Massimo Bucca matr Aerodinamica. martedì 2 ottobre 2001

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1 Massmo Bcca matr Arodnamca martdì ottobr S n ala agsc la fora arodnamca, qsta pò ssr scomposta lngo d dron prfrnal, c sono la dron normal parallla alla dron c l fldo c ncontra la nostra ala a a mont dll ala stssa. L F V D L componnt dlla fora arodnamca ngono camat portana rsstna, s ndcano con l lttr L D. Dfnamo com portana la componnt normal alla dron dl ttor loctà dlla fora arodnamca, rsstna la componnt parallla alla dron dl ttor loctà asntotca. Abbamo sto dal corso d fldodnamca c l mo pù sofstcato pr stdar n fldo qnd anc n corpo mmrso n sso, sono l qaon d Nar- Stoks. Qst c prmttono d conoscr ttt l arabl fldodnamc c ntrano n goco nl fnomno, ma sbbn sono n mo molto potnt, sono nllo stsso tmpo n mo poco pratco pr l norm costo comptaonal c n sg pr rsolrl n modo soddsfacnt. Allora s è costrtt a scndr a d compromss, n pratca ntrodrr dntro l nostro modllo dll smplfcaon c c prmttono comnq d arrar a d rsltat soddsfacnt. L smplfcaon pù mportant c andrmo a far pr stdar l nostro sstma fldomccanco sono d: Andrmo a trascrar la comprmbltà dl fldo, E/o andrmo a trascrar la scostà dl fldo. Sappamo c l grppo admnsonal c rgola la comprmbltà n n fnomno fldodnamco è l nmro d Mac, coè V Ma a

2 Massmo Bcca matr do con V s ndca la loctà asntotca con a s è ndcata la clrtà dl sono. Possamo affrmar c pù alto è l nmro d Mac pù alta sarà la dpndna dl fnomno fsco dalla comprmbltà. An possamo dr c l nostro fnomno pò ssr camato sbsonco s l Ma, sarà sprsonco s l Ma 4, sarà nfn prsonco s l nmro d Mac è maggor d 4. Ttt fnomn con nmro d Mac comprs fra.3 ngono anc camat transonc. Comnq possamo dr c l fftto dlla comprmbltà comnca a fars sntr propro da Ma.3. No nl nostro stdo partrmo dallo stato pù smplc possbl coè da Ma. Abbamo sto c l altra smplfcaon c andamo ad apportar al nostro modllo è qlla d fldo non scoso. Sappamo c qsta nlla raltà è na non rtà, nfatt non sstono d fld n c la scostà non facca sntr so fftt, ma possamo dr c n alcn qsto fftto è trascrabl. Il grppo admnsonal c tn conto dgl fftt dlla scostà è l nmro d Rnolds, dfnto com V L R. ν Dal nmro d Rnolds capsco c gl fftt dlla scostà s annllano, o pr lo mno dntano nfntsm, qando l nmro d Rnolds tnd a alor molto grand. Qsto prò non ol dr c n ttta la corrnt qst fftt sano trascrabl. Infatt nll mmdat cnan d n contorno soldo, sopratttto dntro lo strato lmt l nmro d Rnolds non spra ma l ntà, qnd localmnt gl fftt dlla scostà sono ttt altro c trascrabl. Da n pnto d sta analtco sccd c qando R tnd ad nfnto, trmn all drat scond dll N-S scompaono, qnd l nostr qaon s abbassano d satta. Qsta d ssr racqstata con l nsrmnto dl modllo dllo strato lmt, n c sono dscrtt n modo sffcnt gl fftt local dlla scostà. S bad bn c rnncar alla scostà c porta a non potr pù tlar la condon d prftta adson alla part solda, coè V(c). Un altra smplfcaon c farmo è c l campo d moto sa rrotaonal. Qsta smplfcaon c porta ad lmnar n altro problma c pò sorgr consdrando d corp c lascano na sca notol. Infatt n qsta ttt l condon ttt gl strmnt analtc c andrmo ad tlar non algono pù, qnd spporrmo c la sca sa sottl. Fortnatamnt profl d c c dobbamo occpar anno n bordo d scta molto ago s tlat con angol d ncdna ragonol, qsto c prmtt d ssr abbastana cornt con l fatto c la sca dbba ssr molto sottl. Essndo molto sottl possamo pnsar c ssa sa, nlla trattaon analtca, comparabl ad na rtta, coè na spc d dscontntà dl campo d moto c pr l rsto è rrotaonal.

3 Massmo Bcca matr Prma d ntrar nl complsso campo dll arodnamca, conn far na pccola loc trattaon sl calcolo tnsoral. Dfnamo ttor na granda fsca carattrata da tr nmr c cambano al arar dl sstma d rfrmnto com cambrbbro l componnt dl ttor n snso gomtrco. Consdramo n ttor d componnt, s potamo n cambamnto d sstma d rfrmnto, non faccamo altro c tlar na matrc d rotaon, coè 3 j j j R, la sommatora dgl R j sono 9 nmr c rgolano la rotaon, non sono ttt ndpndnt, ma ssndo la matrc d rotaon smmtrca, solo 6 sono ndpndnt. Proamo adsso c sa c sono gal, pr far cò basta rfcar c anno la stssa lnga, 3 3,, k j k j k j k k k j j j R R R R l dfnto prò jk k j j R k R δ 3,, s ottn k k k l 3. Il nostro scopo prncpal è qllo d ntrodrr dll grand c non dpndono dal nostro sstma d rfrmnto. Il prodotto ttoral è psdo-narant. Possamo dmostrarlo faclmnt, nfatt 3 3, 3 3,, k k k k j k j jk k j k j k j k k k j j j R R R R δ s d c non dpnd dal sstma d rfrmnto.

4 4 Massmo Bcca matr mrcoldì 3 ottobr Consdramo na fnon scalar f n ttor, possamo troar na rlaon lnar c mtt n rlaon l ttor la fnon scalar, tramt 3 coffcnt c : f 3 c c s nc no oglamo andar a troar na rlaon c c lga n ttor f ad n altro ttor, notamo c coffcnt c ntrano n goco nlla rlaon sono dntat 9, f 3 k Dobbamo capr com arano qst 9 coffcnt n modo da stablr con satta s qsta rlaon sa o mno narant. Portata n n altro sstma d rfrmnto abbamo: 3 3 R f c k k k j R R f 3 c 3 R kj l l k,, k j 3 R c 3 j R kj j sapndo c ottn, 3 3 f l δ l f Rl R f dfnndo, 3,k R lck Rkj clj (*) s f l 3 j c I coffcnt non sono arbtrar ma dono sgr la rgola data dalla rlaon (*), scramnt posso affrmar c s posso farlo allora posso cambar l sstma d rfrmnto sna problm. Adsso andamo ad lncar alcn opraon fra grand tnsoral c sono narant: a b c a b c coè a j b c j lj j

5 Massmo Bcca matr c contraon d n tnsor, o tracca d c Tr ( c ) s doppo prodotto tnsoral s b c 3, j b j c j Gl approcc allo stdo d n fldo possono ssr portat da n pnto d sta macroscopco o da n pnto d sta mcroscopco. Qllo c no srmo sarà macroscopco, ma malgrado sa macroscopco sso s basrà s fondrà con na son mcroscopca. S andamo a consdrar l nostro sstma fldo com na massa costtta da sngol partcll possamo ncorrr n d problm, l pù grosso d qal è qllo d scoprr c nostr rsltat non srono a nnt, coè abbamo ottnto d rsltat ntl. Allora dobbamo crcar n altro pnto d sta, n altro potrbb ssr qllo statstco o probablstco c c prmtt d costrr d lgam fra l arabl macroscopc crt loro dstrbon d grand a c no samo ntrssat. Il nostro scopo ltmo è qllo d rscr a scrr dll qaon c rgardano l nostro sstma fldo, ma c sano ndpndnt dal sstma d rfrmnto. Partamo con l consdrar na poron d fldo c contn n crto nmro d partcll N. Qsta poron d fldo la potamo solata con l mondo strno, la -sma partclla arà na massa m, l for ntrmolcolar c sstono fra l N partcll ngono raccolt n n'nca nrga potnal pot. La -sma partclla arà na loctà propra c camamo loctà mcroscopca, ottnta drando la poson dlla partclla rsptto al tmpo, d dt possamo scrr l blanco dlla consraon dlla massa dlla qanttà d moto, d dt S camamo N m, N d m dt N d pot, m. dt N m M N, m Q N pot, m E

