Teoria degli insiemi Capitolo 1 del libro di K. Kunen

Teoria degli insiemi Capitolo 1 del libro di K. Kunen A. Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 1 / 1

Gli assiomi di ZF (0) esistenza di insiemi x (x = x) (inutile: è un teorema di logica!) (1) estensionalità x y ( z (z x z y) x = y) (2) fondazione x ( y (y x) y (y x z (z x z y))), (3) schema di comprensione: se y non è libera in ϕ(x, z, w 1,..., w n ), z w 1,..., w n y x (x y x z ϕ) (4) coppia x y z (x z y z) (5) unione F A Y x (x Y Y F x A) (6) schema di rimpiazzamento: se Y non occorre libera in ϕ(x, y, A, w 1,..., w n ), A w 1,..., w n ( x A!yϕ Y x A y Y ϕ) (7) infinito x ( x y x (S(y) x)) (8) potenza: x y z (z x z y) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 2 / 1

Gli assiomi di ZFC ZFC è ZF più l assioma della scelta (9) A R (R bene ordina A) Alcune sottoteorie notevoli: ZF P consiste degli assiomi 0 7, ZF Inf consiste negli assiomi 0 6 e 8, ZF consiste degli assiomi 0,1,3 8, Z consiste negli assiomi 0 5 e 7 e 8. Le definizioni di ZFC P, ZFC Inf,... sono analoghe. Cercheremo di sviluppare vari argomenti a partire dalle sottoteorie di ZFC. In particolare cercheremo di evitare di usare l assioma di fondazione nel Capitolo III dimostreremo che Con(ZF ) Con(ZF) e Con(ZFC ) Con(ZFC). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 3 / 1

Estensionalità e comprensione 5 Assioma 3 Schema di comprensione Se y non è libera in ϕ(x, z, w 1,..., w n ), z w 1,..., w n y x (x y x z ϕ) Preso un insieme z (che esiste per l Assioma 0), considero la formula x x e per comprensione ottengo {x z x x}. Per estensionalità non dipende da z e lo chiamiamo 0. Teorema 5.2 z x (x z). Dimostrazione. Usare il paradosso di Russell. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 4 / 1

Relazioni, funzioni e buon ordinamento 6 Assioma 4 Coppia x y z (x z y z) Assioma 5 Unione F A Y x (x Y Y F x A) Assioma 6 Schema di rimpiazzamento Se Y non occorre libera in ϕ(x, y, A, w 1,..., w n ), A w 1,..., w n ( x A!yϕ Y x A y Y ϕ) Fissati x e y, per l Assioma 4 troviamo uno z tale che x z e y z, quindi per comprensione c è {v z v = x v = y}, che chiamiamo {x, y}. (x, y) def = {{x}, {x, y}}. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 5 / 1

Relazioni, funzioni e buon ordinamento 6 Unioni e intersezioni Data F, per l assioma dell unione c è un A tale che Y A per ogni Y F, quindi per comprensione def F = {x A Y F (x Y )} Se F, F def = {x Y F (x Y )} è un insieme dato che F = {x B Y F (x Y )} per ogni B F. Prodotto cartesiano Fissati A e B, per ogni y B si ha x A!z (z = (x, y)), quindi per rimpiazzamento e comprensione possiamo definire prod(a, y) = {z x A (z = (x, y))}. Poiché y B!z (z = prod(a, y)), per rimpiazzamento e comprensione possiamo definire prod (A, B) = {prod(a, y) y B}. Quindi A B = prod (A, B). Quindi A B esiste in ZF P Inf ma anche in Z Inf (vedi dispense). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 6 / 1

Relazioni, funzioni e buon ordinamento 6 (A, R) è un buon ordine se R è un ordine totale su A e ogni sottoinsieme ha un R-minimo. pred(a, x, R) def = {y A yrx}, se x A. Lemma 6.1 Se (A, R) è un buon ordine, allora (A, R) = (pred(a, x, R), R). Lemma 6.2 Se (A, R) e (B, S) sono buoni ordini isomorfi, allora l isomorfismo è unico. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 7 / 1

