Compito di Algebra del 13 Gennaio 2009 1) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k 12 8. 2) Dire per quali valori del parametro a Z il sistema { n + a 72 3 n 120 7. ammette soluzioni. Si trovino tutte le soluzioni per a = 20. Soluzione. Il sistema è equivalente all equazione diofantea 3 a + 72x = 7 + 120y, cioè 72x 120y = 4 + a. L equazione è risolubile quando 4 + a è un multiplo di 24 = MCD(72, 120), cioè [a] 24 = [ 4] 24 = [20] 24. Per a = 20 la soluzione è n 360 127. 3) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [10] 533. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[98] 533 e ±[189] 533. 4) Dato che nel compito scorso si parlava di Linux, per non essere accusato di parzialità l esercizio di oggi riguarda un altro sistema operativo. Un mio amico usa tutti i giorni un computer su cui è installato Windows Vista TM Ultra Professional. Oggi (13 Gennaio) il computer si è bloccato a causa della scheda di rete e questo inconveniente si verifica regolarmente ogni 34 giorni. Il 3 Gennaio il computer si era bloccato a causa della scheda audio e questo inconveniente si verifica regolarmente ogni 26 giorni. Dire quanti sono i giorni nel corso del 2009 in cui il computer non si blocca. Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. 341.
Compito di Algebra del 15 Dicembre 2008 (file pari) 1) Risolvere l equazione [29] 84 x [7] 84 = [20] 84 [10] 84 x. Soluzione. L equazione è equivalente a [39] 84 [x] 84 = [27] 84, le cui soluzioni sono [x] 84 = [5] 84, [x] 84 = [33] 84 e [x] 84 = [61] 84. 2) Risolvere il sistema { 29 14 n 71 3 14n 25 10. Soluzione. La prima equazione è equivalente a 14 n 71 32 29 71 5, la cui soluzione è n 10 4. La seconda equazione è equivalente a n 25 15. Dato che MCD(25, 10) non divide 15 4 = 11 il sistema non ha soluzioni. 3) Il Presidente Hush ha iniziato a studiare i numeri in base 16. Il suo insegnante gli ha chiesto di calcolare le ultime tre cifre decimali dell espressione in base 16: FBI CIA. Aiuta il Presidente a trovare il risultato descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo da seguire. Soluzione. Le ultime tre cifre sono 609. 4) Io accendo il computer tutti i giorni esattamente una volta al giorno. Oggi il sistema operativo ha eseguito il controllo della partizione /dev/hda1 e tale controllo avviene ogni 28 accensioni (quindi ogni 28 giorni). Tre giorni fa era stato eseguito il controllo della partizione /dev/hda2 e tale controllo avviene ogni 35 accensioni. Dodici giorni fa era stato eseguito il controllo della partizione /dev/hda3 e tale controllo avviene ogni 36 accensioni. Tra quanti giorni verranno controllate contemporaneamente due partizioni? Tra quanti giorni verranno controllate contemporaneamente tutte e tre le partizioni? Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Tra 168 giorni saranno controllate contemporaneamente le partizioni /dev/hda1 e /dev/hda3. Tutte e tre le partizioni lo stesso giorno non saranno mai controllate.
Compito di Algebra dell 8 Gennaio 2008 1) Dire per quali valori del parametro a Z l equazione diofantea 49x 21y + a = 4a + 1 ammette soluzioni. Si trovino poi tutte le soluzioni per a = 5. Soluzione. Deve essere 3a + 1 7 0, da cui a 7 2. Per a = 5 l equazione è equivalente a 7x 3y = 2 la cui soluzione generale è x = 1 + 3k, y = 3 + 7k per ogni k Z. 2) Trovare l ordine di [7] 90 in Z 90. Si dica poi per quali valori di k si ha [7] k+1 90 + [60] 90 = [1] 90. Soluzione. L ordine di [7] 90 è 12. k 12 7. 3) Calcolare le radici quadrate di [3] 73, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. ±[21] 73. 4) Non tutti sanno che nel 2009 potremo osservare il passaggio della cometa Galois che è visibile dalla Terra ogni 39 anni. Nel 1997 invece si è verificato il passaggio della cometa Abel, fenomeno che avviene ogni 27 anni. Entrambe le comete sono visibili tra Febbraio e Maggio. In quale anno sarà possibile osservare entrambe le comete nella notte del 29 Febbraio? Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Nel 2672 e successivamente ogni 1404 anni. Gli anni bisestili nei quali si possono osservare entrambe le comete sono infatti dati dalla soluzione del sistema { n 39 2009 n 27 1997 n 4 0.