6 6 Massmo Bcca matr possamo dfnr qnd anc passar all grand spcfc, coè pr ntà d olm, M ρ, V Q Q, V E E. V Adsso oglamo troar l qaon d blanco, coè collgar la araon dllo tmpo con l flsso dlla nostra granda fsca attrarso l nostro olm d controllo. Prma d fra cò dobbamo dr c cosa ottnamo dal flsso d na granda scalar. Infatt no ancora non sappamo c granda ottnamo, s no scalar o n ttor. Sappamo c, f dv J f ds t V oppr f dv J f nds. t Notamo c s foss no scalar l ntro ntgral dorbb dpndr dalla sprfc, cò c non oglo c sccda. M accorgo c nl scondo caso sstndo lo scalar tra l ttor flsso la normal alla sprfc, qsto problma non sssst prcé andr a prndr la sa proon. Qnd concldo dcndo c l flsso d na granda scalar d ssr n ttor. Con n ragonamnto analogo s pò arrar alla conclson c l flsso d no scalar è n tnsor, f dv J nds. f t Tramt l torma d Stoks, c c da l gaglana tra l ntgral dl flsso stso alla sprfc con l ntgral dlla drgna stsa a ttto l olm d ntgraon, possamo ancora scrr, f dv J f nds t V V V V f t J f dv s l ntgral al pr qalnq olm s la fnon scalar f è contna drabl, allora possamo andar ad annllar drttamnt la fnon ntgranda,

7 Massmo Bcca matr f t J f, rscrtta pr l nostr qanttà, coè pr la massa, la qanttà d moto l nrga, dnta, ρ J ρ t Q t E t J Q J E Comncamo a consdrar n fldo n qt, sappamo c qsto è dscrtto appno qando è noto l so stato trmodnamco. La qanttà d moto total, s l nostro sstma s troa dntro n contntor cso, pò ssr consdrata nlla qnd l so stato trmodnamco n compltamnt dscrtto da sol d grand, la massa l nrga dll partcll c lo compongono. Ma a no non ntrssano d sstm c sono n qt, spponamo d ar n sstma mccanco c non sa n qt c non sa nanc n qlbro trmodnamco. Spponamo ancora prò, c qsto qlbro trmodnamco non sa tanto lontano dal raggngmnto. S pò affrmar c possano sstr dll rgon dl sstma c sono gà n qlbro, nll rgon c ancora non lo sono tmp carattrstc c occorrono al raggngmnto dll qlbro, sono bass n confronto con tmp carattrstc dll ntro sstma. l << L l t << T L

8 8 Massmo Bcca matr I flss d massa, d qanttà d moto d nrga sono fnon dll grand trmodnamc, coè ρ J ρ ( ρ, Q E), J J ( ρ, Q E), J E J E ( ρ, Q, E) J,, Q Q. Andamo a troar la forma d qst flss. Comncamo con l flsso dlla massa, c è J Q ρ qsto c prmtt d dfnr la loctà macroscopca com, ma anc, N df N df N m m m Q J N ρ Q ρ m ρ l qaon d blanco pr la massa dnta, ρ t ( ρ). A qsto pnto dobbamo cdrc, l qaon troata sarà ndpndnt dal sstma d rfrmnto? Vrfcamolo ntrodcndo na trasformaon qalnq da a, t t t l lgam fra l drat sarà, t t ( )

9 Massmo Bcca matr andamo a scrr con qst opportn trasformaon l qaon d blanco c aamo calcolato pr la massa. Nl noo sstma d rfrmnto t l blanco d massa dnta, ρ ρ ρ t t la massa s mantn costant ndpndntmnt dal sstma d rfrmnt, qnd ρ ρ, po noto c s a, N N N ( ) Q m Q Q m m ρ ρ Q t ρ ( Q ρ ) ρ ( ρ ) ρ Q ρ ma dato c ( ) ρ s ottn, ρ t Q abbamo ottnto la stssa qaon, qnd l qaon d blanco dlla massa è narant. Adsso passamo a troarc qlla dlla qanttà d moto, l problma prò non è facl com pr la massa, n qanto con la massa aamo troato faclmnt l flsso d massa, q non è altrttanto facl. Qnd oprrmo al contraro, coè andrmo a troarc l flsso mponndo c l qaon d blanco sa narant. L qaon d blanco pr la qanttà d moto è, Q t J Q costrndo la drata con l cambo d rfrmnto ottnamo, t ( Q ρ ) ( ) ( Q ρ ) J Q Q t ρ t ( ) Q ( ) ρ J Q

10 Massmo Bcca matr Q t Q ( ) Q ( ) ρ J Q Q t ( J Q Q ) Q ρ affncé l qaon sa narant dobbamo mporr c, ( J Q Q ) J ρ Q Q ssndo narant con qsta opportna sclta dl flsso, possamo scglr qalnq loctà, pr comodtà scglamo, n modo c anc Q, ottnamo allora, J ( J ρ ) Q Q troamo c l flsso d qanttà d moto J è proporonal al tnsor ntaro I, na fnon proporonal è data dalla fnon scalar p(ρ,e), la fnon scalar prnd l nom d prsson, possamo scrr ( ρ, E) p( ρ E)I J J, Q Q l qaon d blanco dlla qanttà d moto dnta, Q t ( ρ pi) s rcord c pi p. Andamo adsso a rcaarc l flsso d nrga d consgna l so blanco. Partamo dalla E J E t E N N pot m m passamo al sstma tramt l solt trasformaon, pot ( ) E ρ Q

11 Massmo Bcca matr ( ) J E Q E t t Q t E ρ ρ tlando l qaon d blanco consdrando la loctà costant ottnamo, ( ) Q E Q J J t E Q E ρ com fatto pr la qanttà d moto andamo a scglr n sstma d rfrmnto comodo, coè pr pr Q, s ottn c l flsso d nrga d ar la forma, E J J J Q E E ρ tramt l dnttà ttoral I p J Q E E ρ s a E pi J J E E ma dondo alr l sotropa d ssndo l flsso J dll nrga n tnsor d ordn dspar, qnd non narant rsptto al sstma d rfrmnto, qsto flsso non pò sstr, dnq l flsso d nrga s rdc a E pi J E l qaon d blanco sarà, p t ρ ρ Abbamo dnq troato l qaon d blanco pr la massa, pr la qanttà d moto pr l nrga. Qst tr qaon anno sotto l nom d qaon d Elro.

12 Massmo Bcca matr Il sstma d qaon d Elro è, ρ t Q t ( ρ) ( ρ pi) ρ t ρ p possamo notar c l qaon scrtt n qsta forma, coè con la drata rsptto al tmpo po con la drgna d n crto ttor, anno dtt n forma consrata. Non smpr la forma consrata è la forma pù smplc pr laorar con qst forml, crto s no abbamo gà pronto n algortmo al c c consnt d ntrodrr soltanto l qanttà all ntrno dlla drata tmporal qlla dntro la drgna, qsta forma è prfrbl n qanto abbamo sbto sott occo l d grand, ma s oglamo far cont no stss allora possamo andar a smplfcar n po qst forml. Comncamo con qlla d contntà, splctando la drgna dl prodotto tra la dnstà la loctà, ρ ρ ρ t prm d trmn possono ssr prs assm anno sotto l nom d drata sostanal, Dρ ρ Dt Passamo ora alla qanttà d moto, com prmo trmn o la drata tmporal dl prodotto tra la dnstà la loctà, lo slppo d o: ( ρ ) t ρ ρ t t ( ρ) ρ t

13 Massmo Bcca matr adsso andamo a splctarc d trmn con la drgna, ( ρ pi ) ( ρ) ( pi ) ( ρ) ρ( ) p com s d faclmnt d trmn s ldono a cnda qnd l qaon dnta, ρ ρ t ( ) p Qsta forma dll qaon dlla qanttà d moto è camata forma contta. Ora tocca all qaon dll nrga slppamo la drata tmporal la drgna, ρ t ρ t ( ρ) ρ ( p) ** pr l qaon d contntà l prmo l tro trmn s ldono, co rstant trmn facco na combnaon lnar con l qaon dlla qanttà d moto moltplcata scalarmnt pr, ottngo ρ t ρ sottrando mmbro a mmbro con la ** s ottn p ρ ρ t p c pò ssr scrtta n forma d drata sostanal, D ρ p Dt Qando andamo ad assmr c l nostro fldo è ncomprmbl sgnfca assmr c dρ dp

