Appunti sui conduttori in equilibrio elettrostatico di Fabio Maria Antoniali versione del 30 maggio 2016
1 Conduttori elettrici I conduttori sono materiali in cui alcune cariche elementari sono libere di muoversi sia all interno sia sulla loro superficie. Le principali classi di conduttori sono: metalli, semiconduttori, elettroliti e gas. In tutti questi materiali alcune cariche, che possono essere a seconda dei casi positive o negative, sono libere di muoversi e prendono il nome di portatori di carica. Ad esempio, nei corpi metallici accade che uno o due elettroni per atomo, invece di essere vincolati al nucleo, risultano completamente liberi di muoversi su distanze macroscopiche sia all interno del corpo, sia sulla sua superficie, che in condizioni ordinarie non possano lasciare a causa delle intense forze attrattive esercitate dagli ioni positivi. In un metallo vi sono in genere dai 10 29 ai 10 30 elettroni liberi per metro cubo di materiale, corrispondente ad un totale di oltre 10 10 C per millimetro cubo di materia; una quantità di carica enorme, pur confrontata con quella che si scarica in un fulmine, che è dell ordine delle decine di Coulomb. In paratica, nei fenomeni elettrostatici che usualmente si considerano nei corpi metallici, solo una piccolissima parte degli elettroni di conduzione entra in gioco. I meccanismi che presiedono alla formazione dei portatori di carica in semiconduttori, elettroliti e gas verranno studiati in un altro momento. 2 Conduttori in equilibrio Questa sezione è dedicata alle proprietà dei conduttori in equilibrio, cioè in condizioni elettrostatiche. Per fissare le idee considereremo un corpo conduttore metallico, ma tutto ciò che viene dimostrato può essere esteso alle altre classi di conduttori. Va precisato che la condizione di equilibrio elettrostatico non implica che i portatori di carica siano in quiete, dato che essi si muovono in ogni possibile direzione per effetto dell inevitabile moto di agitazione termica, ma l assenza di un moto ordinato lungo direzioni privilegiate, come quello indotto da un campo elettrico. 1. All interno di un conduttore in equilibrio il campo elettrico è nullo. Se per assurdo assumessimo che in un punto P interno al conduttore il campo elettrico fosse non nullo, gli elettroni liberi presenti in (un intorno di) P verrebbero accelerati in direzione opposta al campo in contraddizione con la condizione di equilibrio. In partica quando un metallo viene posto in un campo elettrico una parte degli elettroni liberi si sposta in direzione contraria al campo ridistribuendosi sulla sua superficie in modo tale che il campo totale, dovuto alla sovrapposizione di quello esterno e di quello della distribuzione predetta, all interno del conduttore sia nullo. E importante notare che la quantità di cariche che viene redistribuita è una infinitesima frazione della totalità degli elettroni liberi, per cui è del tutto legittima l assunzione che in ogni (intorno di un) punto interno al conduttore vi sia qualche elettrone libero che non ha partecipato alla redistribuzione. 2
2. Un conduttore in equilibrio è un volume equipotenziale. Poiché il campo elettrico interno al conduttore in equilibrio è nullo, una carica di prova che si muove da un qualunque punto A ad un qualunque altro punto B del conduttore lungo un cammino interno al conduttore stesso non risente di alcuna forza elettrostatica. Dunque il lavoro delle forze elettrostatiche sul cammino prescelto è nullo, e quindi è nulla la differenza di potenziale tra i punti A e B. 3. All interno di un conduttore in equilibrio la densità di carica è nulla. Se in qualche punto interno P la densità di carica ρ fosse non nulla, supponiamo ad esempio ρ > 0, si potrebbe trovare attorno a P una superficie chiusa Σ, completamente interna al conduttore, che racchiude un volumetto V in cui la carica netta interna risulta Q i nt > 0. Per il teorema di Gauss ne dedurremo che il flusso del campo elettrico attraverso Σ è strettamente positivo, in contraddizione col fatto che essendo il campo elettrico nullo internamente al conduttore, il predetto flusso deve essere anch esso nullo. Da questa proprietà consegue che in condizioni di equilibrio gli accumuli di carica possono realizzarsi solo sulle superfici del conduttore. 4. Il campo elettrico immediatamente fuori dalla superficie di un conduttore in equilibrio è perpendicolare alla superficie e vale σ/ɛ 0, ove σ è la densità di carica superficiale. La dimostrazione di questa importante proprietà, nota anche come teorema di Coulomb, deriva dal fatto che nell attraversare una superficie carica il campo elettrico, altrimenti continuo, presenta una discontinuità nella sua componenete perpendicolare alla superficie, mentre si amntiene continua la componenete tangenziale. Se il campo elettrico in prossimità della superficie avesse una componenete tangenziale non nulla, per continuità vi dovrebbe essere un campo elettrico tangenziale sulla superficie del conduttore, e ciò provocherebbe un movimento di cariche sulla superficie in contrasto con la condizione di equilibrio. 3
