Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Per la teoria studiare su il libro di testo La retta e i sistemi lineari, modulo E, da pagina 594 a pagina 597. Esercizi da pagina 617 a pagina 623. 1. Le coordinate di un generico punto del piano cartesiano. Figura 1. Rappresentazione del piano cartesiano e dei quattro quadranti Si può osservare il quadrilatero ABCD con A (1;3),B(-2;5), C(-4;-5) e D(4;-2). 2. Distanza tra due punti Sia dato un sistema di assi cartesiani ortogonali,monometrico ( cioè l'unità di misura presente sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate è lo stesso). Ogni punto del piano è individuato da due valori numerici che ordinatamente sono l ascissa del punto e l'ordinata del punto secondo il sistema di riferimento utilizzato. L'ascissa del punto individua la proiezione del punto sull'asse delle ascisse (l'asse orizzontale); l'ordinata del punto individua la proiezione del punto sull'asse delle ordinate (l'asse verticale). Gli assi cartesiani dividono il piano cartesiano in quattro regioni, dette quadranti. Per calcolare la distanza tra due punti assegnati A(x A ;y A ) e B(x B ;y B ) piano cartesiano si utilizza la seguente formula 3. Punto medio di un segmento + Conoscendo le coordinate degli estremi di un segmento AB si può risalire alle coordinate del punto medio del segmento stesso utilizzando le seguenti formule: Indicando con le con M il punto medio si ha : = e = 1
Classe quarta sezione E Verifica di matematica Imperia, 28 ottobre 2008 Soluzione: 1. Determina la natura del triangolo AOB di vertici A(-2;2), O(0;0) e B(3;3) 2. Calcola il perimetro dell'area di tale figura. 3. Considera il punto M, punto medio del lato AB, determina la lunghezza della mediana OM 4. Determina le coordinate del punto C ottenuto prolungando la mediana dalla parte di O in modo tale che OM sia congruente a OC 1. Disegniamo il triangolo ABC. Calcoliamo le misure dei lati, utilizzando per ogni lato la regola della distanza tra due punti: = 2 3 ++2 3 = 25+1= 26 u = 2 0 +2 0 = 4+4= 8=2 2 u =3 0 +3 0 = 9+9= 18= 3 2 u ( u è l unità di misura ) Pertanto il triangolo avendo tutti i lati di misure diverse è scaleno. ( verifica svolta in 50 minuti) Verifichiamo che il triangolo AOB è un triangolo rettangolo. Per esserlo deve valere il teorema di Pitagora ( caratteristica esclusiva dei triangoli rettangoli ): il lato maggiore dei tre lati del triangolo al quadrato deve essere uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Pertanto si dovrà verificare : 2 = 2 + 2. Proviamo : 26 =2 2 +3 2. Quindi 26= 4 2+ 9 2. Quindi 18=18. 2. Il perimetro si calcola sommando i tre lati : 2p= 26 + 2 2+3 2 = 26 + 5 2 u L area si calcola come semiprodotto dei due cateti, quindi: Area= = =6 u 2 2
3. Per calcolare la lunghezza della mediana OM, è necessario calcolare le coordinate del punto medio M. Applicando le formule per determinare il punto medio del lato AB si ha: = = e = = La mediana OM si calcola utilizzando nuovamente la distanza tra due punti: =0 +0 = + = 26 u Se consideriamo il segmento MC, il punto O è per questo segmento il punto medio. Dalle formule inverse del punto medio applicate al segmento di estremi MC con il punto medio corrispondente a O si ha che: =2 = =2 = 3
Imperia, 6 novembre 2008 VERIFICA DI RECUPERO 1) Determina la natura del quadrilatero con A(-3;3), O(0,0), B(3;3) e C(0;6) 2) Calcola il perimetro e l area del quadrilatero AOBC. 3) Calcola le lunghezze delle diagonali del quadrilatero e per ciascuna di esse calcola il rispettivo punto medio. 4) Determina il punto P sull asse delle x equidistante dai punti O e B e calcola l area del triangolo AOP. SOLUZIONE. Disegno il quadrilatero AOBC. Per verificare che il quadrilatero è un parallelogrammo dobbiamo verificare che i lati opposti del parallelogramma sono congruenti. Calcoliamo la misura dei lati: = 3 0 +3 0 = 9+9=3 2 u (u = unità) =3 0 +3 6 = 9+9=3 2 u =3 0 +3 0 = 9+9=3 2 u = 3 0 +3 6 = 9+9=3 2 u I lati della figura sono tutti uguali quindi il quadrilatero AOBC è un parallelogramma particolare ; inoltre, si osserva direttamente dalla figura che la diagonale AB è uguale alla diagonale OC perché entrambe misurano 6 u; pertanto la figura è un quadrato. 2) perimetro = 4 3 2 u = 12 2 u Area del quadrato = 3 2 =18 u 2 3) Le diagonali misurano 6 u e il punto M è collocato nel punto (0;3) 4
5) Per determinare ALGEBRICAMENTE le coordinate del punto P equidistante da O e da B si procede in questo modo: Il punto P appartiene all asse delle x per ipotesi, quindi le sue coordinate saranno (x;0) Calcolo: = 0 +0 0 = u Calcolo = 3 +0 3 = 6+9+9= 6+18 u Imponiamo che = Quindi si ottiene: = 6+18 Elevando entrambi i membri alla seconda si ottiene: = 6+18 Semplificando i termini di II grado si ottiene: 0= 6+18 Si risolve l equazione portando il termine con la x al primo membro: 6=18 = 18 6 =3 Quindi il punto P, come si osserva anche dal disegno, ha coordinate (3;0). Per calcolare l area del triangolo AOP si procede direttamente al calcolo: AREA = = = 5