Elementi di meccanica dei fluidi

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 3. Introduzione In molti imianti il collegamento fra i vari comonenti è costituito da una tubazione in grado di contenere un fluido. Lo scoo del fluido uò essere quello del trasorto di una qualsiasi delle grandezze di stato che lo caratterizzano; la finalità dell imianto uò quindi essere quella del trasorto di una massa (collegata quindi alla densità) come ad esemio nell imianto combustibile o nell imianto di ventilazione, del trasorto di una forza (collegata quindi alla ressione) come ad esemio nell imianto oleodinamico, del trasorto di calore (collegato quindi alla temerature) come ad esemio nell imianto antighiaccio. Le leggi che reggono il funzionamento dell imianto sono le stesse indiendentemente dalle sue finalità; otranno al massimo assumere maggiore o minore imortanza, e quindi essere in ratica trascurabili, alcuni termini. Verranno in seguito richiamate le leggi fondamentali er il calcolo del flusso interno utili er il rogetto e la verifica degli imianti a fluido. 3. Caratteristiche rinciali dei fluidi idraulici I fluidi in genere sono caratterizzati da un certo numero di rorietà fisiche di cui qui si elencano le iù rilevanti, indicando le unità di misura utilizzate secondo il sistema metrico internazionale ed in ratica. Densità La densità (o massa volumica) è la massa dell'unità di volume di una determinata sostanza. Essa diende dalla ressione e dalla temeratura (fig. 3.), ha dimensioni [ML -3 ] ed ha le seguenti misure: sistema metrico internazionale kg/m 3 sistema tecnico kg f s /m 4 sistema anglosassone lb f s /ft 4 000 900 DENSITA' [kg/m3] 800 700 600 0 0 40 60 80 00 TEMPERATURA [ C] 3.

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Fig. 3. - Densità in funzione della temeratura (liquido a base etrolifera) Peso secifico Il eso secifico è il eso dell'unità di volume. Ha dimensioni [FL -3 ] o, iù formalmente, [ML - T - ]. E' legato alla densità dalla relazione γ = ρg, dove g è l'accelerazione di gravità. Pure esso è diendente da ressione e temeratura. Il eso secifico ha le seguenti misure: sistema metrico internazionale N/m 3 sistema tecnico kg f /m 3 sistema anglosassone lb f /ft 3 Pressione La ressione è data dal raorto fra una forza e l'area su cui questa agisce. Dimensionalmente è quindi [FL - ], le unità di misura utilizzate sono varie: sistema metrico internazionale N/m o Pa sistema tecnico kg f /m sistema tecnico anglosassone si = lb f /in Il Pascal è un'unità di misura iccola er cui vengono iù usati il kpa o il MPa, anche se sono ancora molto in uso le vecchie unità, comrese quelle che misurano la ressione come altezza equivalente di una colonna di acqua o mercurio: atm 035 Pa at 9806 Pa kg/cm bar 00000 Pa 0 baria baria 0. Pa dyne/cm kg/m 9.8 Pa si 6890 Pa mmhg 33.3 Pa mh O 9.8 Pa Viscosità La viscosità è la caacità di un fluido a resistere a forze tangenziali. Per far scorrere l uno risetto all altro due iani aralleli searati da un fluido, è necessaria una forza F roorzionale alla suerficie di contatto A, alla velocità relativa v ed inversamente roorzionale alla distanza h delle due suerfici: da cui: F = µ Av h µ = Fh Av Le dimensioni della viscosità sono quindi [FL - T]. Le unità di misura della viscosità sono le seguenti: 3.3

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 sistema metrico internazionale Ns/m o Pa s sistema tecnico kg f s/m sistema anglosassone lb f s/m ma in ratica vengono semre usati il oise P o il centioise cp, essendo: P = dyne s/cm = 0. Pa s. E sesso usata anche la viscosità cinematica, data dal raorto fra la viscosità e la densità: ν µ = ρ ed avente le dimensioni di una lunghezza er una velocità [L T - ], è usualmente misurata in stokes St: St = cm /s o iù comunemente in centistokes cst: cst = 0-6 m /s La viscosità diende fortemente dalla temeratura, come evidente nel diagramma di fig. 3.. 000 VISCOSITA' CINEMATICA [cst] 00 0-80 -40 0 40 80 0 TEMPERATURA [ C] Fig. 3. - Viscosità in funzione della temeratura (liquido a base etrolifera) Tensione di vaore La tensione di vaore è la grandezza iù significativa er descrivere la volatilità di un liquido. Un fluido allo stato liquido è caratterizzato dall'avere un volume rorio; se il fluido viene osto in un reciiente di volume maggiore del volume del liquido, nel reciiente il fluido si trova arzialmente allo stato liquido e arzialmente allo stato gassoso. La ressione alla quale 3.4

