Momento delle forze e equilibrio di un corpo rigido F r r F + F = 0 Equilibrio? NO Il corpo può ruotare F Perche un corpo esteso sia in equilibrio non basta imporre che la somma delle forze che agiscono su di esso sia nulla F d 0 La tendenza di una forza a causare rotazione intorno ad un punto dipende dalla intensita` della forza e dalla sua distanza da tale punto
d d F F L altalena è in equilibrio se F d = F d d F F d
Momento di una forza Data una forza F ed un punto O (fulcro) si definisce Momento della forza rispetto ad O il prodotto " = ±F # d Dove d è la distanza del punto O dalla retta di applicazione della forza F Convenzionalmente si usa il segno + se la forza induce una rotazione in senso antiorario - se la forza induce una rotazione in senso orario
d F " = F # d " = $F # d F d Vi è equilibrio rispetto al movimento di rotazione se " + " = 0 Condizioni per l equilibrio statico di un corpo: apple la somma di tutte le forze agenti deve essere ZERO: F i =0 apple la somma dei momenti di tutte le forze deve essere ZERO: τ i =0
a) b) Esempi Calcolare il momento rispetto al polso, al gomito ed alla spalla di un peso P=0N appoggiato sul palmo della mano, nel caso in cui il braccio sia teso e nel caso in cui il braccio sia inclinato di 30 o. " p = #0$ 0.07 = #.4N $ m " g = #0$ (0.3 + 0.07) = #6N $ m " s = #0$ (0.8 + 0.3 + 0.07) = #.6N $ m a) " p = #0$ (0.07sin30) = #0.7N $ m " g = #0$ (0.30sin30) = #3N $ m " s = #0$ (0.58sin30) = #5.8N $ m b)
Proprietà del baricentro Peso produce momento nullo rispetto al baricentro " A = m gx " B = #m g(d # x) " A + " B = 0 m gx # m g(d # x) = 0 d m o m A B m x g m x = d m + m Il baricentro è il punto di equilibrio (m +m )g m g m o m A B Supporto in corrispondenza del baricentro permette al corpo di essere in equilibrio Il baricentro di un corpo rigido è un punto fisso rispetto al corpo anche se non è detto che sia un punto del corpo stesso Per un corpo flessibile come quello umano la posizione del baricentro cambia ogni volta che il corpo cambia la sua forma
Equilibrio in presenza di sole forze gravitazionali e di contatto Un oggetto è in equilibrio quando la verticale passante per il suo baricentro cade all interno della base definita dei suoi sostegni sul piano di appoggio Il blocco spostato leggermente dalla sua posizione di equilibrio tende a farvi ritorno: equilibrio stabile La matita spostata leggermente dalla sua posizione di equilibrio cade: equilibrio instabile Ogni posizione è di equilibrio:equilibrio indifferente
Quadrupede visto dall alto, il baricentro si trova sempre entro il triangolo che ha per vertici gli zoccoli che appoggiano. Quando si sposta velocemente possiamo avere due o solo una zampa appoggiata per terra allo stesso istante si hanno brevi periodi di instabilità contrastata dal rapido movimento delle zampe
Esempi L avambraccio è sostenuto dal muscolo bicipite ed è incernierato al gomito, possiamo usare la schematizzazione in figura : R (E) = 0 M (E) = 0 fulcro E Risultante delle forze (esterne) nulla. Momento risultante delle forze (esterne) nullo T w R r V θ mg r T r R R VX VY + T + T X Y = 0! mg = 0 l Tlsin" = mg
N N + d N = N = mg d N r mg r N r d d b b m gr m gb m b = = m m b gb g r m P=800N d =d =5cm Fs e Fd?
Leve e guadagno meccanico Guadagno Meccanico: F L /F a Rapporto tra una carico F L e la forza applicata F a.. Leva: una sbarra rigida incernierata al fulcro x a x L x a x x L F a a F a F L F a F L x L I Tre tipi in base alla posizione relativa di F L e F a ; per tutti i tipi di leve, all equilibrio e se le forze sono perpendicolari alla leva, il guadagno II GM > o < GM > GM < III F L meccanico GM=F L /F a =x a /x L Negli animali i muscoli forniscono le forze che fanno funzionare le molte leve di cui è fatto il loro corpo. La zampa anteriore di un cavallo da corsa ha un guadagno meccanico di 0.08 perche` vengono privilegiati movimenti rapidi e non la forza, mentre l armadillo che scava tane la zampa anteriore ha un GM pari a 0.5 perche` ha bisogno di forza e non di velocita`
Esempio: la colonna vertebrale Un piegamento produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa l ultima vertebra dall osso sacro G.M. piccolo Il fulcro osso sacro Forza T Muscoli della schiena Forza R reazione del vincolo α angolo tra T e la colonna w Peso del tronco ( 65%peso tot.) Per un uomo di 75kg T e R 0kgp; se l uomo solleva soli 5kg T e R diventano 35kgp!! Piegando le ginocchia il baricentro del busto è praticamente in linea con l osso sacro (ed anche il peso sollevato se viene tenuto vicino al busto) ed i muscoli non sono così sollecitati (R 48kgp )
Alcuni numeri Il peso del tronco del corpo (vedi figura) w=50kg. Determinare la forza T esercitata dai muscoli spinali e le componenti Rx ery della forza R esercitata dal fulcro (osso sacro) se il peso sostenuto vale: a) zero; b) 8kg. R 0.7l 0.6l w T l "w # l " w # 0.6 # l + T # 0.7 # l # sin = 0 R x + T x = 0 R y + T y + w + w = 0 a) T=06.3kgp R x =-T x =0.63kgp T y =4.86kgp R y =+50-T y =7.4kgp b) T=39.8kgp w R x =-T x =3.60kgp T y =68.57kgp R y =68-T y =-0.57kgp
Un ciclista applica una forza F=00N diretta verso il basso al pedale della sua biclicletta. Determinare a) modulo, direzione e verso dei momenti in ognuna delle posizioni indicate in figura b) Indicare in quale posizione il momento è massimo M =00*0.3=60Nm Al piano del foglio Verso entrante M =00*0.3sin 53=47.9Nm Al piano del foglio Verso entrante M =00*0.3sin 45=4.4Nm Al piano del foglio Verso uscente a) Mascella inferiore di un rettile primitivo: M è la forza esercitata dal muscolo, B la forza di reazione dell oggetto morso e R la forza esercitata dall articolazione della mascella b) Mascella inferiore di un mammifero: T e M forze esercitate dai muscoli, B la forza di reazione dell oggetto morso e R la forza esercitata dall articolazione della mascella. R può essere molto piccola se non nulla