14 4 Massmo Bcca matr n qsto caso l qaon d stato dnta ρ cost. Qsto c porta a capr c dll tr qaon d blanco c abbamo rcaato, qlla dll nrga dnta dsaccoppata rsptto all altr d. Dnta dl ttto scondara s oglamo calcolar l nostro campo do moto, a mno c non olgamo calcolar la tmpratra n tal caso è fondamntal. Allora nl caso d dnstà costant l nostr qaon dntano t p ρ ( ) Ttto qllo c è stato troato, ttt ragonamnt c c anno portato alla formlaon dll qaon d blanco s basano slla condon pots dll qlbro local. Adsso faccamo n passo aant crcamo d toglrc da qsto ncolo, no sappamo c l flsso dll nostr grand dpnd dallo stato trmodnamco dl sstma, dpnd qnd dallo stato pntal c anno l grand d stato n n dtrmnato pnto n n dtrmnato tmpo. Spponamo adsso d spostarc dall qlbro, ma non d tantssmo, samo n prossmtà dll qlbro. Possamo pnsar c l gnrco flsso sa la somma dl flsso c no abbamo all qlbro pù n flsso c è doto al gradnt dll arabl d stato, coè J f ( d ( ) ) ρ, E, Q J f ( ρ, E Q) q J, f Qnd andamo a corrggr l flsso con n trmn rcaato dallo slppo n sr d Talor d l/l, sotto l pots d lnartà. Qsta granda è dsspata consdrando l pots d lnartà possamo dr c l flsso dlla qanttà d moto d ssr, ( ) J d Q a ρ b Q c E Adsso no oglamo c l nostro flsso sa ndpndnt dal sstma d rfrmnto, qnd d ssr anc ndpndnt l flsso dsspato, abbamo gà affrmato c non sstono tnsor d ordn dspar c sano ndpndnt dal sstma d rfrmnto. Qnd posso concldr c tnsor a c dono ncssaramnt nll affncé J Q (d) possa sstr. A dr l ro anc l scondo trmn prsnta dll dffcoltà, nfatt s consdramo la qanttà d moto, abbamo Q Q ρ

15 Massmo Bcca matr c accorgamo c anc la qanttà d moto non è narant, qnd andamo a sosttr la dpndna dl flsso, nc dlla qanttà d moto mttamo la loctà c ssndo n ttor è scramnt narant, s a ( ) J d Q b b non potrà non ssr c la combnaon lnar d solo tr tnsor d ordn 4 c sono crtamnt narant, coè ottnamo,, k b ( ρ, E) δ ( ) ( ) jδ k β ρ, E δ δ jk γ ρ E δ kδ j α,, j,, k δ δ j k k δ j, k δ k k δ j k k k δ j ( ) I, k δ δ jk k j, k δ k δ j k j ( ) T possamo concldr dcndo c la part dsspata dl flsso dnta, J ( d ) Q ( ) I β ( ) T α γ A olt pò rtornar tl scrr l flsso dsspato con la part smmtrca antsmmtrca dl gradnt dlla loctà. ( ) ( ) ( ) T SIM ( ) ( ANT ( ) ) tlando qst d rlaon l flsso dsspato dnta, T J ( d ) Q ( SIM ) ( ) I ( β γ )( ( β )( ) ( ANT ) α ) γ Qsto laoro è stato fatto prcé s samo d front al caso partcolar d moto rgdo, sappamo gà c la rotaon rgda a n tnsor c è antsmmtrco con tracca nlla, qnd prm d trmn scompaono, s oglamo c l flsso dsspato sa nllo, dobbamo mporr c β γ. In qsto caso l flsso dnta, J ( d ) Q T ( ) I ( ( ) ) α β

16 6 Massmo Bcca matr c pò ssr ancora rscrtto com, J ( d ) Q µ λ 3 ( ) ( SIM ) ( ) I ( )I S pò far dscorso analogo sl flsso dll nrga l qal prò a qsta forma, ( ) J d E d ρ f E nfatt s pò notar faclmnt c qsta olta andrà a solo l scondo trmn lgato al tnsor d ordn dspar, con na trattaon analtca s arra alla conclson c l flsso dsspato dll nrga a na forma dl tpo, ( ) J d E k T. martdì 9 ottobr L obtto dlla arodnamca è l calcolo dll for d momnt c agscono slla nostra ala. S andamo a prndr l qaon d blanco dlla qanttà d moto, andamo a consdrar la qanttà d moto total, somma dll qanttà d moto dll sngol partcll c formano l nostro sstma, d ssr gal al flsso dl ttor J Q. Q dv J nds Q t Qsta rlaon l so qalnt dffrnal al ndpndntmnt s c troamo d front ad n fldo o ad n soldo, o ad n sstma c s compon d ntramb. Qsto prcé non abbamo fatto nssna pots slla sotropa dl sstma. S c troamo d front n sstma dl tpo, V

17 Massmo Bcca matr Ossramo c s facssmo tndr l olm, n c s troa l fldo, al contorno dl proflo, Capamo c l proprtà d olm, tndndo l olm stsso al olm dl proflo, dntano l proprtà dl corpo. Qnd nll qaon d blanco dlla qanttà d moto l I trmn c da la fora a c è sottoposto l corpo sotto l aon dl fldo. Abbamo dtto c l II trmn è qllo dll proprtà d sprfc, c sono dpndnt dal flsso dl fldo. S prndamo n consdraon n fldo non scoso sappamo c l flsso dlla qanttà d moto a na forma partcolar, c c prmtt d scrr c la fora arodnamca sarà, F ρ pi nds ( ) V ma ssndo l fldo non scoso, slla part dl proflo la loctà non s annllrà qnd arrà la condon n, allora s a F V p nds Rcordamoc smpr c l flsso J Q al dmnsonalmnt no sforo. Samo n n caso sml a sold soggtt a sfor, solo c lì lo sforo ra doto a dll dformaon, q lo sforo è doto a dll loctà. Possamo far n altra ossraon slla fora arodnamca, nfatt s andamo a prndr l nostro proflo con l nostro olm d controllo, ma qsta olta nc d rdrlo sl proflo, lo allargamo all nfnto possamo concldr c l for fldodnamc sono smpr gal all for agnt sl copro s l fldo s mo s moto nform. Qsto capta prcé l ntgral drant dalla qanttà d moto dlla part d olm dl fldo è nllo, dato c l moto dl fldo è staonaro, l ntgral s sprfc dorbb ssr nllo n qanto non c è flsso ntto, ssndo l moto staonaro, qnd c rsta solo l trmn concrnnt la fora agnt sl corpo. Qsto rsltato è molto tl, prcé sotto l pots d staonartà c consnt d trascrar la gomtra dl nostro proflo.

18 8 Massmo Bcca matr Il problma dffrnal non è bn dfnto s non rscamo a cdrlo, coè s non rscamo a troar l condon al contorno. L nostr ncognt sono 5 drant dall ncognt dll qaon d blanco, ma tramt l qaon d stato rscamo a dmnr l ncognt ndpndnt qnd anc l nmro dll condon al contorno ncssar pr la rsolon nmrca dll qaon d blanco. S ancora no rscamo a costrr l nostro sstma d rfrmnto n modo tal c sso sa soldal al proflo stsso, possamo mporr c la loctà sl corpo sa nlla, c, qsto c prmtt d ar gà tr condon al contorno. La qarta condon c n da na granda dl campo trmco, c non c ntrssa a tanto pr qanto rgarda l campo d moto ma s oglamo conoscr l campo d tmpratra samo costrtt a rsolrlo. Ma s samo n prsna d n fldo ncomprmbl non scoso allora l qaon d blanco dll nrga è prfttamnt dsaccoppata dall altr d, qsto c prmtt d scndr a sol tr condon al contorno. Solo c nasc l problma c non portò sar pù la condon d prftta adson, sarò costrtto a porr com condon al contorno c la drata dlla loctà lngo la normal dl proflo sa nlla, coè la condon d non pntrabltà dl corpo. L altr condon sono c l loctà tangnt al proflo non sono affatto nll, n gnral la gstfcaon d qsta trattaon c rcdrà d rcaar lo strato lmt. Rprndamo l qaon d Elro nl caso d fldo ncomprmbl non scoso, t p ρ ( ) rcordamo anc c l qaon d blanco, dsaccoppata rsptto all altr d, ra così fatta, D ρ ρ Dt dall qaon sostanal d contntà ottngo, Dρ D p Dρ ρ Dt Dt ρ Dt rcordando c, ottnamo, p Tds d pd d pd d ρ ρ dρ