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 viene a trovarsi lo stato gassoso è detta tensione di vaore e diende dalla temeratura (fig. 3.3); er esemio la tensione di vaore dell acqua a 00 C è notoriamente di bar. La tensione di vaore è un arametro fondamentale er l'equilibrio fra le due fasi del fluido ed è un indice della tendenza del liquido ad evaorare. La tensione di vaore viene misurata con le stesse unità di misura della ressione. Una grandezza correlata alla tensione di vaore è il unto di ebollizione, la temeratura cioè alla quale il liquido tende a assare allo stato gassoso, questa temeratura è funzione della ressione. 0000 000 TENSIONE DI VAPORE [Pa] 00 0 0 40 80 0 60 00 TEMPERATURA [ C] Fig. 3.3 - Tensione di vaore in funzione della temeratura (liquido a base etrolifera) Infiammabilità L infiammabilità è una caratteristica molto imortante er la sicurezza dell'imianto e del velivolo stesso; viene caratterizzata attraverso tre temerature caratteristiche:. unto di infiammabilità: temeratura minima alla quale il liquido, vaorizzato in modo definito, crea una miscela caace di incendiarsi in resenza di una fiamma;. unto di fiamma: temeratura minima alla quale si genera vaore sufficiente a mantenere la combustione; 3. unto di autoignizione: temeratura alla quale si crea una fiamma sontaneamente in resenza di aria senza essere innescata. Comrimibilità I fluidi imiegati negli imianti idraulici sono liquidi e quindi caratterizzati dall'avere un volume rorio; in realtà sotto effetto della ressione il fluido tende a comrimersi e a ridurre il rorio volume; una misura di questo effetto è data dal modulo di comrimibilità definito come raorto fra la variazione ercentuale di volume e la variazione di ressione che la ha rodotta, come meglio descritto in seguito (ar 3.3). 3.5

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Resistenza all aria L aria uò essere resente nel fluido sotto 3 forme: disciolta, disersa in bollicine ben distinte e in schiuma, ossia bolle agglomerate in suerficie. Gli ultimi due casi sono da evitare er il corretto funzionamento dell imianto, in quanto vengono radicalmente modificate le caratteristiche fisiche del liquido. Stabilità La stabilità chimica è la tendenza a mantenere invariate le rinciali caratteristiche. Si arla in genere di: stabilità all ossidazione, ossia alla reazione con l ossigeno; stabilità termica, ossia alla decomosizione rodotta dalla temeratura; stabilità all idrolisi, ossia alla reazione con l acqua. Corrosione Indica l aggressività del fluido sui materiali usati negli imianti. Può essere di due tii: corrosione chimica, in genere ossidazione o attacco acido; corrosione elettrochimica, tiicamente quella galvanica, che interviene nel contatto di due metalli bagnati da un elettrolito. 3.3 Equazione di stato e modulo di comrimibilità Le grandezze fondamentali che definiscono lo stato di un fluido sono, come noto: ressione [FL - ]=[MLT - ] densità ρ [ML -3 ] temeratura T [ ] Le grandezze di stato non sono indiendenti, ma legate dall equazione di stato che nel caso dei gas erfetti assume la nota forma: = Rρ T questa relazione è valida er gas erfetti, in un ben reciso camo di ressioni e temerature; il coefficiente di roorzionalità R ha un valore diendente dalla comosizione del gas ed in articolare dal eso molecolare degli elementi che lo comongono. Per i gas esistono formulazioni dell equazione di stato iù comlesse valide anche in condizioni iù amie. Per i liquidi non è invece ossibile determinare un equazione di stato che abbia un sufficiente camo di validità; si ricorre quindi ad una linearizzazione che orta ad un equazione di stato valida solo nell intorno di un unto noto. Tale equazione, esressa iù comunemente in funzione del volume secifico, ha la forma: V = + α T V β 3.6

