Capitolo III Ellisse 1 Proprietà focali dell ellisse. Benché le coniche siano curve piane la loro definizione usa nozioni della geometria dello spazio. Sembrerebbe ragionevole cercare di caratterizzare tali curve con proprietà riconducibili alla sola geometria del piano. Cominciamo dall ellisse. Teorema. Sia data un ellisse E. Nel piano di E esistono due punti F e F, detti fuochi, tali che l ellisse è il luogo dei punti P del piano per cui la somma delle distanze dai fuochi è costante. In altre parole esiste una costante p tale che un punto P del piano appartiene ad E se e solo se PF + PF = 2p. Dimostrazione. Sia data un ellisse E, intersezione di un cono circolare retto con un piano π. Tale piano incontra una sola falda del cono e all interno di questa e da una parte e dall altra del piano è possibile collocare due sfere S ed S come in fig. 1. fig. 1* Le due sfere sono tangenti al cono lungo due circonferenze C e C e al piano in due punti F e F. Per costruire queste sfere conviene considerare la sezione della fig. 1 con il piano α verticale e ortogonale a π. Tale sezione è rappresentata in fig. 2, dove la retta r è l intersezione tra il piano α e il piano π. Ovviamente dalla fig. 2 possiamo tornare alla fig. 1 ruotando tutta la fig. 2 (tranne la retta r) attorno all asse verticale e prendendo come piano π il piano che esce perpendicolarmente dal foglio della fig. 2 e taglia su di esso la retta r. Dunque, capiti i rapporti tra fig. 1 e fig. 2, per costruire le sfere basta disegnare le due circonferenze di fig. 2. Ciò è lasciato per esercizio (cfr. 9 in fondo al capitolo).
r fig. 2 Conviene ora guardare la fig. 3. Preso un qualunque punto P sull ellisse consideriamo la generatrice r che passa per P. Essa interseca le due circonferenze C e C nei punti Q e Q. Si osservi che la lunghezza QQ del segmento QQ non dipende da P, infatti esso è il segmento di generatrice che unisce le due circonferenze che stanno su piani paralleli (e perpendicolari all asse) con centri che sono sull asse del cono. fig. 3* Si osservi anche che tutte le generatrici uscenti dal vertice V sono tangenti alla sfera S nei punti della circonferenze C, i cui punti sono equidistanti da V (fig. 4). fig. 4* Questo è un fatto generale: se prendo un punto R esterno ad una sfera e mando per quel punto le tangenti alla sfera, allora per evidenti ragioni di simmetria - i punti di tangenza sono disposti su una circonferenza e sono equidistanti dal punto R. In particolare, mandando da P le tangenti alla sfera S ottengo che PQ = PF
PQ = PF. Ma allora PF + PF = PQ + PQ = QQ è una costante che non dipende da P. Osservazione. Può accadere che i due fuochi coincidano, ciò avviene quando il piano π è orrizzontale e dunque la conica è una circonferenza. Esercizio. Fare un disegno analogo alle figure 1 e 2 nel caso in cui il piano π sia orrizzontale ed evidenziare i fuochi (che coincidono con il centro della circonferenza). Il Teorema caratterizza l ellisse con prorpietà della geometria piana e consente di approfondire lo studio. 2 Costruzione meccanica dell ellisse (assegnati i fuochi e la somma 2p delle distanze da essi). Immaginiamo di fissare gli estremi di una fune di lunghezza 2p nei fuochi. Afferrato un punto della fune, tendiamola sul piano; la posizione così raggiunta dal punto della fune sta sull ellisse. In fig. 5 sono rappresentati alcuni punti costruiti in questo modo (i fuochi, punti di ancoraggio della fune sono in rosso) fig. 5* Ne segue immediatamente che la lunghezza della fune deve essere maggiore della distanza tra i fuochi, cioè 2p > FP + F P. Questo metodo è utile per tracciare un ellisse sul terreno, ma non si presta per una costruzione con riga e compasso. Esercizio. Appoggiare un foglio su un piano di legno e mediante due chiodi fissare gli estremi di una cordicella sul foglio. Con una matita tracciare un ellisse. 3 Costruzione dell ellisse con riga e compasso (dati i fuochi e la somma 2p delle distanze da essi). Con centro in F tracciamo la circonferenza di raggio 2p. Preso un punto Q su di essa, l asse a del segmento F Q taglia il raggio FQ in un punto P dell ellisse. La procedura è illustrata in fig. 6
fig. 6* Dimostrazione. Per verificare che la costruzione è corretta, osserviamo che poiché a è l asse del segmento F Q, i segmenti F P e QP sono uguali. Pertanto 2p = FQ = FP + PQ = FP + F P che dice che P sta sull ellisse. Ripetendo la costruzione precedente per un numero sufficiente di punti Q sulla circonferenza si costruisce per punti una curva che è possibile vedere in fig. 7 fig. 7* Esercizio. Fare effettivamente questa costruzione disegnando una decina di punti dell ellisse; poi tracciare a mano libera, ma con l ausilio di questi punti l ellisse. 4 Proprietà di simmetria dell ellisse Riprendendo la figura appena costruita osserviamo che (fig. 8) la retta che congiunge i fuochi e l asse del segmento FF sono assi di simmetria e anche il punto medio M è centro di simmetria dell ellisse. I quattro punti A, A, B e B dell ellisse che stanno sugli assi, sono detti vertici dell ellisse. I segmenti AA e BB (più marcati in figura) sono l asse maggiore e l asse minore dell ellisse. fig. 8
Dimostrazione. Le proprietà di simmetria si possono ricavare anche dalla costruzione meccanica con la fune che abbiamo visto prima. In effetti se un punto P sta sull ellisse, allora anche i punti P, P e P (vedi fig. 9) stanno sull ellisse (le 4 funi blu, verde, celeste e viola hanno per ragioni di simmetria la stessa lunghezza). fig. 9 In effetti P è il simmetrico di P rispetto all asse minore, P è il simmetrico di P rispetto all asse maggiore, P è il simmetrico di P rispetto al centro. Esercizio. Utilizzando le proprietà di simmetria ripetere l esercizio precedente e migliorarlo (da ogni punto se ne costruiscono facilmente subito altri tre). 5 Costruzione dei vertici dati i fuochi e la somma 2p delle distanze da essi. E viceversa costruzione dei fuochi e della somma delle distanze da essi, assegnati i vertici. Dalla fig. 8 si vede che AF + AF = AF + A F = AA cioè la somma delle distanze di un punto dell ellisse dai fuochi è l asse maggiore. E anche chiaro che 1) Siano dati F e F e la quantità 2p. Si segua la costruzione con la fig. 10. Con centro nel punto medio M prendiamo la circonferenza di raggio p. Essa taglia sulla retta FF un diametro di lunghezza 2p che è il segmento AA, cioè l asse maggiore. La perpendicolare a quest asse condotta per F interseca la circonfernza in un punto Q; per Q mandiamo la parallela all asse maggiore. Essa tocca l asse minore in B. Infatti dalla costruzione riesce BF = raggio = p e quindi B sta sull ellisse. (Infatti BF + BF = 2p).
