Black-Scholes: le Greche

Black-Scholes: le Greche R. Marfé Indice 1 Delta 2 2 Gamma 4 3 Theta 6 4 Vega 7 5 Rho 8 6 Applicazione in VBA 9 1

1 Delta Il delta di un opzione (o di un portafoglio di opzioni) indica la sensibilità del valore dell opzione (o del portafoglio) a piccole variazioni del prezzo del sottostante. Rappresenta, in altre parole, il tasso di variazione del valore del portafoglio rispetto al prezzo del sottostante: = V S. Qui V può indicare sia il valore di una singola opzione sia quello di un intero portafoglio di opzioni. Il delta di un portafoglio è semplicemente la somma dei delta di tutte le singole opzioni. Il concetto teorico di copertura delta ha pesanti implicazioni pratiche. Semplicisticamente si può dire che gli operatori finanziari si dividono in due macrocategorie: gli speculatori e coloro che comprano e/o vendono per ottenere le opportune coperture (hedgers). I primi prendono posizioni sulla base delle aspettative di mercato che essi hanno (ad esempio, compreranno un titolo se credono che il suo prezzo sia destinato a salire) e sono soggetti al rischio che il mercato si muova nella direzione contraria. Poi ci sono gli hedgers. E ce ne sono di due tipi: coloro che già detengono una particolare posizione e desiderano eliminare rischi specifici (di solito ricorrendo ad opzioni) e coloro che invece vendono (o comprano) opzioni eliminando poi tutti i rischi connessi, con tali posizioni. Sono questi ultimi operatori che, convinti della bontà del prezzo che riescono a spuntare, fanno la cosiddetta copertura delta. Essi possono garantirsi un profitto vendendo un contratto ad un alto prezzo qualora riescano ad eliminare tutto il rischio connesso a fluttuazioni aleatore del prezzo del sottostante. L attività di copertura delta implica l acquisto di un opzione e la vendita contestuale di una quantità di sottostante. Come sarà evidente da alcune formule, la quantità è funzione di S e di t, e pertanto varia al loro variare. Per essere in grado di mantenere una posizione neutrale, ovvero una posizione in cui quanto si perde/guadagna sul sottostante viene esattamente guadagnato/perso sul valore dell opzione, è pertanto necessario continuare a modificare la quantità di sottostante. A causa della natura continua di questa attività, essa viene anche chiamata copertura dinamica. Essa richiede appunto la frequente compravendita di opportune quantità di sottostante, attività chiamata ricopertura o ribilanciamento di portafoglio. 2

Nei mercati particolarmente liquidi, in cui comprare e vendere è poco oneroso, queste ricoperture possono essere fatte di frequente. Pertanto l ipotesi di Black e Scholes di copertura continua risulta tutto sommato realistica. In mercati meno liquidi, il differenziale (spread) denaro-lettera è piuttosto ampio e ricoperture frequenti non sono particolarmente convenienti. Inoltre, può essere impossibile comprare o vendere le quantità desiderate. E persino in assenza di costi non, si può più essere sicuri che il proprio modello sia adeguato: vi sarà certamente del rischio dipendente dal modello che si sta utilizzando. Simili considerazioni mostrano che la copertura delta non è mai perfetta e che, in pratica, il sottostante non può essere perfettamente coperto. Di seguito si riportano le formule per il delta delle opzioni europee (ipotizzando un dividendo continuo): Call: e D(T t) N(d 1 ), Put: e D(T t) (N(d 1 ) 1). 3

