrc dll funzon d fora L pù splc funzon d spostanto ch possono ssr pnsat sono d tpo lnar: Essndo q s costant dpndnt dall coordnat nodal dll lnto u y u La suprfc rapprsnta la funzon lnar d x y y P u u xy P(x,y) u x P u, u u rapprsntano tr possbl spostant nodal x N.B. Funzon d fora lnar garantscono autoatcant la contnutà dgl spostant tra lnt ltrof Elnto pano trangolar a 3 nod: atrc dll funzon d fora L pù splc funzon d spostanto ch possono ssr pnsat sono d tpo lnar: Essndo q s costant dpndnt dall coordnat nodal dll lnto L 6 costant q possono ssr calcolat ponndo ch l funzon d spostanto assuano n nod sattant l valor dllo spostanto nodal. 9

10 Elnto pano trangolar a 3 nod: atrc dll funzon d fora Rsolvndo l ssta sono calcolabl l coponnt dl vttor {f} d spostanto d punt ntrn all lnto, u v, n funzon dgl spostant nodal dll coordnat x y: Dov l funzon N k sono sprss da: pr k=,, Ess dpndono dall coordnat dl punto dall coordnat d nod dant l costant a k, b k, c k, : L rlazon prcdnt possono ssr rscrtt n fora atrcal co sgu: d n fora copatta: Elnto pano trangolar a 3 nod: atrc d dforazon Not l funzon d fora, l lga tra l coponnt dlla dforazon spostant nodal è, n fora atrcal: La atrc d dforazon [B] ha dnson r ε x (r ), nl caso n sa 3x6, può ssr dvsa n tr sottoatrc 3x2 dl tpo: pr k=,, N.B. Nl caso dll lnto pano a 3 nod trn dlla atrc [B] sono costant, non contngono dall varabl x,y. La dforazon è dscrtta co costant n tutto l lnto. Cò ntroduc una approssazon portant nl rapprsntar lvat gradnt d dforazon. 10

11 Elnto pano trangolar a 3 nod: atrc d lastctà Lo stato d tnson n un punto dll lnto è dscrtto dal vttor {σ }, coposto da 3 trn. In condzon d coportanto lastco dl atral, tal vttor può ssr sprsso co : La atrc [D] ha dnson 3x3; vttor {σ 0 }, {ε 0 } rapprsntano gl vntual stat d tnson dforazon rsdu prsstnt nl atral. L atrc [D] pr lo stato pano d tnson pr lo stato d dforazon pana s ottngono nvrtndo l rlatv rlazon d Hook, ovvro rcavando l σ n funzon dll ε Stato pano d tnson Stato pano d dforazon Elnto pano trangolar a 3 nod: rlazon d qulbro d lnto La rlazon ch spr la condzon d qulbro dll lnto nl contnuo s può rcavar chaando n causa l prncpo d lavor vrtual: {F} vttor dll forz strn agnt sull lnto, applcat drttant a nod: N.B. In qusto caso {F} rapprsnta l forz nodal ch sono statcant quvalnt all tnson {σ } ralnt agnt sul contorno dll lnto. {p} vttor d carch dstrbut pr untà d volu, ad spo dovuto ad azon nrzal: La condzon d qulbro tra l forz strn l razon ntrn, dovut allo stato tnsonal, s rcava trat l prncpo d lavor vrtual Supponndo l lnto n qulbro, ponndo un capo d arbtrar spostant vrtual l lavoro coputo dall forz strn dv guaglar qullo coputo dall forz ntrn 11

12 Elnto pano trangolar a 3 nod: rlazon d qulbro d lnto Utlzzando l p.l.v., con olt passagg.. s rcavano trn dlla rlazon d qulbro d lnto: t spssor (costant) dll lnto 12