La parabola Giovanni Torrero Aprile 2006 1 La poarabola come luogo geometrico Definizione 1 (La parabola come luogo geometrico) La parabola è il luogo geometrico formato da tutti e soli i punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice Figura 1: Definizione di parabola Osservazione 1 Dalla definizione si deduce che la parabola è formata da tutti i punti P del piano per i quali è vero che P F = P Q 1
Definizione 2 (Asse di simmetria della parabola) La retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco si chiama asse della parabola. Teorema 1 (Teorema dell asse) La parabola è una figura simmetrica rispetto al suo asse. Premettiamo che una figura si dice simmetrica rispetto a una retta se preso un qualsiasi suo punto P il simmetrico P rispetto alla retta data è ancora un punto della figura. Figura 2: Teorema dell asse Sia P il simmetrico di P rispetto all asse e sia Q il piede della perpendicolare condotta da P alla direttrice. Il quadrilatero PP Q Q è un rettangolo, quindi P Q = P Q, inoltre, essendo P il simmetrico di P avremo P M = MP. Da quanto detto avremo che i due triangoli rettangoli PMF e P MF sono isometrici per avere i due cateti isometrici (MF in comune e P M = MP ), pertanto potremo scrive: F P = F P = P Q = P Q = P Q Per la proprietà transitiva F P = P Q quindi P è un punto della parabola Teorema 2 Ogni retta parallela all asse incontra la parabola in uno ed in un solo punto Sia K il punto di intersezione tra la retta parallela all asse e la direttrice, tracciamo l asse del segmento KF. Siccome F non è un punto della direttrice detto asse 2
Figura 3: Teorema sulla retta parallela all asse incontrerà la retta parallela all asse della parabola in un punto P, il quale appartenendo all asse di KF sarà equidistante da K e da F, di conseguenza sarà un punto della parabola. Abbiamo così dimostrato che una retta parallela all asse incontra la parabola in almeno un punto, dimostriamo che questo punto è unico. Supponiamo per assurdo che il punto di intersezione non sia unico e che P sia un secondo punto di intersezione tra la retta parallela all asse e la parabola. Per la definizione della parabola avremo che: P F = P K e P F = P K. Pertanto, considerando il triangolo PFP potremo scrivere: P P = P K P K = P F P F Questo è assurdo perchè per un noto teorema 1 avremo che P P > P F P F 1 In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due 3
Teorema 3 (Proprietà delle tangenti) Sia P un punto di una parabola e siano Q la proiezione di P sulla direttrice e F il fuoco. La bisettrice dell angolo F P Q è la tangente alla parabola nel punto P è Figura 4: Proprietà delle tangenti Per dimostrare il teorema faremo vedere che la bisettrice dell angolo F P Q non ha altri punti in comune con la parabola diversi dal punto P. Infatti se, per assurdo, la retta PH e la parabola avessero un secondo punto P in comune avremmo P Q = P F, infatti la retta PH è l asse di QF 2. Inoltre, per la definizione della parabola P F = P Q. Possiamo pertanto affermare che : P Q = P F = P Q per la proprietà transitiva P Q = P Q ma in un triangolo rettangolo un cateto non può essere isometrico all ipotenusa. Teorema 4 (Teorema degli specchi parabolici) La normale alla parabola in un suo punto P è la bisettrice dell angolo QP F dove la semiretta PQ è parallela all asse della parabola e F è il fuoco della parabola. 2 Per la definizione della parabola, il triangolo FPQ è isoscele e la sua bisettrice PH è anche mediana e altezza. 4
Figura 5: Proprietà degli specchi parabolici Si chiama normale alla parabola in un suo punto P la perpendicolare alla tangente alla parabola in P. Per semplicità di scrittura poniamo: α = MP H ; β = NP H ; γ = NP F ; δ = F P T ; φ = T P Q α + β = γ + δ = angolo retto ma β = γ per il teorema 3 di pagina 4 sulle proprietà delle tangenti, quindi α = δ, ma α = φ perchè angoli opposti al vertice, di conseguenza, per la proprietà transitiva, φ = δ 5
2 Equazione della parabola Figura 6: equazione della parabola Teorema 5 (Equazione della parabola) Data una parabola scegliamo un sistema di riferimento cartesiano Oxy avente l asse y parallelo all asse della parabola. In un tale sistema di riferimento l equazione della parabola sarà del tipo y = ax 2 + bx + c Usando le indicazioni della figura 6 e ricordando che dalla definizione della parabola segue P H = F P con P H = y + d e F P = quindi Svolgendo si ottiene (y d) 2 = (x x F ) 2 + (y y F ) 2 (x x F ) 2 + (y y F ) 2 y 2 + d 2 2dy = x 2 + x 2 F 2x F x + y 2 + y 2 F 2y F y 6
y () = x 2 2x F x + x 2 F + y 2 F d 2 Ponendo: y = 1 x2 + 2x F x + x2 F + y2 F d2 a = b = 1 2x F (1) c = x2 F + y2 F d2 l equazione della parabola diventa: y = ax 2 + bx + c Teorema 6 (Inverso del teorema 5 di pagina 6 ) Ogni equazione del tipo: y = ax 2 + bx + c rappresenta una parabola avente il fuoco nel punto: ( F b ) 1 ; con = b 2 c ed avente come direttrice la retta orizzontale: y = 1 La dimostrazione consiste nel far vedere che il sistema 1 di pagina 7 si può risolvere rispetto a : x F ; y F ; d a = 1 b = ( 2x F ) a c = ( x 2 F + y 2 F d 2) a = 1 a b = ( 2x F ) a c = ( x 2 F + y 2 F d 2) a 7
y F = 1 + d ( b 2 c = 2 + 1 2 + d2 + d ) a d2 a y F = 1 + d c = b2 + 1 + d y F = 1 + d d = b2 + c 1 Ponendo = b 2 c si ottiene y F = 1 + 1 d = 1 y F = 1 d = 1 8