19 Massmo Bcca matr T Ds Dt Ds Dt abbamo ottnto c l sstma è anc sontropco. Ando l sstma araon d ntropa nlla, c prmtt d scrr la dnstà, c ra fnon dlla prsson dll ntropa, com fnon dlla sola prsson, coè ( p s) ρ( p) ρ ρ, c prmtt d dfnr na fnon P, com P dp ρ ( p) nl caso n c l sstma sa comprmbl sontropco l sstma d qaon sarà, ρ ( ρ) t ( ) P F t Possamo ntrodrr anc l qaon d blanco sotto la forma d Crocco, nfatt s prndamo n consdraon l scondo trmn dll qaon d blanco dlla qanttà d moto, rcordando la rlaon ttoral ( ) ( ) ( ) dfnndo ω s a, ( ) ω l qaon d blanco dnta consdrando la rsltant dll for nll, t P ω. Da qsta formla s possono rcaar l rlaon d torm d Brnoll:. Caso staonaro, P ω

20 Massmo Bcca matr moltplcando scalarmnt pr s ottn, P da c s d caramnt l bnomo è costant lngo ogn lna d corrnt.. Caso rrotaonal staonaro, P da c s d sbto c l bnomo s mantn costant n ttto l campo d moto. 3. Caso rrotaonal, P t s sst n potnal scalar pr c possa scrr, allora s a, ( ) P t P t P t s concld dcndo c qsto trnomo c abbamo troato s mantn costant n ttto l campo d moto, s not c qsta olta la costana è soltanto spaal ma non tmporal. S l nostro campo d moto è n campo d moto rrotaonal, allora possamo trasformar ltrormnt la nostra qaon d blanco dlla qanttà d moto, nfatt passamo a far l rotor d ttta l qaon, ottnamo t ω P qsta qaon è qas qalnt al sstma, ( ) t ω ω ω

21 Massmo Bcca matr Ho dtto c l qaon prcdnt è qas qalnt al sstma sopra scrtto, pocé non è dtto c ttt l solon dl sstma sano solon dll qaon, l crsa è smpr ro. S l domno è monoconnsso allora l solon dl sstma dll qaon andranno a concdr, altrmnt bsogna garantr c la solon sa tal c la qanttà ω sa n gradnt, c sa garantto anc t ω dc t Pr l nostro stdo c conn far l passaggo dall coordnat lran, coè fss nllo spao, ad n sstma d coordnat lagrangan, coè con n sstma mobl nllo spao c sga stant pr stant l nostro sstma fsco. Il sstma d rfrmnto lagrangano s mo con loctà par a qlla macroscopca dl fldo, andamo a dr com s trasformano l drat olt n drat lagrangan. La gnrca trasformaon n spao tmpo è, j ξ ξ j t ξ t j t t j t t t l passaggo da trna fssa a trna lagrangana è spcfcato da, scopramo c la drata sostanal sarà j t t j t t t j j Tornando slla nostra qaon n ortctà, ottnta facndo l rotor dll qaon d blanco dlla qanttà d moto, sapndo c ( ω ) ( ) ω ( ) ω ( ω ) ( ω ) l prmo trmn dll gaglana ttoral s annlla tramt l qaon d contntà, l tro pr dato c la drgna d n rotor è nlla pr dfnon. Allora l qaon n ortctà dnta,

22 Massmo Bcca matr ( ) ( ) t ω ω ω ( ) Dt D ω ω n coordnat lagrangan abbamo, l l ξ ξ l l l Dt D ξ ξ ω ω ω l scondo trmn sprm l componnt dlla drata sostanal dlla ortctà l tro sprm l coordnat lagrangan. Ma sappamo anc Dt D l l ξ ξ dato c la ξ l tmpo sono ndpndnt posso scrr, l l Dt D ξ ξ qnd s a l l l l Dt D Dt D ξ ξ ω ξ ξ ω ω ω prndndo n consdraon l prmo mmbro s a, ( ) l l Dt D Dt D ω δ ω ma l l l l ξ ξ δ qnd s a, l l l l Dt D Dt D Dt D Dt D ω ξ ξ ω ξ ξ ω ξ ξ ω s nota c, gaglando l d drat s anno d trmn gal, rsta solo l Dt D ω ξ ξ l drat d l rsptto all ξ ssndo lo jacobano dlla trasformaon non è ma nllo qnd lo possamo smplfcar ottnr,

23 Massmo Bcca matr ξ ω ω ( ) ω ω ( ) ξ do con ω () s è ndcat la costant d ntgraon. S pò notar c nlla nostra trattaon abbamo fatto scomparr l drat tmporal, ma qst n rtà non sono scompars prcé la dpndna dal tmpo rman smpr nll coordnat lagrangan dlla. Qsta rlaon c dc c s abbamo n campo d moto n c la ortctà nal è nlla nll s tr componnt, allora ssa s mantrrà nlla pr l rsto dl tmpo, qalnq sa l moto dl sstma lagrangano. Qsto è molto mportant nl nostro stdo d n proflo, nfatt s no assmamo c all nfnto la loctà s mantn costant c la ortctà è nlla, allora sa scr c l proflo starà n n campo d moto rrotaonal, oltr ad ssr n fldo non scoso ncomprmbl pr pots, scldndo caramnt la sca c è na rgon dl campo d dscontntà. Mrcoldì ottobr Abbamo rcaato l componnt dlla ortctà nl caso d fldo non scoso ncomprmbl, andamo adsso a dr com qll forml possono arar nl caso d fldo comprmbl. Nl caso comprmbl sappamo c l qaon d blanco dlla ortctà è, Dω ω Dt ( ) ω ( ) gra all qaon d contntà l prmo trmn pò ssr scrtto com, qnd s a, Dω Dρ Dω Dρ D ω ω ρ ω ρ Dt ρ Dt ρ Dt ρ Dt Dt ρ D Dt ω ω ρ ρ S not c l rsltato raggnto è sml a qllo nl caso prcdnt, con la sola dffrna c lì c ra solo la ortctà, al contraro qa compar l rapporto dlla ortctà rsptto alla dnstà. Scrndo la formla raggnta n coordnat lagrangan, facndoc atar da passagg fatt n prcdna, s a, ω ω ρ ρ ( ). ξ

24 4 Massmo Bcca matr Anc n qsto caso s la condon all nfnto è nform o è d qt, allora possamo concldr c n ttto l campo la ortctà sarà nlla. Passamo all qaon d blanco dlla massa, scramola n coordnat lagrangan, partamo dalla drata sostanal dlla massa, Dρ ρ Dt com abbamo fatto n prcdna, andamo a scomporr la drgna dlla loctà, scrndola prma n coordnat cartsan passando po n coordnat lagrangan, l qaon dnta, ξ j ξ j D Dt j ξ ξ j Dρ D ξ j ρ Dt Dt ξ j rcordamo c s abbamo na matrc A con dtrmnant A, possamo dr A : da A dc d dc A do c è n paramtro qalnq. Consdrando nl nostro caso l tmpo com paramtro rconoscndo con J l dtrmnant Jacobano dlla ξ trasformaon c lga l coordnat a qll ξ, s a s J non è sngolar, J Dρ DJ ρ Dt Dt Dρ ρ J Dt DJ Dt D ρ Dt ( J ) all stant nal la dnstà al ρ() ρ () lo jacobano al, n qanto all stant nal sstm d rfrmnto cartsano lagrangano anno a concdr. Lo jacobano c dc com ara l rapporto dgl lmnt d olm n drs sstm ξ, man mano c l sstma lagrangano s ol. Qnd la rlaon c fa capr c la dnstà ρ olrà n manra nrsa rsptto al olm.