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 La arte dell equazione di stato che fornisce il legame densità - ressione (sia ure questo esresso in termini volumetrici), a temeratura costante, diventa così in termini finiti: /b V = β V PRESSIONE Fig. 3.4 - Andamento qualitativo del modulo di comrimibilità con la ressione o in termini differenziali : d = β dv V Come noto si ammette normalmente che i liquidi siano incomrimibili; questo orterebbe da un unto di vista matematico ad un valore infinito di β; fisicamente è invece evidente che, er quanto iccola, esista una certa comrimibilità nei liquidi, anche se questa è talmente iccola che er molte alicazioni ratiche risulta trascurabile. Il modulo di comrimibilità β (bulk modulus nella letteratura anglosassone) è diendente in modo non lineare dalla ressione, secondo un andamento qualitativamente descritto in fig. 3.4; er l utilizzo della relazione in termini finiti occorrerà quindi considerarne un valore medio. β ha le dimensioni di una ressione ed il suo valore diende dalla ressione; si uò assumere er V V [MPa].5 0.006 5.0 0.0033 7.5 0.0050 0.0 0.0066.5 0.0083 5.0 0.000 7.5 0.06 0.0 0.033.5 0.050 5.0 0.066 7.5 0.083 30.0 0.000 Tab. 3. - Contrazione del volume in funzione del salto di ressione i vari fluidi utilizzati negli imianti oleodinamici, imianti oeranti alle iù alte ressioni, dove quindi la comrimibilità è in grado di far sentire i suoi effetti, valori dell ordine di grandezza di 500 MPa. Assumendo tale valore come valore medio indiendente dalla ressione ne derivano le variazioni di volume del fluido riortate in tab. 3.. Variazioni di ressione dell ordine di grandezza dei 0 MPa, che sono valori utilizzati negli imianti oleodinamici di bordo, sono quindi in grado di ridurre il volume del fluido già di una quantità sueriore all.3%; d altra arte variazioni di volume dell ordine dell % sono in grado di far nascere variazioni di ressione dell ordine dei 5 MPa. In effetti l equazione di stato deve essere vista come l analoga dell equazione di Hooke er i solidi; la ressione definisce lo stato di sforzo e la variazione di volume corrisonde alle deformazioni. Per quanto riguarda il termine legato alla temeratura: 3.7

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 V V = α T Il valore di α è circa 7 0-4 C - er un olio idraulico. Le conseguenze dalla dilatazione rovocate da variazioni di temeratura sono in incremento di ressione se il liquido è contenuto in un volume chiuso, o in una variazione di volume del contenitore se questa è ossibile come avviene er esemio nei cilindri attuatori. 3.4 Modulo di comrimibilità effettivo Per quanto riguarda i valori del modulo di comrimibilità, occorre fare attenzione che nella ratica si deve tenere conto anche del fatto che in un imianto, nonostante tutte le recauzioni che si ossono rendere, è inevitabilmente contenuto oltre al liquido anche una frazione di gas e che i comonenti dell imianto, er quanto rigidi, ossono resentare una certa elasticità e quindi er effetto della ressione si deformano aumentando il loro volume. Il comortamento del gas esresso in termini di modulo di comrimibilità è facilmente ottenibile dato che questo è ricavato in condizioni isoterme; er un gas quindi: V dv + Vd = 0 d = β = = cost Se un certo volume V tot è occuato arzialmente da liquido V l e arzialmente da gas V g, si uò ricavare un modulo di comrimibilità effettivo: V = V + V tot l g V = V + V tot l g 3.8 dv V V V V V V tot l l g g = = + β e Vtot Vtot Vl Vtot Vg V V l g = + β V β V β e tot l tot g Dato che normalmente il volume di gas contenuto nel reciiente è iccolo risetto a quello del liquido, il modulo di comrimibilità effettivo uò essere arossimato con: Vg = + β β V β e l Evidentemente il modulo di comrimibilità diende dalla quantità di gas contenuto nel volume in esame, quantità che deve essere normalmente iccola. La tab. 3. riorta i valori di variazione di volume che si ottengono con varie ercentuali di gas, considerando er il modulo tot g