Compito di Algebra del 20 Dicembre 2007 (file dispari) 1) Dire per quali valori del parametro a Z l equazione diofantea 156x + 182y + 3 = 6a + 7 ammette soluzioni. Si trovino poi tutte le soluzioni per a = 5. Soluzione. L equazione 156x + 182y = 6a + 4 ha soluzione quando MCD(156, 182) = 26 divide 6a + 4, quindi deve essere 6a 22 mod 26, da cui 3a 11 mod 13 e quindi a 8 mod 13. Per a = 5 l equazione è equivalente a 6x + 7y = 1 la cui soluzione generale è x = 1 + 7k, y = 1 6k per ogni k Z. 2) Si dica per quali valori di k si ha 7 888k + 23 33 15. Soluzione. Dato che ϕ(33) = 20, [7] 888 33 = [7] 8 33 = [ 2] 33. L equazione è quindi equivalente a [ 2] k 33 = [25] 33 la cui soluzione è k 5 3. 3) Sappiamo che il numero 313337 è il prodotto di due numeri primi, uno dei quali ha la forma 7X7, cioè non conosciamo solo la cifra delle decine. Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [108565] 313337. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[1024] 313337 e ±[122566] 313337. 4) Costruire uno schema di condivisione di segreti basato sul teorema cinese del resto, che permetta a quattro partecipanti A, B, C, D di condividere un segreto. Lo schema deve essere tale che il segreto deve poter essere ricostruito solamente da B e C oppure da A, C, e D. Qualsiasi altro gruppo di partecipanti non deve essere in grado di ricostruire il segreto. Il modulo assegnato ad ogni partecipante deve essere maggiore di 50. Giustificare la risposta. Soluzione. È sufficiente scegliere 3 numeri primi tra loro maggiori di 50. Possiamo prendere 51, 52, e 53. Il segreto è identificato da una chiave k compresa fra 0 e 51 52 53 1 = 140555. Ai partecipanti A, B, C, D vengono assegnati rispettivamente i valore k mod 51, k mod 51 52, k mod 53, e k mod 52.
Compito di Algebra del 20 Dicembre 2007 (file pari) 1) Risolvere l equazione [36] 105 + [22] 105 [x] 105 = [10] 105 [x] 105 + [30] 105. Soluzione. L equazione è equivalente a [12] 105 [x] 105 = [99] 105 che ha come soluzioni [x] 105 = {[17] 105, [52] 105, [87] 105 }. 2) Risolvere il sistema { 4 n 19 8 11n 14 13. Soluzione. La prima equazione è equivalente a n 9 6, la seconda a n 14 5. La soluzione è quindi n 126 33. 3) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [111] 1247 e [112] 1247. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. [112] 1247 non ha radici quadrate. Le radici di [111] 1247 sono ±[683] 1247 e ±[306] 1247. 4) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = 4593019 e dell esponente di codifica e = 2053. Inoltre scoprite che uno dei due primi che costituiscono il modulo è un numero della forma 187X (quindi non conoscete solamente la cifra delle unità). Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. I primi della forma 187X sono 1871, 1873, e 1877, ma solo l ultimo di questi divide n. Di conseguenza abbiamo p = 1877, q = 2447. Ne segue che φ(n) = 4588696, e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia (4588696, 2053) che fornisce il risultato d = 514077.