25 Massmo Bcca matr Qllo c abbamo fno ad ora dtto a n grosso dftto, nfatt l solon c no rtroamo ngono for da qaon dffrnal. Sappamo c qando sst na dscontntà dl campo d stdo non possamo pù tlarl. Qnd samo costrtt a rpgar s dll qaon d tpo ntgral. Andamo a gardar alcn torm c c rranno tl sotto l pots cnmatca c ω. Il torma d Stoks c dc, ω nds dc S Il torma d Kln c dc c s no calcolamo l sgnt ntgral dc lngo n prcorso cso c s mo con loctà macroscopca, possamo pnsar a crc fatt col fmo, la drata dll ntgral s mantrrà gal a ro, D Dt S ( dc) Dmostraon: D Dt ( ) ( ) dc D d D dξ j Dt Dt ξ j l cammno dll ntgral dpnd dal tmpo, ma ssndo passato all coordnat lagrangan qsta dpndna scompar, qnd posso portar la drata all ntrno dll ntgral. Dopo passo a scomporr d ntgral c ottngo drando l prodotto dlla fnon ntgranda, D Dt dξ j ξ j D Dt dξ j ξ j D Dt dξ j ξ j dmostrar l torma sgnfca dmostrar c qst d ntgral sono ntramb nll, prndamo n consdraon prma l scondo D Dt D dξ dξ dξ j j j ξ j ξ j Dt ξ j ξ j dξ j c accorgamo c è l ntgral d n dffrnal satto, c calcolato n n prcorso cso è banalmnt ro. Da notar com fno a qsto pnto non abbamo fatto so dll qaon dl moto.

26 6 Massmo Bcca matr Passamo adsso all altro ntgral, D Dt dξ j ξ j D P tramt la drata sostanal Dt dnta, P dξ j ξ j P dξ j ξ j anc q abbamo raggnto n ntgral d n dffrnal satto, c è nllo prcé l prcorso è cso. Qnd anc la drata dll ntgral nal sarà nllo l torma d Kln è stato dmostrato, nll pots d fldo non scoso ncomprmbl o comprmbl sontropco. Dal torma d Kln possamo rcaar torm d Hlmot, c sono n msto d consdraon cnmatc dnamc, passamo comnq prma a dfnr alcn grand fsc. S dfnsc lna ortcosa l logo d pnt c anno stant pr stant paralllo l ttor ortctà, matmatcamnt dfnta localmnt com ω ds. Possamo dfnr com sprfc ortcosa na sprfc c a com drttrc dll ln ortcos. S na sprfc ortcosa a com gnratrc na lna csa allora s parlrà d tbo ortcoso, l ara dlla gnratrc rrà camata son dl tbo. S n tbo ortcoso a na son c tnd a ro, coè la cra altro non è c n pnto, allora parlrmo d flamnto ortcoso. Il prmo torma d Hlmot raccd n s qst d proprtà: ) l flsso d ortctà rslta costant n ogn son d n tbo ortcoso, ) s s prnd n tbo ortcoso o flamnto ortcoso la crcolaon è costant attrarso qalsas lna c crconda l tbo stsso. Il scondo torma d Hlmot c dc c na sprfc c è n n dato stant sprfc ortcosa lo sarà pr ttt gl stant sccss. Qsto torma dra da qllo d Kln. Sosttr al ttor loctà n potnal scalar è na cosa c m gratfca molto, prcé m fa capr c c troamo d front ad n campo rrotaonal. Ma qsto non smpr è possbl farlo, prcé do star attnto al tpo d domno o o. Infatt s oglo c l mo campo d moto sa onq rrotaonal do ar o far n modo c sa monoconnsso. Prtroppo n problma arodnamco non è qas ma monoconnsso, nfatt s consdro l pano do gac la son dl mo proflo, m accorgo faclmnt c l proflo stsso fa n modo c l domno non sa monoconnsso. Inc s trattamo l problma n tr dmnson allora è monoconnsso, prcé anc s costrsco n prcorso cso attorno all ala, posso smpr strarr for qsto prcorso rdrlo n n pnto nllo spao.

27 Massmo Bcca matr Concldamo dcndo c l problma arodnamco è smpr monoconnsso n tr dmnson, n d dmnson nc è bconnsso. Rcordando c stamo smpr trattando con fldo staonaro non scoso, abbamo troato c s l mo domno è bconnsso allora l potnal scalar non sarà monodromo, coè non arà n sol alor n n dtrmnato pnto dl domno. Allora no possamo spar l domno tramt na strsca d aprtra nfntsma, Così facndo l domno è monoconnsso, nfatt non posso crcar l proflo con na cra csa. Logcamnt qllo c abbamo fatto è soltanto n trcco, prcé l problma sssst comnq, nfatt l alor dl potnal attrarso la strsca è comnq drso, ma all ntrno dl domno prato dlla strsca l potnal sarà contno. La sclta d do porr la strsca non è obblgatora, anc s drmo c conn scglr n posto rsptto ad n altro. E c la strsca d ssr nfntsma d lnga nfnta. Nl caso d fldo ncomprmbl moto rrotaonal possamo scrr qsto sstma d qaon, scrndo la loctà tramt l so potnal scalar, s ottn l qaon d Laplac, Qsta qaon dffrnal dl scondo ordn è lnar, qsto c prmtt d applcar l prncpo d sorapposon dgl fftt. Andamo adsso a troar l possbl condon al contorno pr l qaon d Laplac,. S oglo c la loctà all nfnto sa allora posso dr c l potnal sarà, ( )

28 8 Massmo Bcca matr l altra condon possamo rcaarla consdrando l corpo, no sappamo c l fldo è non scoso, qnd non possamo dr nlla crca la loctà sl corpo, ma possamo dr c la componnt normal dlla loctà sl corpo è crtamnt nlla, coè la condon d non pntrabltà, ( n) ( ) c n. L condon al contorno c abbamo rcaato sono rfrt ad n sstma d rfrmnto fsso, s c mttamo soldal con l fldo, l condon cambano. Infatt la loctà all nfnto sarà nlla, la loctà sl corpo sarà la loctà, coè ( ) c ( ) n n c. Abbamo dtto n prcdna c l taglo c no ffttamo al nostro domno, pr rndrlo monoconnsso, non sarà fatto n n posto qalnq, ma sso arà n lgam con la sca dl nostro oggtto. Dorò rsolr l qaon d Laplac facndo n modo c l taglo m tolga la dscontntà rotaonal c la sca m dà nl mo domno d calcolo. Pr rsolr l mo problma, do ar anc dll condon al contorno dlla sca, c sono dopp prcé s bord dlla sca sappamo c l potnal è dscontno, allora posso andar ad applcar na qaon d blanco attrarso n contorno cso, c m raccd n po dlla sca, n modo da rcaar dll rlaon c m ntrodcono n lgam tra l qanttà a caallo dlla sca. Pr far cò non posso tlar dll rlaon dffrnal, pocé l campo prsnta na dscontntà, passo allora a dll qaon d tpo ntgral. c godì ottobr Data la loctà prs d pnt sl pano P P, l potnal sarà: ( P ) ( P ) s P P anno a concdr, allora c troamo d front ad n prcorso cso l ntgral pr l torma d Stoks sarà nllo. I alor d (P ) possono assmr nfnt alor, ma sappamo con crta c qst alor sono mltpl ntr dlla crcolaon dlla loctà, coè P P Γ dc dc

29 Massmo Bcca matr Abbamo dtto c l taglo non andrà fatto n n pnto arbtraro, ma no mponamo do farlo. E rsolndo l qaon d Laplac ado a dtrmnar lgam c sstono tra l grand attrarso l salto c s cra sl taglo. Immagnamo d ar n tratto dlla sca, d costrr ntorno ad ssa n prcorso cso, () A F B C E D Andamo a scrr la consraon dlla massa n forma ntgral, s a ndl () B C D E F A d d d d d d A B C D E F l dstan rtcal rsptto a qll orontal dl prcorso sono molto pù pccol, qnd contrbt dgl ntgral lgat a possono ssr pnsat nll, ma nllo stsso tmpo l dstan AB ED non sono ccss, pr far n modo c la sca possa ssr pnsata rttlna, qnd qll dstan possono consdrars gal, s a AB ED n n samo arrat alla conclson c l componnt normal dlla loctà sono gal, qnd anc contn, saranno gal anc l componnt normal dl potnal. Ma andando a consdrar la sca com na lna d corrnt, sappamo c na lna d corrnt non a componnt normal, qnd possamo ancora scrr, n n (solo slla sca). A qsta conclson samo arrat andando a stdar la consraon dlla massa, s andamo a consdrar la consraon dlla qanttà d moto s a, ( ρ pi ) n ( ) ρ pi n