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 di comrimibilità del gas il valore corrisondente alla ressione media. Si uò notare che l effetto corrisondente alla ressione di 30 MPa con solo liquido si ha alla ressione di.5 MPa con una ercentuale dell % di gas, di 5 MPa con una ercentuale del % e sotto i.5 MPa con ercentuali sueriori. V/V V g /V tot 0.0.0.05.0 [MPa].5 0.006 0.0066 0.06 0.066 0.056 5.0 0.0033 0.0083 0.033 0.083 0.0533 7.5 0.0050 0.000 0.050 0.0300 0.0550 0.0 0.0066 0.06 0.066 0.037 0.0567.5 0.0083 0.033 0.083 0.0333 0.0583 5.0 0.000 0.050 0.000 0.0350 0.0600 7.5 0.06 0.067 0.07 0.0366 0.067 0.0 0.033 0.083 0.033 0.0383 0.0633.5 0.050 0.000 0.050 0.0400 0.0650 5.0 0.066 0.07 0.066 0.047 0.0666 7.5 0.083 0.033 0.083 0.0433 0.0683 30.0 0.000 0.050 0.0300 0.0450 0.0700 Tab. 3. - Contrazione del volume in diendenza della concentrazione di gas Effetti nello stesso senso si hanno er la dilatazione dei comonenti che contengono il liquido, er cui è ossibile definire un modulo di comrimibilità dovuto in effetti all incremento di volume del reciiente ed avere in definitiva: β c tot Vg = + + β β V β β e V = V l tot g c In ratica quindi il modulo di comrimibilità è normalmente iù basso di quanto atteso in base ai valori del solo liquido e questo ha conseguenze, er quanto iccole, sulla quantità di liquido necessario a riemire un dato volume. Inoltre il legame ressione - volume è da vedersi come una rigidezza e questa in ratica risulta iù bassa di quanto di cometenza del solo liquido. 3.5 Idrostatica: il rinciio di Pascal L idrostatica è governata dal rinciio di Pascal: se si considera un iccolo elemento di fluido in condizioni statiche, la ressione che si misura sulle areti di quell elemento si trasmette a tutto il fluido, con eguale intensità ed in ogni direzione: = cost 3.9

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Ricordiamo che quando si arla di misura di ressione molte volte si trascura di recisare se si tratta di una misura di ressione assoluta o relativa; in moltissimi casi questo è chiaro dal contesto o è inessenziale; occorre comunque ricordare che la misura uò essere eseguita in entrambi i modi e sesso gli strumenti misurano la ressione relativa risetto a quella atmosferica nel luogo di misura. Se la misura è utilizzata er valutare differenze di ressioni fra due unti diversi o le sollecitazioni indotte dalla ressione, l una o l altra misura ortano agli stessi risultati, dato che conta solo la differenza fra le due ressioni; esistono erò fenomeni legati alla ressione assoluta: uno di questi è il fatto che la ressione assoluta non uò diventare negativa: si avrebbe infatti il assaggio da uno stato di comressione ad uno di trazione, stato di sforzo al quale i fluidi non ossono resistere; in articolare er i liquidi esiste un valore di ressione minimo al disotto del quale il fluido assa allo stato gassoso. Il valore di ressione al quale questo fenomeno avviene è detto tensione di vaore ed è in genere fortemente influenzato dalla temeratura. Si consideri, er meglio chiarire la ortata del rinciio di Pascal, il sistema in fig. 3.5, costituito essenzialmente da due cilindri differenti muniti di istone, collegati tra loro da un condotto, il tutto riemito di liquido. F A S A F S Fig. 3.5 - Torchio idraulico All equilibrio deve essere: F = = A F A il che significa che un sistema del genere è in grado di trasmettere forze variandone l intensità a seconda del raorto tra le aree dei istoni (torchio idraulico). D altro canto, se non ci sono erdite di liquido, il volume sostato da una arte deve ritrovarsi dall altra: V = sa = V = sa 3.0

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 ossia gli sostamenti ure vengono variati dal raorto delle aree. Ma ovviamente il lavoro si conserva: L = A s = A s = L Con tale disositivo, che sta alla base della trasmissione idraulica, si uò trasmettere lavoro variandone l intensità della forza e dello sostamento, ovvero si uò amlificare la forza a atto di ridurre lo sostamento, e viceversa. 3.6 Equazione di continuità Sotto questo termine si intende l equazione che esrime il rinciio di conservazione della massa, e del quale già si è vista un esressione elementare nel aragrafo recedente. L esressione classica è: dm = 0 dt dv t ρ V + ρvda = 0 A dove V è il volume considerato ed A sono le aree attraverso le quali uò aversi entrata o uscita di massa nel volume considerato, alla velocità v. Quando il fluido uò essere ritenuto incomrimibile ρ è costante e uò quindi essere eliminata; er le alicazioni imiantistiche non ha quasi mai interesse l effettiva distribuzione di velocità nelle sezioni di assaggio er cui si considera una velocità media: v = A A vda da l equazione di continuità si riduce quindi a: o, introducendo la ortata volumetrica: dv dt Q t + va = 0 = va dv + Q t = 0 dt n dv = Q i dt i= 3.

