Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli È necessario sapere e saper operare con: Le proporzioni Primo principio di equivalenza Rappresentazione e risoluzione grafica del triangolo non rettangolo Risoluzione analitica del triangolo non rettangolo Obiettivi di apprendimento: Rappresentazione e risoluzione grafica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Risoluzione analitica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano nozioni riguardanti i triangoli rettangoli. N.. In alcuni casi è possibile avere una doppia soluzione, ovvero RISULTTI diversi ma TI uguali.
Esercizio TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8
Rappresentazione e risoluzione grafica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8
Svolgimento 1. isegnare l angolo 2. isegnare il lato
3. isegnare l angolo 4. isegnare il lato
5. Puntando in, disegnare un arco di raggio uguale la lato che intersechi la retta precedentemente tracciata per l angolo 6. Unire il vertice con il punto d intersezione dell arco
7. Si ottiene il quadrilatero finito 8. Misurare il lato e gli angoli e
Si ottiene TI 163 185 171,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 319,5 104,37 70,13
Risoluzione analitica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8
Svolgimento La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui esso è scomposto, come mostrato di seguito.
1. Studiare il triangolo a. Ricavare il lato Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione 2 cos da cui $ 2 cos Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene $163 185 2 163 185 cos123,7 $26569342252 163 185 cos123,7 $26569342252 163 185 %0,5548444& $265693422533462,67 $94256,67 307,01 b. Ricavare l angolo ' Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin123,7 163(sin + da cui sin123,7 163 0,8319541 163 sin + 307,01 307,01,sin -+ +,26,21 c. Ricavare l angolo ' 135,61 307,01 0,4417036,
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene + + 180 sostituendo ai dati i valori 123,7 23,21 + 180 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno + 180 123,7 23,21 da cui + 30,09
2. Studiare il triangolo a. Ricavare l angolo. sapendo che + sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 61,8 30,09 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo membro cambiandoli di segno 61,8 30,09 quindi, si ottiene 61,8 30,09 da cui 31,71 b. Ricavare l angolo il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin 171,6(sin31,71 a cui 307,01 sin31,71 307,01 0,5256592 sin 171,6 171,6,sin -+,70,13 c. Ricavare l angolo. 161,38 171,6 0,9404658,
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene 180 sostituendo ai dati i valori 70,13 31,71 180 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno 180 70,13 31,71 da cui 78,16 d. Ricavare il lato Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene (sin78,16 171,6(sin31,71 a cui sin78,16 171,6 0,9787152 171,6 167,95 sin 31,71 0,5256592 0,5256592 319,5
3. Ricavare l angolo Osservando il quadrilatero ˆ 1 ˆ 2 È possibile notare che + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 26,21 78,16 104,37 a cui 104,37 Si ottiene TI 163 185 171,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 319,5 104,37 70,13
Rappresentazione e risoluzione grafica 2 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8
Svolgimento 1. isegnare l angolo 2. isegnare il lato
3. isegnare l angolo 4. isegnare il lato
5. Puntando in, disegnare un arco di raggio uguale la lato che intersechi la retta precedentemente tracciata per l angolo 6. Unire il vertice con il punto d intersezione dell arco
7. Si ottiene il quadrilatero finito 8. Misurare il lato e gli angoli e
Si ottiene TI 163 185 171,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 202,85 64,63 109,87
Risoluzione analitica 1 soluzione TI SOLUZIONI 163? 185? 171,6? 123,7 61,8
Svolgimento La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui esso è scomposto, come mostrato di seguito.
1. Studiare il triangolo a. Ricavare il lato Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione 2 cos da cui $ 2 cos Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene $163 185 2 163 185 cos123,7 $26569342252 163 185 cos123,7 $26569342252 163 185 %0,5548444& $265693422533462,67 $94256,67 307,01 b. Ricavare l angolo ' Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin123,7 163(sin +
da cui sin + sin123,7 163 307,01,sin -+ +,26,21 c. Ricavare l angolo ' 0,8319541 163 307,01 135,61 307,01 0,4417036, sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene + + 180 sostituendo ai dati i valori 123,7 23,21 + 180 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno + 180 123,7 23,21 da cui + 30,09
2. Studiare il triangolo a. Ricavare l angolo. sapendo che + sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 61,8 30,09 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo membro cambiandoli di segno 61,8 30,09 quindi, si ottiene 61,8 30,09 da cui 31,71 b. Ricavare l angolo della 1 soluzione il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 307,01(sin 171,6(sin31,71 a cui
307,01 sin31,71 307,01 0,5256592 sin 161,38 171,6 171,6 171,6 0,9404658,,sin -+,70,13 Quindi + /01234056 70,13 c. Ricavare l angolo. della 2 soluzione Studiando il seguente cerchio trigonometrico sin ˆ = 0,9404658 P Â ˆ 1 1 sin ˆ = 0,9404658 P 1 È possibile notare che i. Gli angoli e sono supplementari ii. I due triangoli evidenziati in rosso sono equivalenti Quindi, i seni di 70,13 e 109,87 sono uguali. Per ottenere la 2 soluzione, occorre considerare l angolo supplementare di 78,9:, ovvero /01234056 109,87 d. Ricavare l angolo. sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è 180, si ottiene 180 sostituendo ai dati i valori
109,87 31,71 180 applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al secondo membro cambiandoli di segno 180 109,87 31,71 da cui 38,42 e. Ricavare il lato Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione (sin (sin Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene (sin38,42 171,6(sin31,71 a cui sin38,42 171,6 0,6213843 171,6 106,63 sin 31,71 0,5256592 0,5256592 202,85
3. Ricavare l angolo Osservando il quadrilatero ˆ 1 ˆ 2 È possibile notare che + Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene 26,21 38,42 64,63 a cui 64,63 Si ottiene TI 163 185 171,6 123,7 61,8 SOLUZIONI 202,85 64,63 109,87