Gruppi, Anelli, Campi (A1) Chiusura per addizione (A2) Associatività addizione (A3)Elemento neutro addizione (A4)Esistenza inversi additivi Campo (A5) Commutatività addizione (M1) Chiusura per moltiplicazione (M2)Associatività moltiplicazione (M3) Proprietà distributive (M4) Commutatività moltiplicazione (M5) Elemento neutro moltiplicativo (M6) Assenza divisori dello 0 (M7)Esistenza inversi moltiplicativi 1
Campi finiti di tipo GF(p) Un campo finito ( o di Galois) è formato : Dall insieme p (con p primo), o dall insieme q (con q=p n, p primo e n intero); da una operazione di addizione chiusa, commutativa, associativa, con elemento identità e con inverso; da una operazione di moltiplicazione chiusa, commutativa, associativa, distributiva rispetto alla somma, con elemento identità e in cui ogni elemento 0 ha il suo inverso moltiplicativo o reciproco. GF(p) e GF(p n ) indicano rispettivamente il campo definito su p e quello definito su q In GF(p) le operazioni sono quelle dell aritmetica modulare 2
Campi finiti di tipo GF(p) Esempio: 2 è il più semplice campo finito: + 0 1 0 0 1 1 1 0 (xor) 0 1 0 0 0 1 0 1 (and) 3
4 Example GF(7)
Aritmetica polinomiale Consideriamo polinomi ad una variabile Possibili diverse alternative Aritmetica polinomiale ordinaria Aritmetica polinomiale con aritmetica dei coefficienti mod p [coefficienti in GF(p)] Aritmetica polinomiale con coefficienti in GF(p) e polinomi definiti modulo un polinomio m(x) di grado n 5
Aritmetica polinomiale ordinaria Include operazioni di somma sottrazione, moltiplicazione Include anche l operazione di divisione se la varibile x è un elemento di un campo con 6
Aritmetica polinomiale ordinaria Esempio: sia f(x) = x 3 + x 2 + 2 e g(x) = x 2 x + 1 f(x) + g(x) = x 3 + 2x 2 x + 3 f(x) g(x) = x 3 + x + 1 f(x) x g(x) = x 5 + 3x 2 2x + 2 7
Aritmetica polinomiale con coefficienti modulo Consideriamo polinomi in cui i coefficienti sono elementi di un campo F Si parla di polinomi su un campo F L insieme di questi polinomi forma un anello polinomiale Possiamo operare modulo qualsiasi numero primo Il nostro interesse prevalente è in modulo 2 (In GF(2) addizione equivalente ad XOR e moltiplicazione a AND) Siano f(x) = x 3 + x 2 e g(x) = x 2 + x + 1 allora f(x) + g(x) = x 3 + x + 1 f(x) x g(x) = x 5 + x 2 8
Divisione polinomiale Se facciamo aritmetica polinomiale su polinomi su un campo, allora è possibile la divisione Questo non vuol dire che sia possibile una divisione esatta Si può scrivere una divisione polinomiale nella forma: cioè r(x) può essere interpretato come il resto r(x) = f (x) mod g(x) Se non vi è resto si dice che g(x) è divisore di f(x) Se g(x) non ha altri divisori al di fuori di se stesso ed 1 si dirà che è un polinomio irriducibile o primo L aritmetica modulo un polinomio irriducibile forma un campo 9
Aritmetica polinomiale modulare possiamo definire f(x) mod g(x) = r(x), cioè f(x) r(x) mod g(x) se r(x) = 0, diciamo che g(x) divide f(x), e scriviamo g(x) f(x) i polinomi per noi più interessanti sono quelli a coefficienti in GF(2) somma e sottrazione coincidono 10
molti algoritmi crittografici lavorano su interi compresi tra 0 e 2 n -1 (numeri da n bit) consideriamo gli n bit come i coefficienti in GF(2) di polinomi di grado n-1 si sceglie un polinomio irriducibile m(x) di grado m, a coefficienti in GF(2) Esempio: in AES, le operazioni sui byte vengono fatte in GF(2 8 ), con m(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 scelte diverse per m(x) producono diverse rappresentazioni di GF(2 n ), come classe dei residui modulo m(x) 11 Aritmetica dei polinomi