Compito di Algebra del 2 Luglio 2007 1) Risolvere l equazione [18] 41 [x] 41 + [21] 41 = [7] 41 + [23] 41 [x] 41. Soluzione. L equazione è equivalente a [36] 41 [x] 41 = [13] 41. Abbiamo [36] 1 41 = [8] 41 quindi [x] 41 = [8] 41 [13] 41 = [22] 41. 2) Risolvere il sistema { 7 n 22 9 n 35 2. Soluzione. La prima equazione è equivalente a n 10 8. La soluzione è quindi n 70 68. 3) Sia n = 389409983161 1323. Si dica quali sono le ultime due cifre decimali di n e si calcoli n mod 99. Soluzione. Le ultime due cifre decimali di n sono date da n mod 100. Dato che ϕ(100) = 40 abbiamo che n mod 100 = 61 3 mod 100 = 81. Per calcolare n mod 99 osserviamo che 389407983161 = 38 100 5 + 94 100 4 + 9 100 3 + 98 100 2 + 31 100 + 61. Dato che 100 i mod 99 = 1 abbiamo che [389407983161] 99 = [38 + 94 + 9 + 98 + 31 + 61] 99 = [34] 99. Essendo ϕ(99) = 60 abbiamo [n] 99 = [34] 3 99 = [1] 99. 4) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = 954631 e dell esponente di codifica e = 1049. Inoltre scoprite che uno dei due primi che dividono il modulo termina per 13. Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Tra i numeri che terminano per 13 l unico che divide n è 1213. Di conseguenza abbiamo p = 1213, q = 787. Ne segue che φ(n) = 952632, e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia (952632, 1049) che fornisce il risultato d = 469505.
Compito di Algebra del 24 Gennaio 2007 1) Trovare l ordine di [3] 106 in Z 106. Si dica poi per quali valori di k si ha [3] k 106 [56] 106 = [81] 106. Soluzione. L ordine di [3] 106 è 52. k 52 5. 2) Risolvere il sistema { ( 3) n 31 2 7 n 3 25624n 38 1. Soluzione. La prima equazione è equivalente a 4 n 31 2, e quindi a n 5 3. La seconda equazione è equivalente a n 9 0. Il sistema iniziale ha quindi soluzione n 45 18. 3) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [803] 899. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[51] 899 e ±[268] 899. 4) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = 11459209 e dell esponente di codifica e = 1147. Inoltre scoprite che i due primi che costituiscono la fattorizzazione del modulo sono entrambi compresi fra 1000 e 10000 e uno di essi scritto in binario contiene solamente la cifra 1. Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. I numeri che scritti in binario contengono solamente la cifra 1 sono quelli della forma 2 k 1. La condizione che i numeri siano compresi tra 1000 e 10000 implica che k deve essere compreso fra 10 e 13. L unico numero primo di questo tipo è 8191. Di conseguenza abbiamo p = 8191, q = 1399. Ne segue che φ(n) = 11449620, e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia (11449620, 1147) che fornisce il risultato d = 5380423.
Compito di Algebra del 13 Dicembre 2006 1) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [74] 93 [x] 93 + [41] 93 = [35] 93 + [17] 93 [x] 93. Soluzione. L equazione è equivalente a [57] 93 [x] 93 = [87] 93 le cui soluzioni sono x = {[26] 93, [57] 93, [88] 93 }. 2) Risolvere il sistema { 3 803n 77 38 11 3074n 49 18. Soluzione. Dato che ϕ(77) = 60 abbiamo che la prima equazione è equivalente a 3 23n 77 38, e quindi a 5 n 77 38 la cui soluzione è n 30 11. Dato che ϕ(49) = 42, la seconda equazione è equivalente a 2 n 49 18 la cui soluzione è n 21 14. Il sistema iniziale è quindi equivalente al sistema { n 30 11 n 21 14 la cui soluzione è n 210 161. 3) Sia n = 77767 25552 + 38439 595. Si dica quanto vale n mod 162. Soluzione. Essendo ϕ(162) = 54 e MCD(7, 162) = 1, abbiamo [77767] 25552 162 = [7] 25552 162 = [7] 10 162 = [61] 162. Per quanto riguarda il secondo addendo abbiamo 38439 mod 162 = 45 ed essendo MCD(45, 162) = 9 non possiamo applicare il teorema di Eulero. Però è immediato verificare che per ogni k > 1 vale 45 k mod 162 = 81. Abbiamo quindi che [n] 162 = [61 + 81] 162 = [142] 162. 4) In un protocollo di Diffie-Hellman i valori pubblici sono p = 2143, g = 24, g a mod p = 921, g b mod p = 1032. Inoltre riuscite a scoprire che l esponente a è una potenza di 3 minore di 2000. Calcolare la chiave segreta g ab mod p, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Possiamo calcolare il valore a calcolando g 3 mod p, g 32 mod p, g 33 mod p, etc. fino a quando non otteniamo il valore 921. Osserviamo che per calcolare il valore g 3k+1 è sufficiente elevare al cubo g 3k quindi sono richieste solo due moltiplicazioni. Facendo i calcoli in questo modo si ottiene a = 243. Il valore segreto g ab mod p è dato quindi da 1032 243 mod 2143 = 1660.