Relazioni, funzioni e buon ordinamento 6 Teorema 6.3 Se (A, R) e (B, S) sono buoni ordini allora esattamente una delle seguenti vale: (a) (A, R) = (B, S), (b) y B ((A, R) = (pred(b, y, S), S)), (c) x A ((pred(a, x, R), R) = (B, S)). Assioma 9 Scelta A R (R bene ordina A). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 8 / 1

Ordinali 7 Definizione 7.2 Un ordinale è un insieme transitivo x tale che è un buon ordine su x. Teorema 7.3 (1) Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y = pred(x, y, ). (2) Se x e y sono ordinali e x = y, allora x = y. (3) Se x e y sono ordinali, allora esattamente una delle seguenti condizioni vale: x = y, x y, y x. (4) Se x, y e z sono ordinali e x y e y z allora x z. (5) Se C è un insieme di ordinali, allora x C y C (x y x = y). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 9 / 1

Ordinali 7 Teorema 7.4 (Paradosso di Burali-Forti) z x (x ordinale x z). Dimostrazione. Se esistesse z allora avremmo un insieme Ord def = {x x è un ordinale}. Ma Ord è transitivo, bene ordinato da e quindi Ord Ord. Ma nessun buon ordine è isomorfo ad un suo segmento iniziale. Lemma 7.5 Se A è un insieme di ordinali e x A y x (y A), allora A è un ordinale. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 10 / 1

Ordinali 7 Teorema 7.6 Se (A, R) è un buon ordine, allora c è un unico ordinale γ tale che (A, R) = γ. Il rimpiazzamento è essenziale per dimostrare questo risultato: è un teorema di ZF P Inf, ma, come vedremo, non è dimostrabile in ZC. Lemma 7.9 (1) α, β (α β α β) (2) Se X è insieme di ordinali, sup X = X è il minimo ordinale di tutti gli elementi di X, e se X allora min X = X è il minimo elemento di X. S(x) = x {x}. Lemma 7.11 S(α) è un ordinale, α < S(α) e β (β < S(α) β α). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 11 / 1

Ordinali 7 Definizione 7.14 α è un numero naturale sse β α (β = 0 β è successore). Assioma 7 Infinito x (0 x y x (S(y) x)). Teorema 7.16 1 0 ω, 2 n ω (S(n) ω), 3 n, m ω (n m S(n) S(m)), 4 X ω (0 X n X (S(n) X ) X = ω) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 12 / 1

Ordinali 7 Definizione 7.17 α + β = ot (α {0} β {1}, R) dove R = {((ξ, 0), (η, 0)) ξ < η < α} {((ξ, 1), (η, 1)) ξ < η < β} ((α {0}) (β {1})). Lemma 7.18 Per ogni α, β, γ, 1 α + (β + γ) = (α + β) + γ, 2 α + 0 = α, 3 α + 1 = S(α), 4 α + S(β) = S(α + β), 5 se β è limite, allora α + β = sup {α + ξ ξ < β}. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 13 / 1

Ordinali 7 Definizione 7.19 α β = ot (β α, < lex ), dove (ξ, η) < lex (ξ, η ) (ξ < ξ (ξ = ξ η < η )). Lemma 7.20 Per ogni α, β, γ, 1 α (β γ) = (α β) γ, 2 α 0 = 0, 3 α 1 = α, 4 α S(β) = α β + α, 5 se β è limite, allora α β = sup {α ξ ξ < β}, 6 α (β + γ) = α β + α γ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 14 / 1

Ordinali 7 Fissiamo un insieme A. Sia ϕ(n, y): s (s y s è una funzione da n in A) e sia X = {n ω yϕ(n, y)}. 0 X dato che y = {0} soddisfa ϕ. Supponiamo n X e sia y tale che ϕ(n, y). Considero la formula ψ(x, t): s a [ x = (s, a) t è una funzione dom(t) = S(n) t n = s t(n) = a ] Dato che x (y A)!tψ(x, t), allora per rimpiazzamento e comprensione esiste z = {t x (y A) ψ(x, t)}. Quindi ϕ(n + 1, z). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 15 / 1

