LEZIONE 1 C =

LEZIONE 1 11 Matrici a coefficienti in R Definizione 111 Siano m, n Z positivi Una matrice m n a coefficienti in R è un insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi Tali numeri sono dette entrate o componenti della matrice L insieme di tutte le matrici m n a coefficienti in R si indicherà con R m,n La matrice 0 m,n R m,n avente tutte le entrate nulle viene detta matrice nulla Se m = n si parlerà di matrici quadrate, se m = 1 di matrici riga, se n = 1 di matrici colonna La definizione data sopra ha senso anche quando m = n = 1 In tal caso però, si preferisce identificare R 1,1 con R Esempio 112 Diamo alcuni esempi di matrici 1 π 3/19 21 R 3,2 1 3/19, B = 0 R 2,3, π 21 0 0 0 C = 1 2 R 3,1, D = ( 1 0 ) R 1,2 1 0, E = R 2,2 0 1 3 C, D, E sono, rispettivamente, una matrice colonna, riga, quadrata Invece A e B non sono nè riga nè colonna nè quadrate Invece la tabella 1 2 3 4 2 1 0 17 non è una matrice Sia A R m,n Ad ogni sua entrata a rimangono associati due numeri interi positivi, gli indici i e j della riga e della colonna al cui incrocio si trova a: i e j vengono detti rispettivamente indice di riga e indice di colonna di a, a si dice l entrata in posizione (i, j): spesso, per indicarla nelle formule, si scriverà a i,j In particolare la matrice A si indica sovente con il simbolo (a i,j ) 1 i m 1 Typeset by AMS-TEX

2 11 MATRICI A COEFFICIENTI IN R Se A è quadrata con m = n si scrive anche (a i,j ) 1 i,j n Quando le dimensioni della matrice sono fissate spesso le entrate si indicano con lettere distinte Per esempio, una matrice 2 2 generica verrà indifferentemente indicata nel seguito con uno dei seguenti simboli: (a i,j ) 1 i 2, (a i,j ) 1 j 2 1 i,j 2, Esempio 113 Si considerino ( a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ), a b c d 1 π 3/19 21 R 3,2 1 3/19, B = 0 R 2,3 π 21 0 0 0 Allora l entrata (1, 2) di A è a 1,2 = π Le entrate (3, 1) e (3, 2) di A sono a 3,1 = a 3,2 = 0 Invece le entrate (3, 3) e (2, 3) non esistono Similmente le entrate (3, 1), (3, 2), (3, 3) di B non esistono Invece le entrate (1, 2) e (2, 3) di B sono b 1,2 = 3/19 e b 2,3 = 0 Definizione 114 Sia A R m,n L opposto di A è la matrice di R m,n, indicata con A, la cui entrata (i, j) coincide con l opposto dell entrata (i, j) della matrice A per i = 1,, m e j = 1,, n Se (a i,j ) 1 i m R m,n spesso si scriverà in simboli ( a i,j ) 1 i m R m,n Per esempio per le matrici A e B degli Esempi 112 e 113, vale 1 π 3/19 21 R 3,2, B = 0 0 1 3/19 0 π R 2,3 21 0 Definizione 115 Due matrici A = ( a ) i,j 1 i m, A = ( a ) i,j 1 i m si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e colonne, cioè m = m = m, n = n = n, e se le entrate aventi la stessa posizione nelle due matrici coincidono, cioè a i,j = a i,j per ogni i = 1,, m e j = 1,, n Le due matrici A e B degli Esempi 112 e 113 sono perciò diverse Ciononostante sono legate da un ovvia relazione: l entrata (i, j) di A coincide con l entrata (j, i) di B

LEZIONE 1 3 Definizione 116 Sia A R m,n La trasposta di A è la matrice di R n,m, indicata con t A, la cui entrata (j, i) coincide con l entrata (i, j) della matrice A per i = 1,, m e j = 1,, n Se (a i,j ) 1 i m R m,n spesso si scriverà in simboli t (a j,i ) 1 i m R n,m Per esempio per le matrici A e B degli Esempi 112 e 113 vale B = t A e t B Proposizione 117 Valgono le seguenti proprietà: (T1) per ogni matrice A risulta A R m,n se e solo se t A R n,m ; (T2) per ogni matrice A R m,n risulta t ( t A) = A; (T3) per ogni matrice A R m,n risulta t ( A) = ( t A) In qualche senso l operazione di trasposizione ci permette di identificare, all occorrenza, matrici m n con matrici n m: per esempio identificare matrici riga con matrici colonna 12 Matrici quadrate In questo paragrafo descriveremo alcune classi notevoli di matrici quadrate Innanzi tutto diamo una definizione Definizione 121 Sia (a i,j ) 1 i,j n R n,n La diagonale di A è l insieme ordinato delle entrate di posizione (i, i) di A Per esempio se π 0 8, 2 3/4 e la diagonale di A è la successione ordinata (1, 0, e) (e non (1, e) o ( e, 1, 0) o altro) Esempio 122 Una matrice quadrata (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice diagonale se tutte le entrate al di fuori della diagonale sono nulle, ovvero in simboli se a i,j = 0 quando i j Per esempio 1 0 0 0 0 0 0 0 e è diagonale Una matrice diagonale può essere descritta indicando solo la sua diagonale: per esempio la matrice A di cui sopra viene spesso indicata con il simbolo diag(1, 0, e) Invece B = 0 17 0 0 0 0 0 0 0

