Enrio Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE REALE
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo Le variabili dinamihe del ampo salare reale si inontrano rihiami ai seguenti studi a L equazione di Klein-Gordon b Il teorema di Nöther he fanno parte di fisiarivisitata e he devono essere ben noti a hi si interessa alle variabili dinamihe del ampo salare reale seguendo la presentazione he di questo argomento viene data in questo studio. * * * Signifiato di aluni dei simboli usati in questo studio: ψr signifia ψx 0,x 1,x 2,x 3 ; ϕk signifia ϕk 0,k 1,k 2,k 3 dr signifia dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 ; dk signifia dk 0 dk 1 dk 2 dk 3 R signifia x0 = t ; R = vettore posizione 3-dimensionale ±R ±R k signifia k0 = ω/ ; k = vettore numero d onde 3-dimensionale ±k ±k k R signifia k α R α = k α R α = ω t k R = ωt k R ; α = 0,1,2,3 2
Simboli usati in questo studio: m 0 = massa a riposo di una partiella; Meania pre-relativistia E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Premessa R = 3-vettore posizione newtoniana; U = 3-vettore veloità newtoniana; v = m 0 U = 3-vettore momento newtoniano; E = v 2 /2m 0 = energia newtoniana di una partiella libera; p = v + q A = momento generalizzato di una partiella on momento v e aria q soggetta a potenziale magnetio A; W = 1 2m 0 p q A2 + qϕ = energia di una partiella on massa m 0, aria q, momento generalizzato p e soggetta ai potenziali e.m. ϕ,a; Meania relativistia R = 4-vettore posizione; R = parte spaziale di R; R = t ±R Il doppio segno di R india ontrovarianza + e ovarianza ; U = 4-vettore veloità; U = parte spaziale di U; U = U0 ±U = 1 1 U2 2 ; U = ±U P = m 0 U = 4-vettore momento; P = parte spaziale di P; E = m 2 0 2 + P 2 = energia relativistia di una partiella libera; P = P0 = E/ v ; P = ±P ±P 1 U2 2 U 1 U2 2 p = P + q Φ = 4-momento generalizzato relativistio di una partiella on massa m 0, aria q, momento P e soggetta a 4-potenziale elettromagnetio Φ ϕ, ±A; P = parte spaziale di p; p = p0 ±P = P 0 + q ϕ E ± P + q A = + q ϕ ± P + q A W = qϕ + m 2 0 2 + P q A2 = energia relativistia di una partiella dotata di aria q e soggetta a potenziale Φ ϕ, ±A 3
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Assumiamo ome densità lagrangiana del ampo salare reale ψ in assenza di potenziale l espressione seguente α,β,µ = 0,1,2,3 he risriviamo osì L ψ, ψ = 1 ψ i h i h ψ x α 2m 0 x µ x 1 µ 2 m 0ψ 2 ; [L] = MLT 1 [ψ 2 ] 1 L ψ, ψ = 1 ψ ψ x α i hgβµ i h 2m 0 xβ x 1 µ 2 m 0ψ 2 Poihé e L ψ = m 0ψ L ψ x α le equazioni di Lagrange espresse da = 1 2m 0 i hgαµ i h ψ x µ 1 2m 0 i hgβα i h ψ x β = 1 2m 0 i hi h αµ ψ ψ g + gβα x µ x β = 1 2m 0 i hi h αβ ψ ψ g + gαβ xβ x β = 1 ψ i hi h, m 0 x α 2 L ψ x α fornisono la seguente equazione del moto L = 0 ; α = 0,1,2,3 3 ψ x α m 0 ψ + 1 m 0 i hi h x α ψ x α = 0 he è uguale all equazione di Klein-Gordon v. eq. 32 dello studio a salvo il fatto he ora ψ è reale: 2 + m2 0 2 0 ; 2 4 x α x α Ci proponiamo ora di mostrare ome si riava la oordinata lagrangiana di un ampo salare reale integrando l equazione del moto di questo ampo. 4
Consideriamo il seguente integrale 4-dimensionale di Fourier: Sostituiamo nella 4 ϕke ik R dk ; ϕk = E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale ψre ik R dr ; k = k 0 ±k 5 2 + m2 0 2 = = 2 + m2 0 2 ϕke ik R dk = 0 2 + m2 0 2 k 2 m2 0 2 ϕke ik R dk = 0 ϕke ik R dk = 0 ovvero k 2 m2 0 2 ϕk = 0 Da questa deduiamo he ϕk può essere diverso da zero solo se k 2 m2 0 2 = 0, il he equivale ad assumere ϕk = δ k 2 m2 0 2 ak 6 on ak arbitrario. Infatti, per definizione di funzione delta di Dira, se k 2 m2 0 2 = 0 si ha δ0 0 e quindi ϕk 0, mentre se k 2 m2 0 2 0 si ha δk 2 m2 0 2 = 0 e quindi ϕk = 0. La soluzione della 4 è dunque espressa da Infatti se inseriamo la 7 nella 4 otteniamo k 2 m2 0 2 δ k 2 m2 0 2 ake ik R dk 7 δ k 2 m2 0 2 ake ik R dk = 0 equazione he è verifiata per qualunque ak perhé l integrando ontiene un termine del tipo xδx he vale zero perhé se x 0, allora δx = 0 e quindi xδx = 0, mentre se x = 0, allora δ0 0, ma 0 δ0 = 0. Ora osserviamo he k 2 m2 0 2 = k 2 0 k 2 m2 0 2 8 5