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 dove Q i sono le singole ortate volumetriche, ositive entranti. Per tutti i comonenti dove non si ha variazione di volume si ha infine: n Q i = i = 0 Una classe imortante di comonenti nei quali si uò avere variazione di volume è costituita dagli attuatori lineari (normalmente detti martinetti); in questi l incremento o decremento di volume è ottenuto a sezione costante e quindi si ha un legame di roorzionalità fra la ortata entrante o uscente e la velocità di azionamento del martinetto: Q = Ax& 3.7 Conservazione dell energia Il rimo rinciio della termodinamica imone la conservazione dell energia; ragionamenti energetici ortano a formulazioni estremamente utili er il calcolo del flusso in tubazioni. Esso infatti ossiede energia in forma cinetica, dovuta cioè alla sua velocità, ed in forma otenziale, dovuta cioè all elevazione del condotto ed alla ressione del fluido. Quando si studia il moto del fluido in un condotto (e in genere le correnti fluidodinamiche) si osservano le varie grandezze fisiche in sezioni di controllo fisse. L energia che assa attraverso una sezione del condotto è ovviamente crescente, semlicemente erché col assare del temo semre iù fluido assa quella sezione. Viene quindi utile riferirsi all energia er unità di massa, o di eso, o di volume del fluido. Vediamo di seguito le varie forme di energia ossedute dal fluido, er unità di volume. Energia cinetica L energia cinetica di qualsiasi massa m che viaggi alla velocità v è notoriamente data da: E = mv Nel caso in esame, riferendosi all unità di volume ed essendo ρ la densità, sarà: E = ρ v Energia otenziale L energia otenziale, in senso classico, di una articella di fluido di massa m diende dalla sua altezza z misurata da un iano arbitrario di riferimento. L energia otenziale er unità di volume è quindi: Energia di ressione E = ρ gz 3.

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 L energia di ressione è ancora un energia otenziale, che uò essere elementarmente definita nel seguente modo. Si consideri un reciiente come quello indicato nella fig. 3.6, contenente del liquido. Ad una certa distanza dal elo libero si suonga vi sia un tubo che si stacca dal contenitore, chiuso da un istone mobile di area A. La forza esercitata dal liquido su tale istone, dovuta alla sua ressione idrostatica, è A. Il lavoro comiuto dal fluido er sostare il istone di una lunghezza L, dalla sezione alla sezione, sarà A L; il volume di fluido che comie tale lavoro è quello che assa er la sezione, ossia A L. Il lavoro er unità di volume risulta quindi: E = L A Fig. 3.6 - Lavoro di ressione Energia interna L energia interna è legata alla temeratura del fluido ed al calore secifico a volume costante e, er unità di volume, ossiamo scriverla come insegna la termodinamica: E i = c T v Conservazione dell energia Il rimo rinciio della termodinamica assicura che l energia viene conservata o meglio che le variazioni di energia in un sistema sono uguali al lavoro che viene esercitato sul sistema stesso. Per un tubo di flusso le variazioni comlessive delle quattro energie sora viste devono quindi uguagliare il lavoro fornito dalle ressioni nelle sezioni di entrata e uscita ed i calori rovenienti dall esterno: + ρ v + ρ gz + c vt = + ρ v + ρ gz + c vt + L + q dove lavoro e calore sono considerati er unità di volume. Si ossono esrimere tutti i termini er unità di eso; se γ è il eso secifico: 3.3