Prova parziale di Algebra del 23 Novembre 2006 1) Trovare l ordine di [5] 82 in Z 82. Si dica poi per quali valori di k si ha [5] k 82 + [4] 82 = [13] 82. Soluzione. L ordine di [5] 82 è 20. k 20 5. 2) Risolvere il sistema { 3 8454n 43 11 3 n 23 13. Soluzione. La prima equazione è equivalente a n 7 6, la seconda è equivalente a n 11 5. La soluzione è quindi n 77 27. 3) Trovare le soluzioni dell equazione x 2 + x[287] 403 + [306] 403 = [0] 403. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Suggerimento: usare, con le opportune modifiche, la formula per la risoluzione delle equazioni di secondo grado con coefficienti in R. Soluzione. Applicando la formula x = ( b ± b 2 4ac)/2, e osservando che [2] 1 403 = [202] 403, otteniamo: x = ( [287] 403 ± ) [142] 403 [202] 403. Essendo le radici quadrate di [142] 403 uguali a ±[255] 403 e ±[317] 403 otteniamo x = ( [287] 403 ± [255] 403 ) [202] 403 e x = ( [287] 403 ± [317] 403 ) [202] 403. da cui ricaviamo le 4 soluzioni [101] 403, [15] 403, [132] 403, [387] 403. 4) Costruire uno schema di condivisione di segreti basato sul teorema cinese del resto, che permetta a cinque partecipanti A, B, C, D, E di condividere un segreto. Lo schema deve essere tale che il segreto deve poter essere ricostruito solamente da A, B, C oppure da A, B, D, E. Qualsiasi altro gruppo di partecipanti non deve essere in grado di ricostruire il segreto. Il modulo assegnato ad ogni partecipante deve essere maggiore o uguale a 30. Giustificare la risposta. Soluzione. È sufficiente scegliere 4 numeri primi tra loro maggiori o uguali a 30. Possiamo prendere 31, 32, 33, e 35. Il segreto è identificato da una chiave k compresa fra 0 e 31 32 33 35 1 = 1145759. Ai partecipanti A, B, D, E viene assegnato rispettivamente il valore k modulo 31, 32, 33, 35. Al partecipante C viene assegnato k mod 33 35.
