Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06 Soluzioni delle Esercitazioni I 9-3/09/06 A. Polinomi Si ha:. (x+y)(3xy xy) = 6x y x y +3xy 3 xy.. (x y) = 4x 4xy +y. 3. Se non ci si ricorda lo sviluppo del cubo di un binomio, si può fare semplicemente (x ) 3 = (x )(x ) = (x )(x x+) =... = x 3 3x +3x. Si ha: 4. 6x+9x = ( 3x). 5. 4x x 4 = x (4 x ) = x ( x)(+x). 6. Con un doppio raccoglimento: x 3 + x + x + = x (x + ) + x + = (x + )(x + ). Quest ultimo non è ulteriormente fattorizzabile. 7. x 4 +4x 3 +4x = x (x +4x+4) = x (x+). 8. P(x) = x x, D(x) = x+3. Con la divisione euclidea dei polinomi si ottiene: x x x +3 x x x 4 // 4x 4x + // +0 Quindi il quoziente è il polinomio x 4 e il resto è 0. Si può scrivere quindi: x x = (x+3)(x 4)+0. 9. P(x) = x 4 +x, D(x) = x +x. Ancora con la divisione euclidea dei polinomi si ottiene: x 4 +x x +x x 4 x 3 x x + // x 3 +x +x 3 +x // x x x // x Quindi il quoziente è il polinomio x x+eil resto è x. Si può scrivere quindi: x 4 +x = (x +x)(x x+) x. 0. Il polinomio da scomporre è P(x) = x x. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di, e cioè {±,±}. Si trova che è una radice dato che P( ) = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile per (x+). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini: 0 Quindi si può scrivere: x x = (x+)(x ) (anche è infatti una radice di P). La divisione poteva essere effettuata anche con la regola di Ruffini. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06. Il polinomio da scomporre è P(x) = x 3 x 4. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di 4, e cioè {±,±,±4}. Si trova che è una radice dato che P() = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile per (x ). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini: 0 4 4 0 Quindi si puòscrivere: x 3 x 4 = (x )(x +x+). Il polinomiodi secondogradonon èulteriormentescomponibile.. Il polinomio da scomporre è P(x) = x 4 x. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di, e cioè {±,±}. Si trova che è una radice dato che P( ) = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile per (x+). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini: 0 0 0 Quindi si può scrivere: x 4 x = (x+)(x 3 x +x ). Il polinomio di terzo grado non ha radici razionali, dato che i divisori di non annullano il polinomio. La nostra scomposizione pertanto termina qui. 3. Basta usare il teorema di Ruffini, in base al quale se P() = 0 allora P è divisibile per (x ) e se P( ) = 0 allora P è divisibile per (x + ). Dovendo essere P di quinto grado basta quindi scrivere P(x) = x 3 (x )(x+) =... = x 5 +x 4 x 3. 4. Si ha 5. Si ha x 4x = x 4x+4 4 = (x ) 5. x 3x+ = x 3x+ 9 4 9 ( 4 + = x 3 ) 5 4. 6. La difficoltà di questo rispetto ai precedenti è la presenza del coefficiente, anziché, davanti ad x. Anziché cercare di completare il quadrato mantenendo come primo termine x, che comporterebbe l uso dei radicali (x è il quadrato di x) si può fare così: ( x 3x+ = x 3 x+ ) ( = x 3 x+ 9 6 9 6 + ) [ ( = x 3 ) ]. 4 6 B. Potenze. Si ha ad esempio 3 6 = 4/3, = /, +x x = x + = x. Per quanto riguarda l ultimo si può scrivere ad esempio 3 x = 3 3 x = 3 9x = 3 (3x ). Chiaramente ci sono anche molti altri modi di scrivere ciascuna di queste quantità (es. 3 6 = 6 56).. Si ha +x+x +x 3 = x 3 ( x 3 + x + x + ) = x 3 (x 3 +x +x +). A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06 3. Ricordando che quando si raccoglie a fattore qualcosa occorre poi dividere per la quantità raccolta, si ha ( ) 3 x 3 x = 3 x 3 x 3 x = 3 x ( 3 x ). 