30 3 Massmo Bcca matr ma ssndo nllo l prodotto scalar dlla loctà con l rsor normal, dalla rlaon c rsta soltanto, p p. Qlla c abbamo rcaato è na rlaon n c compar la prsson, ma o oglo tradrla n trmn d potnal, pr far cò mtto n goco l torma d Brnoll, d o ( ) ( ) p p t t t ( ) s dfnamo ottnamo, ( ) ( ) t ( ) ( ) ( ) s dfnsco la loctà d n pnto dlla sca com la mda dll loctà d pnt al d sopra al d sotto dlla sca, ottngo t t ( ) ( ) ( ) ( ) D Dt ( ) Notamo c l qaon d Laplac non è dpndnt dal tmpo, ma qsto è pra apparna nfatt la dpndna dl tmpo è stata spostata nll condon al contorno. Infn possamo dr c l qaon d Laplac c consnt d stdar l campo d moto, scldndo con n trcco l nca rgon d campo c è scramnt rotaonal, c prsnta na dffcoltà ntrnsca d stdo. L qaon d Laplac non c dc nlla s qanto rgarda la sca, ma no mponamo c l taglo d domno prnda n goco la sca c la lmn dal campo d moto. La dscontntà rman n qanto da ntramb l part dlla sca l potnal assm d alor compltamnt drs, ma qsta dscontntà n sprata rcaando, com abbamo fatto, altr condon al contorno c c prmttono d lgar grand com la loctà normal la prsson da c camo rsct a rcaar l potnal.

31 Massmo Bcca matr Passamo ora a dr alcn form rsolt dll qaon d Laplac, la sclta dl sstma d rfrmnto dpnd dal tpo d fnomno c sto stdando, comnq sappamo c l qaon d Laplac potrà ssr scrtta com, qsta forma è n coordnat cartsan. No non sappamo c forma arà la solon d qsta qaon, ma proo s possa ssr d qsto tpo, ( ) F( ) G( ), sosttndo dntro l qaon s a, ( ) G( ) F( ) G ( ) F F F ( ) ( ) G G ( ) ( ) affncé la somma d d fnon d arabl drsa sano gal a ro, d accadr c l d fnon sano costant, ( ) ( ) F G A F G ( ) ( ) F ( ) AF( ) G ( ) AG( ) l solon d qst qaon dffrnal aranno na forma dl tpo, F ( ) k k ± A ± a a C a R s s A < A G ( ) k k ± A ± a a C a R s s A > A qnd la solon dll qaon sarà, ± a ± a ( ), Ma arando l domno d calcolo l condon al contorno, la solon pù gnral possbl c possamo scrr a na forma dl tpo,

32 3 Massmo Bcca matr (, ) k( a) S prndo n consdraon na gomtra n c l mo domno sa solo la part posta dll, qnd la ma condon al contorno sa solo na fnon dlla sola,, g a ( ) ( ) do pr star attnto a non far andar ad nfnto l mo potnal, n qsto caso basta mttr n alor assolto la a all sponnt dlla, prcé sono scro c l contrbto drant dalla sa lmtato, pocé sono fnon gonomtrc, tramt la ma condon al contorno o a da a (, ) k( a) da g( ) sfrttando la trasformata d Forr s pò prndr l nrsa d ar, k a π ( ) a g d. mrcoldì 7 ottobr Abbamo rcaato l qaon d Laplac, abbamo anc sto la forma c pò assm na sa solon sprssa com l prodotto d d fnon dpndnt da arabl sparat. Ma ttto l procdmnto sgto è stato solto n coordnat cartsan, qsto a olt pò ssr n lmt molto alto sopratttto qando samo n prsna d domn crcolar. Infatt s samo n qsto caso l coordnat pù adatt sono qll clndrc, la topologa sfrca o clndrca a bn anc n cas d profl, cosa c a no ntrssa molto. Qando abbamo rcaato la solon dll qaon d Laplac mdant l procdmnto d sparaon d arabl, abbamo laorato n coordnat cartsan, ora non è assoltamnt dtto c n coordnat polar alga ancora qllo c abbamo fatto pr l caso cartsano, qnd samo costrtt a rfar cont. In coordnat polar l qaon d Laplac dnta, r θ r r r r anc q oglamo crcar dll fnon solon c abbamo la forma, ( r θ ) F( r) G( θ ),

33 Massmo Bcca matr sosttndo nll qaon d Laplac s a: r G FG F r r ( r ) G r G F ( rf ) abbamo sparato l arabl, l prmo addndo è fnon solo dlla θ, mntr l scondo è fnon solo dlla r, affncé dano somma nlla d accadr c ntramb sano gal a costant, coè G A G r F ( rf ) A La prma qaon dffrnal, qlla dpndnt da θ, è sml a qll st nl caso cartsano, qnd arà solon dl tpo, G ± aθ ( θ ) la sconda qaon è na qaon d Elro, coè a coffcnt non costant, ma c pò ssr rportata a coffcnt costant con la banal sostton d arabl d log r t dt dr r r dt d dr qnd la nostra qaon r ( rf ) AF n fnon d t dntrà, con solon F tt AF F ± at ( t) tornando nlla arabl r, s a F ± a ( r) r Qnd notamo c l d solon sparat anno facca drsa, cosa c non accada nl caso cartsano. In pù accad c l solon troat non comprndono ttt l solon possbl al arar dlla costant A, nfatt s spponamo c A sa nlla abbamo ( ) G( θ ) C C θ G θ

34 34 Massmo Bcca matr a r r ( rf ) ( rf ) rf a F F() r a logr b qst d solon non nano comprs nll solon gnral troat con A qalnq. Passamo adsso a laorar sll condon al contorno spponamo d conoscr la condon sl contorno crcolar d raggo r. Coè spponamo d conoscr la (r,θ)g(θ), la solon gnral sarà la combnaon lnar pù gnral possbl fra l solon r troat sparatamnt, rcordamo c no θ stamo crcando l potnal n n pnto r all strno dl crco d raggo r, qnd dobbamo star attnt c l nostro potnal r non ada all nfnto. La solon gnral sarà, ( r, θ ) a r b Cθ k( a) log abbamo dtto c l potnal non pò drgr allora l tro trmn non pò sstr prcé all nfnto l potnal d ssr nform. Dondo l fnon ssr contn mplca c l sponnt a dntro l ntgral non pò ssr ral ma ntro, d consgna al posto dll ntgral posso sosttr na sommatora così fatta, k a aθ n n ( a) r da ( A r B r ) n ma c accorgamo c anc qando r tnd all nfnto l potnal drg, qnd dobbamo lmnar dalla sommatora anc l potn d r con sponnt posto. La solon dntrà, n n r a aθ nθ da ( r, θ ) a r b log adsso na smplc trasformata d Forr la condon al contorno sl crco d raggo r c prmttono d rcaar coffcnt dlla sommatora k n, coè ( ) ( ) n nθ n π r, θ g θ a logr b knr k ( θ ) n r g n n k n r n nθ π nθ dθ

35 Massmo Bcca matr Fnora abbamo stdato com troar l potnal n n pnto all strno dl contorno sclto, ma oglamo anc trattar l caso n c l nostro pnto sta all ntrno dl contorno. Il dscorso da far è abbastana analogo, solo c mntr prma lmnao trmn dlla sommatora con sponnt posto, qsta olta dorò lmnar qll con sponnt ngato. E pr lo stsso moto do lmnar l trmn c compar con l logartmo prcé sso prsnta na dscontntà n ro. Dtto qsto la solon arà forma ( r, θ ) b Pr qanto rgarda la condon al contorno pr l problma ntrno non camba assoltamnt nnt, nfatt rsta qlla c abbamo troato prma con l dot araon d sgno, qnd possamo dr c c è na smmtra dlla condon d tpo Drclt pr l problma strno ntrno. Cosa c non accad s andamo a prndr na condon al contorno d tpo Nmann, nfatt s consdro la drata radal pr l problma ntrno, o o n k n r n nθ g ( θ ) ( ) r r, θ n k n n r n nθ nrtndo con la trasformata d Forr s a, k n n r n π π g ( θ ) nθ dθ andamo adsso a notar c, s n l prmo mmbro dnta dntcamnt nllo, qnd s anc l scondo mmbro, coè l ntgral, fa ro non o casn l mo problma è bn posto, s ro non è allora l mo problma è mal posto. Affncé sa bn posto do rspttar la condon d compatbltà l ndl. Qsta condon non a logo d sstr s consdramo l problma strno, nfatt n ql caso dato c la solon gnral camba la sa drata d consgna anc, s arà na condon al contorno dl tpo, g ( θ ) ( r θ ) n nθ r, kn n r n a r

