Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0 f() è una funzione definita per casi. Osserviamo che f() = sin (/)/(/) è una funzione continua su R\{0} in quanto rapporto di funzioni continue e f() = 0 è continua poiché funzione constante. L unico punto in cui si va a studiare la continuità è il punto di raccordo = 0. Bisogna verificare che il valore assunto dal ite sinistro di f(), coincida con quello assunto dal ite destro e con quello assunto dalla funzione nel punto = 0. Quindi per calcolare i due iti si considera il seguente sin f() = 0 0 Mentre il valore della funzione nell origine è f(0) = 0. Avendo trovato che i valori dei due iti coincidono tra di loro e con il valore della funzione nell origine si conclude che la funzione data è continua in tutto il suo dominio. Esercizio. Per quali valori a R la funzione { e e f() = se < 0 a + a se 0 è continua? In questo esercizio si ha che il ite sinistro è e e 0 = 0 = 0 e e =
mentre quello destro è 0 a + a = a + a = f(0) + che coincide con il valore assunto dalla funzione nell origine. Per avere continuità nell origine dobbiamo imporre che i valori dei due iti coincidano tra di loro, cioè che a + a = a = in conclusione si ha che la funzione è continua nel suo dominio se a =. Esercizio 3. Verificare che la funzione { cos f() = se 0 0 se = 0 è derivabile in 0 = 0 Per studiare la derivabilità di f nell origine, si usa la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale. Si deve verificare che esiste finito il ite del rapporto incrementale. Quindi ci calcoliamo f() f(0) cos = 0 = cos 0 0 0 0 = 0 pertanto, avendo trovato un valore finito, possiamo concludere che f() è derivabile nell origine. Esercizio 4. Determinare i punti di non derivabilità f() = cos Per risolvere il seguente esercizio ricorriamo al seguente Teorema. Sia f una funzione continua in 0 e derivabile in tutti i punti 0 di un intorno 0. Se esiste finito il ite per 0 della funzione f (), allora f è derivabile anche in 0 e si ha f ( 0 ) = 0 f () Questo teorema fornisce un modo alternativo per verificare la derivabilità di una funzione in un punto. Osserviamo che il dominio di f() è tutto R, inoltre f() è continua su tutto R in quanto composizione di funzioni continue. Riscriviamo f() nel seguente modo f() = cos { cos se 0 = cos se > 0
Il punto dove si deve studiare la derivabilità della funzione è il punto di raccordo, cioè l origine. Dobbiamo verificare che i iti destro e sinistro, della derivata della funzione, coincidano tra di loro. Quindi la derivata laterale sinistra è mentre quella destra è f () = sin 0 0 = f () = sin 0 + 0 + = Essendo le due derivate laterali diverse, possiamo concludere che f() non è derivabile nell origine. Possiamo inoltre dire che l origine è un punto angoloso avendo trovato che esistono finiti e hanno valori diversi i due iti. Proviamo a rifare l esercizio applicando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale e verifichiamo che si ottiene lo stesso risultato. Si ha f(0) = : cos 0 + = 0 + cos sign() ( ) = /, cos = 0 0 + cos sign() ( ) = +/, il che concorda con il risultato precedentemente trovato. Si conclude che cos 0 non esiste, quindi la funzione non è derivabile in 0. Esercizio 5. Tratto dall eserciziario, n 7..0 pag. 97 Determinare l equazione della retta tangente al grafico di y = 4 3 + 3 nel punto di ascissa 0 =. L equazione della retta tangente è data dalla seguente espressione y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Quindi ci dobbiamo calcolare: il valore della funzione in 0 =, la derivata di f, il valore della derivata in 0 =, f() = 3 f () = 8 6 f () = 3
Pertanto l equazione della retta tangente è Esercizio 6. y = 3 + ( ) = + g(y) = arcsin y Poniamo f() = sin, osserviamo che g = f. Si ha che se f() = y, allora Pertanto si ha che se y = sin, allora (f ) (y) = f () g (y) = cos Da y = sin, si ricava che = arcsin y, quindi sostituendo si ha g (y) = cos (arcsin y) Ora ricordando dalla trigonometria che cos t = sin t e sostituendo arcsin y al posto di t, si ha cos (arcsin y) = [sin (arcsin y)] = y quindi la derivata della funzione inversa è g (y) = y Vediamo ora un modo alternativo per calcolare la derivata della funzione inversa. generale vale che g g = sin (arcsin ) = quindi andando a derivare ambo i membri si ha In da cui si ricava che Esercizio 7. cos (arcsin ) arcsin = arcsin = cos (arcsin ) = f() = 3 + 3 4
