Recente notizia sulla scoperta di un numero primo di 17 milioni di cifre Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero Abstract News about discovery of a prime numbers with 17 milions of decimal digit, by Curtis Cooper Riassunto Recente notizia della scoperta di un numero primo di 17 milioni di cifre da parte del matematico americano Curtis Cooper. Recentemente è stata data notizia della suddetta scoperta, e che riportiamo integralmente, seguita poi da un nostro commento Dal sito: www.youscience.it/news/news-math/205-scoperto-il-numero-primo-piugrande-mai-calcolato - 61k Scoperto il numero primo più grande mai calcolato 1
Categoria: Matematica Data pubblicazione Scritto da Andrea Sordano Visite: 269 Il matematico Curtis Cooper, attualmente professore alla University of Central Missouri, è il protagonista di un'impresa matematicamente eroica. Dopo quattro anni di ricerche e di elaborazioni, un equipe di matematici da lui coordinata è riuscita a scoprire il nuovo numero primo più grande mai conosciuto. Il progetto, nel cui ambito è stata effettuata questa ricerca, si chiama GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Research). Si tratta di una rete di computer che sfruttano le potenzialità del calcolo distribuito (allo stesso modo di BOINC) per il calcolo di numeri che superano di gran lunga il milione di cifre. Il numero scoperto da Cooper ne ha infatti 17.425.170 e fa parte del gruppo dei numeri di Mersenne. Fanno parte di questo gruppo speciale tutti quei numeri primi esprimibili da una potenza di 2 sottratta di 1 (2 n -1). Il primo numero di questa sequenza è 3 (2 2-1) mentre quello appena scoperto è uguale a 2 55885161-1 : un numero talmente grande che se dovessimo scriverlo con cifre di un centimetro di dimensione occuperemmo una superficie di 170 km di lunghezza. Oltre alla fama, la scoperta frutterà a Curtis Cooper un premio di 3000 dollari. Dopo tutto seppur scoperte di questo genere potrebbero essere considerate inutili, sono di vitale importanza nei sistemi di crittografia digitale. Per questo motivo la Electronic Frontier Foundation ha già messo in palio un premio di 150 mila dollari a colui che scoprirà un numero primo da almeno 100 milioni di cifre: uno strumento simile risulterebbe infallibile a qualsiasi attacco informatico. Nostro commento: Come tutti gli altri numeri primi di Mersenne, tranne il 3 iniziale, anche questo numero è di forma 6k +1, poiché le potenze di 2 con esponente dispari sono di forma 6k + 2 alla quale, sottraendo 1 dalla formula per i numeri di Mersenne, abbiamo 2^n +2-1 = 6k + 1. Le potenze pari di 2 invece sono di forma 6k - 2, e sottraendo 1 abbiamo 6k -2-1 = 6k 3, che è divisibile per 3 e quindi non può essere mai primo. (Ricordiamo che nei primi di Mersenne i numeri primi p sono nell esponente, così abbiamo potenziali infiniti numeri di Mersenne. Poiché p è sempre dispari, le potenze dispari p di 2 possono creare numeri primi, sottraendo un unità (cioè 1), poiché queste potenze dispari di 2 sono della forma 6k + 2, togliendo 1 otteniamo 6k + 2 1 = 6k + 1, che è una delle forme dei numeri primi (l altra è 6k 1). Questo perché i numeri di Mersenne, eccetto per il numero 3 iniziale, sono tutti della forma 6k + 1. Le potenze pari di 2 sono, invece, della forma 6k 2 e 2
sottraendo adesso 1, otteniamo 6k 2 1 = 6k 3, l altra forma dei numeri primi, ma in tale caso sono tutti multipli di 3 e quindi non possono essere primi, eccetto il 3 iniziale). Facciamo qualche esempio, con una Tabella 2^n con n 6k +2 6k +2-1 = 2^n con n 6k 2-1 6k -3 dispari 6k+1 pari 2^1 4 3 2^2 4-1 3 2^3 8 7 2^4 16-1 15 =3*5 2^5 32 31 2^6 64-1 63 =3*21 2^7 126 127 2^8 256-1 255 =3*85 2^9 512 511=7*73 2^10 1024-1 10023=3*341 Non primo Nella quale i numeri di Mersenne, in base alla loro formula e alla loro forma, sono quelli nella terza colonna, evidenziata in blu. Nell ultima colonna, i numeri evidenziati in viola, costeggiano la serie di Fibonacci, saltandone però qualcuno. Per esempio due, almeno in questa fase iniziale:e: numeri in viola 3, 5, 21, 85 89 341 377 numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34, 55, 89, 144, 233. 377 (in viola quelli che coincidono, anche parzialmente: in tal caso solo la prima cifra); ma questo lo vedremo meglio in un altro lavoro in preparazione ( Le potenze di 2 e i numeri di Fibonacci ). Circa invece il riferimento finale alla crittografia RSA, sembra però ancora prematuro un uso di questi enormi numeri primi. 3