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 γ + v z + v cvt z cvt L q g + = γ + + g + + + In tale esressione le dimensioni sono quelle di una lunghezza. Questo modo di esrimere la conservazione dell energia è sfruttato sorattutto nell idraulica classica dove i termini legati ai dislivelli resenti negli acquedotti e quindi all energia otenziale hanno imortanza redominante. Consideriamo in seguito alcuni casi articolari. 3.8 Moto stazionario di un fluido incomrimibile Se il fluido è incomrimibile γ è costante: γ + v z + v cvt z cvt L q g + = γ + + g + + + oure, esrimendo le energie er unità di volume: + ρgz + ρv + c vt = + ρgz + ρ v + c vt + L + q 3.9 Fluido in quiete Se la velocità è nulla, il fluido in equilibrio termico, non si verifica scambio di lavoro e di calore con l esterno, ci si riduce a: + ρgz = + ρgz = ρg z Quando le ressioni sono consistenti e le variazioni di quota iccole, il termine dell energia otenziale uò essere trascurato risetto al termine della ressione e ci si riduce al rinciio di Pascal er i fluidi in quiete: = cost 3.0 Perdite di carico distribuite Rirendiamo dall esressione della conservazione energetica er un fluido incomrimibile in moto stazionario in una tubazione: + ρgz + ρv + c vt = + ρgz + ρ v + c vt + L + q 3.4

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 In assenza di lavoro e calore scambiato con l esterno, considerando trascurabile l energia otenziale risetto alle altre grandezze in gioco ed iotizzando il condotto a sezione costante (il che imlica la conservazione della velocità), si ottiene: = +, dove il termine c v (T -T ) è stato sostituito dal generico. Questo termine è legato al fatto che esistono fenomeni dissiativi, er cui arte dell energia iniziale viene ersa dal unto di vista meccanico, erché trasformata in energia termica. Questa erdita viene vista come una erdita di ressione ed è usuale chiamarla erdita di carico. Le tubazioni sono state amiamente studiate dagli idraulici nel diciannovesimo secolo. L'intensità delle erdite di carico risente molto della resenza di un moto regolare, caratterizzato dall'avere nelle singole articelle velocità sensibilmente dirette come l'asse del condotto e nel verso del moto, o moto irregolare con comonenti di velocità in tutte le direzioni; il rimo tio di moto è detto moto laminare, il secondo moto turbolento. Se si osserva serimentalmente il moto del fluido, si vede che in certe condizioni il moto è di tio laminare ed in altre diventa turbolento. La transizione del moto da laminare a turbolento è dominata dal raorto fra le forze di massa e le forze viscose, esrimibile da una grandezza adimensionale, il numero di Reynolds, definito da: Re = ρ vd µ dove ρ è la densità, v la velocità media, D il diametro idraulico e µ la viscosità. La caduta di ressione lungo la linea è quindi dovuta a disuniformità nella velocità che rovoca conseguenti effetti viscosi. E stata riconosciuta una relazione tra la caduta di ressione e l energia cinetica: = + α ρ v e si è giunti er via serimentale a determinare er α la seguente esressione: α = λ dove λ è un coefficiente di erdite distribuite, L è la lunghezza della tubazione e D il diametro idraulico. La caduta di ressione sull intera tubazione è quindi data dalla legge di Darcy - Weisbach: L D L = λ ρ v D Il diametro idraulico corrisonde al diametro geometrico nel caso di tubi a sezione circolare, er altre forme della sezione è definito come: 3.5

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 D S = 4 C dove S è l area della sezione e C il erimetro; nel caso di sezione circolare: πd 4 4S = 4 = D C πd Il coefficiente λ diende dal tio di moto, indicato dal numero di Reynolds, e dalla rugosità suerficiale del condotto, definita come raorto tra lo sessore medio delle irregolarità ed il diametro del tubo. Il diagramma di Moody di fig. 3.7 riorta l andamento del coefficiente in funzione del numero di Reynolds della corrente fluida e arametrizzato sulla rugosità suerficiale. Fig. 3.7 - Diagramma di Moody Reynolds number 3.6