Prova parziale di Algebra del 23 Ottobre 2006 (file pari) 1) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [25] 112 [x] 112 + [8] 112 = [50] 112 [5] 112 [x] 112. Soluzione. L equazione è equivalente a [30] 112 [x] 112 = [42] 112 le cui soluzioni sono x {[35] 112, [91] 112 }. 2) Dire quali sono i punti della retta 34x+21y = 3 che hanno coordinate (x, y) entrambe intere e tali che x + y = 11. Soluzione. Il problema è equivalente a trovare le soluzioni intere (x, y) dell equazione diofantea 34x + 21y = 3 che soddisfano al vincolo x + y = 11. La soluzione generale dell equazione diofantea è x = 24 + 21k, y = 39 34k. Affinché sia x + y = 11 deve essere 15 13k = 11 da cui k = 2. L unico punto che soddisfa alle condizioni richieste è quindi x = 18, y = 29. 3) Su un foglio trovate scritto: L equazione diofantea 1188t + 1683s = XY 477234287914 ammette soluzioni. dove X e Y sono cifre illeggibili. Sapendo che i numeri sono stati scritti in base 10, trovare due cifre X e Y che rendano l affermazione vera. Soluzione. Dato che MCD(1188, 1683) = 99 il numero XY 477234287914 deve essere multiplo di 9 e di 11. Utilizziamo i criteri di divisibilià in base 10. Affinché XY 477234287914 sia multiplo di 9 deve essere X + Y = 5, e affinché XY 477234287914 sia multiplo di 11 deve essere Y X = 1. Una soluzione è quindi X = 2, Y = 3. 4) Da una fontana dovete procurarvi esattamente un litro di acqua, ma avete a disposizione solamente una damigiana da 4.5 litri e una tanica da 13 litri. Come potete fare? Descrivere in dettaglio il procedimento. Soluzione. Vogliamo ottenere 1 litro aggiungendo e togliendo multipli di 4.5 e 13 litri. Osserviamo che moltiplicando per 2 l equazione 4.5s + 13t = 1 si ottiene l equazione diofantea 9s + 26t = 2 la cui soluzione è s = 6 e t = 2. Ne segue quindi che 4.5 6 + 13 2 = 1. Per ottenere un litro riempiamo 6 volte la damigiana versando ogni volta il contenuto nella tanica e svuotando quest ultima quando è piena. Quando la tanica è stata svuotata 2 volte abbiamo raccolto 27 litri e ne abbiamo buttati 26, quindi nella damigiana è rimasto esattamente un litro.
Prova parziale di Algebra del 23 Ottobre 2006 (file dispari) 1) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [74] 112 [x] 112 + [51] 112 = [79] 112 + [41] 112 [x] 112. Soluzione. L equazione è equivalente a [33] 112 [x] 112 = [28] 112 la cui soluzione è x = [28] 112. 2) Dire quali sono i punti della retta 29y = 3+21x che hanno coordinate (x, y) entrambe intere e tali che x + y = 43. Soluzione. Il problema è equivalente a trovare le soluzioni intere (x, y) dell equazione diofantea 21x + 29y = 3 che soddisfano al vincolo x+y = 43. La soluzione generale dell equazione diofantea è x = 33+29k, y = 24+21k. Affinché sia x + y = 43 deve essere 57 + 50k = 43 da cui k = 2. L unico punto che soddisfa alle condizioni richieste è quindi x = 25, y = 18. 3) Su un foglio trovate scritto: L equazione diofantea 1144t 792s = X564625374433Y ammette soluzioni. dove X e Y sono cifre illeggibili. Sapendo che i numeri sono stati scritti in base 10, quanto devono valere X e Y affinché l affermazione sia vera? Soluzione. Dato che M CD(1144, 792) = 88 il numero X564625374433Y deve essere multiplo di 8 e di 11. Utilizziamo i criteri di divisibilià in base 10. Affinché X564625374433Y sia multiplo di 8 deve essere Y = 6, e affinché X5646253744336 sia multiplo di 11 deve essere X = 7. 4) Da una fontana dovete procurarvi esattamente un litro di acqua, ma avete a disposizione solamente una damigiana da 3.5 litri e una tanica da 12 litri. Come potete fare? Descrivere in dettaglio il procedimento. Soluzione. Vogliamo ottenere 1 litro aggiungendo e togliendo multipli di 3.5 e 12 litri. Osserviamo che moltiplicando per 2 l equazione 3.5s + 12t = 1 si ottiene l equazione diofantea 7s + 24t = 2 la cui soluzione è s = 14 e t = 4. Ne segue quindi che 3.5 14 + 12 4 = 1. Per ottenere un litro riempiamo 14 volte la damigiana versando ogni volta il contenuto nella tanica e svuotando quest ultima quando è piena. Quando la tanica è stata svuotata 4 volte abbiamo raccolto 49 litri e ne abbiamo buttati 48, quindi nella damigiana è rimasto esattamente un litro.