Aritmetica dei polinomi esempio: per n=3 ci sono solo due polinomi irriducibili a coefficienti in GF(2): x 3 + x 2 + 1 e x 3 + x + 1 Quindi, ci sono due rappresentazioni diverse (cioè, due etichettature degli elementi) di GF(2 3 ) per n = 8 ci sono 30 scelte diverse per m(x) 12
Operazioni in GF(2 n ) Fissato il polinomio irriducibile di grado n, somma: si fa lo xor bit a bit (coefficiente per coefficiente) sottrazione: uguale alla somma prodotto: come per i polinomi ordinari, poi si fa la riduzione modulo m(x) del risultato inversione: dato a(x) GF(2 n ), è possibile calcolare a -1 (x) GF(2 n ) usando l algoritmo di Euclide esteso divisione: per calcolare a(x)/b(x), si calcola a(x)b -1 (x) 13
14 Esempio GF(2 3 )
Aritmetica polinomiale modulare Molte operazioni in Rijndael sono definite lavorando sui singoli byte, c è quindi la necessità di rappresentare un byte nel campo finito GF(2 8 ). Un byte b composto dagli 8 bit b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 è considerato come un polinomio b(x) con coefficienti in {0,1}: b 7 x 7 + b 6 x 6 + b 5 x 5 + b 4 x 4 + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 Esempio: il byte con valore in esadecimale 57 (binario 01010111) corrisponde al polinomio x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 15
Aritmetica polinomiale modulare Somma Nella rappresentazione polinomiale la somma di due elementi è un polinomio i cui coefficienti sono dati dalla somma modulo 2 dei coefficienti dei due addendi. Esempio: '57'+'83'='D4' o con la notazione polinomiale: (x 6 + x 4 + x 2 + x + 1) + (x 7 + x + 1) = x 7 + x 6 + x 4 + x 2. In notazione binaria abbiamo: ''01010111'' + ''10000011'' = ''11010100'' Chiaramente l'addizione corrisponde ad un semplice XOR (denotato con Å) bit a bit. 16
Moltiplicazione Nella rappresentazione polinomiale, la moltiplicazione in GF(2 8 ) corrisponde ad una moltiplicazione di polinomi modulo un polinomio binario irriducibile di grado 8. Un polinomio è irriducibile se non ha divisori oltre che 1 e se stesso. Per Rijndael questo polinomio è chiamato m(x) ed è dato da m(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 o '11B' nella rappresentazione esadecimale. 17
Esempio: '53' '83' = 'C1' o, nella rappresentazione polinomiale (x 6 + x 4 + x 2 + x + 1)(x 7 + x + 1) = x 13 + x 11 + x 9 + x 8 + x 7 +x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 = x 13 + x 11 + x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + 1 e facendone modulo m(x) ottengo x 7 + x 6 + 1 che è il risultato cercato. Chiaramente il risultato deve essere un polinomio binario di grado minore di 8. La moltiplicazione definita prima è associativa ed ha l elemento neutro che è 01 in notazione esadecimale. 18
Per ogni polinomio binario b(x) di grado minore di 8, l algoritmo esteso di Euclide può essere usato per calcolare i polinomi a(x) e c(x) tali che b(x) a(x) + m(x) c(x) = 1 NOTA: L algoritmo esteso di Euclide intende trovare il M.C.D. tra i polinomi b(x) e m(x) attraverso la tecnica delle divisioni successive. Percio` a(x) b(x) mod m(x) =1 oppure b -1 (x) = a(x) mod m(x). 19