Ordinali 7 Per induzione (Teorema 7.16 (4)) X = ω, cioè n ω yϕ(n, y). In altre parole abbiamo dimostrato che per ogni n ω esiste n A def = {f f : n A}. Per estensionalità n ω!yϕ(n, y), quindi per rimpiazzamento e comprensione esiste {y n ω ϕ(n, y)} e quindi per unione esiste <ω A def = {y n ω ϕ(n, y)} = n<ω n A. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 16 / 1

Nozioni definite 8 Ogni nuova relazione può essere eliminata usando la sua definizione per esempio: x y è sostituita da z (z x z y), x è sostituita da y(y x), etc. Per introdurre nuove operazioni: x y, {x}, α + β,... o nuove costanti: 0, ω,... dobbiamo essere sicuri che questi oggetti esistano e siano unici. Se S è una teoria del prim ordine e S x 1... x n!y ϕ(x 1,..., x n, y) allora possiamo introdurre un simbolo F di funzione n-aria: F (x 1,..., x n ) = l unico y tale che ϕ(x 1,..., x n, y). L uso del simbolo F può quindi essere eliminato, sostituendo F (x 1,..., x n ) con y e aggiungendo che ϕ(x 1,..., x n, y). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 17 / 1

Nozioni definite 8 Sia ϕ(x, y, z) la formula v (v z v x v y) e S una teoria contenete una istanza dell assioma di comprensione sufficiente per dimostrare S x y!zϕ(x, y, z). Allora possiamo introdurre in S la funzione binaria x y. Una formula della forma x y A B può essere tradotta nel linguaggio ufficiale così: z C (ϕ(x, y, z) ϕ(a, B, C) z C) o così z C (ϕ(x, y, z) ϕ(a, B, C) z C). Dato che S x y!zϕ(x, y, z), le due formulazioni sono equivalenti. La notazione {x ϕ(x, y 1,..., y n )} significa che c è un unico z tale che x (x z ϕ(x, y 1,..., y n )). Questa notazione funziona solo se S contiene l assioma di estensionalità e S y 1,..., y n z x (x z ϕ(x, y 1,..., y n )). Le operazioni parzialmente definite, quali α + β, le estendiamo a 0 su tutto V V. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 18 / 1

Classi e ricorsione 9 Intuitivamente, una classe è una collezione della forma {x ϕ(x)}. Se questa collezione non è un insieme, per esempio V def = {x x = x} o Ord def = {α α è un ordinale}, diremo che è una classe propria. Una classe propria è una formula. La funzione unione Un: V V V, (x, y) x y, è la formula ϕ(w) x y z (w = ((x, y), z) v (v z v x v y)). Quando diciamo che per ogni classe... in realtà stiamo enunciando uno schema di teoremi. Per esempio Teorema 9.2 (Induzione transfinita su Ord) Se C Ord allora C ha un elemento minimo. Dimostrazione. Fissiamo α C: se α non è il minimo, sia β = min (C α). Allora β = min C. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 19 / 1

Classi e ricorsione 9 La dimostrazione del Teorema 9.2 è identica a quella del Teorema 7.3(5). Ma dal punto di vista logico sono molto differenti. Formalmente il Teorema 9.2 andrebbe formulato così: per ogni formula C(x, z 1,..., z n ) ZF z 1,..., z n [ x (C x è un ordinale) xc ] x (C y (C[y/x] x y)) La classe C del Teorema 9.2 diventa {x C(x, z 1,..., z n )}. Se C(x, z) è la formula [ x z la formula diventa il Teorema 7.3(5): ] ZF z 0 z è un insieme di ordinali x z y z (x y) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 20 / 1