36 36 Massmo Bcca matr ando n grado d lbrtà n pù, rsco comnq a soddsfar la condon d mda non nlla dlla condon al contorno. Qnd m accorgo c l problma polar con condon d tpo Nmann non è affatto smmtrco. Con l coordnat polar possono ssr rsolt non solo domn prttamnt crcolar, ma anc domn c rapprsntano coron crcolar, Oppr spcc d domn crcolar, θ θ n qsto caso l solon aranno sponnt non ntro ma ral, prcé ssndo l domno lmtato scondo l ampa non c è l problma dlla contntà. Prma d andar a dr qalc caso partcolar d solon dll qaon d Laplac, ntrodcamo l conctto d fnon d corrnt, s abbamo n campo d moto pano na lna c nsc d pnt A B la fnon, ψ l ( A, B) l ndl

37 Massmo Bcca matr s spponamo d porr l orgn dl sstma d rfrmnto nl pnto A, la fnon d corrnt ψ non dpndrà pù dal pnto A. s spponamo ancora d ar n moto rrotaonal ncomprmbl allora la fnon d corrnt ψ non dpnd dal prcorso sclto, sarà solon dll qaon d Laplac coè ψ. S prndamo n consdraon l solto problma arodnamco, possamo dr c l corpo è lna d corrnt, qnd anc la ψ è costant s ogn lna d corrnt, s l condon al contorno sono dl tpo Drclt sfrttando la ψ s anno l sgnt forml, ψ ψ Portamo alcn smp d corrnt, ncomncamo con l caso d corrnt parallla ad n pano oblqo, V Il potnal qllo ψ saranno, ψ (, ) (, ) Prndamo l caso dlla sorgnt d ntnstà q, caramnt è sprssa pr ntà d profondtà, s q > allora s tratta d na ra propra sorgnt, s q < allora s tratta d n poo. Consdrando n coordnat polar l nostro sstma pr dtrmnar la loctà radal, basta consdrar na corona crcolar da c s rcaa

38 38 Massmo Bcca matr ( r, θ ) ψ q logr π q π ( r, θ ) θ ψ cost cost l trmn log(r) prnd l nom d trmn d monopolo o sorgnt. In qsto partcolar caso sst n caso dal, coè qando s nrtono l cr dl potnal ψ qll dl potnal. Qando qsto accad fscamnt s a l caso dl ortc pano con crcolaon Γ, potnal dntano ψ ( r, θ ) Γ θ π Γ π ( r, θ ) log r ψ cost Γ cost S abbamo n sstma cnmatco c comprnd na sorgnt n poo post ad na crta dstana d qsto n camato dopptta, po ad n crto stant faccamo acnar qst d sorgnt n modo da far tndr a ro la loro dstana, facndo n modo c l prodotto q d s mantnga costant d gal a qd cst µ cost ψ cost

39 Massmo Bcca matr con µ ndcamo l ntnstà dlla dopptta d è carattrato da n sgno, anc n qsto caso possamo rcaar d potnal d ar, ( r, θ ) ψ ( r, θ ) µ cosθ π r µ snθ π r S mttamo assm na dopptta n moto nform, ottnamo sapndo c al l prncpo dlla sorapposon dgl fftt, Y ψ cost V µ snθ µ snθ ψ V rv snθ snθ rv π r π r µ πr notamo c θ pr θ π s a c l potnal ψ s annlla, ma qsto accad pr pr l alor r µ r πv Notamo c anc l domno crcolar d raggo r è lna d corrnt, qnd non abbamo fatto altro c dsgnar la lna d corrnt d moto nform c nst n clndro. Andamo ora a calcolarc l loctà, pr draon dal potnal ψ, facl rfcar c, ψ r r V cosθ r θ r ψ r V snθ r r θ ( ) snθ r V. θ

40 4 Massmo Bcca matr godì 8 ottobr Rgardando ancora l problma dl clndro nstto da na corrnt nform, possamo notar dall ln a potnal ψ costant c l nostro problma prsnta na smmtra sa pr qanto rgarda l ass dll, ma anc pr qanto rgarda l ass dll. S andamo a calcolarc dall loctà tangnal l coffcnt d prsson, lo dagrammamo pr la loctà, s a C p π sfra clndro Da qllo c abbamo troato sgono d mportant rflsson. Dalla smmtra rsptto all ass c n c non sst portana, qsto rsltato prò non contrasta con la raltà sprmntal, prcé sappamo c n clndro non n rotaon rlata rsptto al fldo, non gnra portana. Ma dalla smmtra rsptto all ass dll notamo c non s gnra nanc rsstna, qsto n raltà non sccd. Qsta contraddon c a sotto l nom d paradosso d D Almbrt, spnta dal fatto c s è trascrata la scostà dl fldo, c c è srta pr far dll smplfcaon matmatc pr rcaar l nostr forml. Infatt anc nlla raltà s non assmo scostà non s gnrrbb rsstna c comnq c è smpr. Contnamo a dr altr mtod rsolt dlla nostra qaon d Laplac. Abbamo sto fno ad ora l mtodo dll sparaon dll arabl, sa n coordnat cartsan c n coordnat polar. E samo rsct a rcaar na solon dl tpo (r,θ), allora m cdo, s sst la (r,θ) sstrà la solon (/r,θ), solon sì d n altro problma ma comnq solon c rfca l qaon d Laplac? Ebbn sst. Qllo c facco pr prma cosa troar la formla d Laplac n coordnat polar nlla noa arabl r, r

41 Massmo Bcca matr sappamo c la drata prma sarà, r r r allora l qaon d Laplac dnta, r 3 r r r r θ Spponamo d olr calcolar qando è l potnal d na sorgnt, c a la forma log r r n coordnat cartsan dnta la solon, n coordnat polar armo ( ) ( ) ) log ( r cosθ ) ( r θ ) ) log sn Qnd l altra solon, d non sappamo qal problma ma comnq solon d Laplac, s ottn sosttndo alla r la sa nrsa, coè log r r Notamo c mntr prma la sngolartà dlla solon staa nl pnto r, adsso no l abbamo spostata nl pnto r r r Qsto mtodo d rcrca dll solon è l mtodo dll mmagn. Ma c possamo cdr a c cosa c sr la. Spponamo d ar l crco ntaro, sappamo c la solon la solon anno lo stsso alor, s andamo a consdrar la fnon 3

42 4 Massmo Bcca matr c sarà crtamnt solon, prcé combnaon lnar d solon d Laplac, qsta solon sarà dntcamnt nlla sl crco ntaro, qnd non abbamo fatto altro c troar l campo d moto d na sorgnt c dffrsc con n clndro. Un problma così posto, ando prso com condon al contorno alor dll solon sl crco ntaro è d tpo Drclt, ma s no abbamo condon d tpo Nmann, allora nc dlla dffrna dll fnon dobbamo prndr la somma dll solon, coè 4 Vdamo l prcé. Pr drlo dobbamo farc la drata normal dlla solon 4 sl crco ntaro, r 4 r r r r r r r r r r Andamo a dr adsso na applcaon dl mtodo dll mmagn, pr na spccata dos d fantasa rprndamo l problma dl clndro nstto da na corrnt d fldo c s mo con loctà nform. Sappamo c l potnal d na corrnt nform è, (, ) V ( r,θ ) V r cosθ andamo a prndr l mmagn d qsta solon, coè V cosθ r adsso andamo a troar la somma dll fnon troat, prndo la somma prcé la condon al contorno è d tpo Nmann, coè la non pntrabltà dl clndro, V r cosθ cosθ V. r

43 Massmo Bcca matr Abbamo sto c sotto l mtodo dlla sparaon d arabl c sta la trasformata d Forr, c c consnt la scomposon dll coordnat al contorno n trmn d fnon snsodal, pr po applcar l prncpo dll sorapposon dgl fftt. Adsso andamo a dr l mtodo d Grn c al contraro d qanto sto n prcdna s basa slla somma nfnta da alor pntal pr la dtrmnaon dlla solon. Consdramo la fnon d Laplac non omogna, coè la fnon d Posson, g( r) qsta qaon è lnar qnd arrà l prncpo dlla sorapposon dgl fftt, qsto c consnt d dr c la fnon solon dll qaon sarà dl tpo, ( r ) c. c g( r) G( r, r) dv, V l prmo trmn dl scondo mmbro c dc c la fnon d dpndr dall condon al contorno, l scondo trmn c da l nformaon c la solon sarà data dall ntgral dl prodotto dlla fnon trmn noto calcolata n ttt pnt dl domno pr na fnon G, dtta fnon d Grn, calcolata n non solo n ttto l domno ma anc nl pnto r. Andamo adsso a smplfcar qsta sprsson, sopratttto andar ad lmnar l drat dl potnal pr sosttrl con l drat dlla fnon d Grn. G G G g( r) G dv V G V G g ( r) dv ( G ) G V G dv ( G ) nds ( G ) V dv com s nota faclmnt samo rsct ad lmnar ttt l drat scond d anc lmnato n ntgral d olm n no al contorno, ma sappamo ancora G ( G ) G ( G ) G V G dv n ( G ) ds n ( G ) ds V G dv

