La cardinalità di Q e R

La cardinalità di Q e R Ha senso chiedersi se ci sono più elementi in N o in Q? Sono entrambi due insiemi infiniti. I numeri naturali sono numerosi quanto i quadrati perfetti, infatti ad ogni numero naturale corrisponde un quadrato perfetto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 L'insieme dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (1 of 7)22/10/2010 17.16.20

Due segmenti di lunghezza diversa, AB e CD, si possono porre in corrispondenza biunivoca, come risulta dalla figura. Di più: i punti di un segmento [A,B) sono in corrispondenza biunivoca coi punti di una semiretta: al punto A corrisponde se stesso, al punto B non corrisponde alcun punto della semiretta. Due insiemi finiti hanno lo stesso numero di elementi se e solo se si possono porre in corrispondenza biunivoca. Se si estende questa nozione a insiemi infiniti si ottengono i risultati sopra citati. Cantor (1870) definisce infinito un insieme che si possa mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. N, Z, Q sono infiniti. È sempre possibile mettere in corrispondenza biunivoca due insiemi infiniti? Due insiemi che possano essere messi in corrispondenza biunivoca si dicono equipotenti (oppure si dice che hanno la stessa cardinalità). N e Z sono equipotenti: ad esempio +n 2n, -n 2n-1 file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (2 of 7)22/10/2010 17.16.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0-1 +1-2 +2-3 +3-4 +4-5 +5 La relazione di equipotenza tra insiemi è una relazione di equivalenza. Per insiemi finiti, appartengono alla stessa classe di equivalenza (cioè hanno la stessa cardinalità) gli insiemi che hanno lo stesso numero di elementi. Un insieme A si dice numerabile se A e N sono equipotenti. l'insieme dei quadrati perfetti è numerabile l'insieme dei numeri interi Z è numerabile. Ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è numerabile. Q è numerabile? Esiste cioè una corrispondenza biunivoca tra N e Q? Improbabile: Q, è denso, mentre N è discreto; N Q per ogni n, esistono infiniti numeri razionali differenti che hanno denominatore uguale a n. TEOREMA (Primo metodo diagonale di Cantor). L'insieme Q è numerabile. file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (3 of 7)22/10/2010 17.16.20

Dimostrazione. Scriviamo tutti gli elementi di N N nel seguente modo: (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) Si ordinino gli elementi di N N secondo le successive "diagonali", e cioè: il primo elemento è (0,0), che esaurisce da solo la prima diagonale; poi (1,0) e (0,1), che esauriscono la seconda diagonale, poi (2,0), (1,1), (0,2), e così via: terminati gli elementi di una diagonale si prosegue con la diagonale successiva partendo dall'elemento che sta sulla prima colonna, fino ad arrivare all'elemento che sta sulla prima riga: (0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) 0,3) (4,0) (i,0) (i - 1,1) (i - 2,2) (1,i - 1) (0,i) Gli elementi di N N si possono disporre in una successione: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (4 of 7)22/10/2010 17.16.20

(0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) (0,2) (3,0) (2,1) (1,2) (a,b) N N è in corrispondenza biunivoca (a + b)(a + b + 1) + b N Infatti la generica coppia (a,b) appartiene alla (a + b + 1)-esima diagonale; e occupa una posizione che si calcola sommando innanzitutto tutti gli elementi delle precedenti (a + b) diagonali: 1 + 2 + 3 +... + (a + b) = (a + b)(a + b + 1), e aggiungendo gli elementi che precedono (a,b) nella (a + b + 1) - esima diagonale, che sono b + 1; poiché il primo numero naturale è lo 0, si diminuisce di 1 tale somma, si ottiene la formula cercata: (a,b) (a + b)(a + b + 1) + b. In generale se A è un insieme numerabile allora anche A A è numerabile: basta sostituire, nella tabella, ai numeri gli elementi 0, 1, 2, 3, 4, 5,... a0, a1, a2, a3, a4, a5, Allora anche l'insieme Z dei numeri interi, come abbiamo già visto, è numerabile, dato che è stato costruito come insieme di classi di equivalenza in N N, quindi è equipotente ad un sottoinsieme infinito di N N. Se Z è numerabile allora anche Z Z è numerabile. Ne concludiamo che anche Q è numerabile, poiché è stato costruito come insieme di classi di equivalenza in Z Z0; Q è equipotente ad un sottoinsieme infinito di un insieme numerabile, quindi è numerabile. file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (5 of 7)22/10/2010 17.16.20

TEOREMA (Secondo metodo diagonale di Cantor). L'insieme R dei numeri reali non è numerabile. Dimostrazione. Se R fosse numerabile allora sarebbe numerabile qualunque suo sottoinsieme infinito. Sia A l'insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1: Dimostriamo, per assurdo, che A non è numerabile. A = {x R: 0 < x < 1}, Se A fosse numerabile, esisterebbe una corrispondenza biunivoca tra A e N, cioè tutti gli elementi di A potrebbero essere contati: x1 = 0. a11 a12 a13 x2 = 0. a21 a22 a23 x3 = 0. a31 a32 a33... dove aij è la j-esima cifra decimale del i-esimo numero reale di A. Per dimostrare che A non è numerabile ci basta fornire un numero y compreso tra 0 e 1 che sia diverso da tutti gli xi. Sia un numero reale così costruito: y = 0. b1 b2 b3 b1 a11; b2 a22;... bk akk. Il numero reale y appartiene ad A, ma è diverso (perché almeno una cifra è diversa) da tutti gli elementi file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (6 of 7)22/10/2010 17.16.20

di A. Dunque A non è numerabile, quindi neppure R.?? Perché questa dimostrazione, applicata a Q, è sbagliata? La cardinalità di R è detta cardinalità del continuo. Poiché R = Q I, e Q è numerabile, segue che I non è numerabile: gli irrazionali sono dunque più numerosi dei razionali. Sempre nel 1874 Cantor dimostra un altro risultato sorprendente: il prodotto cartesiano di due insiemi che hanno la cardinalità del continuo ha la cardinalità del continuo; quindi gli insiemi R2 = R R e R3 = R R R sono equipotenti a R. Poiché R2 è in corrispondenza biunivoca con i punti del piano, e R3 con i punti dello spazio, conseguenza immediata è che i punti di tutto lo spazio sono "tanti quanti" i punti di un segmento di lunghezza piccola a piacere! Questo risultato si scontra con l'intuizione. Lo stesso Cantor, in una lettera a Dedekind, scrive: "Lo vedo, ma non lo credo". file:///e /am1_10-11/appunti/potenza%20insiemi%20numerici.htm (7 of 7)22/10/2010 17.16.20