Va bene che i numeri con poche centinaia di cifre non sono più considerati sicuri, per via della loro già avvenuta fattorizzazione in pochi mesi, e quindi la società RSA pensa di sostituirli già dal prossimo anno con numeri RSA - 2048 (con sole 617 cifre decimali), per la cui fattorizzazione occorrerebbe, in teoria, un tempo di calcolo pari quasi all età dell universo (15 miliardi di anni). È pur vero anche che con la nostra congettura forte sui numeri RSA possiamo ridurre questo tempo a soli 5 miliardi di anni, cioè ad un terzo del previsto (questo perché il rapporto massimo r =q/p per i numeri RSA è 2,25, al quale corrisponde una percentuale minima, per p, del 67%, rispetto ad n = N dove N è il numero RSA = p*q). Per tutti i numeri RSA finora usati, quindi, p è almeno il 67% di n, eliminando il 67% di tempo di calcolo e cercando p nel 33% tra 67% e 100%. Per i numeri primi gemelli o molto vicini, quindi con differenza 4, o anche 6, p si trova al 99,999 % e quindi il loro prodotto è facilmente fattorizzabile a ritroso, a partire da n, e p (nel caso dei gemelli) è la parte intera della loro radice quadrata. Per esempio 101 *103 = 10403, con n =101,99, in base alla nostra ipotesi percentuale (Riferimenti finali) alla quale rimandiamo. Per cui si sconsiglia di usare numeri primi gemelli o molto vicini per formare numeri RSA, molto grandi, il principio è sempre lo stesso, per via dell algoritmo di fattorizzazione di Fermat in cui p = s - d e q = s + d, dove d è la semidifferenza ed s la semisomma di p e q, e quindi c entra la congettura di Goldbach (sul Web c è già qualche algoritmo di fattorizzazione per numeri RSA basato proprio sulla congettura di Goldbach). Quindi, con numeri RSA 2048 oppure anche e meglio RSA 4096, la crittografia RSA può andare avanti bene ancora per molto tempo. 4
Numeri ancora più grandi potrebbero invece servire dopo l avvento dei futuri computer quantistici (ancora in fase di sperimentazione), in grado di ridurre i tempi di calcolo di 10 000 volte. Qualcuno dice anche di 10 15 volte, in ogni caso basterebbero numeri RSA così grandi da ripristinare, pur con i pericolosi computer quantistici, i tempi di calcolo attuali necessari per la sicurezza crittografica. Per esempio, per RSA - 2048, i 15 miliardi di anni previsti attualmente, tradotti in giorni, sono 5 475 000 000 000, che con i computer quantistici potrebbero ridursi a 5 475 000 000 000/ 10000 = 547 500 000 giorni = 1 500 000 anni circa, ma sempre ancora molti per violare la crittografia RSA. Ma se è vera la riduzione di 15 ordini di grandezza ( e cioè 10 15 volte), avremmo 5 475 000 000 000/ 1 000 000 000 000 000 = 0,005475 giorni, cioè appena qualche secondo. In questo caso sì che occorrerebbero numeri primi molto grandi, magari non ancora di qualche milione di cifre come quello appena scoperto, ma molto vicini (centinaia di migliaia di cifre), saranno comunque i tecnici a calcolarli per ripristinare gli attuali tempi di calcolo e rendere inutili anche i computer quantistici. Inoltre, l enorme difficoltà pratica di maneggiare al PC sia pure quantistico numeri primi così grandi e loro prodotti (con circa il doppio di cifre : per esempio un numero RSA -2048 di 617 ha due fattori primi di (617+1)/2 = 309 cifre ciascuno), forse scoraggerebbe qualsiasi hacker che voglia provarci. Solo allora la crittografia RSA potrebbe dirsi veramente sicura. A meno che qualche lampo di genio scopra per via teorica un nuovo modo di fattorizzazione 5
velocissima, che la renderebbe inutile e non più utilizzabile. Ma è difficile Qualcuno pensa ancora che una futura dimostrazione dell ipotesi di Riemann possa servire a tale scopo, ma non lo crediamo affatto. Al massimo (e non è per niente sicuro nemmeno questo) essa potrebbe fornire un infinito elenco dei numeri primi successivi, ma non dei loro prodotti (cioè una facile tavola pitagorica infinita, dove all incrocio tra p e q comunque grandi si potesse trovare N, e conoscendo N, procedere al contrario: trovare p e q nelle rispettive righe e colonne). Conclusione Quindi, alla luce di quanto sopra, fanno bene i matematici teorici dei numeri primi a cercare e trovare, incentivati da adeguati premi in denaro, numeri primi di tale grandezza. Attualmente sono di scarsa utilità, ma con l avvento dei futuri computer quantistici ormai prossimi, questione di qualche anno, e tali numeri primi super titanici (quelli titanici sono quelli di almeno 1 000 cifre) potrebbero essere finalmente utili, e averne già una buona scorta potrebbe essere anche molto redditizio (fornendoli su richiesta a società di crittografia, ovviamente dietro adeguato compenso ). Quindi tale ricerca non sarebbe affatto così inutile e peregrina come si potrebbe pensare frettolosamente nel leggere notizie di tali scoperte. Riferimenti Tutti gli articoli sui numeri RSA e sulla fattorizzazione veloce, anche come 6
problema P o NP, pubblicati sul nostro sito.... 7