2) Siano dati gli assi (in rosso in fig. 11). Si disegna la circonferenza, poi si prende la parallela all asse maggiore e poi le due rette verticali. Così si ottengono i punti evidenziati in fig. 11 che sono i fuochi. (Per verificarlo controllare che per i vertici sull asse minore la somma delle distanze dai fuochi sia pari all asse maggiore). fig. 11 Esercizio. Per concludere vediamo una divertente proprietà meccanica dell ellisse legata alla costruzione con riga e compasso fatta prima. Mentre il punto P si muove sull ellisse la circonferenza di centro P che passa per un fuoco è tangente alla circonferenza centrata nell altro fuoco. fig. 12* 6. Equazione cartesiana. A titolo di complemento osserviamo che l'equazione x 2 2 y p 2 + q 2 = 1 (con p > q > 0) è l'equazione dell'ellisse che ha asse maggiore 2p e asse minore 2q disposti come gli assi coordinati. I fuochi saranno F = p 2 q 2, F' = p 2 q 2 0 0 7. Equazione parametrica. L'equazione parametrica della stessa ellisse è x = p cost y = q sin t Ciò significa che al variare di t il punto (p cos t, q sin t) si muove sull'ellisse (fig.13).
fig.13 8 Costruzione di un ellisse con riga e compasso Per disegnare l'ellisse di equazione x 2 2 y p 2 + q 2 = 1 con p > q > 0 si può procedere come segue: Si tracciano due rette perpendicolari (gli assi coordinati) e due circonferenze C e C' di centro l'origine e raggi q e p rispettivamente. Presa una qualunque semiretta uscente dall'origine questa interseca ciascuna delle due circonferenze in un punto, diciamo R ed S. Per R, che sta sulla circonfernza più piccola, mandiamo la retta orrizzontale e per S, che sta sulla circonferenza maggiore, mandiamo la verticale. Queste due rette si intersecano in un punto P dell'ellisse. fig. 14 Giustifichiamo questa costruzione. (Segui guardando fig. 15) Il punto Q = (cos t, sin t) sta sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine. Il punto R = (q cos t, q sin t) sta sulla circonferenza concentrica a questa ma di raggio q e il puinto S = (p cost, p sin t) sta sulla circonferenza concentrica ma di raggio p. I tre punti stanno sulla stessa semiretta uscente dall'origine. Mandiamo per S la verticale e per R l'orrizzontale. Le due rette si incontrano nel punto P = (p cos t, q sin t) (infatti P deve avere la stessa ascissa di S e la stessa ordinata di R) e quindi sta sull'ellisse
fig. 15* Esercizio. Utilizzare questo metodo per disegnare molti punti di un ellisse e poi completarla a mano libera. 9 Esercizio. Date due rette incidenti, tracciare le bisettrici degli angoli da esse formati. Soluzione. Si segua la costruzione guardando la fig. 16. Con centro nel punto P in cui le due rette r ed s sono incidenti, si traccia una circonferenza. Essa taglia le due rette nei punti Q ed R. Con centro in questi punti si tracciano due circonferenze di ugual raggio, che si tagliano in due punti (rossi). Per essi passa una bisettrice. fig. 16 L altra bisettrice si ottiene tracciando la perpendicolare per P a quella già trovata. Esercizio. Assegnate le rette in nero (fig. 17) disegnare le circonferenze rosse. fig. 17
Soluzione. Il centro di ciascuna circonferenza è equidistante dalle rette tangenti alla circonferenza stessa, quindi si trova sulle bisettrici degli angoli formati dalle tangenti. In fig. 18 sono tracciate tutte le bisettrici (per ciascuna si deve applicare il metodo dell esercizio precedente) e sono evidenziati i centri delle due circonferenze cercate. fig. 18 Per conoscere il raggio di ciascuna circonferenza bisogno trovare almeno un piede di una perpendicolare mandata dal centro ad una delle rette assegnate. Si lascia al lettore di completare l esercizio. Per risparmiare lavoro si tenga presente che per individuare ciascun centro bastano due bisettrici (e non tre) e che c è una bisettrice che passa per entrambi i centri.