LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse e passante per l origine V O Equazione canonica a Vertice V ( 0,0) 1 F 0, 4 a Asse di simmetria 0 1 Parabola con asse parallelo all asse delle ordinate Equazione canonica a + b Asse di simmetria Vertice P(,) H Vertice Asse di simmetria 4 V, a b b + ac + F, a b a 1+ b 4 b 1 b 4 ac ac Casi particolari a>0 a<0 concavità verso l'alto concavità verso il basso
a b 0 a + b c 0 a b c 0 F asse, V asse passa per l'origine V O Grafico della parabola Per eseguire il grafico della parabola si devono dapprima calcolare le coordinate del vertice, l equazione dell asse di simmetria e poi determinare le coordinate di altri punti (per es. i punti di intersezione con gli assi cartesiani) attribuendo un valore arbitrario alla e calcolando il corrispondente valore della. Posizioni reciproche tra retta e parabola Per stabilire la posizione di una retta rispetto a una parabola e trovare gli eventuali punti di intersezione si risolve il sistema formato dalle equazioni della retta e della parabola. Si imposta cioè, e si risolve, un sistema del tipo: + + m + q a b c equazione generica della parabola equazione generica della retta Il sistema è di secondo grado, per cui ha al massimo due soluzioni, in accordo con il fatto, verificabile geometricamente, che retta e parabola possono avere al massimo due punti di intersezione. Si possono presentare tre casi. 1. Il discriminante dell'equazione risolvente il sistema è maggiore di zero: in tal caso il sistema ha due soluzioni reali e distinte e la retta incontra la parabola in due punti; si dice allora che è secante. Le coordinate dei punti di intersezione si trovano completando la risoluzione del sistema. Un caso particolare si ha quando la retta è una parallela all'asse di simmetria: allora retta e parabola si intersecano in un solo punto.. Il discriminante dell'equazione risolvente il sistema è uguale a zero: il sistema ha allora due soluzioni reali coincidenti e la retta tocca la parabola in un solo punto; si dice allora che è tangente. Le coordinate del punto di tangenza si trovano completando la risoluzione del sistema. 3. Il discriminante dell'equazione risolvente è minore di zero: il sistema non ha soluzioni e la retta non incontra la parabola; si dice allora che è esterna.
secante tangente esterna > 0 0 < 0 Rette tangenti a una parabola Per stabilire se una retta è tangente a una parabola, basta controllare se il discriminante dell'equazione risolvente il sistema composto dalle equazioni di retta e parabola è uguale a zero. Procedimento per scrivere l'equazione della retta passante per un punto dato e tangente a una parabola di equazione nota. Si possono presentare tre casi. 1. Il punto appartiene alla parabola: in tal caso si scrive il sistema formato dall'equazione della parabola e da quella della retta generica passante per il punto dato. 0 m( 0) a + b Si pone quindi uguale a zero il discriminante dell'equazione risolvente tale sistema, e si trova il valore di m che, sostituito nella equazione generica della retta, permette di scrivere l'equazione della retta cercata, tangente alla parabola. In questo caso m avrà un solo valore e la tangente sarà una sola.. Se il punto è esterno alla parabola, si procede come nel caso precedente: si troveranno però due valori di m che, sostituiti nell'equazione della retta generica, daranno due equazioni di due rette distinte, entrambe tangenti alla parabola. Per calcolare le coordinate dei punti di tangenza si risolvono separatamente i due sistemi ottenuti con l'equazione della parabola e ciascuna delle due rette 3. Se il punto è interno alla parabola, per esso non passa alcuna tangente alla parabola stessa; l equazione ottenuta imponendo uguale a zero il discriminante non ha soluzione.
Ricerca dell equazione della parabola noti tre elementi l equazione della parabola a + b dipende dai tre parametri a, b, c, quindi è necessario impostare un sistema in tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. La parabola deve soddisfare le condizioni: Allora si pone: Passa per tre punti A, B, C dati; Si applica la condizione di appartenenza di A, B, C alla curva. A A a + b A A B B ab + bb C C a + b C C Sono dati il vertice V e la direttrice; Si mettono a sistema le equazioni dell ascissa e dell ordinata del vertice uguagliate al loro valore e l equazione della direttrice uguagliata al suo valore. a b V V 1+ b c eq. direttrice Sono dati il fuoco F e il vertice V; Si mettono a sistema le equazioni dell ascissa e dell ordinata del vertice e dell ordinata del fuoco uguagliate al loro valore. V V F a b V 1 b F E dato il vertice V e passa per un punto P; Si mettono a sistema le equazioni dell ascissa e dell ordinata del vertice uguagliate al loro valore e la condizione di appartenenza del punto alla curva. a b V V P P ap + bp
Sono dati il fuoco F e la direttrice; Si mettono a sistema le equazioni dell ascissa e dell ordinata del fuoco uguagliate al loro valore e l equazione della direttrice uguagliata al suo valore. F F a 1 b F F 1+ b c eq. direttrice Parabola con asse di simmetria parallelo o coincidente con l asse Se l asse di simmetria è parallelo all asse, l equazione della parabola è del tipo: a + b P(,) Asse di simmetria Equazione canonica Vertice Asse di simmetria V F a + b b + 4 ac, b a 1 + 4 b ac, b a b a 1+ b 4 ac Casi particolari a>0 a<0 concavità verso destra concavità verso sinistra
a b 0 a + b c 0 a b c 0 F asse, V asse passa per l'origine V O