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale e poniamo osihé e dunque la 7 diviene ω 2 k 2 = k 2 + m2 0 2 9 k 2 m2 0 2 = k 2 0 ω2 k 2 10 δ k 2 0 ω2 k 2 e ik R akdk Tenendo presente la nota proprietà della funzione delta di Dira espressa da si può srivere 2ωk δ δx 2 a 2 = 1 {δx a + δx + a} ; a > 0 2a k 0 ωk e ik0t k R ak 0,kdk 0 dk+ + Integrando rispetto a k 0 si ottiene 2ωk δ 2ωk eiωkt k R aωk,kdk + k 0 ωk e ik0t k R ak 0,kdk 0 dk 2ωk ei ωkt k R a ωk,kdk Effettuiamo nel seondo integrale a membro destro la sostituzione k k. Tenendo onto del fatto he ωk non ambia segue Segue anora 2ωk eiωkt k R aωk,kdk + 2ωk aωk,keik R dk + 2ωk ei ωkt+k R a ωk, kd k 2ωk a ωk, ke ik R dk 11 on [ψ] = L 3/2 ; [aωk,k] = [a ωk, k] = L 1/2 6
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Conviene porre aωk, k = ak ; a ωk, k = a k 12 osihé la 11 diviene Ora osserviamo he ψ R = 2ωk akeik R dk + 2ωk a ke ik R dk + 2ωk a ke ik R dk 13 2ωk a ke ik R dk 14 Avendo assunto he la oordinata lagrangiana he stiamo trattando sia reale, deve risultare ψ = ψ 15 e quindi osihé on a k = a k ; a k = ak 16 2ωk { ake ik R + a ke ik R} dk 17 ±ik R = i±k 0 t k R La 17 è l espressione della oordinata lagrangiana he i eravamo proposti di determinare. Ora poniamo ψ + R = ψ R = 2ωk akeik R dk = 2ωk a ke ik R dk = 2ωk akei+k 0t k R dk 18 2ωk a ke i k 0t+k R dk 19 osihé ψ = ψ + Le ψ + R e ψ R, on riferimento al segno he preede k 0 he è onsiderato positivo, sono dette rispettivamente parte a frequenza positiva e parte a frequenza negativa della ψr. La 17 si può risrivere osì ψ + R + ψ R 20 7
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Talvolta nella letteratura si trova ψ + sambiato on ψ in onseguenza del fatto he in luogo delle 18 e 19 si può srivere ψ R = ψ + R = 2ωk ake i k 0t+k R dk = 2ωk a ke i+k 0t k R dk = 2ωk akeik R dk 2ωk a ke ik R dk 21 on ik R = i k 0 t ± k R 22 Infine nel quadrispazio R R,it, poihé è k k 1,k 2,k 3,k 4 k,i ω, si ha ±ik R = ±ik R + k 4 R 4 = { i±k R ± k4 R 4 i k R k 4 R 4 osihé oppure ±ik R = i±k R ± i ω it 23 ±ik R = i k R i ω it 24 e quindi, se faiamo riferimento al segno he preede iω/ nella 23, le parti a frequenza positiva e negativa sono espresse da ψ + R = ψ R = 2ωk akeik R+i ω it dk = 2ωk a ke i k R i ω it dk = 2ωk akeik R ωt dk 2ωk a ke i k R+ωt dk 25 Invee, se faiamo riferimento al segno he preede iω/ nella 24 si ha ψ + R = ψ R = 2ωk ake ik R+i ω it dk = 2ωk a ke i k R i ω it dk = 2ωk akei k R+ωt dk 2ωk a ke ik R ωt dk 26 * * * 8
E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Passiamo ora alla determinazione delle variabili dinamihe del ampo salare reale ψr. Il tensore densità di energia-momento si riava dall eq. 21dello studio b: T α β = 1 ψ ψ i hi h m 0 x α x β δα βl 27 Riordiamo he T α β può essere onsiderato il tensore densità di energia-momento perhé ψ è un ampo salare v. pag. 8 dello studio b. Da T α β si ottiene il quadrivettore energia-momento: P β = T 0 βdr = h2 ψ ψ m 0 t x dr β δ0 β LdR ; β = 0,1,2,3 28 L energia si riava da P 0 = h2 ψ m 0 t = h2 ψ m 0 t { = h2 ψ m 0 t { = h2 ψ 2m 0 t 2 dr h2 ψ ψ dr + 1 2m 0 x µ x µ 2 m 0 ψ 2 dr 2 { 2 dr h2 ψ ψ ψ} 2m 0 t 2 1 } 2 ψ + 1 2 t 2 ψ ψ + m2 0 2 2 ψ2 dr } 2 + ψ ψ + m2 0 2 ψ2 e vale W = P 0. La parte spaziale del quadrivettore energia-momento è espressa da P k = dr + 1 2 m 0 ψ 2 dr dr 29 T 0 h2 ψ ψ kdr = dr ; k = 1,2,3 30 m 0 t xk Poihé T α β è il tensore densità di energia-momento del ampo, il tensore Jγαβ, densità di momento angolare, è espresso da Il tensore momento angolare vale J αβ = J γαβ = T γα x β T γβ x α 31 J 0αβ dr = T 0α x β T 0β x α dr 32 Lo spin del ampo è nullo v. pag. 8 dello studio b. La orrente assoiata al ampo, espressa dall eq. 66 dello studio b, è nulla perhé il ampo è reale. 9