Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad indicare che la dimostrazione, da sapere, è importante: non saperla può influire negativamente sul risultato finale della prova. (df) indica invece che la dimostrazione, svolta a lezione, è considerata facoltativa (la non conoscenza di essa non influisce negativamente sul voto finale, la conoscenza influisce positivamente). (sd) indica che del teorema o della proposizione in questione la dimostrazione NON è richiesta. Infine, esempi dopo un argomento citato sta ad indicare che dell argomento in questione si deve essere in grado di dare esempi espliciti. Insiemi Definizioni; relazioni ed operazioni tra insiemi e loro proprietà; prodotto cartesiano; insieme delle parti; esempi. Numeri 1. Numeri naturali, interi e razionali; operazioni su tali insiemi numerici e loro propiretà; irrazionalità di 2 (D); algoritmo di Newton per il calcolo di 2 (df). 2. Reali come allineamenti decimali, definizioni; allineamenti decimali propri, impropri, limitati, illimitati e periodici; formula della somma geometrica (D); 0.9 = 1 (df); teorema di classificazione dei numeri razionali (sd). Funzioni I 1. Definizioni di: funzione, successione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, di immagine, antiimmagine e di codominio (esempi), funzione composta, grafico di una funzione, restrizione e prolungamenti di una funzione, funzione inversa (esempi), funzione pari e funzione dispari; teorema sulla simmetria dei grafici di f e f 1 (sd), e sulla simmetria del grafico di f pari o dispari. 2. Definizione di funzione monotona crescente (o decrescente); proposizione: f se e solo se f/ x > 0 (D); definizione di funzione invertibile; proposizione: f è invertibile e f 1 (sd). 3. Funzioni elementari: trigonometriche e loro inverse, potenze intere e loro inverse (radici), potenze reali e loro inverse, esponenziali e loro inverse (logaritmi), iperboliche e loro inverse, valore assoluto (o modulo), parte intera; tutti i grafici e tutte le proprietà fondamentali di ognuna di tali funzioni. 1
Max, min, sup, inf Definizione di maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme E Q, R (esempi); proposizione: L = sup E se e solo se L è minimo dei maggioranti di E (df); proposizione: M = max E M = sup E (df); teorema di completezza (sd). Complessi Operazioni tra elementi di R 2 : addizione e struttura di spazio vettoriale, moltiplicazione; coppie ordinate fondamentali 1 e i e loro proprietà rispetto alle operazioni; numeri complessi in forma algebrica e soluzione di z 2 + 1 = 0. Parte reale, parte immaginaria, complesso coniugato, modulo, reciproco di un numero complesso z e loro proprietà; disuguaglianza triangolare per il modulo (D); legge di annullamento del prodotto e uguaglianza tra numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi: coordinate polari piane, argomento e argomento principale, uguaglianza tra numeri complessi in forma trigonometrica; identità di Eulero (df, quanto fatto a lezione), proprietà di e iθ, formule di De Moivre (D). Radice n-esima di un numero complesso: definizione e calcolo in forma trigonometrica; proprietà geometriche delle radici ennesime di un numero complesso, esempi. Polinomi: teorema fondamentale dell algebra (sd); teorema sulle radici dei polinomi a coefficienti reali (D), teorema e regola di Ruffini (sd). Limiti I 1. Elementi di topologia di R: intervalli, intorni, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno e punto di frontiera di un insieme; definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto; definizioni di interno, derivato e frontiera di un insieme; R è aperto e chiuso (df); teorema di Bolzano-Weierstrass (sd). 2. Definizione generale di limite lim x x0 f(x) = l (topologica, cioè con gli intorni); definizione specifica con i quantificatori (ε, δ, M, K,...) in tutti i casi: x 0 finito o infinito ed l finito o infinito; verifica di limiti usando la definizione (esempi); teorema di unicità del limite (D); teorema della permanenza del segno (D); teorema del confronto (o dei due carabinieri) (D); limiti di somma, prodotto e rapporto (D). 3. Limiti notevoli trigonometrici: lim x 0 sin x/x = 1 (D) e tutti i conseguenti. Successioni 1. Teorema di Induzione (df); disuguaglianza di Bernoulli (D), fattoriale, binomiale e formula del binomio di Newton (sd). 2
2. Definizione di limite di una successione; teorema di classificazione delle successioni monotone (D) teorema della permanenza del segno (sd); teorema ponte (sd), corollario per le funzioni continue (sd) e loro uso per dimostrare che non esiste il limite; non esistenza di lim x 0 sin(1/x). 3. Teorema (di Cauchy) di caratterizzazione delle successioni convergenti (sd). 4. Limite notevole lim n + (1 + 1/n) n = e (D, quanto fatto a lezione). Limiti II Limiti notevoli lim x ± (1 + a/x) x = e a per ogni a R (D); tutti i limiti notevoli esponenziali e logaritmici; limiti notevoli iperbolici; limite notevole lim x 0 [(1 + x) α 1]/x = α per ogni α R. Funzioni II 1. Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto del suo dominio; esempi di funzioni continue (costante, x, x 2, polinomi, sin x, cos x, tan x, 1/x, x); esempi di funzioni non continue; teorema di composizione delle funzioni continue (sd). 2. Teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue (D) e algoritmo di ricerca degli zeri, esempi; teorema di tutti i valori (df); teorema di Weierstrass (sd); teorema: f continua e monotona implica f 1 continua (sd). Limiti III 1. Definizioni di funzione infinitesima e infinita in un punto di accumulazione del dominio; proprietà degli infinitesimi e degli infiniti: somme, prodotti di infinitesime e prodotti di infinitesime per limitate sono infinitesime; prodotto di infinita per limitata, di infinita per infinita e somma di infinita piú limitata è infinita. 2. Definizione di o piccolo, O grande e asintoticità; proposizione: f = O(g) f lg f = lg + o(g) (D). 3. Definizione di ordine di infinitesimo e di infinito (rispetto ad un infinitesimo o ad un infinito di confronto); confronto tra ordini di infinitesimo e di infinito; metodo di cancellazione degli o piccoli ; esempi. Calcolo differenziale 1. Il problema della velocità istantanea e della tangente al grafico di una funzione in un punto: definizione di derivata di una funzione in un punto interno del dominio; equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile (D); derivata destra e derivata sinistra di una funzione in un punto. 2. Derivate elementari: (c) = 0, (sin x) = cos x, (a x ) = a x log a, (log a x) = log a e/x. 3. Teorema: derivabilità implica continuità (D); x è continua ma non derivabile in x = 0. 3
4. Regole di derivazione: derivata di somma, prodotto, reciproco, rapporto, composta, inversa (D, di tutte). 5. Massimi e minimi relativi (o locali), definizione; teorema di Fermat (D). 6. Teoremi di Rolle (D), Lagrange (D), Cauchy (sd); proposizione: f derivabile con derivata nulla ovunque è costante (D); proposizione: f (x) > 0(< 0) implica f ( ) (D); proposizione: f (x) < 0 per x < x 0 ed f (x) > 0 per x > x 0 implica x 0 punto di minimo locale (sd); non validità del viceversa: f(x) = x 2 sin(1/x). 7. Definizione di funzione convessa e concava; f derivabile due volte ed f (x) > 0(< 0) implica f convessa (concava) (sd); definizione di punto di flesso. 8. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui: definizioni e metodo di ricerca. 9. Regole di De L Hopital per risolvere le forme indeterminate 0/0 e / (sd); appplicazioni ai limiti. 10. Approssimazione locale di funzioni con polinomi: Teorema di Taylor (D); applicazioni ai limiti; resto in forma di Lagrange (sd). Calcolo Integrale 1. Differenziale, definizione e operazioni: differenziale di somma, prodotto, reciproca, rapporto, composta. 2. Area del trapezoide {0 x a ; 0 y x 2 }; approssimazione per difetto e per eccesso con rettangoli e calcolo del limite. 3. Partizione di un intervallo, suddivisione associata e definizione delle somme di Riemann inferiori e superiori di funzioni limitate; proprietà delle somme di Riemann e definizione dell integrale di Riemann; funzioni Riemann-integrabili, proposizione: le funzioni continue e le funzioni monotone sono Riemann-integrabili (sd). 4. Proprietà dell integrale di Riemann di una funzione su un intervallo; esempi; integrale della funzione costante e non integrabilità della funzione di Dirichlet. 5. Definizione di media integrale e teorema della media integrale per le funzioni continue (D); funzione integrale; proposizioni: f Riemann-integrabile ha funzione integrale associata continua (df), f continua ha funzione integrale associata derivabile, con derivata f (df). 6. Definizione di primitiva; definizione di integrale indefinito; proposizione: tutte e sole le primitive di una funzione sono della forma funzione integrale piú costante (D); teorema fondamentale del calcolo integrale (D); esempi. 7. Integrazione per parti e per sostituzione; integrazione delle funzioni razionali, esempi. 8. Estensione dell integrale di Riemann per funzioni non limitate su un intervallo limitato o per funzioni limitate su un intervallo illimitato, esempi fondamentali: convergenza di + 1 x α dx, 1 0 4 x α dx, + 2 dx x(log x) α
Integrabilità di sin x/x e non integrabilità di sin x/x in [1, + [ (df). Equazioni Differenziali Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili - y = f(x)g(y) - ed equazioni differenziali del primo ordine lineari non omogenee - y + a(x)y = b(x) - : formule per la soluzione generale (D) e teoremi di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy (sd), esempi; esempio di non unicità della soluzione del problema di Cauchy. Serie 1. Definizioni: successione delle somme parziali, convergenza, serie resto; serie di Mengoli, serie geometrica. 2. Teorema: n a n convergente lim n + a n = 0 (D); Criterio di convergenza di Cauchy (sd); divergenza della serie armonica. 3. Serie a termini positivi, criteri di convergenza: criterio del confronto (D) e del confronto asintotico (D), criterio dell integrale (sd), serie armonica generalizzata, criterio dell ordine di infinitesimo (sd), della radice (D), del rapporto (sd). 4. Serie a termini di segno alterno: Criterio di Leibniz (sd). 5. Serie a termini di segno qualsiasi: convergenza assoluta e convergenza semplice; proposizione: convergenza assoluta implica convergenza semplice (sd). 5