2 Gamma Il gamma, Γ, di un opzione (o di un portafoglio di opzioni) è la derivata seconda del valore dell opzione (o di un portafoglio di opzioni) rispetto al prezzo dei sottostante: Γ = 2 V S 2. Quindi, poiché altro non è che la sensibilità dei delta rispetto al sottostante, il gamma rappresenta una misura di quanto o di quanto frequentemente bisogna ribilanciare una posizione per mantenerla neutrale al delta. Anche se, come si è appena visto, il delta cambia per effetto del solo trascorrere del tempo, indipendentemente da movimenti del sottostante, sono però questi ultimi ad avere l impatto maggiore sulla determinazione del delta. In una posizione delta-neutrale, il gamma è una grandezza che garantisce parzialmente il verificarsi della condizione di non arbitraggio: ovvero che il tasso di rendimento del portafoglio sia pari al tasso di rendimento di un investimento senza rischio. Il resto di questa condizione è garantito poi attraverso l uso della derivata del valore dell opzione rispetto al tempo. Nella pratica le cose sono un po più complesse poiché, per quanto liquido sia il mercato, fra un ribilanciamento e l altro trascorre sempre del tempo. In ogni posizione neutrale al delta capita poi di guadagnare e di perdere. Se, ad esempio, si è lunghi sul gamma (Γ > 0), è possibile ottenere profitti se il sottostante si muove molto, mentre per sue piccole variazioni si subirà una perdita. L effetto complessivo è un rendimento prossimo al rendimento privo di rischio. Essendo il gamma una misura della sensibilità del rapporto di copertura delta rispetto a movimenti del sottostante, la frequenza d ribilanciamento può venir ridotta attuando una strategia gamma-neutrale. Ciò implica comprare o vendere più opzioni e non solo il titolo sottostante. Infatti, poiché il gamma del sottostante (la sua derivata seconda) è nullo, non è possibile modificare il gamma della posizione variando la sola quantità di sottostante. Di opzioni, invece, se ne possono detenere quante se ne vuole e di ciascuna si sceglierà la quantità tale da rendere pari a zero sia il gamma sia il delta complessivi. Il requisito minimo è avere due diversi tipi di opzione e il sottostante. In pratica, comunque, le varie posizioni che si vogliono coprire non sono ribilanciate troppo frequentemente, se è vero che i costi di transazione del 4

sottostante sono spesso elevati, lo sono ancora di più quelli derivati dalla negoziazione di strumenti derivati. Di seguito si riportano le formule per il gamma delle opzioni europee (ipotizzando un dividendo continuo): Call / Put: e D(T t) N (d 1 ) σs. T t 5

3 Theta Theta, Θ, rappresenta il tasso di variazione del valore di un opzione rispetto al tempo: Θ = V t. Il valore di theta è intrinsecamente legato al valore dell opzione, al suo delta e al suo gamma tramite l equazione di Black e Scholes. In un portafoglio deltaneutrale, theta assicura il conseguimento del rendimento privo di rischio, diversamente da gamma che, si è detto, fornisce indicazioni di media. Di seguito si riportano le formule per il theta delle opzioni europee (ipotizzando un dividendo continuo): Call: σse D(T t) N (d 1 ) 2 T t Put: σse D(T t) N ( d 1 ) 2 T t + DSN(d 1 )e D(T t) rke r(t t) N(d 2 ), DSN(d 1 )e D(T t) + rke r(t t) N( d 2 ). 6

4 Vega Vega è una quantità tanto importante quanto ambigua e spesso fraintesa. Misura la sensibilità del valore dell opzione rispetto alla volatilità: Vega = V σ. Si tratta di una quantità completamente diversa dalle greche precedentemente descritte, essendo la derivata rispetto a un parametro e non rispetto ad una variabile. Di questo si deve tener conto quando si cerca di calcolarne i valori con metodi numerici. In pratica, il valore della volatilità non è noto con certezza. E non solo è difficile misurarlo, ma è difficile anche prevedere quale sarà il suo valore futuro. Si supponga di inserire un livello di volatifità pari al 20% annuo in una espressione in forma chiusa che fornisce il valore d un opzione. Ebbene, qual è la sensibilità del prezzo dell opzione a questo valore? La risposta è il vega. Come si è detto descrivendo la copertura gamma, è possbile coprirsi anche dal rischio vega per ridurre la sensibilità alla volatilità. Questa è un operazione importante nell eliminazione di parte del rischio derivante dal modello adottato, in quanto riduce la dipendenza da una quantità che non è mai nota con precisione e certezza. Vi è però un inconveniente relativo alla misurazione di vega. Esso è significativo soltanto nelle posizioni che hanno il relativo gamma sempre del medesimo segno. Ad esempo, ha senso misurarlo per opzioni call o put vanilla. I ontratti che hanno il gamma che cambia segno possono avere un vega nullo, poiché con un incremento di volatilità, il valore di un opzione potrebbe aumentare in certi punti ma diminuire in altri: in simili casi il rischio di volatilità è evidente ma mal catturato dal valore del vega. Di seguito si riportano le formule per il vega delle opzioni europee (ipotizzando un dividendo continuo): Call / Put: S T te D(T t) N (d 1 ). 7

