Teoria del consumatore 2

Preferenze Mappa di indifferenza È un campione rappresentativo dell insieme delle curve di indifferenza del consumatore, usato come riassunto grafico dell ordinamento dei panieri in base alle preferenze. Saggio marginale di sostituzione (SMS) Indica la quantità di un bene che il consumatore è disposto a cedere (vuole ottenere) in cambio di una unità (per cedere una unità) di un altro bene ritrovandosi così con un paniere di beni indifferente a quello di partenza (ritenersi ugualmente soddisfatto). Alternative disponibili Vincolo di bilancio Determina l insieme dei panieri acquistabili disponendo di un certo reddito R confrontandosi con i prezzi di mercato dei beni.

Scelta ottima Sovrapponendo la mappa delle curve di indifferenza al vincolo di bilancio è possibile vedere il processo di scelta Quantità di L individuo può ottenere un paniere migliore di A rispettando il suo vincolo di bilancio A B C Il consumatore non può ottenere il paniere C Perché non dispone di un reddito sufficiente U 3 B è il paniere preferito tra quelli acquistabili U 2 U 1 Quantità di 3

scelta ottima Il paniere ottimale si individua nel punto in cui una curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio Quantità di y Pendenza vincolo di bilancio = Pendenza curva di indifferenza = d d P P U cost B p p x y SMS d d U constante U 2 Quantità di x 4

Nell'ipotesi di due soli beni il problema dell'individuazione della scelta ottimale per il consumatore è risolto graficamente trovano il punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e una delle curve di indifferenza che caratterizzano le preferenze. analiticamente possiamo anche dire che il problema viene risolto dalla coppia di valori di x* e y* che verificano la condizione di equilibrio -P /P = SMS e per i quali P.+ P.=R

Attenzione! x* e y*, le quantità «ottimali» dei due beni, (cioè il paniere preferito tra quelli acquistabili) sono funzione di R, p x e p y e le caratteristiche di tali funzioni dipendono dalle preferenze.

Soluzione del problema della scarsità..

Pur se è possibile basare una teoria delle scelte di consumo solo sui concetti di preferenza ed indifferenza, per alcuni metodi di analisi è utile disporre di una funzione che fornisca una rappresentazione numerica dell'ordinamento delle preferenze. Le ragioni di ciò sono molto forti; infatti con tale funzione possiamo risolvere il problema del consumatore con i metodi standard di soluzione di problemi di massimo vincolato

E' utile quindi disporre di una regola (una funzione «U») con la quale associare ogni paniere di consumo ad un numero reale che rappresenti il suo posto nella graduatoria delle preferenze. U (A) = U (B) solo se A B U (A) > U (B) solo se A B Qualsiasi funzione che osservi questi semplici requisiti è chiamata funzione di utilità del consumatore e rappresenta le sue preferenze.

Se sei panieri possono essere ordinati in questo modo A B C D E F ed esiste una funzione U(.) tale che assegna i seguenti valori ai panieri panieri U A 100 B 64 C 36 D 16 E 16 F 4

A B C D ~ E F esiste anche una funzione F(.)=2.U(.) che rispetta l ordinamento? panieri U F A 100 200 B 64 128 C 36 72 D 16 32 E 16 32 F 4 8

A B C D ~ E F esiste anche una funzione G(.)=U(.)/10 che rispetta l ordinamento? panieri U(.) F(.)=2.U(.) G(.)=U(.)/10 A 100 200 10 B 64 128 6,4 C 36 72 3,6 D 16 32 1,6 E 16 32 1,6 F 4 8 0,4

A B C D ~ E F esiste una funzione H(.)=100/U(.) che rispetta l ordinamento? panieri U(.) F(.)=2.U(.) G(.)=U(.)/10 H(.)=100/U(.) A 100 200 10 1 B 64 128 6,4 1,56 C 36 72 3,6 2,7 D 16 32 1,6 6,2 E 16 32 1,6 6,2 F 4 8 0,4 25

Quando abbiamo trovato un modo per assegnare dei numeri (dei valori di utilità) ad un insieme di panieri, cioè trovata la funzione U(.), ne abbiamo trovati anche infiniti altri. Infatti sarà sempre possibile trovare una regola che trasformi ciascun numero U in un altro numero F(U) in modo da preservare l'ordine nel senso che se U(A) > U(B) anche F(A)>F(B) fare ciò significa fare una trasformazione monotona positiva della funzione U(.) (positiva perché se la trasformazione fosse negativa invertiremmo l'ordine delle preferenze).