Classi e ricorsione 9 Quindi ci sono ℵ 0 tipi distinti di classi, uno per ogni formula, ma grazie ai parametri, le classi sono in quantità classe propria. Per esempio V \ z è una classe propria, per ogni insieme z, ed è data dalla formula x / z. Una dimostrazione per induzione transfinita su α che αψ(α) significa dimostrare α ( β < α ψ(β) ψ(α)), dato che se valesse α ψ(α) allora basta prendere il minimo ᾱ tale che ψ(ᾱ) e ottenere una contraddizione. Teorema 9.3 di ricorsione transfinita su Ord Per ogni F: V V c è un unica G: Ord V tale che α (G(α) = F(G α)). Dimostrazione dell unicità. Se G 1 e G 2 soddisfano la formula, dimostrare per induzione transfinita su α che α (G 1 (α) = G 2 (α)). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 21 / 1

Classi e ricorsione 9 Dimostrazione dell esistenza. Una δ-approssimazione è una funzione g di dominio δ tale che α < δ (g(α) = F(g α)). Se g è una δ-approssimazione e g è una δ -approssimazione, allora g (δ δ ) = g (δ δ ). (Dimostrazione come per l unicità). Dobbiamo dimostrare che δ ( α < δ g(g è α-approssimazione) g(g è δ-approssimazione)). Fissiamo δ e supponiamo che α < δ g(g è α-approssimazione). Per l unicità l approssimazione è unica per rimpiazzamento sia g α la α-approssimazione (α < δ). Allora β < α g β g α quindi se δ è limite, g δ = α<δ g α è la δ-approssimazione. Se δ = α + 1, sia g δ = g α {(α, F(g α ))}. Quindi δ g(g è δ-approssimazione). Definiamo G(α) = g(α), dove g è una qualsiasi δ-approssimazione con δ > α. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 22 / 1

Classi e ricorsione 9 Il Teorema 9.3 è in realtà uno schema di teoremi, uno per ogni classe (cioè formula): data una formula F(x, y, z 1,..., z n ), con eventualmente altre variabili libere, possiamo trovare un altra formula G(v, y, z 1,..., z n ), ottenuta a partire da F come sopra, tale che z [ x!yf(x, y, z) α x y (G(α, y, z) F(x, y, z) x = G α)] dove x = G α abbrevia: x è una funzione dom(x) = α β dom(x) G(β, x(β), z). L assioma del rimpiazzamento è essenziale per la dimostrazione di esistenza. Per esprimere l unicità del Teorema 9.3 si procede così: per ogni G (v, y, z 1,..., z n ), si dimostra [ ( x!yf(x, ( z y, z) α x y G (α, y, z) F(x, y, z) x = G α )) α y ( G(α, y, z) G (α, y, z) )] A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 23 / 1

Classi e ricorsione 9 Ora possiamo (ri)definire le operazioni + e in maniera ricorsiva. Sia F α : V V α se x = 0, S(x(β 1)) se x : β Ord e β è successore, F α (x) = {x(ξ) ξ < β} se x : β Ord e β è limite, 0 altrimenti. Quindi c è un unica G α : Ord Ord tale che G α (β) = α + β. L ordinale α è un parametro quindi abbiamo trovato una formula ϕ(x, y, z) tale che z, x!yϕ(x, y, z) dove ϕ è (x e z ordinali y = z + x). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 24 / 1

Cardinali 10 A B se c è una funzione iniettiva A B. A B se A B ma B A. A B se c è una funzione biettiva A B. è una relazione di equivalenza, ma ogni classe di equivalenza è una classe propria. Teorema 10.2 (Shröder Bernstein) A B B A A B. Se A è bene ordinabile, A è il minimo α in biezione con A. AC implica che A è sempre definito e A B A = B e A A. α è sempre definita, indipendentemente da AC. α è un cardinale sse α = α sse β < α (α β). Lemma 10.5 α β α α = β. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 25 / 1

Cardinali 10 Lemma 10.6 Se n ω allora n n + 1 e α (α n n = α). Corollario 10.7 ω è un cardinale e ogni n ω è un cardinale. Definizione 10.8 A è finito sse A < ω sse A n per qualche n ω. A è numerabile sse A ω. Non è possibile dimostrare in ZF P che ci sono insiemi più che numerabili. Definizione 10.9 κ λ = κ {0} λ {1}. κ λ = κ λ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 26 / 1