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Si riconosce che er Re < 000 il moto è laminare, la velocità è nulla al contorno, diretta come l asse della tubazione e massima al centro del tubo (fig. 3.8), con una distribuzione arabolica; in questo caso è ossibile ricavare anche teoricamente il valore di λ che risulta: e quindi: λ = 64 Re 64 L 64µ L L v v D vd D D v = = ρ = ρ = 3µ Re ρ Nel moto laminare la erdita di carico risulta diendente, oltre che dai arametri geometrici, in modo lineare dalla viscosità e dalla velocità del fluido. La diendenza dalla viscosità orta ad una diendenza dalla temeratura dato che la viscosità è fortemente influenzata da questa. Quando il numero di Reynolds suera il valore di 4000, il moto diventa turbolento, la distribuzione di velocità nella sezione si aiattisce (fig. 3.8), la velocità massima si avvicina quindi alla velocità media, ma la velocità ha comonenti anche erendicolari alla tubazione: in questo caso i valori di λ sono desumibili da curve serimentali o da formule emiriche. LAMINARE TURBOLENTO Fig. 3.8 - Profili di velocità laminare e turbolento Per numeri di Reynolds molto alti, λ è sensibilmente indiendente dal numero di Reynolds e diende solo dalla rugosità. In tale camo di moto la erdita di carico risulta quindi diendente dal quadrato della velocità ed indiendente dalla viscosità del fluido (questa interviene comunque nel calcolo del numero di Reynolds!). Per i valori del numero di Reynolds fra 000 e 4000 si ha una zona di transizione non ben definita, dato che il assaggio dallo stato laminare a quello turbolento è un fenomeno di instabilità che uò avere quindi un certo margine di indeterminazione. Per le tubazioni si arla comunemente di erdite distribuite dato che la caduta di ressione è distribuita uniformemente su tutta la linea; la ressione ha quindi sulla linea un andamento lineare: x = λ ρ v D In realtà le erdite di carico così determinate avvengono quando il moto nella tubazione è a regime; se consideriamo l inizio del tubo si ha una zona di una certa lunghezza nella quale la velocità assa da una distribuzione iniziale nella sezione alla distribuzione tiica del moto 3.7

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 laminare o turbolento che si ha oi nell intero tubo; er tubazioni di una certa lunghezza questo fenomeno non orta a differenze significative, ma er tubazioni corte questo uò non essere iù vero. 3. Comonenti discreti Le erdite di carico sono dovute agli effetti viscosi causati da differenze di velocità nei vari unti nel fluido; questo avviene tutte le volte che il fluido trova nel suo cammino un ostacolo di natura qualsiasi o comunque la geometria del condotto orta a variazioni del vettore velocità (fig. 3.9). Nell idraulica classica, dove le tubazioni hanno una lunghezza molto elevata, queste erdite ossono essere di entità molto minore risetto a quelle nelle tubazioni, tanto che nella letteratura anglosassone vengono definite erdite minori; negli imianti di nostro interesse le tubazioni sono invece relativamente corte ed esistono molti comonenti in grado di causare erdite di valore significativo. Verranno genericamente indicate come erdite concentrate. Fig. 3.9 - Cause di erdite di carico concentrate Anche in questo caso le erdite ossono essere esresse come funzione di un energia cinetica: o: = α ρ v = KQ e stabiliscono quindi un legame fra la ortata che attraversa il comonente e la ressione alle estremità di esso (ovviamente nell iotesi che nel comonente non vi sia scambio di lavoro con l esterno). I coefficienti necessari er il calcolo delle erdite di carico concentrate sono ovviamente funzione della geometria del comonente, ma anche di un numero di Reynolds di riferimento. La letteratura secializzata riorta i coefficienti er gomiti, sbocchi, divergenti, convergenti, raccordi, valvole, ecc. 3.8

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 3. Analogia elettrica Può essere conveniente esrimere le erdite di carico in funzione della ortata, sostituendo al termine di velocità il corrisondente raorto tra ortata ed area del condotto: L L Q 8L v D D D D Q KQ = = λ ρ = λ ρ = λ ρ = 5 π π 4 Questa esressione definisce il legame fra ressione e ortata, le due grandezze caratteristiche della otenza idraulica. La relazione è in analogia con l equazione di Ohm utilizzata nel camo elettrico, con erò la comlicazione che il legame ressione - ortata è quadratico anziché lineare. Q k M k Q Q k Q Q k Q Fig. 3.0 - Linee in serie e in arallelo L analogia uò erò essere alicata e le regole utilizzate er il collegamento in serie o in arallelo restano analoghe considerando il coefficiente K come una resistenza. Nel collegamento in serie, essendo uguali le ortate nelle due tubazioni, si ha (fig. 3.0): M M = K Q = K = ( K + K ) Q Nel collegamento in arallelo, essendo uguali le ressioni alle due estremità, si ha (fig. 3.0): Q = KQ = KQ 3.9

IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Q = Q + Q = K + K = K + K = KQ K = K + K relazione che ricorda quella delle resistenze in arallelo, con la differenza che il legame è quadratico anziché lineare. 3.3 Bibliografia G.Rigamonti, Oleodinamica e Pneumatica, Hoeli, 987. R.W.Jeson, Analysis of Flows in Pie Networks, Ann Arbor Science Publishers, 976. 3.0