GEOMETRIA SOLIDA PIRAMIDE Prof.ssa M. Rosa Casparriello Scuola media di Cervinara 2007/2008
DEFINIZIONE La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono, aventi tutti un vertice in comune.
ELEMENTI DI UNA PIRAMIDE V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base M
PIRAMIDE Elementi della piramide faccia laterale
PIRAMIDE Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE
Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE
Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale?. 6 Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?.. isoscele
PIRAMIDE RETTA abbiamo detto che se nel poligono di base si può inscrivere una circonferenza e se l altezza della piramide cade al centro di questa circonferenza, allora abbiamo una piramide retta. Le facce laterali sono tutti triangoli diversi, ma aventi tutti la stessa altezza: è l ipotenusa dei triangoli rettangoli con cateto pari al raggio e altro cateto pari all altezza. CIASCUNA DI QUESTE ALTEZZE PRENDE IL NOME DI APOTEMA DELLA PIRAMIDE
PIRAMIDE INDICANDO CON A L APOTEMA, CON R IL RAGGIO E CON H L ALTEZZA, ALLORA APPLICANDO IL TEOREMA DI PITAGORA POSSIAMO SCRIVERE: a= h^2+ r^2 h= a^2- r^2 r= a^2- h^2
PIRAMIDE RETTA Abbiamo detto che una piramide retta avente per base un poligono regolare è detta piramide regolare. In una piramide regolare: tutti gli spigoli sono congruenti; Tutti i triangoli che formano le facce laterali sono isosceli e congruenti.
PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VHB: l ipotenusa vb è lo spigolo laterale, vh è l apotema, bh= ½ l Quindi: s= a^2+ (l/2)^2 a= s^2- (l/2)^2 l/2= s^2- a^2
PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VKB: l ipotenusa vb è lo spigolo laterale, vk è l altezza, kb è il raggio della circonferenza circoscritta Quindi: s= h^2+ r^2 h= s^2- r^2 r= s^2- h^2
PIRAMIDE QUADRANGOLARE Consideriamo una piramide regolare quadrangolare e osserviamo i triangoli rettangoli Il triangolo VKH: l ipotenusa vh è l apotema, il cateto vk è l altezza, il cateto vh è il raggio della circonferenza inscritta Quindi: a= h^2+ r^2 h= a^2- r^2 r= a^2- h^2
Superficie della piramide Riprendiamo l immagine che abbiamo visto in precedenza relativa allo sviluppo sul piano di una piramide Notiamo che lo sviluppo è costituito dal poligono di base e da tanti triangoli aventi per altezza l apotema della piramide e per base gli spigoli di base.
Superficie della piramide L area della superficie laterale è data dalla somma delle aree di questi triangoli. Ricordiamo perché lo abbiamo già visto (Raffaele) che la somma di più triangoli aventi la stessa altezza è equivalente ad un unico triangolo avente per base la somma delle basi e per altezza la stessa altezza. Quindi indicando con Al l area della superficie laterale, con P il perimetro di base (o se volete con 2p), e con a l apotema, avremo: Al=P a/2 Da cui le formule inverse
Superficie della piramide Regola: l area della superficie laterale di una piramide retta si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell apotema e dividendo per 2 il prodotto ottenuto. Regola: l area della superficie totale di una piramide retta si calcola addizionando l area del poligono di base all area della superficie laterale
Volume della piramide retta Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la base equivalente e l altezza congruente a quella della piramide. V= Ab h/3 Regola: il volume di una piramide si calcola moltiplicando l area di base per l altezza e dividendo il prodotto per 3.