Cardinali 10 Lemma 10.10 n m = n + m < ω, n m = n m < ω Lemma 10.11 Se κ è un cardinale infinito, allora è un ordinale limite. Teorema 10.12 Se κ è un cardinale infinito, allora κ = κ κ. Corollario 10.13 Se κ e λ sono cardinali infiniti κ λ = κ λ = max(κ, λ) e <ω κ = κ. È coerente con gli assiomi di ZF P che ω sia l unico cardinale infinito. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 27 / 1

Cardinali 10 Assioma 8 Insieme potenza x y z (z x z y). Teorema 10.15 (Cantor) X P(X ). Il numero di Hartogs di X è Hartogs(X ) = ℵ(X ) = sup {α + 1 α X } è il più piccolo ordinale che non si immerge in X ed è un cardinale. Quindi Teorema 10.16 α κ (α < κ κ è un cardinale). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 28 / 1

Cardinali 10 α + è il più piccolo cardinale maggiore di α. Un cardinale successore è un cardinale della forma α +. Un cardinale limite è un cardinale > ω che non sia successore. ℵ α = ω α è definito induttivamente come: ω 0 = ω, ω α+1 = (ω α ) + e ω λ = sup α<λ ω α. Lemma 10.19 1 Ogni ω α è un cardinale, 2 ogni cardinale infinito è un ω α per qualche α, 3 α < β ω α < ω β, 4 ω α è un cardinale limite se e solo se α è limite. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 29 / 1

Cardinali 10 Lemma 10.20 (AC) Se X Y allora Y X e quindi Y X. La dimostrazione del Teorema 10.16 mostra che in ZF c è una suriezione P(ω) ω 1, ma senza AC non si dimostra che ω 1 P(ω). Lemma 10.21 (AC) Se κ ω e X α κ per ogni α < κ, allora α<κ X α κ. Dimostrazione. Per ogni α scegliamo f α : X α κ e sia f : α<κ X α κ κ, f (x) = (f α (x), α) dove α è minimo tale che x X α. A. Levy ha dimostrato che è coerente con ZF che ω 1 e P(ω) sono unioni numerabili di insiemi numerabili. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 30 / 1

Cardinali 10 Una funzione n-aria su A è una f : A n A cioè f A se n = 0. B A è chiuso sotto f se f B n B cioè f B se n = 0. Se S è un insieme di funzioni finitarie su A, {C A B C f S (C è chiuso sotto f )} è la chiusura di B sotto S, cioè è il più piccolo sottoinsieme di A contenente B che è chiuso sotto tutte le f S. Teorema (di Löwenhein Skolem Tarski all ingiù) 10.23 (AC) Sia κ un cardinale infinito e supponiamo B A e B κ, S una famiglia di funzioni n-arie su A e S κ. Allora la chiusura di B sotto S ha cardinalità κ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 31 / 1

Cardinali 10 Dimostrazione. Se f S n-aria e D A sia f D = f D n se n > 0 oppure {f } se n = 0. Se D κ allora f D κ. Sia C 0 = B, C n+1 = C n {f C n f S} e C ω = n<ω C n. Allora C ω è la chiusura di B sotto S e per il Teorema 10.21 C ω κ. Esempio Se (A;... ) è una struttura in un linguaggio di cardinalità κ e B A ha cardinalità κ, allora la più piccola sottostruttura (C;... ) contenente B ha taglia κ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 32 / 1

Cardinali 10 A B = {f f : A B} P(A B) esiste per l assioma potenza. Definizione 10.25 (AC) κ λ = λ κ. Lemma 10.26 Se λ ω e 2 κ λ, allora λ κ λ 2 P(λ). Dimostrazione. λ 2 P(λ) per mezzo delle funzioni caratteristiche e λ 2 λ κ λ λ P(λ λ) P(λ). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 33 / 1