In base alla regola di derivazione del quoziente f () = 6( 3) (3 + ) ( 3) = 6 8 ( 3) Esercizio 8. f() = ( + ) Riscriviamo f() nel seguente modo f() = e log [(+ ) ] = e log (+ ) quindi [ ( f () = e log (+ ) log + ) + + ( = + ) [ ( log + ) ] + ( ) ] Esercizio 9. [ ( f() = cos 3 + 4) ] 5 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte [ ( f () = sin 3 + 4) ] 5 5 ( 3 + 4) 4 ( 3 + 4 3) Esercizio 0. Tratto dall eserciziario, n 7.. pag. 97 Se f() = 5 + 3 + e sia g la funzione inversa di f. Determinare l equazione della retta tangente al grafico di g nel punto di ascissa 0 = 3 dopo aver verificato che f è invertibile. Iniziamo con lo studio dell invertibilità di f. Ci chiediamo se f è invertibile su tutto il suo dominio di definizione, cioè R. Quando è che una funzione è invertibile? Quando è biiettiva. Ci interessa studiare l iniettività poiché un polinomio di grado dispari è sicuramente una funzione suriettiva (è definito su tutto R e i iti a + e a sono infiniti di segni opposti, quindi per il teorema dei valori intermedi è sempre possibile determinare il valore corrispondente). 5
Quando una funzione è iniettiva? Una condizione sufficiente è che la funzione sia strettamente crescente oppure strettamente decrescente. Per capire ciò si studia la derivata prima: f () = 5 4 + 3 Si ha che f () > 0 per ogni 0, il che implica che f è strettamente crescente in R\{0}. Quindi f è invertibile su tutto R\{0}. Ci manca da studiare l invertibilità nel punto = 0. Ci chiediamo quanto vale la funzione nell origine, si ha f(0) = Poi risolviamo l equazione f() = quindi si ha 5 + 3 + = 5 + 3 = 0 3 ( + ) = 0 = 0 quindi abbiamo trovato che f() = se e solo se = 0, cioè esiste un unico valore. Quindi la funzione è invertibile anche nell origine. (Si osservi che se, per esempio, avessimo trovato = 0 e =, la funzione non sarebbe stata più iniettiva e quindi non invertibile). Andiamo ora a determinare la retta tangente alla funzione inversa g: Iniziamo con il calcolare g(3). Sappiamo che y = g(y 0 ) + g (y 0 )(y y 0 ) g(y 0 ) = f ( 0 ) A questo punto dobbiamo determinare chi è il valore 0, cioè dobbiamo determinare quell unico 0 tale che f( 0 ) = 3 (sappiamo che 0 è unico perché lo abbiamo verificato prima). Ma allora ponendo 0 = si trova che f() = 3, quindi passando all inversa si ha che g(3) =. A questo punto possiamo calcolare g(3) = f () = 5 + 3 = 8 In definitiva la retta tangente alla funzione g è y = + 8 ( 3) = 8 + 5 8 Esercizio. Tratto dall eserciziario, n 7..8 pag. 95 Se f(t) = t e g(s) = e s, determinare l equazione della retta tangente al grafico della funzione composta f g nel punto di ascissa s 0 =. 6
Sia h = f g, quindi L equazione della retta tangente è Quindi ci dobbiamo calcolare: il valore della funzione in s 0 =, la derivata di f, il valore della derivata in s 0 =, Pertanto l equazione della retta tangente è h(s) = (e s ) = e s y = h(s 0 ) + h (s 0 )( s 0 ) h() = e h () = e s h () = e y = e + e ( ) = e e Esercizio. Tratto dall eserciziario, n 7..3 pag. 95 Per quali valori del parametro β R la retta di equazione r() = + β è tangente al grafico della funzione f() = log( + )? Si osservi che non è dato il punto di tangenza, quindi svolgeremo l esercizio chiamandolo 0. Calcoliamo la retta tangente a f, quindi calcoliamo il valore della funzione in 0, f( 0 ) = log ( + 0 ) la derivata di f, f () = + il valore della derivata in 0, f ( 0 ) = + 0 Pertanto l equazione della retta tangente è y = log ( + 0 ) + ( 0 ) = 0 + log ( + 0 ) + 0 + 0 + 0 A questo punto dobbiamo determinare il valore del parametro β. Basta imporre che i coefficienti della retta r coincidano con quelli di y. Quindi si ha il seguente sistema: = + 0 0 + log ( + 0 ) = β + 0 Dalla prima ci ricaviamo che 0 = che sostituita nella seconda porta a +log ( ) = β, quindi β =. 7