44 44 Massmo Bcca matr Ma no oglamo la solon, coè la (r ), qnd ado a scglr na partcolar forma dlla fnon d Grn, coè dfnsco G δ ( r r ) do la fnon δ è camata fnon d Drac, qsta fnon a la partcolartà c l so ntgral calcolato n n domno nfntsmo qando ssa tnd ad nfnto dnta ntaro. A qsto pnto l ntgral d olm dnta la solon sarà, G dv δ ( r r ) ( ) dv r V V ( r ) G g() r dv () r (, r ) G r n G r, V ( r ) ( r) n ds * Adsso s sono n grado d troar na fnon d Grn adatta al mo contorno c m prmtta d lmnar a pror alcn trmn o fatto bgnè, altrmnt sono costrtto ad ntgrar, l prmo trmn è n ntgral noto, qnd faclmnt ntgrabl. Andamo a dr alcn form c possamo troar al arar dl nostro domno dlla fnon d Grn. Comncamo col caso d n domno sna contorno, s spponamo d mttrc sll orgn s arà c G δ r l solon dono godr dlla smmtra rsptto all angolo, qnd non d ssrc la dpndna dlla solon rsptto a θ, noltr trann nll orgn è anc solon d Laplac, qst consdraon c prmttono d dr c l nca forma c possamo ar è dl tpo ( ) G a logr b dobbamo rfcar c l ntgral stso ad n domno nfntsmo dlla G sa ntaro, com contorno scglamo n crco nfntsmo, d abbamo S n a r π ( a logr b ) ds rdθ πa

45 Massmo Bcca matr qnd la condon affncé qsto ntgral sa ntaro è fnon d Grn arà na forma dl tpo, a π. Qnd la G logr b π posta non nll orgn sarà G log r r b. π In tr dmnson la solon contnrà ad ssr ndpndnt da θ, la fnon d Grn sarà, a G b r andamo a rfcar lo stsso ntgral, rcordandoc c qsta olta non armo n angolo pano ma n angolo soldo, qnd s arà S a n r a r 4π b ds r d 4 a Ω π a 4π G b 4π r non nll orgn G b 4π r r. Fno ad ora abbamo sto cas n c l contorno non ssta, n altro caso smplc da stdar è qllo con contorno crcolar, nfatt andamo a prndr n crco d raggo ntaro n c r sta all ntrno dl crco con condon al contorno (,θ) g(θ). S rsco a troar na fnon d Grn fatta n modo c sl contorno ssa s annll, allora crtamnt no d d addnd dll ntgral * s n andranno. Crcar na fnon c sa annll sl contorno è molto facl troarla con l mtodo dll mmagn, pr smpo G log ( ) ( ) log π π r r

46 Massmo Bcca matr la solon sarà, ( ) θ rd r G r G r così facndo samo scr c l scondo trmn dll ntgral d sprfc s annlla dato c la G sl contorno, così com l abbamo costrta è nlla. La la conoscamo prcé è na condon al contorno, abbamo trascrato l ntgral d olm prcé è n dato dl problma, dopo arlo ntgrato. Con la nostra sclta d G, la sa drata radal sarbb stata, ( ) ( ) ( ) ( ) sn cos sn sn cos cos sn cos sn sn cos cos 4 r r r r r r r r r r r G θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π la nostra solon d potnal dnta, ( ) ( ) π θ θ d r G g r r S nc dlla condon sl crco ntaro armmo ato na condon dl tpo Nmann, armmo costrto la G nc c con la dffrna, con la somma non sarbb cambato n bl nlla. martdì 3 ottobr Andamo a scrr la formla d Grn pr n crco d raggo ρ, con la G d spao lbro, s a ( ) ( ) ( ) π π π θ θ ρ π θ ρ ρ π θ ρ π θ ρ, log, d d n b d r n qanto l scondo addndo d ssr nllo, qsta rlaon c a sotto l nom d corollaro dlla mda, c dc c l ntgral dl potnal ntorno s n crco d raggo qalnq c da l potnal calcolato nll orgn. Ma s pò stndr l ragonamnto al potnal d qalnq pnto r, non dpndndo dal raggo dl crco l ntgral s pò calcolar s qalnq crco cntrato nl pnto olto. Qsto rsltato c prmtt d capr dmostrar c la solon ottnta da C.C. d tpo Drclt è nca. Dcamo anc c la solon d Laplac non pò ar massm mnm a mno c qst non s troano sl contorno.

47 Massmo Bcca matr Spponamo c c sano d solon dl potnal A B, ssndo solon dll qaon d Laplac, sono fnon lnar qnd anc la dffrna dll d sarà na fnon solon dll qaon d Laplac, 3 ma s n contorno d raggo qalnq ntramb l solon dono ar lo stsso alor pr l corollaro dlla mda, ottngo c la dffrna è nlla, qnd l potnal C è nllo sl contorno, ma ssndo nlla sl contorno d ssr nlla onq, da q l nctà d d potnal A B. L forml d Grn c prmttono d ar n nformaon qaltata d com sarà l nostro campo d moto all nfnto, sna spcfcar l nostro problma d Laplac, c cdamo cosa sccd qando r a ad nfnto. Cdr qsto qal a cdr c la dstana tra r r tnd ad nfnto, coè r >> r Qsta condon n assna d sca c a bn, n prsna d sca non tanto prcé ssndo c anc la sca a all nfnto, c sarà qalc pnto slla sca c s acna ad r. Prndamo smpr n consdraon la formla d Grn con la fnon G smpr qlla d spao lbro, n partcolar concntramo la nostra attnon sl scondo addndo dll ntgral, trascrando ntal costant, log r r dl n slppamo n sr d Talor la qanttà r r r rˆ r r r rˆ r rˆ r r r r rˆ rˆ r r r r Talor r r r rˆ r... r a a log r r a logr r r l prmo addndo tnndo dntro l ntgral la drata dlla G, coè r r () r n dl () r r r r r ˆ... ndl

48 48 Massmo Bcca matr ottnamo c è dllo stsso tpo dl scondo addndo con la dffrna dlla non prsna dl logartmo, qsto c consnt d dr c qando r a all nfnto l potnal pò anc sso andar all nfnto, ma la loctà ssndo la sa drata tnd a ro. Il logartmo non c è smpr, ma lo troamo solo qando abbamo flsso d massa, qando non c è l potnal dpnd dal ttor r com /r, mntr la loctà dpndrà com n fattor /r. Andamo a calcolarc la fora c agsc sl nostro proflo, F J S Q nds calcolata attrarso na sprfc molto prossma al proflo, sappamo anc c s l nostro fldo è non scoso la fora s rdc a, F pnds. S Ma s l moto è staonaro, possamo pnsar c la araon dlla qanttà d moto sa nlla n ttto l campo d moto, qnd possamo allargar la sprfc S portarla all nfnto, possamo anc applcar Brnoll, consdrar la loctà com la somma dlla loctà all nfnto pù na componnt nfntsma d araon, coè p p V V V V ρ ρ la fora dnta, F ρ ( VV pi ) S nds p p F ρ VV I nds ρ V V V V V S ρ S ρ I ds l prmo trmn dll ntgral ssndo costant s pò portar for, s ottn l ntgral n ds, qnd possamo trascrar l trmn, allo stsso modo posso S far pr l rapporto p /ρ. Il tro trmn dll ntgral, ssndo V costant, lo porto for m rman l ntgral nds, c pr la condon d non pntrabltà S è nllo, qnd andamo a trascrar l so trmn. S samo n D possamo trascrar l trmn, prcé sappamo c all nfnto la loctà dpnd da /r, qnd ql prodotto dpndrà da /r.