Cardinali 10 C ( B A) C B A e B C A B A C A, se B C = 0, quindi Lemma 10.27 (AC) κ (λ µ) = κ λ κ µ. Per il Teorema 10.25 2 ωα ω α+1. Definizione 10.28 (AC) CH è l enunciato 2 ω = ω 1 e GCH è l enunciato 2 ωα = ω α+1 per ogni α. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 34 / 1

Cardinali 10 Definizione 10.29 f : α β è cofinale se ran(f ) è illimitato in β, cioè se β < β α < α f (α ) β. Definizione 10.30 La cofinalità di β, cof(β), è il più piccolo α per cui c è una f : α β cofinale. cof(β) β e cof(β) = 1 β è successore. Lemma 10.31 C è una f : cof(β) β cofinale e crescente. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 35 / 1

Cardinali 10 Dimostrazione. Se g : cof(β) β è cofinale, sia f (η) = max(g(η), sup {f (ξ) + 1 ξ < η}). Per costruzione f : cof(β) Ord, g(η) f (η) e f è crescente. Basta verificare che ran(f ) β: se η < cof(β) è il minimo tale che f (η) β, allora f η : η β sarebbe cofinale, contro la definizione di cof(β). Lemma 10.32 Se α è limite e f : α β è crescente e cofinale, allora cof(α) = cof(β). Dimostrazione. Se g : cof(α) α è crescente e cofinale, allora f g : cof(α) β è crescente e cofinale. Quindi cof(β) cof(α). Se h(ξ) = min η (f (η) > g(ξ)), allora h : cof(β) α è cofinale. Quindi cof(α) cof(β). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 36 / 1

Cardinali 10 Corollario 10.33 cof(cof(β)) = cof(β). Dimostrazione. Applicare il Lemma 10.32 ad una funzione f : cof(β) β crescente e cofinale. Definizione 10.34 β è regolare sse β è limite e β = cof(β). Lemma 10.35 Se β è regolare, allora è un cardinale. Lemma 10.36 ω è regolare. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 37 / 1

Cardinali 10 Lemma 10.37 (AC) κ + è regolare. Dimostrazione. Se f : α κ + fosse cofinale e α < κ +, allora κ + = β<α f (β). Ma f (β) κ, quindi κ + κ per il Lemma 10.21. Lemma 10.38 Se α è limite, cof(ω α ) = α. Quindi se κ è regolare e limite, allora κ = ω κ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 38 / 1

Cardinali 10 Definizione 10.39 κ è debolmente inaccessibile se è regolare e limite. (AC) κ è fortemente inaccessibile se è regolare e λ < κ ( 2 λ < κ ). Se κ è fortemente inaccessibile allora κ è debolmente inaccessibile. Il viceversa vale se assumiamo GCH. Lemma di König 10.40 Se κ è infinito e cof(κ) λ, allora κ λ κ, e quindi (AC) κ λ > κ. Dimostrazione. Sia f : λ κ cofinale e sia G : κ λ κ. Per ogni α < λ l insieme {(G(β)) (α) β < f (α)} κ ha taglia < κ, quindi la funzione h : λ κ, h(α) = min (κ \ {(G(β)) (α) β < f (α)}) è ben definita. Se h = G(β) per qualche β < κ, sia α < λ tale che β < f (α): allora h(α) (G(β))(α): contraddizione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 39 / 1

Cardinali 10 Poiché (2 λ ) λ = 2 λ λ = 2 λ e cof(2 λ ) 2 λ, otteniamo: Corollario 10.41 (AC) Se λ ω, allora cof(2 λ ) > λ. Lemma 10.42 (AC + GCH) Supponiamo κ, λ 2 ed almeno uno dei due infinito. λ + se κ λ, (Caso 1) κ λ = κ + se cof(κ) λ < κ, (Caso 2) κ se λ < cof(κ) κ, (Caso 3). Dimostrazione. Caso 1: segue dal Lemma 10.26. Caso 2: κ λ > κ per il Lemma 10.40 e κ λ = κ κ = 2 κ = κ +. Caso 3: λ κ = α<κ λ α = λ α<κ λ α e se λ α allora λ α α α α + κ per il Caso 1. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 40 / 1