4 12 MATRICI QUADRATE non lo è Si noti che la matrice nulla 0 n,n è diagonale Fra le matrici diagonali una è particolarmente importante e, perció, merita un simbolo ed un nome particolari: si tratta della matrice identità di ordine n, indicata con I n Si tratta della matrice diagonale avente tutte le entrate diagonali uguali ad 1 Per esempio I 1 = (1), I 2 = 1 0, I 0 1 3 = 1 0 0 0 1 0, I 4 = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Esempio 123 Una matrice quadrata (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice triangolare superiore se le sue entrate al di sotto della diagonale si annullano, ovvero in simboli se a i,j = 0 quando i > j Per esempio 0 0 8 0 0 e è triangolare superiore Similmente si può introdurre la nozione di matrice trangolare inferiore (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice triangolare inferiore se le sue entrate al di sopra della diagonale si annullano, ovvero se a i,j = 0 quando i < j Per esempio B = 1 0 0 π 0 0 2 3/4 e è triangolare inferiore (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice strettamente triangolare superiore (inferiore) se è triangolare superiore (inferiore) e le sue entrate sulla diagonale si annullano, ovvero se a i,j = 0 quando i j (i j) Per definizione ogni matrice strettamente triangolare superiore od inferiore è triangolare superiore od inferiore, ma non vale il viceversa: infatti le matrici A e B sopra riportate sono, rispettivamente, triangolare superiore ed inferiore ma non lo sono strettamente Si noti che la matrice nulla 0 n,n è (strettamente) triangolare superiore ed inferiore Esempio 124 Una matrice quadrata (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta, ovvero in simboli se t A: ciò significa a i,j = a j,i per ogni i, j = 1,, n, quindi le entrate in posizione simmetrica al di fuori della diagonale sono uguali Per esempio 17 0 8 4 8 e

è simmetrica Invece B = LEZIONE 1 5 4 0 8 17 8 e non è simmetrica perché b 1,2 = 17 4 = b 2,1 Si noti che ogni matrice diagonale, in particolare la matrice nulla 0 n,n, è simmetrica Invece non possono essere simmetriche le matrici (strettamente) triangolari superiori ed inferiori che non siano diagonali Esempio 125 Una matrice quadrata (a i,j ) 1 i,j n R n,n si dice antisimmetrica se coincide con l opposto della sua trasposta, ovvero in simboli se t A: ciò significa a i,j = a j,i per ogni i, j = 1,, n, quindi le entrate diagonali devono essere nulle, e quelle in posizione simmetrica al di fuori della diagonale sono opposte Per esempio 0 17 4 17 0 8 4 8 0 è antisimmetrica Invece B = 17 0 8, C = 0 17 4 17 0 8, 4 8 0 4 8 0 non sono antisimmetriche perché b 1,1 = 1 0 e c 3,1 = 4 c 1,3 Si noti che l unica matrice diagonale o (strettamente) triangolare superiore ed inferiore o simmetrica che sia anche antisimmetrica è la matrice nulla 0 n,n 13 Somma e prodotto per scalari In questo paragrafo definiremo due importanti operazioni su matrici Iniziamo a definire la somma di matrici Definizione 131 Siano (a i,j ) 1 i m, B = (b i,j ) 1 i m R m,n Definiamo somma di A e B la matrice di R m,n, indicata con A+B, la cui entrata in posizione (i, j) è a i,j + b i,j Si noti che la somma è stata definita solo per matrici aventi le stesse dimensioni Esempio 132 Si ha 1 1 5 7 + 0 1 3 4 = 1 0 8 3 3 2 1/2 0 5/2 2

6 13 SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI Proposizione 133 Valgono le seguenti proprietà: (S1) per ogni A, B R m,n si ha A + B = B + A (la somma è commutativa); (S2) per ogni A, B, C R m,n si ha A + (B + C) = (A + B) + C (la somma è associativa); (S3) la matrice nulla è l unico elemento neutro per la somma, cioè è l unica matrice tale che 0 m,n + A, per ogni A R m,n ; (S4) per ogni A R m,n, A è l unico elemento opposto di A, cioè è l unica matrice tale che A + ( A) = 0 m,n Inoltre: (ST) per ogni A, B R m,n si ha t (A + B) = t A + t B Se A, B R m,n, spesso scriveremo A B invece di A + ( B) Passiamo ora a definire il prodotto di una matrice per un numero reale Definizione 134 Siano α R, (a i,j ) 1 i m Definiamo prodotto dello scalare α per A la matrice di R m,n, indicata con αa, la cui entrata in posizione (i, j) è αa i,j Esempio 135 Si ha 2 3 2 5 = 1 7 0 6 4 10 2 14 0 Proposizione 136 Valgono le seguenti proprietà: (P1) per ogni A R m,n si ha 1 A; (P2) per ogni α 1, α 2 R e A R m,n si ha α 1 (α 2 A) = (α 1 α 2 )A; (SP1) per ogni α 1, α 2 R e A R m,n si ha (α 1 + α 2 ) α 1 A + α 2 A; (SP2) per ogni α R e A, B R m,n si ha α(a + B) = αa + αb Inoltre: (PT) per ogni α R, A R m,n si ha t (αa) = α( t A); (LP) per ogni α R, A R m,n si ha α 0 m,n se e solo se o α = 0 o 0 m,n (legge di annullamento del prodotto per scalari)