Considerato un punto P sulla superficie in cui la densità di carica è σ, è possibile costruire attorno a P un minuscolo cilindretto con le basi di area A parallele alla superficie, una interna al conduttore e l altra esterna, posta in prossimità della sua superficie. Poiché il campo elettrico internamente al conduttore è nullo ed esternamente risulta avere modulo E e direzione perpendicolare alla base del cilindretto, il suo flusso attraverso la superficie del cilindretto risulta Φ = EA, dunque per il teroema di Gauss si ha AE = Q int /ɛ 0, ma la carica Q int racchiusa dal cilindretto è Q int = Aσ, da cui si ottiene infine E = σ/ɛ 0. 3 Potenziale di una sfera conduttrice Consideriamo una sfera conduttrice di raggio R su cui è depositata una carica Q. Se la sfera è isolata, la carica si distribuirà uniformemente su tutta la superficie. Dal teorema di Gauss si deduce che in un punto P distante r R dal centro della sfera il modulo del campo elettrico varrà E = 1 Q 4πɛ 0 r. 2 Il campo elettrico esternamente alla sfera è quello di una carica puntiforme Q concentrata al centro della sfera, pertanto, se poniamo a zero il potenziale elettrostatico nei punti infinitamente distanti dalla sfera, il potenziale in P varrà V = 1 4πɛ 0 Q r. Questa relazione vale in particolare per i punti sulla superficie del conduttrore che, come è noto, è un volume equipotenziale. Pertanto il potenziale in ogni punto interno e sulla superficie del conduttore sferico risulta V = 1 4πɛ 0 Q R. 4
4 Proprietà delle punte E noto sperimentalmente che il campo elettrico in prossimità di un conduttore dalla forma appuntita può essere particolarmente intenso. Una conseguenza di questo fatto è che i fulmini si scaricano preferenzialmente sugli alberi, i campanili, le antenen delle case,o gli appuntiti parafulmini, che presentano superfici dalla grande curvatura. Questa proprietà dipende dal fatto che la distribuzione dei portatori di carica in un conduttore è fortemente influenzata dalla curvatura della sua superficie, e dove si ha curvatura maggiore (punte) si ha maggiore densità di carica superficiale, e quindi, per la nota proprietà dei conduttori in equilibrio, un più intenso campo elettrico. Per comprendere quantitativamente questo fenomeno si può considerare un conduttore dalla struttura molto semplice, formato da due sfere di raggio r 1 e r 2 connesse da un sottile filo rettilineo. Il conduttore è carico e diciamo Q 1 e Q 2 le quantità di carica distribuite sulla sfere. Se le sfere sono sufficientemente lontane è possibile pensare che il campo e il potenziale che ciascuna produce in prossimità della propria superficie non siano influenzati dall altra, e corrispondano quindi a quelli di una distribuzione superficiale uniforme di carica. D altra parte le sfere sono collegate dunque devono avere lo stesso potenziale, pertanto cioè Q 1 4πɛ 0 r 1 = Q 2 4πɛ 0 r 2, Q 1 r 1 = Q 2 r 2. Dette σ 1 e σ 2 le densità di carica superficiali delle due sfere, la precedente può riscriversi come σ 1 4πr1 2 = σ 24πr2 2, r 1 r 2 cioè σ 1 σ 2 = r 2 r 1. In altre parole la densità di carica superficiale, e quindi l intensità del campo elettrico, è inversamente proporzionale al raggio di curvatura delle rispettiva superficie, ovvero direttamente proporzionale alla curvatura. 5
5 Proprietà di schermo elettrostatico dei conduttori cavi All interno di una gabbia di Faraday, come è noto, sono nulli gli effetti di un qualunque campo elettrostatico esterno. Come si suol dire, la gabbia di Faraday costituisce uno schermo elettrostatico per ciò che essa contiene. Tale proprietà può essere ricondotta al fatto che in un conduttore cavo in equilibrio, come tra poco verrà dimostrato, il campo elettrico all interno della cavità risulta necessariamente nullo. Consideriamo dunque un conduttore cavo come quello in figura, e supponiamo per assurdo che in un punto P interno alla cavità il campo elettrico sia non nullo. Detta γ la linea di campo per P, questa necessariamente dovrà originare da un punto A sulla superficie interna dove sono accumulate cariche positive e terminare su un punto B, sempre della superficie interna, in cui sono accumulate delle cariche negative. Se un carica di prova q > 0 si muove da A a B lungo γ necessariamente le forze elettrostatiche compiranno un lavoro W el positivo, e di conseguenza dovrà essere V B V A = W el /q < 0, da cui V A > V B, in contraddizione con la proprietà (2) di un conduttore di essere un volume equipotenziale. Per mezzo del teorema di Gauss si prova inoltre che sulla superficie interna non può esservi alcun accumulo di cariche né positive, né negative. 6