Cardinali 10 Definizione 10.43 <β A = A <β = α<β α A. (AC) κ <λ = <λ κ. Se κ ω, allora κ <ω = κ e per l Esercizio 15 κ <λ = sup{κ θ θ < λ e θ è un cardinale}. Definizione 10.44 (AC) ℶ 0 = ω, ℶ α+1 = 2 ℶα, ℶ γ = sup α<γ ℶ α se γ è limite. GCH è equivalente a ℶ α = ω α per ogni α. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 41 / 1

Altre teorie degli insiemi 12 Due teorie che adottano come nozione primitiva quella di classe: NBG, la teoria Von Neumann Bernays Gödel, e MK, la teoria Morse Kelly. Le lettere X, Y, Z,... variano sulle classi e le variabili x, y, z,... variano sugli insiemi cioè classi che appartengono ad altre classi. NBG ha un assioma di comprensione per classi (o assioma di costruzione di classi): per ogni formula ϕ(y, Z 1,..., Z n, w 1,..., w m ) in cui tutti i quantificatori (se ce ne sono) quantificano su insiemi, Z w X ( y y X ϕ(y, Z, ) w) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 42 / 1

Altre teorie degli insiemi 12 Per formulare rigorosamente ciò possiamo usare un linguaggio con due sorte di variabili, oppure usare un solo tipo di variabili (che varia sulle classi) richiedere che ϕ sia ottenuta da una formula usuale rimpiazzando le quantificazioni x... e x... con x ( y (x y)... ) e x ( y (x y)... ). NBG è finitamente assiomatizzabile ed è un estensione conservativa di ZF. ZF non è finitamente assiomatizzabile (Capitolo III). MK non è finitamente assiomatizzabile e non è un estensione conservativa di ZF: infatti MK dimostra fatti sui numeri naturali che ZF non dimostra. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 43 / 1

Eliminazione delle nozioni definite 13 LST è il linguaggio ufficiale della teoria degli insiemi contenente solo. Sia Σ un insieme di enunciati di un linguaggio L LST. Se P / L è un simbolo di predicato n-ario, allora la teoria Σ più l enunciato di L = L {P} x 1,..., x n (ϕ(x 1,..., x n ) P(x 1,..., x n )), dove ϕ è una formula di L, si dice 1-estensione per definizione di Σ mediante predicato. Se f / L è un simbolo di funzione n-aria e se ϕ(x 1,..., x n, y) è una formula di L tale che Σ x 1,..., x n!y (ϕ(x 1,..., x n, y)), allora la teoria Σ più l enunciato di L = L {f } x 1,..., x n, y (ϕ(x 1,..., x n, y) f (x 1,..., x n ) = y) si dice 1-estensione per definizione di Σ mediante funzione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 44 / 1

Eliminazione delle nozioni definite 13 Se L = L 0 L 1 L n = L, L i+1 è ottenuta aggiungendo un simbolo di predicato o un simbolo di funzione a L i, Σ = Σ 0 Σ 1 Σ n = Σ, Σ i+1 è una 1-estensione per definizione di Σ i, diremo che Σ è un estensione per definizioni di Σ. In ogni punto del corso lavoreremo sempre solo con un estensione per definizioni di ZF (o di ZFC, ZF, etc.) dove L = L 0 = LST. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 45 / 1

Eliminazione delle nozioni definite 13 Teorema 13.1 Se Σ in L è un estensione per definizioni di Σ in L, allora per ogni ψ (x 1,..., x n ) di L c è una ψ(x 1,..., x n ) di L tale che Σ x 1,..., x n (ψ(x 1,..., x n ) ψ (x 1,..., x n )). Teorema 13.2 Se Σ in L è un estensione per definizioni di Σ in L, allora Σ è un estensione conservativa di Σ in L. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 46 / 1