Le teorie che attribuiscono un significato alla grandezza dell'utilità sono note come teorie dell'utilità cardinale e si fondano sull'ipotesi che la differenza fra le utilità di due panieri di beni abbia un qualche significato. Per la funzione di utilità possiamo mantenere le ipotesi fatte sulle preferenze: - continuità (ovvero si estendono gli assiomi nel continuo, cioè devono valere anche per variazioni infinitesimamente piccole delle azioni e delle conseguenze) - monotonicità (equivalente matematico della non sazietà) - concavità (stretta quasi concavità ) a queste aggiungiamo - ipotesi della differenziabilità fino al grado che ci interessa

un esempio di funzione di utilità U=. La funzione è in grado di ordinare qualunque paniere composto da ed (preferenze complete)? Indica che un paniere è altrettanto preferito a se stesso (riflessività delle preferenze)? Rispetta la transitività delle preferenze? Panieri con più beni risultano preferiti a panieri con meno beni (monotonicità)? E vero che un paniere più bilanciato è preferito a due panieri più sbilanciati indifferenti tra di loro (convessità)?

Usando la matematica Obiettivo del consumatore è la massimizzazione della funzione di utilità U = U(,) soggetta al vincolo di bilancio R= P + P Costruiamo la Lagrangiana: L = U(,) - (p +p -R ) 21

la matematica continua le condizioni di primo ordine (necessarie) indicano che le derivate parziali prime della funzione assumano valore 0 L/ = U/ - P = 0 L/ = U/ - P = 0 L/ = R- P - P = 0 22

Le condizioni di secondo ordine (sufficienti) impongono per un massimo che le derivate parziali di secondo ordine assumano valore 0 2 L/ 2 = 2 U/ 2 0 2 L/ 2 = 2 U/ 2 0 2 L/ 2 = 0 0

24 Implicazioni delle condizioni di primo ordine Per ogni coppia di beni p p U U / / P U P U P U P U ' ' / /

Paniere ottimale è quel paniere sul vincolo di bilancio per il quale si verifica che SMS P P U U / P Obiettivo del consumatore è la massimizzazione della funzione di / P utilità U = U(,) soggetta al vincolo di bilancio R= P + P

Paniere ottimale R P P P P SMS.. 2) 1) R P P P P U U.. 2) / / 1)

Differenziale totale della funzione di utilità du U d U d 0 U d U d U U / / d d U ' U ' SMS

28 Interpretare il moltiplicatore di Lagrange Rispetto al paniere ottimale, ciascun bene comporta la stessa utilità marginale per speso per quel bene Se differenti beni hanno un diverso rapporto beneficio marginale/prezzo è possibile riallocare il consumo ed aumentare l utilità. n n p x U p x U p x U /... / / 2 2 1 1 n x x x p U p U p U n '... ' ' 2 1 2 1

Funzioni di domanda La scelta ottimale di un consumatore viene individuata risolvendo un problema di massimizzazione vincolata: massima utilità compatibilmente con il vincolo di bilancio (scegliere il paniere preferito tra tutti i panieri acquistabili) Quindi la scelta ottimale dipende dai prezzi di tutti i beni e dal reddito Chiamiamo funzione di domanda la funzione che ci permette di individuare la quantità domandata di un bene dati tutti i prezzi e il valore del reddito D ( P, P, R) D ( P, P, R)

..esempio Max U=. S.v. P +P =R Funzioni di domanda = = R 2P R 2P

Proprietà delle funzioni di domanda Assenza di illusione monetaria: se tutti i prezzi e il reddito vengono moltiplicati per la stessa costante la domanda di ciascun bene non cambia. D = D (P x,p y,r) = D (2P x,2p y,2r)

2 Variazioni nel reddito Dato che p x /p y non cambia, in equilibrio il SMS rimarrà costante Un aumento di reddito sposterà il vincolo di bilancio parallelamente a se stesso Un bene per il quale D /R 0 per un certo intervallo di reddito è definito bene normale in quell intervallo Un bene per il quale D /R < 0 è definito bene inferiore in quell intervallo

Beni normali Se x ed y aumentano all aumentare del reddito, x e y sono beni normali y Quando il reddito cresce, il consumatore Sceglie più x e più y B C A U 3 U 1 U 2 x 33

Bene inferiore se x diminuisce al crescere del reddito, x è un bene inferiore y All aumentare del reddito, il consumatore Sceglie di consumare meno x e più y C B U 3 A U 2 U 1 x 34

Proprietà delle funzioni di domanda Assenza di illusione monetaria Un bene non può essere inferiore per tutti i livelli di reddito Dato R 1 e D (P, R 1 ) Spesa=P. D (P, R 1 ) Se R 2 < S< R 1 ed bene inferiore allora D (P, R 2 )> D (P, R 1 ) P D (P, R 2 )> P D (P, R 1 ) R 2 >P D (P, R 2 )> P D (P, R 1 ) R 2 >S

Variazioni prezzo di un altro bene Un bene x per il quale D /P > 0 è definito bene sostituto del bene y Un bene x per il quale D / P < 0 è definito bene complementare del bene y