5 Rho Rho, ρ, rappresenta la sensibilità del valore dell opzione al tasso di interesse (o meglio alla sua intensità istantanea) usato nella formula di Black e Scholes: ρ = V r. In pratica, si ricorre spesso all intera struttura a termine dei tassi di interesse, vale a dire una funzione r(t). In questo caso rho diventa la sensibilità al livello dei tassi rispetto ad un loro movimento parallelo (uguale variazione su tutte le scadenze). Dunque anche in questo caso occorre considerare con cura le caratteristiche del contratto di cui si sta valutando il rho. Di seguito si riportano le formule relative per il rho delle opzioni europee: Call: K(T t)e r(t t) N(d 2 ), Put: K(T t)e r(t t) N( d 2 ). Infine si riportano le sensibilità relative a variazioni del tasso di dividendo delle opzioni europee (ipotizzando un dividendo continuo): Call: (T t)se r(t t) N(d 1 ), Put: (T t)se r(t t) N( d 1 ). 8

6 Applicazione in VBA INPUT: cp (Integer): 1 call case, -1 put case S (Double) : underlying price K (Double) : strike price T (Double) : maturity vol (Double) : volatility r (Double) : instantanuous intensity of interest rate q (Double) : instantanuous intensity of continuous dividend OUTPUT: (Double) : Delta / Gamma / Vega / Theta / Rho / Lambda Function Delta(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim vsqrt As Double Dim lamb As Double Dim d1 As Double vsqrt = vol * Sqr(T) lamb = (r - q + (vol ^ 2) / 2) / (vol ^ 2) d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt Delta = cp * Exp(-q * T) * WorksheetFunction.NormSDist(cp * d1) End Function Function Gamma(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim sp_d As Double Dim vsqrt As Double Dim lamb As Double Dim d1 As Double Dim num As Double 9

Dim den As Double sp_d = S * Exp(-q * T) vsqrt = vol * Sqr(T) lamb = (r - q + (vol ^ 2) / 2) / (vol ^ 2) d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt num = WorksheetFunction.NormDist(d1, 0, 1, False) den = sp_d * vol * Sqr(T) Gamma = num / den End Function Function Vega(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim sp_d As Double Dim vsqrt As Double Dim lamb As Double Dim d1 As Double sp_d = S * Exp(-q * T) vsqrt = vol * Sqr(T) lamb = (r - q + (vol ^ 2) / 2) / (vol ^ 2) d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt Vega = sp_d * Sqr(T) * WorksheetFunction.NormDist(d1, 0, 1, False) End Function Function Theta(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim sp_d As Double Dim va_k As Double Dim vsqrt As Double Dim vol2 As Double Dim lamb As Double 10

Dim d1 As Double Dim d2 As Double Dim arg1 As Double Dim arg2 As Double Dim arg3 As Double sp_d = S * Exp(-q * T) va_k = K * Exp(-r * T) vsqrt = vol * Sqr(T) vol2 = vol ^ 2 lamb = (r - q + vol2 / 2) / vol2 d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt d2 = d1 - vsqrt arg1 = cp * sp_d * q * WorksheetFunction.NormSDist(cp * d1) arg2 = cp * va_k * r * WorksheetFunction.NormSDist(cp * d2) arg3 = sp_d * vol * WorksheetFunction.NormDist(d1, 0, 1, False) _ / (2 * Sqr(T)) Theta = arg1 - arg2 - arg3 End Function Function Rho(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim va_k As Double Dim vsqrt As Double Dim lamb As Double Dim d1 As Double Dim d2 As Double va_k = K * Exp(-r * T) vsqrt = vol * Sqr(T) lamb = (r - q + (vol ^ 2) / 2) / (vol ^ 2) d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt d2 = d1 - vsqrt Rho = cp * T * va_k * WorksheetFunction.NormSDist(cp * d2) End Function 11

Function Lambda(cp As Integer, S As Double,K As Double, T As Double, _ vol As Double, r As Double, q As Double) As Double Dim sp_d As Double Dim vsqrt As Double Dim lamb As Double Dim d1 As Double sp_d = S * Exp(-q * T) vsqrt = vol * Sqr(T) lamb = (r - q + (vol ^ 2) / 2) / (vol ^ 2) d1 = (Log(S / K) / vsqrt) + lamb * vsqrt Lambda = cp * T * sp_d * WorksheetFunction.NormSDist(cp * d1) End Function 12