Formalizzazione della metateoria 14 La metamatematica è quella disciplina che studia le affermazioni sulla matematica: sistemi formali, dimostrabilità, etc. È parte della matematica a tutti gli effetti e tipicamente lavora con oggetti piuttosto primordiali, quali le formule, le variabili, etc. Le teorie della metamatematica in cui si dimostrano fatti relativi ad una certa teoria del prim ordine, per esempio ZF, si dicono metateorie. La metateoria della teoria degli insiemi ha carattere finitistico essenzialmente è una versione debole della teoria dei numeri. Nella metateoria osserviamo che gli assiomi di ZF sono una lista ricorsiva e che se T è una teoria coerente che estende ZF, allora {ϕ T ϕ} non è ricorsivo. Come conseguenza otteniamo il Primo Teorema di Incompletezza di Gödel: se T è ricorsivamente assiomatizzata ed estende ZF, allora o è incoerente oppure è incompleta, cioè c è un enunciato σ che è indipendente da T, vale a dire T σ e T σ. Per esempio AC è indipendente da ZF, e CH è indipendente da ZFC. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 47 / 1

Formalizzazione della metateoria 14 Se lavoriamo con una teoria sufficientemente potente (cioè tale che interpreta l aritmetica di Peano) allora possiamo associare ad ogni oggetto finitistico Ob un oggetto Ob della teoria in questione. Esempio 0 è il primo numero naturale, usato nella metateoria, mentre 0 è il simbolo di costante che introduciamo nella teoria degli insiemi, definito da y (y = 0 x (x / y)). In modo analogo possiamo definire 1, 2, 3,... Ad una sequenza finita s di numeri nella metateoria associamo un oggetto s in ZF: per esempio 8, 1, 5 è definito da [ y y = 8, 1, 5 y è una funzione dom(y) = 3 ] y( 0 ) = 8 y( 1 ) = 1 y( 2 ) = 5 A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 48 / 1

Formalizzazione della metateoria 14 Associamo 2i alla variabile v i, e numeri dispari agli altri simboli, così che ad ogni formula ϕ risulta associato ϕ. Ad ogni sequenza finita di formule Υ associamo Υ, quindi ogni dimostrazione può essere codificata. Teorema 14.1 Dato un insieme ricorsivo R di naturali, c è una formula ϕ R (x) che rappresenta R cioè n R (ZF ϕ R ( n )) n / R (ZF ϕ R ( n )). Data un affermazione A nella metateoria che riguarda insiemi ricorsivi possiamo codificarla come A e ottenere che ZF A, per esempio ZF x ω (ϕ pari (x) ϕ pari (x + 1)). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 49 / 1

Formalizzazione della metateoria 14 Teorema 14.2 (Gödel) Se ϕ(x) è una formula con esattamente una variabile libera, allora c è un enunciato σ tale che ZF σ ϕ( σ ). (Niente dimostrazione.) Teorema di Tarski sull indefinibilità della verità Non c è nessuna formula Truth(x) tale che per ogni enunciato σ: ZF σ Truth( σ ). Dimostrazione. Data una presunta formula di verità Truth(x), sia ϕ(x) la formula Truth(x). Allora la σ del Teorema 14.2 garantisce che ZF σ Truth(σ). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 50 / 1

Formalizzazione della metateoria 14 Primo Teorema di Incompletezza di Gödel Se T è una teoria ricorsivamente assiomatizzata e coerente che estende ZF, allora T è incompleta. Se T è una teoria ricorsivamente assiomatizzata che estende ZF, per il Teorema di rappresentabilità c è una formula Proof T (x, y) che rappresenta in ZF x è una dimostrazione in T di y, cioè: per ogni formula ϕ e ogni sequenza finita di formule Υ, se Υ è una derivazione di ϕ da T allora ZF Proof T ( Υ, ϕ ), e se Υ non è una derivazione di ϕ da T allora ZF Proof T ( Υ, ϕ ). Sia Th T (y) la formula xproof T (x, y) e sia Con T l enunciato Th T ( v 0 (v 0 v 0 ) ). Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel 14.3 Se T è una teoria ricorsivamente assiomatizzata e coerente che estende ZF, allora T Con T. (Niente dimostrazione) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA 2009 2010 51 / 1