4. Si ha 3 x 3 x + = 3 x (3 x +3 x ). 5. Ricordando anche qui che quando si raccoglie a fattore qualcosa occorre poi dividere per la quantità raccolta, si ha ( ) 4 4 x + 3x = x x x + 3x x ( ( = x ) x ) x + 3x x = x ( 4x x + x ) = x ( 3x + x ). 6. Applicando le proprietà delle potenze si ha ad esempio 3x = 3x = ( x ) 3 = ( 3 ) x = 8 x. 7. x è definita per x 0; 3 x è definita in tutto R; x3 è definita per x 0, dato che la radice è di indice pari e l argomento è negativo se x < 0; 4 x è definita in tutto R, dato che l argomento è comunque non negativo; 6 x3 è definita per x 0, dato che la radice è di indice pari e l argomento è negativo se x < 0. 8. L uguaglianza x = x è vera soltanto per x 0 (per x < 0 il primo membro è positivo mentre il secondo è negativo). L uguaglianza 4 x = x è vera soltanto per x 0 (il secondo membro non è definito per x < 0). L uguaglianza 9 x 3 = 3 x è vera in tutto R. 9. Possiamo scrivere x 4 +x = x (x +). Ora attenzione. Se vogliamo portare x fuori dalla radice, dobbiamo tenere conto del fatto che x < 0: quindi dobbiamo scrivere x (x +) = x x + = x x +. 0. Anche qui bisogna stare attenti al segno. Essendo x negativa (x (,0)), il segno della quantità x +x è certamente negativo. Quindi possiamo portare x sotto radice ma occorre lasciare un segno fuori dalla radice. Una giustificazione forse più rigorosa di questo fatto sta in questo. Essendo x negativo, lo possiamo pensare come x, quindi si ha x +x = x +x. Ora possiamo portare sotto radice x senza alcun problema, dato che x è non negativo. Si ottiene quindi x +x = x +x = x +x 3. A. Peretti Corso di Matematica 3 UNIVR Sede di Vicenza
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per x+ +x. Si ottiene x +x x = (x +x )(x+ +x ) x(x+ +x ) = x (+x ) x(x+ +x ) = x(x+ +x ). C. Logaritmi. La scrittura a = log b c significa che b a = c.. Si ha log 3 9 =, in quanto 3 = 9; log 3 7 = 3, in quanto 3 3 = /7; log =, in quanto / = / ; log 6 = 4, in quanto ( ) 4 = 6. 3. Si ha 0 = log (infatti 0 = ); = log (infatti = ); = log 4 (infatti = 4); 4 = log = log 4 (infatti /4 = 4 ); (infatti / = ). 4. Si ha = 0 ; = / ; = 3/ = 3/ ; 3 = log 3 ; 5 = log 5 = log 5. 5. Si ha non si può scrivere invece 0 come potenza di e. 0 = ln; = lne e = e ln ; 3 = lne/3 e = lne e 3 = eln 3 ; = e ln ; = lne = ln e A. Peretti Corso di Matematica 4 UNIVR Sede di Vicenza
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni I 9-3/09/06 mentre non si può scrivere come potenza di e. 6. Ricordo intanto che lnx significa ln(x ) e la scrittura ha senso per x 0. Possiamo applicare una delle proprietà dei logaritmi e scrivere lnx = ln x, e l uguaglianza vale per ogni x 0. Faccio notare allo studente che ci sono infiniti altri modi di scrivere la stessa quantità. Ad esempio scrivendo lnx4, oppure 3 lnx6 o ancora 4ln x, e lascio allo studente inventarne altri. Tutte queste scritture equivalgono a quella iniziale per x 0. Si poteva anche scrivere lnx = lnx, ma attenzione che allora dobbiamo dire che questa vale solo con x > 0. La quantità lnx 4 è definita per x 0 e si può trasformare ad esempio in lnx, oppure 4ln x, o ancora 6ln 4 x. Anche qui se vogliamo scrivere invece lnx 4 = 4lnx dobbiamo precisare che questa vale solo con x > 0. La quantità lnx 3 è definita invece per x > 0 e si può trasformare ad esempio in 3lnx, oppure in 3 lnx, ma solo se x > 0. A. Peretti Corso di Matematica 5 UNIVR Sede di Vicenza